ESTADÍSTICA INFERENCIAL Dra. en C.E.A. Yuliana Gabriela Román Sánchez
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Ejercicio 4: Una población consta de los siguientes cuatro valores: 12, 13, 14, 16. a ) Enumere todas las muestras de tamaño 2 y calcule la media de cada muestra. b ) Calcule la media de la distribución muestral de la media y la media de la población. Compare los dos valores. c ) Compare la dispersión en la población con la de las medias de las muestras Ejercicio 5: Una población consta de los siguientes 5 valores: 2, 3, 4, 5 y 8. a ) Enumere todas las muestras de tamaño 2 y calcule la media de cada muestra. b ) Calcule la media de la distribución muestral de las medias y la media de la población. Compare los dos valores. Ejercicio 6: Mid-Motors Ford tiene cinco vendedores. Los cinco representantes de ventas y el número de automóviles que vendieron la semana pasada son los siguientes: Representante de Ventas Peter Connie Juan Ted Peggy
Autos vendidos 8 6 4 10 6
a ) ¿Cuántas muestras de tamaño 2 son posibles? b ) Enumere todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la media en cada muestra. c ) Compare la media de la distribución muestral de la media con la de la media poblacional. d ) En una gráfica similar a la 8-1, compare la dispersión de la población con la de la media de la muestra. Ejercicio 1: Ed Spence fundó su negocio de engranes hace 20 años. El negocio creció a lo largo del tiempo y ahora cuenta con 40 empleados. Spence Sprockets, Inc., encara algunas decisiones importantes relacionadas con la atención médica de su personal. Antes de tomar una decisión definitiva sobre el programa de atención médica que va a comprar, Ed decide formar un comité de cinco empleados. Se pedirá al comité que estudie el tema del cuidado de la salud y haga alguna recomendación sobre el plan que mejor convenga a los empleados. Ed cree que el punto de vista de los empleados mas recientes en relación con el cuidado de la salud difiere de los empleados con más experiencia. Si Ed selecciona al azar este comité ¿Qué puede esperar en términos del promedio de años que llevan con Spence S. los miembros del comité? ¿Cuál es la forma de la distribución de los años de experiencia de experiencia de todos los empleados (la población) en comparación con la forma de la distribución muestral de la media? Los tiempos de servicio (redondeados al año inmediato) de los 40 empleados que actualmente están en nómina en Spence S, Inc., son los siguientes:
11 4 7 1
18 2 0 2
1 7
2 0
0 4
2 5
2 1
4 14
3 16
4 8
1 9
2 1
2 1
3 2
3 5
19 8 10 2
3 3
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Repase los datos de Spence S., seleccione al azar 10 muestras de 5 empleados cada una. Utilícelos métodos descritos en el capítulo y la tabla de números aleatorios (apéndice B-6) para determinar los empleados que se incluirán en la muestra. Calcule la media dde cada muestra y trace una gráfica de las medias muestrales en una gráfica similar a la 8-3. ¿cuál es la media de las 10 medias muestrales?
