ANÁLISIS VECTORIAL
ANÁLISIS VECTORIAL 1. VECTO VECTOR R . Se representa mediante un sement! de re"ta !rientad!. En #$si"a sir%e para representar a &as manitudes #$si"as %e"t!ria&es. Se representa p!r "ua&'uier &etra de& a&#a(et! "!n una pe'ue)a #&e"*a en &a parte superi!r. superi!r. T!d! T!d! %e"t!r %e"t!r tiene d!s e&ement!s e&ement!s #undamenta&es+ e& m!du&! , &a dire""i-n. E& m-du&! representa e& tama)! ! %a&!r de &a "antidad %e"t!ria&. La dire""i-n representa &a !rienta"i-n de& %e"t!r respe"t! de& sistema "!!rdenad! "artesian! u !tr! sistema "!!rdenad!. 2. VECTORES UNITARIOS UNITARIOS CARTESIANOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO. E& %e"t!r unitari! es a'ue& 'ue tiene "!m! m-du&! ! tama)! &a unidad de medida. L!s %e"t!res "artesian!s s!n+
Z
Y X
VECTOR EN EL ESPACIO
+ tiene dire""i-n de& eje X p!siti%!. + tiene dire""i-n de& eje X neati%!. + tiene dire""i-n de& eje Y p!siti%! + tiene dire""i-n de& eje Y neati%! + tiene dire""i-n de& eje Z p!siti%!. + tiene dire""i-n de& eje Z neati%!. E& m-du&! de "ada %e"t!r unitari! es iua& a &a unidad de medida+
Z k
•
•
•
L!s tres %e"t!res unitari!s s!n mutuamente perpendi"u&ares+ perpendi"u&ares+ En e& espa"i! tridimensi!na& e& %e"t!r tres "!mp!nentes+
j
Y
i
tiene
X
VECTORES UNITARIOS
EJEMPLO 01+ Se tiene un %e"t!r . etermine e& m-du&! de& %e"t!r. Resolución Si ra#i"am!s e& %e"t!r !(tenem!s un para&e&ep$ped!/ ent!n"es e& m-du&! de& %e"t!r es iua& a& tama)! de &a dia!na&.
Respues!" e& m-du&! de& %e"t!r es 01.
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ANÁLISIS VECTORIAL #. VECTOR UNITARIO $IRECCIONAL. Cada %e"t!r tiene su respe"ti%! %e"t!r unitari!. E& %e"t!r unitari! es para&e&! a su respeti%! %e"t!r de !rien.
En enera& se puede !(tener un %e"t!r unitari! en una dire""i-n determinada/ re&a"i!nad! d!s ! m5s %e"t!res.
EJEMPLO 02" etermine e& %e"t!r unitari! de& %e"t!r+ Resolución E& %e"t!r unitari! se de#ine "!m!+ E& %e"t!r unitari! es+
%. COSENOS $IRECTORES. S!n &as "!mp!nentes de& %e"t!r unitari! en e& sistema "!!rdenad! "artesian!. Z En e& sistema "artesian! tridimensi!na& %e"t!r tiene tres "!mp!nentes re"tanu&ares+ a4 esinam!s "!n &!s 5nu&!s 'ue e& %e"t!r *a"e "!n &!s ejes "artesian!s X/ Y , Z/ respe"ti%amente. Tenem!s tres "!mp!nentes+ / / C5&"u&! de& m-du&! de& %e"t!r+
a,
Y
a3
6708
X
6798
CO2PONENTES EL VECTOR
reemp&a4and! 708 en 798 tenem!s+ Ent!n"es e& %e"t!r unitari! de
es+
&. PRO$UCTO ESCALAR . ad! &!s %e"t!res
/ su pr!du"t! es"a&ar ! intern! se representa
p!r / , se de#ine "!m! e& pr!du"t! de sus m-du&!s p!r e& "!sen! de& 5nu&! 'ue #!rman/ est! es+ / d!nde e(em!s en#ati4ar 'ue es un n:mer! rea&/ 7p!siti%!/ neati%! ! nu&!8/ , n! un %e"t!r.
O
PROPIE$A$ES I. Se "ump&e &a pr!piedad "!nmutati%a+
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PROUCTO ESCALAR
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ANÁLISIS VECTORIAL II.
Pr!piedad istri(uti%a+
III.
Ve"t!res para&e&!s+
IV.
Ve"t!res !rt!!na&es+
V.
ad! &!s %e"t!res+
,
VI. VII. VIII. Cuadrad! de& m-du&!+ IX.
Si
, ninun! de &!s %e"t!res es nu&!/ am(!s s!n mutuamente perpendi"u&ares.
