1.- (27A) Un alambre cilíndrico de acero de longitud L con un diámetro de sección transversal d se coloca sobre una polea sin fricción. Un extremo del alambre se conecta a una masa m1 y el otro extremo se conecta a una masa m2 ¿Cuánto se alarga el alambre mientras las masas están en movimiento? R.- Para que el sistema este en movimiento consideramos m1 > m2 La fuerza tensora que actúa es la tensión en la cuerda entonces por dinámica
∑ F = −m a
∑ F
T − m1 g = −m1a
T − m2 g = m2 a
T = m1 g − m1a
T = m2 g + m2 a
T = m1 ( g − a )
T = m2 ( g + a )
1
1
2
= m2 a
T Hallamos la aceleración T
m1 g − m1a
= m2 g + m2 a m2 g + m2 a − m1 g + m1a = 0 a ( m1 + m2 ) + m2 g − m1 g = 0 m g − m2 g a= 1 m1 + m2
m2 m2 g
m1 m1 g
La tensión será igual a: T = m1 ( g − a )
Sea el área
m1 g − m2 g m m + 1 2 m g + m2 g − m1 g + m2 g T = m1 1 m m + 1 2 2m2 g 2m1m2 g T = m1 = m + m m m + 1 2 1 2 T = m1 g −
2
A =
Finalmente el aumento de longitud queda como T ⋅ L ∆ L ⋅ A ε ∆ L = T ⋅ L Y ac ⋅ A
Y ac
= σ =
2 m1m 2 g
∆ L =
⋅ L m1 + m 2 d 2π Y ac ⋅ 4
=
8 m1m2 gL
Y ac d 2π ( m1 + m 2 )
d
π
4
2.- (31) Cuando el agua se congela se expande cerca de 9%. ¿Cuál seria el aumento de presión dentro del monoblock del motor de su automóvil si el agua en el se congelara? (El módulo volumétrico del hielo es 2,0 x 109 [N/m2]) R.- De la relación del modulo volumétrico despejamos hallamos el aumento de presión.
=
B
∆ P ε V
∆ P = B
∆ P ∆V
=
∆V V 0
V 0
∆V
∆V
V 0
V 0
100
= 9%
= 0,09
∆ P = ( 2 ×10 9 ) ⋅ ( 0,09 ) ∆ P = 180 ×10 6 [ Pa ] 3.- (15) Una masa de 0,50 [Kg.] unida a un resorte de 8,0 [N/m] de constante de fuerza vibra en un movimiento armónico simple con una amplitud de 10 [cm.]. Calcule, a) el valor máximo de su velocidad y aceleración, b) la velocidad y aceleración cuando la masa está a 6,0 [cm.] de la posición de equilibrio, y c) el tiempo que tarda la masa en moverse de x = 0 a x = 8,0 cm. R.-
[
K 8 N =
m
] m 0,5 [ Kg ] =
X 3
= −0,1
X 0
=
0
X 2
=
0,06
X 1
=
0,1
a) De la teoría sabemos que la máxima aceleración se da en el punto X1 y X3 F 1 = − K ⋅ X 1 F 1 = −8 ⋅ 0,1 F 1 = −0,8 [ N ]
F 1
=
a1
=
amax
m ⋅ a1 F 1 m =
[ s ]
1,6 m
2
Como no es importante ignoramos el sentido de la aceleración
La velocidad máxima se encuentra en X0 procedemos al calculo haciendo un análisis de energías E M 0 = E M 1 1 2
2
mV 0 = 2
V 0 =
1 2
KX 1 m
2
KX 1
2
V max
=
V max
=
KX 2 m
[ s]
0,4 m
b)
Con la misma lógica que en el inciso “a” hallamos la aceleración pero al tratarse de un punto especifico ahora si tomamos en cuenta el signo de la aceleración
Calculamos la velocidad por análisis de energías
E M 1 1
F 2 = −0,48 [ N ]
2
a2
=−
m
KX 1
KX 1
F 2
=
2
2 = 2
V
[ s ]
0,96 m
E M 2
E P 1 + E C 1
F 2 = − K ⋅ X 2
a2
=
2
V 2
=
V 2
=
2
=
=
1
=
2
E P 2 + E C 2 KX 2
KX 2
KX 1
2
2
+
2
2
mV 2
KX 2
−
1
+
mV 2
2
2
2
m
(
K X 1
2
−
X 2
2
)
m
[ s ]
0,32 m
c) Calculamos el tiempo de una oscilación T = 2π
m K
T =1,57 [s]
Como se trata de un movimiento armónico simple, el tiempo de oscilación se mantiene constante y es tiempo que utiliza para recorrer dos veces la amplitud, entonces u tilizamos una regla de tres para calcular el tiempo que tarda en recorrer 8 [cm] t = 0,63 [s]
4.- (13.45) Después de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un péndulo simple son longitud de 50,0 [cm.] y determina que efectúa 100 oscilaciones completas en 136 [s]. ¿Cuanto vale “g” en ese planeta? R.- Hallamos el periodo T = T =
