Grupo Matagalpino de matemáticas: Los Karamasov 2011 1. Grupo de Orden Orden 8 Consideremos el plano
, = −,
y
= , : , y las aplicaciones , ∈ () definidas por , = −, . es la reflexión respecto al eje y es la rotación de
90° en sentido opuesto a las manecillas del reloj reloj respecto del origen. origen. Definiendo
= : = 0,1; = 0, 1 , 2,2, 3 y sea * en G el producto de elementos de (). Se tiene como aplicación
identidad
2 = 4 .
*
0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3
0 0 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3 0 1 0 1 0 2 0 3 0 0 1 3 1 0 1 1 1 2 0 2 0 2 0 3 0 0 0 1 1 2 1 3 1 0 1 1 0 3 0 3 0 0 0 1 0 2 1 1 1 2 1 3 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 1 3 0 0 0 1 0 2 0 3 1 1 1 1 1 2 1 3 1 0 0 3 0 0 0 1 0 2 1 2 1 2 1 3 1 0 1 1 0 2 0 3 0 0 0 1 1 3 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0 2 0 3 0 0
el conjunto de todas las aplicaciones : ℝ → ℝ definidas por = + para todo número real r, donde , son números reales ≠ 0. La pareja
2. Sea
,
,
(G,*) es un grupo, estando * definida como sigue: , , = , +
∗
Defínanse H y K como sigue,
= | , = | .
y
,
1,
Las parejas (H,*) y (K,*) son grupos. El primero no abeliano, abeliano, el el segundo abeliano.
2.1 Demuéstrese que
, ∗ ∗ − .
Prueba () Primero probamos que
,
,
,
, entonces ∗ ∗ − . ,
,
,
1
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, entonces tiene la forma ′ ′ ′ ∈ ℚ ′ ∈ ℝ, luego ∗ ′ ′ = ′ ′ ; luego el inverso de es − = − − − , luego ′ ′ ∗ − − − = ′ ′ ′ = ′ ′ ; como ′ ∈ ℚ (2′ + 1) ú entonces ∗ ∗ − . Si
,
,
,
,
,
1,
+
,
+
1 +0
,
+
+
,
,
1
,
, (2 1
1,
1 +0
+1)
∗ ∗ − , entonces . ∗ ∗ − entonces ∗ ∗ − = ′ ′ con ′ ∈ ℚ, ∈ ℝ , además el inverso tiene la forma − − − ∈ , luego tenemos que − − − ∗ ∗ ∗ − = − − − ∗ ′ ′ de donde ∗ − = ′ − −′ − ′′ multiplicando esto último por resulta = ′ − ′ − − ′ ′′ = ′ ′′ como ′ ∈ ℚ, ′′∈ℝ ,luego ∈ . () Ahora probamos que ,
,
1
,
,
,
,
,
1,
1,
1 +0
,
1
,
1,
1
,
1
,
1 +0
1,
1 +0
,
1 +
1
+
1
,
1
,
,
+
, ∗ ∗ − .
2.2 Demuéstrese que
,
,
,
Prueba
, entonces ∗ ∗ − . − = − − Si y , entonces = ∈ ℝ , además − () Primero probamos que
,
,
,
,
1,
1
,
1
1,
1 +0
de ahí
que
∗ ∗ − ,
1
,
∗ ∗ − − − = ∗ − − − = − =
=
,
1,
1,
,
+
1,
+
1,
1 +0
1 +0
+
1,
∗ ∗ − , entonces . − − = ∈ ℝ, multiplicando ambos Si ∗ ∗ entonces ∗ ∗ − lados por queda ∗ ∗ ( ∗ ) = ∗ de donde ∗ = multiplicando nuevamente nuevamente ambos lados por i.e. () Ahora probamos que ,
,
,
,
1
,
,
,
,
,
1
,
, 1
1
1,
1,
,
1
,
1
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3. Si G es un grupo abeliano, probar que (
∗ ) = ∗ para
todos los
enteros . Prueba
≥0 Si = 0 se tiene ( ∗ ) = ∗ , lo cual es verdadero. Supongamos que ( ∗ ) = ∗ es verdadero para todo ≥ 0. Veamos qué sucede tomando como exponente + 1. ( ∗ ) = ( ∗ ) ∗ definición de potencias = ∗ ∗ Por hipótesis inductiva = ∗ ∗ Por asociatividad y conmutatividad = ∗ Por definición de potencias Por lo que ( ∗ ) = ∗ . Para − < 0 , podemos escribir ( ∗ )− = − ∗ − como ( ∗ )− = − ∗ − , luego por lo probado anteriormente se concluye que ( ∗ ) = ∗ es válido para todo entero . Haciendo inducción sobre
0
0
0
+1
+1
+1
+1
+1
+1
1
1
1
= ∀, demuéstrese que G es abeliano. Esto es, debemos probar que Si = ∀ → ∗ = ∗ ; ∀ , .
