EJERCICIOS 1.5 Defnición de límite de una unción y teoremas de límites. En los ejercicios 1 a 10, demuestre, aplicando la definición 1.5.5. Que el límite es el número indicado. 1.
lim 7 =7 x→ 2
Si
0 <| x − 2|< δ entonc entonces es|7 −7|< ϵ
Si 0 <| x − 2< δ entonce entoncess 0 < ∈ |
> 0 Cualquier elección de δ > 0 será suficiente lim ¿ −4
∴∈
.
x →5 − 4
−(−4 )|< ϵ Si 0 <| x −5|< δ entonces|(−4 ) −(− Si 0 <| x −5|< δ entonces 0 < ϵ
> 0 Cualquier elección de δ > 0 será suficiente lim ( 2 x + 1 )=9 ∴∈
!.
x → 4
Si 0 <| x − 4|< δ entonce entoncess|2 x +1−9|< ϵ
Si 0 <| x − 4|< δ entonces entonces|2 ( x −4 )|< ϵ Si 0 <| x −5|< δ entonces|( x − 4 )|<
".
1 ϵ 2
lim ( 4 x + 3 ) =7 x→ 1
Si 0 <| x −1|< δ entonces entonces|( 4 x + 3 )−7|< ϵ Si 0 <| x −1|< δ entonce entoncess 4| x −1|< ϵ
Si 0 <| x −1|< δ entonces entonces| x −1|<
1 ϵ 4
=
∴ toma tomarr δ
5.
1 ϵ ; ; entonces entonces 0 <| x −1|< δ 4
¿ > 4| x −1|< 4 (
lim ( 7 −3 x )=−2 x→ 3
Si 0 <| x −3|< δ entonces|( 7 −3 x )−(−2)|< ϵ
Si 0 <| x −3|< δ entonces 3| x − 3|< ϵ Si 0 <| x −3|< δ entonces| x −3|<
=
∴ toma tomarr δ
1 ϵ ; ; entonces entonces 0 <| x −3|< δ 3
¿ > 3| x −3|<3 #.
1 ϵ 3
( )=¿|( − 1 ϵ 3
7
3 x )−(−2 )|< ϵ
lim ( 2 x + 7 )=−1
x → − 4
Si 0 <| x + 4|< δ entonc entonces es|( 2 x + 7 )+ 1|< ϵ Si 0 <| x + 4|< δ entonce entoncess 2| x + 4|< ϵ
Si 0 <| x + 4|< δ entonc entonces es| x +4|<
=
∴ tomar δ
1 ;entonces 0 <| x +4|< δ ϵ ;entonces 2
¿ > 2| x +4|< 2 (
$.
1 ϵ 2
1 )=¿|( 2 x + 7 ) + 1|< ϵ ϵ )=¿ 2
( 1 +3 x )=− )=−5 lim ¿ ¿ x→ − 2
−(−5 )|< ϵ Si 0 <| x + 2|< δ entonces entonces|( 1 + 3 x )−(− Si 0 <| x + 2|< δ entonce entoncess 3| x + 2|< ϵ
Si 0 <| x + 2|< δ entonc entonces es| x + 2|<
1 ϵ 3
1 ϵ ) 4
=
∴ tomar δ
1 ϵ ; entonces 0 <| x + 2|< δ 3
¿> 3| x +2|< 2 ( 1 ϵ )=¿|( 1 + 3 x )−(−5 )|< ϵ 2
%.
lim ( 7−2 x )=11
x → − 2
Si 0 <| x + 2|< δ entonces|( 7 −2 x ) + 11|< ϵ Si 0 <| x + 2|< δ entonces− 2| x + 8|< ϵ
Si 0 <| x + 2|< δ entonces| x + 8|<
=
∴ tomar δ
−1 2
ϵ
1 ϵ ;entonces 0 <| x + 8|< δ 2
¿>−2| x + 8|<−2 (
1 ϵ )=¿|( 7− 2 x ) + 11|< ϵ 2
2
&.