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Ejercicio 2: Scrapper Elevator Company tiene 20 representantes de ventas, que distribuyen su producto en Estados Unidos y Canadá. La cantidad de unidades que el mes pasado vendió cada representante se incluye a continuación. Suponga que estas cifras representan los valores de la población, 2 3 2 3 3 4 2 4 3 2 2 7 3 4 5 3 3 3 3 5 a ) Trace una gráfica que muestre la distribución de la población. b ) Calcule la media de la población c ) Seleccione cinco muestras aleatorias de 5 cada una. Calcule la media de cada muestra. Utilice los métodos descritos en el capítulo y en el apéndice B.6 para determinar los elementos que deben incluirse en la muestra, d ) Compare la media de la distribución muestral de medias con la media poblacional. ¿Esperaría que los dos valores fueran aproximadamente iguales? e ) Trace un histograma e las medias muestrales. ¿Nota alguna diferencia en la forma de la distribución de la población? Ejercicio 3: Consulte la información relativa a Cola, Inc., suponga que el técnico de calidad seleccionó una muestra de 16 botellas gigantes con un promedio de 31.08 onzas. ¿Qué concluye sobre el proceso de llenado? Ejercicio 4: Una población normal tiene una media de 60 y una desviación estándar de 12. Usted selecciona una muestra aleatoria de 9. Calcule la probabilidad de que la media muestral: a ) Sea mayor que 63 b ) Sea menor que 56 c) Se encuentre entre 56 y 63. Ejercicio 5: Una población normal posee una media de 75 y una desviación estándar de 5. Usted selecciona una muestra de 40. Calcule la probabilidad de que la media muestral: a ) Sea menor que 74 b ) Se encuentre entre 74 y 76 c ) Se encuentre entre 76 y 77 d ) Sea mayor que 77 TEORÍA DE ESTIMACIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR CONOCIDA Ejercicio 1: Bun-and-Run es una franquicia de comida rápida de la zona noreste, la cual se especializa en hamburguesas de media onza y sándwiches de pescado y de pollo. También ofrece refrescos y papas a la francesa. El departamento de planeación de la firma informa que la distribución de ventas diarias de los restaurantes tiende a seguir la distribución normal. La desviación estándar de la distribución de ventas diarias es de $3 000. Una muestra de 40 mostró que las ventas medias diarias suman $20 000. a ) ¿Cuál es la media de la población? b ) ¿Cuál es la mejor estimación de la media de la población? ¿Qué nombre recibe este valor? c ) Construya un intervalo de confianza de 99% de la media poblacional. d ) Interprete el intervalo de confianza. 4
Ejercicio 2: Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de confianza de 99% de la media poblacional. Ejercicio 3: Se toma una muestra de 81 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 5. La media de la muestra es de 40. Determine el intervalo de confianza de 95% de la media poblacional. Ejercicio 4: Bob Nale es propietario de Nale’s Quick Fill. A Bob le gustaría estimar la cantidad de galones de gasolina que vendió. Suponga que la cantidad de galones vendidos tiende a seguir una distribución normal, con una desviación estándar de 2.30 galones. De acuerdo con sus registros, selecciona una muestra aleatoria de 60 ventas y descubre que la cantidad media de galones vendidos es de 8.60. a ) ¿Cuál es el estimador puntual de la media poblacional? b ) Establezca un intervalo de confianza de 99% de la media poblacional c ) Interprete el significado del inciso b Ejercicio 5: La doctora Patton es profesora de inglés. Hace poco contó el número de faltas de ortografía que cometió un grupo de estudiantes en sus ensayos. Observó que la distribución de las faltas de ortografía por ensayo se regía por una distribución normal con una desviación estándar de 2.44 palabras por ensayo. En su clase de 40 alumnos de las 10 de la mañana, el número medio de la palabra con faltas de ortografía fue de 6.05. Construya un intervalo de confianza de 95% del número medio de palabras con faltas de ortografía en la población de ensayos. TEORÍA DE ESTIMACIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR DESCONOCIDA Ejercicio 1: Dottie Kleman es la “Cookie Lady”. Hornea y vende galletas de 50 lugares del área de Filadelfia. La señora Kleman está interesada en el ausentismo de sus trabajadoras. La siguiente información se refiere al número de días de ausencias de una muestra de 10 trabajadoras durante el último periodo de pago de dos semanas: 4 1 2 2 1 2 2 1 0 3 a ) Determine la media y la desviación estándar de la muestra. b ) ¿Cuál es la media de la población? ¿Cuál es la mejor estimación de dicho valor? c ) Construya un intervalo de confianza de 95% de la media poblacional d ) Explique la razón por la que se utiliza la distribución t como parte del intervalo de confianza. e ) ¿Es razonable concluir que la trabajadora común no falta ningún día durante un periodo de pago?
