ejercicios estática

Ejercicio 1 Determine los momentos de inercia y el producto de inercia del área de la sección transversal de

la viga con respecto a los ejes u y v.

Para el producto de inercia con respecto a los ejes x e y : donde el área de la sección

rectangular es simétrico alrededor del eje x e y:

    36    63 =0

=54 in4 =13.5 in4

Para el producto de inercia con respecto a los ejes u y v :con Ө=30

  +   −  cos2  sinin 2 ⌊+.   −.   cos60°0sin60°⌋   +   −  cos2  sin2 ⌊+.   −.   cos60°0sin60°⌋   −  sin2  cos2  −.   sin60°0cos60°  in =

=43.9 in4

=23.6 in4

=

]=17.5

4

Ejericicio 2: Determine la orientación de los lo s ejes principales, los cuales tienen su ori gen en el centroide C del

área de la sección tra nsversal de la viga. Además, encuentre los momentos de inercia principales.

Solución: Para el producto de inercia con respecto a los ejes x e y:  La distancia perpendicalar

media medida desde el segmento subdividido a los ejes x e y son indicados en la sgte figura

  2  80 802020 8020140  20 20300 300   2  2080 208050  30020   802050140 802050140

=107.83(106) mm4

+

+

=9.907(106) mm4

=-22.4(106) mm4

Principales momentos de inercia

   +  − .  +.   .  −.        (10 ) √  √      ±   ±  22. 4 =           6

   5.026

 =112.71(106)mm4  (106)mm4

Orientacion de los ejes principales:

  −  −−.    tan2Ө=    =  = 0.4575   ..   

2Ө  24.58° 58°  115  115..42°2° Ө  12.29° 29°  77.  77.71° 71°

 Ө

Sustituyendo Ө =

= 12.29°

  .−. cos24.   +   −  cos2  sinin 2 .+.   cos 24.58°  22.4 sin24.58 °  =

=112.71=

   112.7110 (Ө)    5.03 10 (Ө)

 corresponde al eje principal orientado en:

Esto muestra que =

Esto muestra que

 mm4

= 12.29°

 corresponde al eje principal orientado en:

mm4

= -77.7°

Ejercicio 3: Localize el centroide

̅

 del área de la sección transversal t ransversal de la viga y después determine

los momentos de inercia de esta área y el producto de inercia con respecto a los ekes u y v. Los ejes tienen su origen en el centroide C

Solución para el centroide : La distancia perpendicular medida desde desde el centroide de cada

segmento subdividido desde la parte inferior de la sección de de la viga son los indicados en la siguiente figura

 +..] ̅  ∑∑̅ [  + =

= 82.5mm

Para el producto de inercia con respecto a los ejes x e y : la distancia perpendicular

medida desde el centroide de cada segmento a los ejes x e y son indicados en la siguiente figura

  2  25 25200 200  25200 2520017 17..5  100 1002525  100 10025 2570 70   2  200 2002525  20025 200256 62.2.5  25 25100 100 +

=48.78(106)mm4

+

=41.67(106)mm4

Donde el área de la sección es simétrica con respecto al eje y.



=0

Para el producto de inercia con respecto a los ejes u y v:

 Ө

con =-60°

  .−.  cos120°   +   −  cos2  sinin 2 ⌊.+.   0sin120°⌋ =

(106)=43.4(106)mm4

  .−.  cos120°   +   −  cos2  sin2 ⌊.+.   0sin120°⌋  sin1   −  sin2  cos2  .−. 20° 0 cos12 cos1200  3.0808  sin120° =

(106)=47.0(106)mm4

(106)mm4

Ejercicio 4: Localize el centroide

 ̅ ̅

y  del área de la seccíon transversal t ransversal y después determine la orientación

de los ejes principales, los cuales t ienen su origen en el centroide C del área. Además, encuentre los momentos de inercia principales.

Solución Para el centroide: La distancia perpendicular medida desde el centroide de cada segmente subdividido del

área de la sección desde la izquierda y parte inferior de la viga son indicados en la figura

además:

 ̅  ∑∑̅ ....+.+... . =

= 1.685 in= 1.68in

̅  ∑∑̅ ...+.+....  =

= 1.685 in= 1.68in

Para el producto de inercia: con respecto a los ejes x e y: la distancia perpendicular medida desde el

centroide de cada segmento de los ejes x e y son indicado en la figura

0.5 5.50.51.435  0.56 6  0.561.    5.50. 61.565 565 0.5  60.51. 5.5 0.55.51.565    60. 51.435  0.55.   60.51.4351.315 5.50.51.5651.435 +

=19.908

in4

+

=19.908

in4

= -11.837 in4

Principales momentos de inercia:

   +  − .  +.   .  −.         √  √      ±   ±  11. 8 37 =           mx=.  m=.  Orientacion de los ejes principales:

 tan2Ө − . −−. .  =

=

 Ө

Sustituyendo Ө =

=∞

2Ө  90°   90° 90° Ө  45°  45  45°°

= 45°

  .−.   cos90° 11.837 sin90°   +   −  cos2  sinin 2 .+.   =

Esto muestra que

mx=. 

=

Esto muestra que

 (Ө) 

m=.  (Ө)

 corresponde al eje principal orientado en: = 45°

 corresponde al eje principal orientado en:

= 45°

la orientación de los ejes se muestra en la ultima figura:

Ejercicio 5: Localize el centroide

̅

 del área de la sección transversal de la viga y después determine los

momentos de inercia y el producto de inercia de esta área con respecto a los ejes u y v.

Solución: para el centroide: La distancia perpendicular medida desde el centroide de cada

segmento subdividido de la parte inferior de la sección de la viga es indicado en la siguiente figura

..+[ .]+ +  ̅  ∑∑̅ . .+  .+ +. =

= 8.25 in

Para el producto de inercia con respecto a los ejes x e y:  La distancia perpendicular

medida desde el cenrtroide de cada segmento a los ejes x e yson indicados en la figura siguiente:

   100.5 100.54 2  0.54  0.541.75   112 1122.25    0.510 2  40.5  40.50.75   121 +

=302.44in4

+

Donde el área de la sección es simétrico alrededor del eje y,

=45in4



=0

para el momento de inercia con respecto a los ejes u y v : con Ө=60°

  +   −  cos2  sinin 2 ⌊.+  .−  cos120°0sin120°⌋   +   −  cos2  sin2 ⌊.+  .−  cos120°0sin120°⌋   −  sin2  cos2  .− sin12 sin120° 0°  0 cos12 cos120° 0°  in =

=109.36 in4

=

=238.08 in4

]=111.47

4