'. PRO$UCTO VECTORIAL. ad! &!s %e"t!res
/ su pr!du"t! %e"t!ria& ! e3tern! se
representa p!r !tr! %e"t!r / 'ue se den!ta "!m! . Su m-du&! se de#ine "!m! e& pr!du"t! de sus m-du&!s p!r e& sen! de& 5nu&! 'ue #!rman entre s$/ est! es+ Z / d!nde e(em!s en#ati4ar 'ue %e"t!res
es perpendi"u&ar a& p&an! #!rmad! p!r &!s
.
Re(l! )e l! *!no $e+ec,! + &!s ded!s iran desde &a dire""i-n de& %e"t!r A *a"ia &a dire""i-n de& %e"t!r ; , e& ded! pu&ar "!in"ide "!n e& %e"t!r C. E& &a #iura e& 5nu&! ira en e& sentid! desde A *a"ia ;.
Z PROUCTO VECTORIAL
PROPIE$A$ES I. Si
/ ent!n"es &!s %e"t!res tienen &a misma dire""i-n ! s!n para&e&!s.
II. Anti "!nmutati%!+ III. Pr!piedad istri(uti%a+ IV. Ve"t!res para&e&!s+ V. Ve"t!res !rt!!na&es+ VI. ad! &!s %e"t!res+
/
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,
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ANÁLISIS VECTORIAL
ent!n"es se "ump&e 'ue+ X.
E& 5rea de& para&e&!ram! #!rmad! p!r &!s %e"t!res "!n"urrentes
XI.
E& 5rea de &a rei-n trianu&ar #!rmad! p!r &!s %e"t!res
-. TRIPLE PRO$UCTO ESCALAR . P!r medi! de& pr!du"t!s es"a&ar , %e"t!ria& de %e"t!res
es+
es+
A
tres
se #!rma+
C
;
AREA EL PARALELO
;
A
PROPIEAES+ I. E& pr!du"t! trip&e es"a&ar es un n:mer! rea&+
VOLU2EN EL PARALELEP=PEO
II. III. E& %a&!r de& >trip&e pr!du"t! es"a&ar? representa e& %!&umen de un para&e&ep$ped! de aristas
. TRIPLE PRO$UCTO. P!r medi! de pr!du"t!s %e"t!ria&es de tres %e"t!res pueden #!rmar pr!du"t!s "!m!+ resu&tad! es !tr! %e"t!r. PROPIEAES+
/
!
se
/ en t!d!s est!s "as!s e&
I. N! se puede as!"iar+ II. III.
/. PROECCIN $E UN VECTOR . La pr!,e""i-n de& %e"t!r para&e&! a& %e"t!r 'ue se den!ta de& siuiente m!d!+
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s!(re e& %e"t!r
/ es !tr! %e"t!r
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ANÁLISIS VECTORIAL
O Pr!,e""i-n de A s!(re ;
A& m-du&! de &a pr!,e""i-n de& %e"t!r A s!(re e& %e"t!r se &e den!mina C!mp!nente de& %e"t!r A s!(re e& %e"t!r ;.
PROLEMAS PROPUESTOS $E VECTORES 1. Ca&"u&ar e& m-du&! de& %e"t!r+ 2. Ca&"u&ar e& m-du&! de& %e"t!r+ #. ad! &!s punt!s , determinar &!s %e"t!res+ %. ad! &!s punt!s , determinar &!s %e"t!res+ respe"ti%amente. &. eterminar e& punt! N/ "!n 'ue "!in"ide e& e3trem! de& %e"t!r !rien "!in"ide "!n e& punt! 2 de "!!rdenadas . '. eterminar e& punt! P/ "!n 'ue "!in"ide e& e3trem! de& %e"t!r !rien "!in"ide "!n e& punt! @ de "!!rdenadas . -. Ca&"u&ar &!s "!sen!s dire"t!res de& %e"t!r . FÍSICA I / Docente: Lic.