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Ejercicio 2: Utilice el apéndice B.2 para localizar el valor t en las siguientes condiciones: a ) El tamaño de la muestra es de 12, y el nivel de confianza de 95% b ) El tamaño de la muestra es de 20, y el nivel de confianza de 90% c ) El tamaño d la muestra es de 8, y el nivel de confianza de 99% Ejercicio 3: Utilice el apéndice B.2 para localizar el valor t en las siguientes condiciones: a ) El tamaño de la muestra es de 15, y el nivel de confianza de 95% b ) El tamaño de la muestra es de 24, y el nivel de confianza de 98% c ) El tamaño de la muestra es de 12 , y el nivel de confianza de 90% Ejercicio 4: Checkered Cabs planea comprar una flota de nuevos taxis para sus operaciones en Miami. La decisión dependen de si el rendimiento del auto en consideración es por lo menos 27.5 millas por galón de gasolina. Los 36 carros que ´prueba la compañía reportan una media de 25.6 millas por galón (MPG), con una desviación estándar de 3.5 MPG. A un nivel de confianza del 99%, ¿qué aconsejaría a Checkered que hiciera? INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES Ejercicio 1: Se llevó a cabo una encuesta de mercado para calcular la proporción de amas de casa que reconocerían el nombre de la marca de un limpiador a partir de la forma y color del envase. De las 1400 amas de casa de la muestra, 420 identificaron la marca por su nombre. a ) Calcule el valor de la proporción de la población. b ) Construya el intervalo de confianza de 99% de la proporción poblacional c ) Interprete sus conclusiones. Ejercicio 2: El gerente de una estación de televisión debe determinar en la cuidad qué porcentaje de casas tiene más de un televisor. Una muestra aleatoria de 500 casas revela que 275 tienen dos o más televisores. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 90% para estimar la proporción de todas las casas que tienen dos o más televisores? Dados estos datos, p=275/500= 0. 55 Ejercicio 3: Las empresas de búsqueda de ejecutivos se especializan en ayudar a las empresas a ubicar y asegurar talento para la alta gerencia. Tales firmas denominadas “cazadoras de cabezas” son responsables de la ubicación de muchos de los mejores directores ejecutivos de la nación. BUSINESS WEEK reportó recientemente que “Uno de cada cuatro directores ejecutivos es una persona de fuera –un ejecutivo con menos de 5 años en la compañía que maneja-“. Si en una muestra de 350 compañías de los Estados Unidos, 77 tienen directores ejecutivos de fuera, ¿Un intervalo del 99% de confianza apoyaría la afirmación? Ejercicio 4: María Wilson considera postularse para la alcaldía de la cuidad de Bear Gulch, Montana. Antes de solicitar la postulación, decide realizar una encuesta entre los electores de Bear Gulch. Una muestra de 400 electores revela que 300 la apoyan en las elecciones de noviembre. 6
a ) Calcule el valor de la proporción de la población. Calcule el error estándar de la proporción b ) Construya el intervalo de confianza de 99% de la proporción poblacional. c ) Interprete sus resultados Ejercicio 5: La televisora Fox considera reemplazar uno de sus programas de investigación criminal que se transmite durante las horas de más audiencia, por una nueva comedia orientada a la familia. Antes de tomar una decisión definitiva, los ejecutivos estudian una muestra de 400 telespectadores. Después de ver la comedia, 250 afirmaron que la verían y sugirieron reemplazar el programa de investigación criminal. a ) Calcule el valor de la proporción de la población b ) Construya el intervalo de confianza de 99% de la proporción poblacional c ) Interprete los resultados