4. Si G es un grupo en el cual
2
Prueba Si realizamos el producto
∗ ∗ ∗
= =
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2
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Hemos encontrado que ∗ ∗ ∗ = , por otro lado como todo elemento al 2
= =
cuadrado en G es la identidad, entonces podemos plantear:
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ) ∗ ∗ ∗ ∗
∗ = ∗ ,
∗ = = = deben ser de la forma . ,
,
+
1,
, +
,
+
, +
∗
y
5. Si G es el grupo definido en 2, encuéntrese todas las
Como
ambos
Dado que todo elemento de G elevado al cuadrado es . Propiedad de identidad.
∗
=
Multiplicando lados por
2
= ( =
∗
Porque ambos son .
asociando
∗ ) ∗ ∗ ∗ ∗
2
(
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
= =
,
,
∈ tales que ,
,
∗ = , entonces cuando = 1, de ahí que las aplicaciones buscadas y
1,
,
, +
1,
6. Grupo Diédrico de orden 6 Sea P el plano y f la aplicación como en el punto 1. Sea respecto al origen a través de un ángulo de reloj. Se define
= 120
2
=3
y h la rotación del plano
en sentido opuesto a las agujas del
= | = 0, 1;1; = 0, 1,1, 2 y el producto * en G vía el producto usual 2 = 3 = ó y que la pareja
de aplicaciones. aplicaciones. Se verifica verifica que que
grupo de orden 6 no abeliano, como se ve en la la tabla. 1
00 0 1 02 10 1 1 12 00 00 0 1 02 10 1 1 12 *
h
x
y
(G,*) es un
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11 11 12 10 02 0 0 01 12 1 2 10 11 01 0 2 00
Imágenes de los ejes coordenados bajo la rotación h.
Para elaborar la tabla se debe tomar en cuenta las siguientes igualdades.
, = , 0 0 0 1 1 , = , = + , − , = 2 , = 2 + 2, 2−2 0 2 , = 1 , = −, 1 0 , = −− , − 11 − 1 2 , = −2−2, 2−2 Además, se toma en cuenta que
, = −2 + 2, 2 + 2 = −−, − 1 1 −
cuando
= 120.
Una fórmula conocida para encontrar los resultados de la tabla es la siguiente:
∗ = + −1 +
7. Refirámonos al punto 6 anterior. Probar que (G,*) es un grupo para Prueba La fórmula
= .
∗ = + −1 + del párrafo anterior nos da la cerradura.
A continuación probamos la asociatividad
∗ ∗ ′ ′
= = = = =
+ −1 + ∗′ ′ ′ −1 + + ′ ++ ′ −1 − ′ ′ ++ ′ −1′ −1 +−1 ′ + ′ ′ ++ ′ ′ −1 −1 +−1 +′′ −1 −1 ∗ + ′ −1 +′
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∗ = 0 0 = ∗ . Aplicando de 6, resulta + −1 + = 00 de −1 , luego existe inverso y ahí que + = 0 y −1 + = 0 por tanto = y = −− −1 . tiene la forma = −− que
Por todo lo anterior, la pareja (G,*) es un grupo.
coincide con la suma en ℤ2 y análogamente
Aclaración: La suma realizada con los exponentes de para
en ℤ4 .
8. Demuéstrese que cualquier grupo G de orden 4 o menor me nor es abeliano. Prueba (1) Si G tiene sólo un elemento, este elemento debe ser la identidad, por tanto es evidente que es conmutativo.
≠ . Tomamos como la identidad. Si la operación es ∗ entonces ∗ = = ∗ , ∗ = ∗ = . En el caso de ∗ el resultado no puede ser dado que ∗ = implica que ∗ ∗ −1 = ∗ −1 de donde = . Esta última igualdad contradice la hipótesis de
(2) Si el grupo es de orden 2 entonces tiene dos elementos
que el grupo tiene 2 elementos.
(3) Si el grupo es de orden 3, entonces tiene tres elementos diferentes: , , . Supongamos
es la identidad. Tenemos las igualdades siguientes: ∗ = = ∗ , ∗ = = ∗ , ∗ = . Ahora bien, debemos indicar a qué elementos son iguales iguales las las siguientes siguientes expresiones expresiones ∗ , ∗ , ∗ ∗ . Dado que que
∗ = , ∗ = , ∗ = ∗ = , ∗ = , ∗ = , ∗ = ∗ = conducen a contradicciones debe ocurrir que
nos
∗ = , ∗ = , ∗ = ∗ = .
Revisando todas las igualdades, vemos que el grupo es conmutativo. (4) Para un grupo de orden 4, tenemos las tablas del grupo cíclico de orden 4 y del grupo de Klein en las cuales se puede ver que se cumple la conmutatividad. Grupo de Klein
Grupo cíclico de orden 4
∗
e
a
b
c
∗
e
a
b
c
e
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
a
a
c
e
b
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, , ∈ , demostrar que si ∗ = ∗ , entonces = , y si ∗ = ∗ , entonces = .
9. Si G es cualquier grupo y
Prueba
∗ = ∗ , entonces multiplicando ambos lados por el inverso de , nos queda − ∗ ∗ = − ∗ ∗ de donde sale = . Análogamente
Supongamos que
1
para la otra parte.
1
