EJERCICIOS RESUELTOS DE SENSORES E INSTRUMENTACIÓN INDUSTRIAL Los ejercicios y problemas que a continuación se presentan hacen parte de los temas de evaluación del examen final de instrumentación industrial. Estos se han obtenido y adaptado de diferentes referencias bibliográficas especializada con el fin de desarrollar cálculos relacionados con los errores y comportamiento de los dispositivos que se usan en sistemas de instrumentación. Por tanto, debe realizar un estudio analítico de cada uno de ellos entendiendo el procedimiento e interpretando con atención los resultados obtenidos. Para cada tema tratado se plantea resolver preguntas relacionadas con la contextualización de los mismos. Fecha de entrega: jueves 24 de mayo de 2018, hasta las 9:30 AM. Enviar al correo:
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[email protected] Puede ser resuelto en equipo de 2 estudiantes (solamente) 1. TEORÍA DE SENSORES 1.1. SENSORES DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN Un ejemplo para ilustrar el comportamiento en el tiempo y la función de transferencia de un sensor es un termómetro de mercurio. Cuando se desea medir la temperatura usando un termómetro de mercurio, “se debe esperar un cierto tiempo hasta que el termómetro alcance la temperatura del medio que lo rodea”, antes de comenzar a medir la temperatura (colocar el termómetro en el medio que se va a medir) este se encuentra en un estado estacionario, durante el tiempo que demora el termómetro para alcanzar la temperatura del medio, este se encuentra a condiciones no estacionarias y cuando alcanza la temperatura del medio hacia delante se encuentra a condiciones estacionarias.
Considerando: x = temperatura del líquido. y = temperatura del bulbo del termómetro. A = área superficial del bulbo. U = = coeficiente de transferencia de calor. m = masa de mercurio en el bulbo. C p = capacidad calorífica del mercurio.
Al aplicar las respectivas ecuaciones de principios térmicos, físicos, eléctricos o de otra índole, la solución de la ecuación diferencial de primer orden, puede ser obtenida aplicando la transformada de Laplace, por ejemplo. Para este caso particular de estudio, al igual que el de segundo orden, se presentan las soluciones con sus respectivos procedimientos a partir de la solución encontrada con Laplace.
P1. Considere un sensor de primer orden con la función de transferencia de la ecuación 6.136. Asuma una señal de escalón unitaria de prueba para determinar la respuesta en el tiempo con τ =5 segundos. Determine la ecuación de respuesta en el tiempo y calcule:
a. La ecuación de la respuesta en el tiempo del sensor b. Tiempo de retardo del sensor, es decir, el tiempo en que el sensor alcanza el estado estable. c. ¿Si se aumenta U, que sucede con la constante de tiempo? ¿Es más demorada la respuesta del sensor? d. ¿Si se cambia Cp por uno de valor menor que el mercurio, que sucede con la constate de tiempo? ¿Aumenta el retardo o respuesta en estado estable? 1.2. SENSORES DE SEGUNDO ORDEN Según el documento Dynamic System Response que se anexa en la información de estudio, responder las siguientes cuestiones: 1. Que es sensibilidad estática en un sensor con una entrada y una salida 2. Cuáles son las 4 señales más utilizadas en las pruebas realizadas a sistemas de control para analizar la respuesta de un sistema dinámico. 3. ¿Qué es frecuencia natural no amortiguada? (undamped natural frequency) 4. ¿Qué es el coeficiente de amortiguamiento? (damping ratio)
Fig. 4.38 Sistema térmico de bulbo de temperatura con vaina y su análogo eléctrico
calor P2. Considere el sensor de segundo orden con la función de transferencia de la última ecuación. Asuma una señal de escalón unitaria de prueba para determinar la respuesta en el tiempo con T=5 segundos. El coeficiente de amortiguamiento es 0,6 y la frecuencia natural de oscilación es 5 Radianes/segundo. Determine: a. La ecuación de la respuesta en el tiempo del sensor b. Tiempo de retardo del sensor, es decir, el tiempo en que el sensor alcanza el estado estable. c. ¿Si se aumenta U, que sucede con la constante de tiempo? ¿Es más demorada la respuesta del sensor? d. ¿Si se cambia Cp por uno de valor menor que el mercurio, que sucede con la constate de tiempo? ¿Aumenta el retardo o respuesta en estado estable? e. ¿Qué sucede si se aumenta R1? ¿Qué sucede si se aumenta R2? ¿Qué sucede si se aumenta C1? ¿Qué sucede si se aumenta C2?
f. ¿Que es necesario hacer para que el tiempo de retardo sea el menor y se alcance el estado estable en el menor tiempo posible? g. Calcule los parámetros de la repuesta transitoria: 1. Tiempo de retardo, td 2. Tiempo de subida, tr 3. Tiempo pico, tp 4. Sobreelongación, Mp 5. Tiempo de asentamiento, ts Sugerencia: fundamente el cálculo de estos parámetros en la teoría de sistemas de segundo orden presentado en el libro de OGATA, quinta edición, que a continuación se anexa como material de estudio.