x −1 =−2 lim x → − 1 x − 3
|
|
2
x −1 −(−2) < ϵ Si 0 <| x + 1|< δ entonces x −3 Si 0 <| x + 1|< δ entonces| x + 1|< ϵ
=ϵ ;entonces 0 <| x +1|< δ
∴ tomar δ
|
|
2
x −1 ¿> 0 <| x + 1|< ϵ =¿ −(−2 ) <ϵ x −3
2
x −9 =6 lim 10. x→ 3 x − 3
|
2
|
x −9 − 6 < ϵ Si 0 <| x −3|< δ entonces x − 3 Si 0 <| x −3|< δ entonces| x −3|< ϵ
=ϵ ;entonces 0 <| x −3|< δ
∴ tomar δ
|
2
|
x − 9 ¿> 0 <| x −3|< ϵ =¿ − 6 < ϵ x −3
En los ejercicios 11 a ", determine el límite ', cuando sea apropiado, indique los teoremas de límites que se aplicaron. lim ( 3 x −7 )=3 ( 5 )−7 =8
11.
x→ 5
1.
x → − 4
1!. 1". 15. 1#.
lim ( 5 x + 2 ) =5 ( −4 )+ 2=−18
lim ( x
2
+ 2 x −1 )=( 2)2 + 2 ( 2 )−1=7
x→ 2
lim ( 2 x
2
− 4 x +5 )=2 (3 )2− 4 ( 3 ) +5= 11
x→ 3
lim ( z
3
z → −2
lim ( y
+ 8 )=(−2)3 + 8 =0
3
y →− 1
−2 y 2+ 3 y −4 )=(−1 )3−2 (−1 )2 +3 (−1 ) −4 =−10
lim 4 x −5 4 ( 3 ) −5 4 x −5 x → 3 7 1 = = = = lim 1$. x→ 3 5 x −1 lim 5 x −1 5 ( 3 )−1 14 2 x →3
lim 3 x + 4 3 ( 2 ) + 4 10 2 3 x + 4 x →2 = = = = lim 1%. x→ 2 8 x −1 lim 8 x −1 8 ( 2 ) −1 15 3 x→ 2 2
lim t − 5
( 2 )2−5 −1 = = = 3 3 3 2 t + 6 lim 2 t + 6 2 ( 2 ) + 6 22 2
1&.
lim t→2
t − 5
t→2
t →2
0.
lim x →− 1
1. lim r →1
. lim
x→ 2
!. xlim →4
".
lim 2 x + 1
2 x + 1 2
x −3 x + 4
√
8 r +1 = r+ 3
√
x →− 1
=
lim x
2
x→ − 1
−3 x + 4 (−1 )2−3 (−1 )+ 4
lim 8 r + 1 r→ 1
=
lim r + 3 r→1
√ √
2 ( −1 ) + 1
=
2
lim x
√ ( )+ √ 8 ( 1) +1 1
+ 3 x +4
3
=
=
−1 8
9 3 = 4 2
√
√
x + 3 x + 4
√
( 4 )2−3 ( 4 ) + 4 3 8 2 = = = = 2 2 2 27 3 2 x − x −1 lim 2 x − x −1 2 ( 4 ) −( 4 ) − 1
3
lim x → − 3
2
3
x + 1
=
2
x −3 x + 4
√ 3
√
x → 2
3
lim x
3
+1
( 2)2 +3 ( 2 ) +4 = = ( 2)3 + 1
x → 2
lim x
2
−3 x + 4
√
√
√
3
x →4
x → 4
lim 5 + 2 x 5 + 2 (−3) 3 −1 −1 5 + 2 x 3 x →− 3 = =3 = = 5− x lim 5 − x 5 −(−3 ) 8 2 x →− 3
√
14 1 = √ 14 9 3
√
En los ejercicios 5 a !0, (a)a lo si)uiente* +a -tilice una calculadora con cuatro cifras ' taular los /alores de f+ para los /alores especificados de . 2 qu3 /alor parece que se aproima f+ conforme tiende a c4 + 2po'e la respuesta del inciso +a traando la )ráfica de f en un rectán)ulo de inspección adecuado. +c Confirme analíticamente la respuesta del inciso +a calculando el lim f ( x ) x→ c
' cuando sea apropiado, indique los teoremas de límites que