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,
respe"ti%amente. , sa(iend! 'ue e& sa(iend! 'ue e&
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ANÁLISIS VECTORIAL . Ca&"u&ar &!s "!sen!s dire"t!res de& %e"t!r /. Un %e"t!r #!rma "!n &!s ejes OX/ , OZ &!s 5nu&!s 5nu&! #!rma e& %e"t!r "!n e& eje OY
. ,
10. Un %e"t!r #!rma "!n &!s ejes OX/ , OY &!s 5nu&!s 5nu&! #!rma e& %e"t!r "!n e& eje OZ
respe"ti%amente/ 'uB
,
respe"ti%amente/ 'uB
11. Un %e"t!r #!rma "!n &!s ejes OY/ , OZ &!s 5nu&!s , respe"ti%amente/ 'uB 5nu&! #!rma e& %e"t!r "!n e& eje OX 12. eterminar &as "!!rdenadas de& punt! 2/ si su radi! %e"t!r #!rma "!n &!s ejes "!!rdenad!s 5nu&!s iua&es , su m-du&! es iua& a 1 unidades. @uB 5nu&! #!rma e& radi! %e"t!r "!n &!s ejes "!!rdenad!s "artesian!s 1#. Ca&"u&ar e& %e"t!r unitari! de& %e"t!r 1%. Ca&"u&ar e& %e"t!r unitari! de& %e"t!r 1&. Ca&"u&ar e& %e"t!r unitari! de& %e"t!r 1'. eterminar e& %e"t!r unitari! perpendi"u&ar a& %e"t!r 1-. Se tiene un "uadrad! de %Brti"es A/ ; C , D , 5rea 9 unidades "uadradas. Si "!n!"em!s e& %Brti"e A 70FD 9F8 , e& &ad! A; es para&e&! a& %e"t!r . eterminar &a p!si"i-n de &!s %Brti"es ;/ C , . 1. Se tiene un "uadrad! de %Brti"es A/ ; C , D , 5rea 0FF unidades "uadradas. Si "!n!"em!s e& %Brti"e A 79FD 0F8 , e& &ad! A; es para&e&! a& %e"t!r . eterminar &a p!si"i-n de &!s %Brti"es ;/ C , . 1/. ad!
/
,
20. Sa(iend! 'ue &!s %e"t!res
Ca&"u&ar+ #!rman entre si un 5nu&! de 09FG , adem5s
eterminar+ 21. Para 'uB %a&!res de >p? , >'? &!s %e"t!res "!&inea&es
,
22. Para 'uB %a&!res de >r? , >s? &!s %e"t!res 2#. L!s siuientes %e"t!res
/ s!n
, ,
s!n para&e&!s s!n "!&inea&es
2%. L!s siuientes %e"t!res , s!n para&e&!s 2&. Se "!n!"en &!s %Brti"es de un "uadri&5ter!+ A 7HD 8/ ; 7D 8/ C 7D J8 , 79D J8. Es un trape"i! 2'. Se "!n!"en &!s %Brti"es de un "uadri&5ter!+ A 71DK0D 98/ ; 70D 9/K08/ C 7K0D 0+K18 , 71DKD 18. Es un trape"i! 2-. ad! &!s punt!s A 7K0D K0F8/ ; 7D K/M8/ C 79D 9+K8 , 7DKHD 98. , s!n "!&inea&es 2. ad! &!s %e"t!res en e& p&an! de &!s %e"t!res
2/. L!s %e"t!res
,
. E3presar e& %e"t!r
en #un"i-n
. #!rman entre si un 5nu&! de 09FG. Sa(iend! 'ue
#0. Para 'ue %a&!res de >m? &!s %e"t!res entre s$. FÍSICA I / Docente: Lic.
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,
/
. Ca&"u&ar+ s!n perpendi"u&ares Página #
ANÁLISIS VECTORIAL #1. Para 'ue %a&!res de >p? &!s %e"t!res , s!n perpendi"u&ares entre s$. #2. Se "!n!"en &!s %Brti"es de un tri5nu&!+ A 7K0D K9D H8/ ; 7KHD K9D F8 , C 71D K9D 08. Ca&"u&ar &a medida de& 5nu&! intern! de& %Brti"e C. ##. Se "!n!"en &!s %Brti"es de un tri5nu&!+ A 70D 98/ ; 7D J8 , C 7D 98/ "a&"u&ar &a &!nitud de &a a&tura (ajada desde e& %Brti"e ; a& &ad! AC. #%. Se "!n!"en &!s %Brti"es de un tri5nu&!+ A 70D K0D 98/ ; 7D KJD 98 , C 70D 1D K08/ "a&"u&ar &a &!nitud de &a a&tura (ajada desde e& %Brti"e ; a& &ad! AC. #&. Se "!n!"en &!s %Brti"es de un tri5nu&!+ A 70D 9D F8/ ; 71D FD K18 , C 7D 9D J8. Ca&"u&ar e& 5rea de &a rei-n trianu&ar. #'. Se dan &!s %e"t!res
/
#-. Se dan &!s %e"t!res
/
#. Se dan &!s %e"t!res
/
#/. Se dan &!s %e"t!res
,
,
. eterminar+
, /
/ "a&"u&ar+
,
. eterminar+ . eterminar+
%0. Se dan &!s %e"t!res
/
,
. eterminar+
%1. Se dan &!s %e"t!res
/
,
. eterminar+
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