Descripción: Ejercicios de matemática del libro del Lic. Raul Aguilera Liborio 2 Año de Bachillerato
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EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo 1: Cálculo de elementos y deflexiones desde PC. Datos: Curva No 1 Derecha ∆
= 13º31’02”
R = 150.00 C = 10.00 Abscisa PI = K0+136.24
Obtener: Demás elementos Deflexiones desde el PC Cálculos:
a.
Elementos
T = R Tan ( ∆ /2)
= 150 x Tan (13º31’02”/ 2) (13º31’02”/ 2)
= 17.78
G = 2 Sen-1 C /( 2R)
= 2 x Sen-1 10/ 2 x150
= 3º49’14”
E = R / Cos∆ /2 – R
= 150 x Cos (13º31’02”/ 2) (13º31’02”/ 2) – 150 = 1.05
L = C ∆ / G
= 10 x 13º31’02”/ 3º49’14” 13º31’02”/ 3º49’14”
Cl = 2 R sen( sen( ∆ /2)
= 2 x 150 x Sen (13º31’02”/ 2) 2) = 35.31 F
= 35.38
= R (1 – Cos ∆ /2) = 150 ( 1 - Cos (13º31’02”/ 2)) = 1.04 b.
Abscisado
Abscisa PC = Abscisa PI – Tangente PC = 136.24 – 17.78 = 118.46 Abscisa PT = Abscisa PC + Longitud PT = 118.46 + 35.38 =153.84
Deflexiones La primera distancia C1 es: C1 = 120 – 118.46 = 1.54 por lo tanto el valor de G1 esta dado por: c.
G1=C1 G / C = 1.54 x 3º49’14”/10= 3º49’14”/10 = 0º35’18” y G1/ 2 = 0º17’39” equivalente a la primera deflexión. Las siguientes deflexiones se calculan agregando G/2 por cada estación redonda. El valor de las demás deflexiones, calculadas desde el PC para un valor de G/2 igual a 1º 54’37” se presenta en la siguiente tabla:
2 – DEFLEXIONES EJEMPLO 5.1 DISTANCIA DEFLEXION ELEMENTOS 0.00 0º00’00” Curva No 1 Derecha 1.54 0º17’39” Abscisa PI = K0+136.24 11.54 2º12’16” ∆ = 13º31’02” 21.54 4º06’53” R = 150.00 31.54 6º01’30” C = 10.00 35.38 6º45’31” T = 17.78 L = 35.38 E = 1.05 TABLA
PC
PT
ABSCISA K0+118.46 120 130 140 150 153.84
G = 3º49’14” CL = 35.31 F = 1.04
El valor de la última distancia, C2 es de 3.84 y le corresponde un valor de G2 calculado como sigue: G2 = C2 G / C = 3.84 x 3º49’14” / 10 = 1º28’02” y G2 / 2 = 0º44’01” Si a la deflexión en la abscisa 150, 6º01’30”, le sumamos G2/2, 0º44’011” obtenemos 6º45’31” que es equivalente a ∆ /2. Ocasionalmente la suma anterior no da exactamente el valor de ∆ /2 pero si un valor muy aproximado con una diferencia menor de 10”.
Ejemplo 2: Cálculo de elementos, deflexiones y distancias desde PT y PC. Datos: Curva
No 2 Izquierda ∆ = 42º25’10” R = 100.00 C = 10.00 Abscisa PI = K0+752.40
Obtener: Demás elementos Deflexiones desde el PT Deflexiones y distancias rectas desde el PC Cálculos:
a. Elementos T = R Tan ( ∆ /2)
= 100 x Tan (42º25’10”/ 2)
= 38.81
G = 2 Sen- 1 C /( 2R)
= 2 x Sen- 1 10/ 2 x100
= 5º43’55”
E = R / Cos∆ /2 – R
= 100 / Cos (42º25’10”/2)–100 = 7.27
L = C ∆ / G
= 10 x 42º25’10”/5º43’55”
= 74.01
Cl = 2 R sen(∆ /2)
= 2 x 100 x Sen (42º25’10”/ 2)
= 72.36
F = R (1 – Cos ∆ /2)
= 100 ( 1 - Cos (42º25’10”/2))
= 6.77
b.
Abscisado
Abscisa PC = Abscisa PI – Tangente PC = 752.40 – 38.81 = 713.59 Abscisa PT = Abscisa PC + Longitud PT = 713.59 + 74.01 = 787.60
Deflexiones Se determinará las deflexiones inicialmente desde el PT por lo que la primera distancia que llamaremos C1 es 7.60 que corresponde a la abscisa del PT menos la abscisa de la última estación redonda en la curva, o sea la 780.0. c.
El valor de G1 es: G1=C1 x G / C = 7.60 x 5º43’55” /10 = 4º21’23” y G1/ 2 = 2º10’41” equivalente a la primera deflexión. El valor de G/2 es 2º51’58” para sumar cada estación y el valor de ∆ /2 es 21º12’35” que corresponde a la última deflexión.