se aplicaron. x −2 f ( x )= 2 ; x e s 1,1.5, 1.9,1.99, y x es 3,2.5, 2.1,2.01, 2.001 ; c =2 5. x −4 +a El /alor de se aproima a F
0.!!!! 0.%5$ 0.5#" 0.50# 0.501 0.000 0. 0."!& 0."&" 0."&& +
6 1 1.5 1.& 1.&& 1.&&& ! .5 .1 .01 .001
+c
lim x→ 2
x −2 x
2
−4
=lim x →2
x −2 1 1 = lim = ( x −2 ) ( x + 2 ) x → 2 ( x +2) 4
#. f ( x ) =
2
+ 3 x −2 ; x es−3,− 2.5,−2.1,− 2.01, −2.001 y x es −1, −1.5,−1.9,− 1.99, −1.999 ; c =−2 x −6 x −16 2 x 2
+a 7 6 0.#!#" 8! 0.5$1" 8,5 0.51"& 8.1 0.5015 8.01 0.500 8.001 0.!!!! 81 0."11 81.5 0."%"% 81.& 0."&%5 81.&& 0."&&% 81.&&&
+
( x + 2 )( 2 x −1) + 3 x −2 2 x −1 − 5 1 = = = = lim lim +c x →− 2 x 2−6 x −16 x →−2 ( x ∓2 )( x −8 ) x→ −2 x − 8 −10 2 2 x
lim
2
$. 2
x + 5 x + 6 f ( x ) = 2 ; x es −4,− 3.5,−3.1, −3.01, − 3.001, −3.0001 y x es −2,−2.5, − 2.9,2.99, 2.999,2.99 x − x − 12
+a 7 0.500 0.000 0.15"& 0.1""1 0.1"!0 0.1"& 0.0000 0.0$#& 0.1!0" 0.1"1# 0.1"$ 0.1"%
+
6 8" 8!.5 8!.1 8!.01 8!.001 8!0.001 8 8.5 8.& 8.&& 8.&&& 8&.&&&
+c
%.
2 ( x + 2)( x + 3 ) + − x + 5 x + 6 = lim = lim x 2 = 1 = 1 lim 2 −7 7 x → − 3 x − x − 12 x→ − 3 ( x − 4 )( x + 3 ) x →−3 x − 4
f ( x )=
2 x −3 4 x
2
−9
;
x es 1,1.4, 1.49,1.499, 1.4999 y x es 2, 1.6,1.51, 1.501,1.5001 ; c =
+a 7 0. 0.1$" 0.1#$ 0.1##$ 0.1##$ 0.1"& 0.1#1! 0.1##1 0.1### 0.1##$ +
6 1 1." 1."& 1."&& 1".&&& 1.# 1.51 1.501 15.001
3 2
+c
2 x −3
lim x → 1.5
4 x
2
−9
= lim x → 1.5
2 x −3
( 2 x + 3 )( 2 x − 3)
= lim x→ 1.5
1 2 x + 3
=
1 6
3− √ x &. f ( x )= 9− x ; x e s 8, 8.5, 8.9,8.99, 8.999 y x es 10,9.5, 9.1, 9.01,9.001 ; c =9
+a 7 6 0.1$1# % 0.1#&0 %.5 0.1#$1 %.& 0.1##$ %.&& 0.1##$ %.&&& 0.1#! 10 0.1#"" &.5 0.1## &.1 0.1### &.01 0.1##$ &.001 +
+c
lim x→ 9
( 3−√ x )( 3 + √ x ) 3− √ x 9− x 1 1 =lim =lim =lim = 9− x x→ 9 ( 9− x )( 3 + √ x ) x→ 9 ( 9− x )( 3 + √ x ) x→ 9 ( 3 + √ x ) 6
!0. f ( x )=
2−√ 4 − x
x
;
x es −1, −0.5,− 0.1, −0.01, −0.001 y xes 1, 0.5, 0.1, 0.01,0.001 ; c =0
+a 7 0.!#1 0."# 0."%5 0."&% 0.500 0.#$& 0.5%! 0.51# 0.50 0.500
6 1 0.5 0.1 0.01 0.001 1 0.5 0.1 0.01 0.001
+
+c lim x→ 0
2− √ 4− x
x
4 −( 4− x ) − − + − 1 = lim 2 √ 4 x ∙ 2 √ 4 x = lim =lim =1 x x →0 2 + √ 4 − x x →0 x (2+ √ 4 − x ) x→ 0 2 + √ 4 − x 4
En los ejercicios !1 a "#, determine el límite ', cuando sea apropiado, indique los teoremas de límites que se aplicaron.