que obtuvo Ejercicio 6: Schadek Silkscreen, Inc., compra tazas de plástico para imprimir en ella logotipos de eventos deportivos, graduaciones, cumpleaños u otras ocasiones importantes, Zack Schadek el propietario, recibió un envío grande esta mañana. Para asegurarse de la calidad del envío, seleccionó una muestra aleatoria de 300 tazas. Halló que 15 estaban defectuosas. a ) ¿Cuál es la proporción aproximada de tazas defectuosas en la población? b ) Construya el intervalo de confianza de 95% de la proporción de tazas defectuosas c ) Zack llegó con su proveedor al acuerdo de que devolverá lotes con 10% o más de artículos defectuosos. ¿Debe devolver este lote? Explique su decisión. ELECCIÓN DEL TAMAÑO ADECUADO DE UNA MUESTRA: MEDIA DE LA POBACIÓN. Ejercicio 1: El secretario académico desea calcular el promedio aritmético de las calificaciones de los estudiantes que se graduaron durante los pasados 10 años. Los promedios oscilan entre2.0 y 4.0. El promedio se va a calcular a 0.05 más o menos de la media poblacional. La desviación estándar se calcula que es de 0.279. Utilice el nivel de confianza de 99%. ¿Ayudaría al secretario a determinar cuántas botellas tiene que estudiar? Ejercicio 2: El propietario de un centro de esquí en el sur de Winsconsin está considerando comprar una máquina para hacer nieve y ayudarle a la Madre Naturaleza a proporcionar una base apropiada para los entusiastas esquiadores. Si el promedio de nevadas parece insuficiente, piensa que la máquina debería pagarse muy pronto por sí misma. Plantea estimar el promedio de nieve que se cae en el área, pero no tiene idea qué tan grande debería ser la muestra. Sólo sabe que desea un 99% de confianza en hallazgos y que el error no debe exceder de 1 pulgada. El propietario le promete tiquetes gratuitos de temporada. ¿Usted puede ayudarlo?
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ELECCIÓN DEL TAMAÑO ADECUADO DE UNA MUESTRA: PROPORCIÓN. Ejercicio 1: Wally S. está postulado para gobernador. Él desea estimar dentro de un punto porcentual la proporción de personas que votarían por él. También desea tener el 95% de confianza en sus hallazgos. ¿Qué tan grande debería ser el tamaño muestral? Ejercicio 2: El consejo de la cuidad está planeando una ley que prohíbe fumar en edificios públicos incluyendo restaurantes, tabernas, y teatros. Sólo estará exenta la viviendo privada. Sin embargo antes de que dicha ley se lleve ante consejo, este organismo desea estimar la proporción de residentes quienes apoyan dicho plan. La carencia de toda habilidad estadística obliga al consejo a contratarlo como consultor. Su primer paso será determinar el tamaño muestral necesario. Se dice que su error no debe exceder del 2% y usted debe estar 95% seguro de sus resultados. INTERVALO DE CONFIANZA Ejercicio 1: El mismo estudio relacionado con las contribuciones para la iglesia de Scandia reveló que 15 de las 40 familias tomadas de la muestra asiste regularmente a la iglesia. Construya el intervalo de confianza de 95 % de la población de familias que asiste a la iglesia con regularidad. Ejercicio 2: Se seleccionan al azar 36 artículos de una población de 300. La media de la muestra es de 35, y la desviación estándar de 5. Construya el intervalo de confianza de 95% de la media poblacional. Se seleccionan al azar 45 elementos de una población de 00. La media muestral es de 40 y a desviación estándar de la muestra es de 9. Construya el intervalo de confianza de 99% de la media poblacional. PRUEBA DE HIPÓTESIS Y ESTADÍSTICOS: DOS COLAS Ejercicio 1: Heinz, un fabricante de cátsup, utiliza una máquina para vaciar 16 onzas de su salsa en