3 – DEFLEXIONES DESDE PT EJEMPLO 5.2 DISTANCIA DEFLEXION ELEMENTOS 74.01 21º12’43” Curva No 2 Izquierda 67.60 19º22’29” Abscisa PI = K0+136.24 57.60 16º30’31” ∆ = 42º25’10” 47.60 13º38’33” R = 100.00 37.60 10º46’35” C = 10.00 27.60 7º54’37” T = 38.81 17.60 5º02’39” L = 74.01 7.60 2º10’41” E = 7.27 0.00 0º00’00” G = 5º43’55” CL = 72.36 F = 6.77
La última cuerda denotada como C2 es 6.41 igual a la diferencia entre el PC y la abscisa 720 que es la primera estación en la curva. G2=C2 G / C = 6.41 x 5º43’55” /10 = 3º40’27”
G2/ 2 = 1º50’14” equivalente a la primera deflexión que al sumarle a 19º22’29” se obtiene 21º12’43”. La diferencia de 8” (21º12’43” - 21º12’35”) radica en que al tomar el valor de G/2 se aproxima al segundo y al sumarlo varias veces se acumula un error de esta magnitud. d) Deflexiones y distancias rectas desde el PC Ahora, como se requiere hallar las deflexiones desde el PC, basta con tomar las obtenidas desde el PT y restarlas de ∆ /2. Luego con las deflexiones desde el PC se pueden hallar las distancias en línea recta desde este punto para cada una de las estaciones de la curva. Para hallar las deflexiones se emplea la expresión: dppc
∆ / 2 -dppt
=
Y las distancias en línea recta con: Dp= 2R.Sen δ p
4 – DEFLEXIONES DESDE PC EJEMPLO 5.2 DI STANCIA DEFLEXION DISTANCIA RECTA 0.00 0.00 0º00’00” 6.41 6.40 1º50’06” 16.41 16.39 4º42’04” 26.41 26.34 7º34’02” 36.41 36.22 10º26’00” 46.41 46.01 13º17’58” 56.41 55.68 16º09’56” 66.41 65.21 19º01’54” 74.01 72.36 21º12’35”
Ejemplo 3: Cálculo de coordenadas y deflexión de una abscisa específica. Datos: Para la curva anterior se tiene: = 68º36’20” Acimut PC– PI Coordenada Norte del PI = 2556.32 Coordenada Este del PI = 7658.61 Obtener: Deflexión para la abscisa 748.21 desde el PT Coordenadas de la abscisa 748.21 Cálculos:
a) Deflexión desde el PT
Llamaremos la abscisa 748.21 el punto P . La deflexión para una abscisa cualquiera se puede hallar de dos maneras. Una de ellas a partir de la deflexión de la estación anterior o posterior y otra de forma proporcional. Obtendremos el valor por ambos métodos: - La distancia desde la estación anterior es de 8.21 para la cual se puede obtener
el ángulo central subtendido por esta cuerda y que al dividirlo por dos arrojaría la diferencia de deflexiones entre las abscisas 740 y 748.21 Llamamos el ángulo central G3 y C3 la cuerda de longitud 8.21: G3 = C3 x G / C = 8.21 x 5º43’55” /10 = 4º42’21” y G3/ 2 = 2º21’11” equivalente a la deflexión entre las abscisas 740 y 748.21. La deflexión de la abscisa 478.21 desde el PT deflexión de la abscisa 740 el valor de G3 / 2: d748.21pt =
13º38’33” - 2º21’11” = 11º17’22”
se obtiene restando de la
Nótese que la deflexión de la abscisa 740 es la obtenida desde el PT y que se debe restar el valor de G3 / 2 porque los valores disminuyen al aumentar el valor de la abscisa (Tabla 5.3). -
Se puede plantear la siguiente proporción para la curva circular Por lo tanto: dL1
= L1(∆ /2) / L
Donde:
L ∆ /2 L1 dL1
= Longitud total de la curva = Deflexión para una longitud de L = Distancia a un punto sobre la curva desde PC o PT = Deflexión para una longitud L1 desde PC o PT
Como la deflexión que se solicita es desde el PT se obtiene entonces la distancia desde este punto: L1 L
= 787.60 – 748.21 = 39.39 =74.01
∆ /2
= 21º12’43”
Se tiene entonces que: d748.21pt =
39.39 x 21º12’43” / 74.01 = 11º17’22”
Se ha tomado la deflexión final en la Tabla 5.3 y no el valor exacto de ∆ /2 para poder obtener el valor anterior. b) Coordenadas de la abscisa 748.21 Inicia lmente se debe hallar la s coordenadas del PC o del PT y la dista ncia de la
abscisa en cuestión desde uno de estos dos puntos. Se tomará como referencia el PT. Para calcular las coordenadas del PT se debe calcular el acimut PI – PT. Acimut PI – PT = Acimut (PC – PI) - ∆ Acimut PI – PT = 68º36’20” - 42º25’10” = 26º11’10” Se resta el valor de
∆
ya que la curva es izquierda.