( x −7 )( x + 7 ) x −49 lim lim = =lim x + 7 =14 !1. x→ 7 x −7 x → 7 x −7 x→ 7 2
( x + 5 )( x −5 ) z −25 = = lim x −5 =−10 lim lim !. z → −5 z + 5 z →− 5 z + 5 z → −5 2
(2 x + 3)( 2 x −3 ) 4 x −9 lim lim = = lim 2 x −3=−6 !!. x →−3/ 2 2 x +3 x→ −3 / 2 2 x + 3 x→ −3/ 2 2
!".
!5.
lim x →
1 3
lim
3 x − 1 9 x
2
−1
= lim x→
1 3
3 x −1
(3 x −1)( 3 x + 1 )
= lim x →
1 3
1 3 x + 1
=
1 2
( 3 s + 4 )( s − 4 ) −8 s −16 3 s + 4 16 = = lim = lim 2 7 s → 4 ( 2 s −1)( s − 4 ) s → 4 2 s−1 2 s −9 s + 4
3s
s →4
2
( x −4 )( 3 x −5 ) −17 x + 20 3 x −5 7 = = = =1 lim lim 2 !#. x → 4 4 x − 25 x + 36 x → 4 ( x − 4 )( 4 x −9 ) x → 4 4 x − 9 7 lim
3 x
2
2
( y + 2)( y −2 y + 4 ) y +8 2 = = −2 y + 4 =12 lim lim lim y !$. y →−2 y + 2 y →−2 y +2 y →−2 3
2
3 ( s −1 )( s + s + 1 ) s −1 2 = = + s + 1= 3 s lim lim lim !%. s →1 s − 1 s→ 1 s−1 s →1
!&.
"0.
"1.
lim
√ √
y →− 3
lim 3 t→ 2
2
y −9 2 y
2
+ 7 y + 3
= lim
3
8 t −27 2
4 t −9
=lim t→
3 2
y→ − 3
√
√
( y −3 )( y + 3) = lim ( 2 y + 1 )( y + 3 ) y →−3
( 2 t −3 )( 4 t 2 + 6 t + 9 ) =lim ( 2 t −3 )( 2 t + 3) 3 t→ 2
√
√
√
−6 y −3 = −5 2 y + 1 2
√
4 t + 6 t + 9 27 = 2 t + 3 4
x − 1 1 1 √ x −1 =lim √ x −1 ∙ √ x + 1 = lim =lim = x→ 1 x −1 x→ 1 x − 1 √ x + 1 x → 1 ( x −1 ) ( √ x + 1 ) x→ 1 √ x + 1 2 lim
". x + 1 1 1 √ x + 5−2 = lim √ x +5 −2 ∙ √ x + 5 + 2 = lim = lim = x + 1 x + 1 x →− 1 x→ − 1 √ x + 5 + 2 x →−1 ( x +1 ) ( √ x + 5 + 2 ) x→ −1 √ x + 5 + 2 4 lim
"!. 1 1 1 √ h + 2− √ 2 = lim √ h + 2 −√ 2 ∙ √ h +2 + √ 2 =lim h +2−2 =lim = = h h h→ 0 h →0 √ h +2 + √ 2 h → 0 h ( √ h + 2 + √ 2 ) h→ 0 √ h + 2 + √ 2 √ 2 + √ 2 2 √ 2 lim
"". 3 3 3 3 3 3 3 x −1 x −√ 1 ( √ x ) + ( √ x ) ( √ 1 ) +( √ 1 ) x −1 √ √ ∙ 3 2 3 lim =lim = lim = lim 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 x→ 1 x − 1 x→ 1 x −1 x → ( √ x ) + ( √ x ) ( √ 1 ) +( √ 1 ) ( x −1 )(( √ x ) + ( √ x ) ( √ 1 ) +( √ 1 ) ) x →1 ( √ x ) + ( 2
2
( x + 1)( 2 x −3 ) − x −3 −5 2 x − 3 = = = =−1 lim lim "5. x →− 1 x 3 + 2 x 2 + 6 x + 5 x →−1 ( x + 1 )( x 2+ x + 5 ) x →− 1 x 2 + x + 5 5 2 x
lim
2
2
3 2 2 ( x +2)( x −3 x + 5 ) x − x − x + 10 x −3 x + 5 = lim = lim =−15 2 "#. xlim ( x + 2 )( x + 1) x + 1 →− 2 x→ − 2 x →−2 x + 3 x + 2
f ( x )= x + 5 x −3 , demuestre analíticamente que 2
"$.Si
lim f ( x ) =f ( 2) x→ 2
.