1.3. ERRORES EN SENSORES 1.3.1. Un multímetro se utiliza en la función de medición de resistencias. El instrumento tiene una exactitud de ± 0.5% FS y presenta un rango de 0 a 1500 Ω. ¿Cuál es el rango en el que puede encontrarse el valor medido de 397 Ω? FS significa Full Scale: es el conjunto de valores de la magnitud que se mide para el cual, el sistema de instrumentación debe proporcionar una respuesta correcta. También se suele denominar rango dinámico del instrumento. Otra definición importante es: Fondo de escala e salida, FSO (full scale output): Conjunto de respuestas que proporciona el sistema de instrumentación cuando su entrada varía en el rango de medida.
El error de exactitud es ± 0.5% a FS (Full Scale), por tanto: Error = ± 0.5*1500/100 = ±7.5 Ω
El rango de la resistencia medida es=397 ± 7.5 = 404.5 o 389.5 Ω, por tanto el rango es: 389 ≤ Rmedida ≤ 404.5.
P3. Repita todo el procedimiento explicado cuando usted realiza una medición de una resistencia de 1550Ω. Explique sus conclusiones.
¿Cuál es la exactitud del valor medido de la resistencia? La exactitud en la medida es: Exactitud= [(Valor verdadero-Valor medido)/Valor verdadero]*100 = ± 1.9 % de la lectura. P4. Compruebe este último valor calculado. ¿Qué puede concluir en relación con el rango establecido en el enunciado? 1.3.2. Un amplificador cuya ganancia es 100 como lo ilustra la figura XX, está construido usando un amplificador operacional ideal y resistencias de 1KΩ (R1) y 99KΩ (R2) con un
5% de tolerancia.Admitiendo que está correctamente alimentado, indique qué valores de tensión se pueden encontrar cuando en la entrada se introduce una señal continua de 10,0 mV. ¿Qué error de ganancia tendrá el amplificador?
La ganancia de esta configuración viene dada por la siguiente ecuación:
La suma R1 y R2 arroja un valor de 100 KΩ
Como cada resistencia tiene una tolerancia de 5%, significa que es necesario calcular el error para cada una de ellas: 5%*R1 y 5%*R2, por tanto Error total = 5%*R1 + 5%*R2=0,05*1000+0,05*99000=5000 El valor del error de la R1+R2=5000Ω, a partir de lo cual se expresa el numerador de G
como: (100K±5K) Ω
Al dividir la suma R1+R2 por R1, se aplica el criterio del error relativo del cociente, que se establece como la suma de los errores relativos. Por tanto, el error de G teniendo en cuenta la división de (R1+R2)/R1 es: 0,05+0,05=0,1 Al expresar este error en % se obtiene que el error del G es 10%, el doble que la tolerancia de una resistencia. P5. ¿El valor calculado del 10% es recomendable para este tipo de circuitos de instrumentación? Explique su respuesta P6. Repita los cálculos y el análisis anteriormente efectuado cambiando las tolerancias de las resistencias a 0,1%. 1.3.3. Un sensor tiene una función de transferencia de 5mV/°C y una exactitud de ± 1%. Si una temperatura conocida de 60 °C es medida por el sensor, ¿cuál es el rango de salida del sensor en mV? El error= ± 1% x 5 = ± 0.05 mV / o C. El rango de la función de transferencia se encuentra comprendido entre 5.05 y 4.95 mV /o C, es decir, el límite superior será 5.05 mV / o C y el límite inferior será 4.95 mV / o C. Por tanto, el voltaje de salida para una temperatura de 60°C en la entrada será: 60x5.05=303mV y el límite inferior será 60x4.95=297 mV El valor correspondiente a 60°C en voltio se encuentra en el rango de 297 a 303 a 297 mV. El rango de la función de transferencia es 5.05 to 4.95 mV / o C P7. Si la exactitud del sensor se cambia a ± 2%, ¿cuál es el rango de salida del sensor en mV al medir una temperatura conocida de 60 °C? ¿Este incremento porcentual es beneficioso?, ¿por qué? 1.3.4. Un sensor de temperatura tiene una función de transferencia de 44.5 mV / o C. El voltaje medido es de 8.86 Voltios. ¿Cuál es el valor esperado de la temperatura para este voltaje? T = (8.86 / 44.5)x 103 = 199.1 o C
P8. Calcule nuevamente el valor de temperatura si la función de transferencia cambia y ahora es de 68 uV/°C. ¿Qué significa función de transferencia de un sensor? ¿Existe alguna relación conceptual entre función de transferencia y sensibilidad? Explique
Sensores de presión Unidades: Pascal ( Pa) = 1N/m 2 = 1kg/ms2 1 bar = 100 KPa. 1atm = 76 cm Hg = 101.325 KPa. 1 psi = 6.895 KPa.