Las coordenadas del PT se calculan como sigue: NPT = NPI + T Cos(PI – PT) NPT = 2556.32 + 38.81 Cos 26º11’10” = 2591.15 E P T = E P I + T Sen( P I – P T ) E PT = 7658.61 + 38.81 Sen 26º11’10” = 7675.74
Ahora, para calcular el valor del acimut entre el PT y el punto P se tiene la Figura 5.8. Se debe obtener el contracimut PI – PT cuyo valor es 206º11’10” (26º11’10” + 180). Al azimut PT – PI se le debe sumar la deflexión calculada, desde el PT, para el punto P y así obtener el acimut de la línea PT – P es: Acimut PT – P = 206º11’10” + 11º17’22” = 217º28’32”
FIGUR A 5.8 – EJEMPLO 5.3
Se requiere luego calcular la distancia entre PT y P: Dp = 2R.Sen ( δ p) Dp = 2 x 100 x Sen 11º17’22” = 39.15
Por último, las coordenadas del punto P son: N P = N PT + Dp Cos(PT – P) N P = 2591.15 + 39.15 Cos 217º28’32” = 2560.08 E P = E PT + Dp Sen (PT – P) E P = 7675.74 + 39.15 Sen 217º28’32” = 7651.92
Ejemplo 4:Cálculo de elementos y deflexiones desde PC con longitud real de curva. Datos: Curva No 3 Derecha = 38º26’32” T = 40.00 Abscisa PI = K0+821.54 ∆
Obtener:
Demás elementos Deflexiones desde el PC Cálculos:
Elementos
a.
R = T / Tan ( ∆ /2)
= 40 x Tan (38º26’32”/ 2)
= 114.73
E = R / Cos∆ /2 – R
= 114.73 / Cos(38º26’32”/ 2) – 100= 5.90
L = R ∆ π / 180
= 114.73 x 38º26’32” π / 180 = 76.98 Cl
= 2 R sen( ∆ /2)
= 2 x 114.73 x Sen (38º26’32”/ 2) = 75.54
F = R (1 – Cos ∆ /2) = 100 ( 1 - Cos (38º26’32”/ 2)) = 5.57
Como el radio es de 114.73 metros se ubicarán estaciones cada 10 metros a lo largo de la curva equivalentes a la longitud del arco. Por geometría se tiene que: a = G x R,
donde a es la longitud del arco, entonces: G = a/R, expresado en radianes, o también: G
a =
π
G
180
×
×
, expresado en grados.
R
10 ×180 =
π
= 4º59’38”
114.73
×
G también se puede calcular con la expresión:
G a
=
G
=
∆ ×
, expresado en grados.
L
38º26'32" ×10 = 4º59’38” 76.98
G/2 = 2º29’49”
La longitud de la cuerda a medir se puede calcular con cualquiera de las siguientes expresiones: C
=
2 × R × Sen(G / 2) = 2 x 114.73 x Sen (4º59’38”/ 2) = 9.996
C
=
2 × R × Sen
90 × a
90 ×10
=2
π
114.73 xSen
×
9.996
114.73
×
π
b.
=
×
R
Abscisado
Abscisa PC = Abscisa PI – Tangente PC = 821.54 – 40.00 = 781.54 Abscisa PT = Abscisa PC + Longitud PT = 781.54 + 76.98 = 858.52 c.
Deflexiones
La primera estación redonda en la curva es la 790.0 por lo que se requiere medir un arco de 8.46 (790.00 – 781.54). El valor de la deflexión a medir es: G1 =
G1
2
=
-1
2Sen (
8.46 C1 -1 ) = 4º13'33 ) = 2Sen 2 x114.73 ( 2R
2º06'47"
Análogamente se puede calcular el valor de la deflexión entre la última estación redonda de la curva y el PT. La longitud del arco es 8.52 y la deflexión: G2
=
-1
2Sen (
C2
) = 2Sen
-1
8.52 2 x114.73
( 2R
) = 4º15'21"
G2
2
=
2º07'41"
Las longitudes de cuerda, que es seguro que tengan el mismo valor del arco, se calculan por la expresión: C1 = 2 x R Sen (G1/2) C2 = 2 x R Sen (G2/2)
= 2 x 114.73 x Sen (4º13’29”/ 2) = 8.46 = 2 x 114.73 x Sen (4º17’04”/ 2) = 8.52
A partir de la estación 790 y hasta la 850 se sumará un valor de G/2 para calcular cada deflexión y se medirá una cuerda de 9.996. Para la abscisa del PT se sumará 2º07’38” y se debe obtener el valor de ∆ /2 equivalente a 19º13’16”. La tabla de deflexiones es la siguiente: 5 – DEFLEXIONES EJEMPLO 5 ELEMENTOS DISTANCIA DEFLEXION 0.00 0º00’00” Curva No 3 Derecha 8.46 2º06’47” Abscisa PI = K0+821.54 18.46 4º36’39” ∆ = 38º26’32” 28.46 7º06’32” R = 114.73 38.46 9º36’24” C = 10.00 48.46 12º06’16” T = 40.00 58.46 14º36’08” L = 76.98 68.46 17º06’00” E = 5.90 76.98 19º13’16” G =4º59’38” CL = 75.54 F = 5.57 TABLA