2po'e su respuesta )ráficamente. Solución* lim f ( x ) =lim x x→ 2
2
+ 5 x −3=( 2 )2 + 5 ( 2 )−3 =11=f ( 2)
x→ 2
F ( x ) =2 x + 7 x −1 , 2
"%. Si
lim F ( x ) = F (−1 )
demuestre
analíticamente
que
. 2po'e su respuesta )ráficamente.
x → − 1
Solución* lim F ( x ) = lim ( 2 x
3
x → − 1
x → − 1
+7 x −1 )=2 (−1 )3+ 7 (−1 )−1 =10= F (−1)
2 x − 1 ( ) "&.Si g x = x −1 , 9or qu3 no eiste ) +14 :emuestre analíticamente
que
lim g ( x ) x→ 1
eiste ' calcúlelo. 2po'e su respuesta )ráficamente.
Solución* 2 x −1 ( ) g x = x − 1
;o
lim g ( x )= lim x + 1 =2 x→ 1
x →1
eiste
porque
0<0
no
está
definido
50.Si
G ( x )=
que
x −1 2 x −1 , 9or qu3 no eiste = +14 :emuestre analíticamente
lim G ( x )
eiste ' calcúlelo. 2po'e su respuesta )ráficamente.
x→ 1
Solución* G ( x ) =
x −1
;o
2
x − 1
lim G ( x )= lim x→ 1
x →1
h ( x )=
51. Si
1
x + 1
=
√ x +9 −3 , x
eiste
0<0
no
está
definido
1 2
9or
qu3
lim h ( x )
analíticamente que
porque
x→ 0
no
eiste
(+04
:emuestre
eiste ' calcúlelo. 2po'e su respuesta
)ráficamente. Solución* h ( x )=
√ x + 9 −3
lim h ( x )= x→ 0
5. Si
(+0
x
;o
eiste
porque
0<0
no
está
definido
( √ x + 9 −3 )( √ x + 9 + 3) + − 1 = lim x 9 9 =lim =1 ( x )( √ x +9 +3 ) x → 0 x ( √ x + 9 + 3 ) x→ 0 √ x + 9 + 3 6
H ( x ) =
x
√ x + 1−1
analíticamente que
,
9or
lim H ( x ) x→ 0
qu3
no
eiste
>
+04
:emuestre
eiste ' calcúlelo. 2po'e su respuesta
)ráficamente. Solución* H ( x )=
x
>+0 ;o eiste porque 0<0 no está definido
√ x + 1−1
H ( x )=¿
√ x + 1+ 1 = lim ( x ) ( √ x + 1 + 1 ) = lim ( √ x + 1 + 1 ) =2 √ x + 1 −1 √ x + 1+ 1 x → 0 ( x +1 ) −1 x → 0 x
∙
lim x→ 0
¿
5!.Si
{
f ( x )= 2 x −1 s i x ≠ 2 1six≠2
Encuentre el
lim f ( x ) x→ 2
lim f ( x ) ≠ f ( 2)
' demuestre que
x→ 2
. :iuje la
)ráfica de f. Solución*
{
f ( x )= 2 x −1 s i x ≠ 2 lim f ( x ) =lim ( 2 x −1 )=3 ≠ 1= f ( 2 ) 1 s i x ≠ 2 x→ 2 x→ 2
5".Si
{
2
f ( x )= x −9 si x ≠ −3 4 si x =−3
Encuentre el
lim f ( x )
x →− 3
' demuestre que
lim f ( x ) ≠ f (−3)
x → − 3
. :iuje la
)ráfica de f. Solución*
{
2
2 2 f ( x )= x −9 si x ≠ −3 lim f ( x )= lim ( x −9 ) =(−3 ) −9 ≠ 4 = f (−3 ) x →− 3 4 si x =−3 x →−3
En los ejercicios 55 a 5%, responda los incisos +a8+c a partir de la )ráfica de f diujada en la fi)ura adjunta. 55.El dominio de
f es (−∞ , + ∞ ) .