De la ecuación del periodo para el péndulo simple despejamos la gravedad
t N º oscilaciones 136 100
=1,36 [ s]
L
T = 2π
g
2
2
T = 4π 2
g = 4π
L g
L 2
T
g = 4π 2
0,5 1,36
2
[ ]
g = 10,67 m 2 s
5.- (13.49) Un adorno navideño con forma de esfera hueca de masa M = 0,015 [Kg.] y radio R = 0,050 [m] se cuelga de una rama con un lazo de alambre unido a la superficie de la esfera. Si el adorno se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como péndulo físico. Calcule su periodo. (Puede despreciar la fricción en el pivote. El momento de inercia de la esfera respecto al pivote en la rama es 5 MR 2/3) R.T = 2π
I
5
I = MR2
MgR
3
T = 2π
5 MR2 3
MgR 2
T = 2π
T = 2π
5 MR
3 MgR 5 R
T = 2π
5 ⋅ 0,05 3 ⋅ 9,8
T = 0,58 [ s ]
3 g
6.- El tubo vertical abierto en la figura contiene dos fluidos de densidades ρ1 y ρ2, que no se mezclan. Demuestre que la presión a la profundidad h1 + h2 está dada por la expresión P = P 0 + ρ1gh1 + ρ2gh2. R.-
Como los fluidos no se mezclan podemos considerar dos sistemas separados, entonces primero calculamos la presión a una altura h1
P 0
P 1 = P 0 + ρ 1 gh1
h1
h2
Ahora calculamos la presión en un punto “P” dentro del fluido de densidad ρ2 pero consideramos como presión inicial a P1
P = P 1 + ρ 2 gh2 P = ρ 1 gh1 + ρ 2 gh2
7.- (18) Se vierte mercurio dentro de un tubo en U, como en la figura A. El brazo izquierdo del tubo tiene un área de sección transversal de A1 = 10,0 [cm2] y el área de la sección transversal del brazo derecho es A2 = 5,00 [cm2]. Luego se vierten 100 [g] de agua en el brazo derecho, como se ve en la figura B. a) Determine la longitud de la columna de agua en el brazo derecho del tubo en U. b) Dado que la densidad del mercurio es 13,6 [g/cm3], ¿Qué distancia h, sube el mercurio en el brazo izquierdo?
A1
A1
A2
A2 Agua
h
Mercurio Figura A
Figura B
R.-
a) ρ
=m= V
H =
m A ⋅ H
m H O
A1h1 = A2 h2 h2 =
2
A2 ⋅ ρ H O 2
H =
b)
100 5 ⋅1
= 20 [ cm ]
A1h1 A2
P = P 0 + ρ 1 gh1 + ρ 2 gh2 P = P 0 + g ρ Mg ( h1 + h2 ) = P 0 + g ρ H O H 2
A1 h1 = g ρ H O H A 2 A h1 ρ Mg 1 + 1 = ρ H O H A 2
g ρ Mg h1 +
2
2
h1
=
ρ H O H 2
ρ Mg
h=
A1 + A2 A 2
1 ⋅ 20
10 + 5 13,6 5
= 0,49 [ cm ]
8.- (14.25) Un bloque cúbico de madera de 10,0 [cm.] por lado flota en la interfaz entre aceite y agua con su superficie inferior 1,50 [cm.] bajo la interfaz. La densidad del aceite es de 790 [Kg/m3] a) ¿Qué presión manométrica hay en la superficie de arriba del bloque? b) ¿Y en la cara inferior? c) ¿Qué masa y densidad tiene el bloque? R.-
9.- (17) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 [rad/s]. El resorte está suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 [m/s]. La caja se detiene repentinamente. a) ¿Con qué amplitud oscila la partícula? b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva) R.-
10.- (18A) Un bloque de masa m en reposo sobre una mesa se une a un resorte horizontal con una constante k . El resorte no está extendido inicialmente. Se aplica una fuerza constante F al objeto causando que el resorte se extienda. a) Determine la velocidad del boque después de que se ha movido una distancia d a partir del equilibro si la superficie entre el bloque y la mesa no presenta fricción. b) Conteste el inciso “a” si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la mesa es μ. R.-