botellas. A partir de su experiencia en varios años con la máquina despachadora, la empresa sabe que la cantidad del producto en cada botella tiene una distribución normal con una media de 16 onzas y una desviación estándar de 0.15 onzas. Una muestra de 50 botellas llenadas durante la hora pasada reveló que la cantidad media por botella era de 16.017 onzas. ¿Sugiere la evidencia que la cantidad media despachada es diferente de 16 onzas? Utilice un nivel de significancia de 0.05. a ) Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b ) ¿Cuál es al probabilidad de cometer un error tipo l? c ) Proporcione la fórmula del estadístico de la prueba. d ) Enuncie la regla de decisión. e ) Determine el valor estadístico de la prueba. f ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? g ) Interprete, en un enunciado, el resultado de la prueba estadística
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Ejercicio 2: El gerente de cuentas preferenciales desea probar la hipótesis de que las cuentas tienen un promedio de US$312. Se selecciona una muestra de 200 cuentas, dando una media de US$298.10 con s= US$97.30. Para minimizar la probabilidad de un error tipo I, se selecciona un valor α de 1% (Tenga en cuenta los cuatro pasos para realizar la prueba) Ejercicio 3 ¿Cuáles son los cinco pasos de una prueba de hipótesis? Ejercicio 4: Cuando venían de regreso de las minas a la casa, los siete enanos le dicen a Blanca Nieves que excavaron un promedio semanal de 12 toneladas de oro. Pero sin estar dispuesta a creer esta afirmación sin prueba alguna, la señorita Nieves recolecta datos durante 49 semanas y descubre una media de 11.5 toneladas y una desviación estándar de 1.1 toneladas. ¿a un nivel del 10% parece que los enanos están en los cierto? Ejercicio 5: Antes de publicar un nuevo libro de cocina, Bantam Books desea probar la hipótesis, con un nivel de significancia del 2% de que el precio promedio de tales libros es de US$3.00. ¿Esta afirmación se sustenta si una muestra de 50 libros de cocina tiene una media de US$32.97 y una desviación estándar de US$12.87? Ejercicio 6: El supermercado local gastó remodelando miles de dólares durante muchas semanas. Aunque la interrupción espantó a los clientes temporalmente, el gerente espera que los clientes vuelvan a disfrutar de las nuevas comodidades. Antes de remodelar, los recibos de la tienda promediaban US$32,533 por semana. Ahora que se ha terminado la remodelación, el gerente toma una muestra de 36 semanas para ver si la construcción afectó de alguna manera el negocio. Se reportó una media de US$34,166 y una desviación estándar de US$12.955. ¿Qué puede decidir el gerente a un nivel de significancia del 1? PRUEBA DE HIPÓTESIS: UNA COLA CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR CONOCIDA Ejercicio 1: Consulte el ejercicio 1 del apartado de Prueba de hipótesis y estadísticos: dos colas. a ) Suponga que se modifica el penúltimo enunciado para que diga: ¿La evidencia surgiere que la cantidad media despachada es mayor a 16 onzas? Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa en estas condiciones. b ) ¿Cuál es la regla de decisión en las nuevas condiciones definidas en el inciso a c ) Una segunda muestra de 50 contenedores llenos reveló que la media es de 16.040 onzas. ¿Cuál es el valor del estadístico de la prueba en esta muestra? d ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? e ) Interprete, en un solo enunciado, el resultado de la prueba estadística. f ) ¿Cuál es el valor p?¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula con base en el valor p?¿Es la misma conclusión a la que se llegó en el inciso d?