+a :efina f+ a troos. + Cuáles son los /alores de +c Cuáles son los /alores de
f ( −3 ) , f ( 0 ) y f ( 3 )
4
lim f ( x ) , lim f ( x ) y lim f ( x )
x →− 3
x →0
x →3
4
Solución*
{
+a
f ( x )= x + 3 s i x ≠ 3 2 si x =3
+
f ( −3 )= 0, f ( 0 )=3, f ( 3 )= 2
+c
lim f ( x )=0 , lim f ( x )=3 , lim f ( x )=6
x → − 3
5#.El dominio de
x→ 0
x → 3
f es (−∞ , + ∞ ) .
+a :efina f+ a troos. + Cuáles son los /alores de +c Cuáles son los /alores de
f ( −2 ) , f ( 0 ) y f ( 2 )
4
lim f ( x ) , lim f ( x ) y lim f ( x )
x → − 2
x → 0
x → 2
4
Solución*
{
+a
f ( x )= ¿ x ∨si x ≠ 0 3 si x =0
+
f ( −2 )= 2 , f ( 0 ) =3, f ( 2 )=2
+c
lim f ( x )= 2 , lim f ( x )= 0 , 2
x →− 2
x → 0
5$.El dominio de
f es (−5,5 ) .
+a :efina f+ a troos. + Cuáles son los /alores de +c Cuáles son los /alores de
f ( −4 ) , f ( −3 ) , f ( 3 ) y f ( 4 )
4
lim f ( x ) lim f ( x ) , lim f ( x ) y lim f ( x )
x → − 4
x → − 3
x → 3
x→ 4
4
Solución* 5 si x =− 4
+a
{
6 si x =3 −5, −4
√ 25 − x 2 si x ∈ [ ¿ ∪ (−4,3 )∪ (3,5 )]
+
f ( −4 )=5 , f ( −3 ) = 4 , f ( 3 ) =6, f ( 4 ) =3 f ( x )=¿ lim f ( x )= 4 , lim f ( x ) = 4 y lim f ( x )=3 x→ − 3
+c
x→ 3
lim x→ −4
5%.El dominio de
x→ 4
¿
f es (−∞ , 2 ) .
+a :efina f+ a troos. + Cuáles son los /alores de
f ( −1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) y f ( √ 3 ) 4
+c Cuáles son los /alores de
x → − 1
lim f ( x ) lim f ( x ) , lim f ( x ) y lim f ( x ) x→ − 0
x→ 1
x → √ 3
4
Solución*
√ 3 si x =−1
1 si x =1 x + 2 si x ∈(− ∞ , −1) ∪(−1,0 ) 0.1
¿ ¿
+a
1.2
√ 4 − x si x ∈ [ ∪ ¿¿¿ ¿ f ( x )=¿ 2
+
f ( −1 )=√ 3 , f ( 0 )= 2 , f ( 1 ) =1 y f ( √ 3 ) =1 f ( x ) =¿ √ 3 y lim f ( x )=1
+c
x → √ 3
lim f ( x )=1 lim f ( x )=2 , lim ¿
x → − 1
x →− 0
x → 1
En los ejercicios 5& a #, diuje la )ráfica de al)una función f que satisfa)a las condiciones dadas. En cada ejercicio el dominio de f es
5&.
f ( 2 )=3 ; lim f ( x )= 1 ; lim f ( x ) =f ( a ) sia≠ 2 ; x → 2
x→ a
conjunto de todos los números reales.
(−∞ , + ∞ )
el contradominio de f es el
#0.
f ( −3 )= 4 ; f ( 3 )=5 ; lim f ( x )=−5 ; lim f ( x )= 4 ; lim f ( x ) =f ( a ) sia≠± 3: x → −3
x → 3
x→ a
el
contradominio de f es el conjunto de todos los números reales
−6 f ( x ) ≠ f (¿) ; lim f ( x ) ≠ f ( 6 ) ; lim f ( x ) = f ( a ) s i a ≠ ± 6 : #1.
x → 6
x → a
lim x→ − 6
¿
el contradominio de f
es el conjunto de todos los números reales no ne)ati/os.
#.
f ( −2 ) ≠ f ( 2 ) ; lim f ( x ) ≠ f (−2 ) ; lim f ( x ) ≠ f ( 2 ) ; lim f ( x ) = f ( a ) sia≠± 2 ; x → −2
x → 2
contradominio de f es el inter/alo cerrado
x →a
[ −3, 3 ] .
.
el