1.3.5. La lectura de un manómetro de mercurio en el punto superior de una torre es 74.15 cm y a nivel del piso es 76 cm. Calcule la altura de la torre si la densidad del aire entre la cima y el lecho del edificio es 1.258 * 10
-3
g / cm3.
Presión en un punto de un líquido=altura de la columna de líquido ρ del aire =(1.258x10 -3 ) x 10 -3 / 10 6 = 1.258 kg / m 3.
La ecuación para el cálculo de Presión. P = ρ.g.h
ρ es la densidad Kg / m3 g es la aceleración de la gravedad 9.8 m/s2 h es la altura o profundidad del líquido medido.
ρHg = 13600 kg/m3.
Presión en un punto de un líquido=altura de la columna de líquido ∆ p = (0.76 – 0.7415) * 13600 * 9.8 = 24651.68
= 1.258 * 9.8 * H H = 200 m P9. Calcular H nuevamente si la densidad del aire se duplica en la misma zona de medición.
1.3.6. Encuentre la lectura en la galga de la figura siguiente.
Presión en la galga = Presión del agua + P v = Pw + Pv P w = 1000 * 9.8 * 3 = 32.34 KPa P v = Patm – P Hg = 101.325 * 10 3 – 0.2 * 13600 * 9.8
= 101.325 * 10 3 – 26.656 = 74.469 KPa Presión en la galga = 106.809 KPa P10. ¿Qué sucede si la altura de 200mm cambia a 100mm? Explique este cambio. 1.3.6. El puente de Wheatstone de la siguiente figura está balanceado con R 1 = 37.36 Ω , R 2 = R 3 = 25 Ω y R =25 Ω a 0oC. encuentre la temperatura de la RTD conociendo que el coeficiente térmico α = 0.00392 / oC.
La condición del Puente en estado de balance es:
R
R1
R3 R2
Dado que R 2 = R 3 = 25 Ω R3
R R1
R2
37.36
25 25
37.36
Esto significa que la temperatura de la RTD = 37.36 Ω a T oC temperatura es. 37.36 = Ro (1+ αT) = 25 (1 + 0.00392 xT)
T
37.36
25
126.12
o
C
25 x 0.00392
P.11. Calcule nuevamente la temperatura T si α se duplica. ¿Qué significado tiene este cambio en relación con la RTD usada? 1.3.7. Un termistor con una constante térmica de 3650 es localizado en un ambiente cuya temperatura es 212°F dando como resultado en su salida una resistencia de 20 KΩ. Si este mismo termistor es usado para medir una particular temperatura dando como resultado una resistencia de 500 K Ω, determine el valor de la temperatura en el segundo ambiente.
R 1
1 T 1
R o e
1
R
To
Se conoce que: La temperatura a 212 oF es igual a
( 212 – 32 ) x
R 373 = 20 K Ω , β = 3650 y R T = 500 K Ω
R373
1
R e T
373
20
500
3650
e
1
373
5 9
= 100 oC + 273 = 373 oK
T=?
1
T
1
T
T = 280.67 oK – 273 = 7.674 o C x ( 9 / 5 ) + 32 = 45.81 oF
P12. ¿Qué tipo de comportamiento presenta la curva del termistor evaluado? ¿Cuáles son las diferencias fundamentales con la curva de una termocupla, de una RTD, de un LM35? 1.3.8. Una RTD con coeficiente térmico α = 0.004 / oC, presenta una resistencia en sus terminales de 106 Ω a 20 o C. Si se utiliza un puente de medición con R 1 =R 2 =R 3=100 Ω y fuente de voltaje de 10 voltios, calcule la resolución del sensor (voltaje de salida) al medir 1oC de cambio de temperatura.
Valores conocidos: A 20°C, R 20 = 106 Ω y α = 0.004 oC –1 R 1 = R 2 = R 3 = 100 Ω
y U s = 10 v (fuente de voltaje)
Los requerimientos de la resolución en el cambio de temperatura de la RTD es: El cambio de 1 oC significa que: T 2 = 21 oC , T 1 = 20 oC y T o = 0 o C R 21 = R 20 + α (21 – 20 ) x R o R 20 = R o (1 + α x 20 ) →
R o = 98.148 Ω
R 21 = 106 + 0.004 x 98.148 = 106.392 Ω
La resolución significa que debe calcularse la diferencia entre T1 y T2, donde T2 es 21°C El voltaje del Puente entre a y b, V ab es:
V ab
10 xR20
R1
R
20
10 xR3
R2
R
3
106 100 10 100.545 0.5 0.145v 206 200
a T 1 = 21 oC
La resolución es:
ΔV = 0.1548 – 0.1450 = 0.0098 = 9.8 mv
P13. ¿Qué sucede si se cambia R1 por 1000 Ohmios?. Explique su respuesta