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Ejercicio 2: En una reunión informativa para una oficina corporativa, el gerente del hotel Embassy Suites en Atlanta, reportó que el número promedio de habitaciones alquiladas por noche es de por lo menos 212. Es decir la media mayor igual que 212. Uno de los funcionarios corporativos considera que esta cifra puede estar algo sobrestimada. Una muestra de 150 noches produce una muestra de 201.3 habitaciones y una desviación estándar de 45.5 habitaciones. Si estos resultados sugieren que el gerente ha “inflado” su reporte, será amonestado severamente. A un nivel de 1 %, ¿Cuál es el destino del gerente? Ejercicio 3: Una encuesta realizada por una Asociación de estudiantes, mostró que los estudiantes de las universidades de la nación gastan en promedio más de US$7 mensuales en entretenimiento. Si usted puede hallar evidencias para confirmar esta afirmación, podría utilizarla para solicitar a su casa ayuda monetaria adicional. De los 100 estudiantes que tomó de muestra, usted halla una media de US$80.23 con una desviación estándar de US$45.67. ¿A un nivel de significancia del 2%, se encuentra una justificación para la solicitud? Ejercicio 4: Explique con sus propias palabras la diferencia entre pruebas de hipótesis de una cola y de dos colas. De ejemplos de ambas. Ejercicio 5: ¿Por qué el signo igual siempre va a la hipótesis nula? Ejercicio 6: Explique claramente ¿Por qué una hipótesis nula de H0 :µ ≤ 10 requiere una prueba de cola a la derecha, mientras que una hipótesis nula de H0 : μ ≥ 10 requiere una prueba de cola a la izquierda? Ejercicio 7: Responda las siguientes preguntas en los ejercicios 1 a 4: a) ¿Es una prueba de una o dos colas? b )¿Cuál es la regla de la decisión?; c ) ¿Cuál es el valor del estadístico de la prueba?; d ) ¿Cuál es su decisión respecto de H0 ?; e ) ¿Cuál es el valor p? Interprete este valor. 1.- Se selecciona una muestra de 36 observaciones de una población normal. La media muestral es de 49, y el tamaño de la muestra de 36. La desviación estándar de la población es 5. Utilice el nivel de significancia de 0.05 (H0 : μ ≠ 50 y H1 : μ ≠ 50) 2.- Se selecciona una muestra de 36 observaciones de una población normal . La media muestral es de 12, y el tamaño de la muestra de 36, la desviación estándar de la población es de 3. Utilice el nivel de significancia de 0.02 (H0 : μ ≤ 10 y H1 : μ > 10) 3.- Se selecciona una muestra de 36 observaciones de una población normal, la media de la muestra es 21, la desviación estándar de la población, de 5. Lleve a cabo la prueba de hipótesis con el nivel de significancia de 0.05 (H0 : μ ≤ 20 y H1 : μ > 20) 4.- Se selecciona una muestra de 64 observaciones de una población normal. La media de la muestra es de 215, y la desviación estándar de la población, de 15. Lleve a cabo la prueba de la hipótesis. Utilice el nivel de significancia de 0.03 (H0 : μ ≥ 10 y H1 : μ < 220)
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Ejercicio 8: En el caso de los ejercicios 1 al 4: a) Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa; b) Define la regla de decisión; c) Calcule el valor estadístico de la prueba; d) ¿Cuál es la decisión respecto de H0: e) ¿Cuál es el valor de P? Interprételo. 1.- El fabricante de neumáticos radiales con cinturón de acedo X-15 para camiones señala que el millaje medio que cada uno recorre antes que se desgasten las cuerdas es de 60 000 millas. La desviación estándar del millaje es de 5 000 millas. Truck Company compró 48 neumáticos y comprobó que el millaje medio para sus camiones es 59 500 millas. ¿La experiencia de Truck Company es diferente de lo que afirma el fabricante en el nivel de significancia de 0.05? 2.- La cadena de restaurantes Mc Burger afirma que el tiempo de espera de los clientes es de 8 minutos con una desviación estándar poblacional de 1 minuto. El departamento de control de calidad halló en una muestra de 50 clientes en Warren Roard Mc Burger que el tiempo medio de espera era de 2.75 minutos. Con el nivel de significancia de 0.05. ¿Puede concluir que el tiempo medio de espera sea menor a 3 minutos? 3.- Una encuesta nacional reciente determino que los estudiantes de secundaria veían en promedio (Media) 6.8 peliculas en DVD al mes, con una desviación estándar poblacional de 0.5 horas. Una muestra aleatoria de 36 estudiantes universitarios revelo que la cantidad media de películas en DVD que vieron el mes pasado fue de 6.2. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿Puede concluir que los estudiantes universitarios ven menos películas en DVD que los estudiantes de secundaria? 4.- En el momento en que fue contratada como mesera en el Grumney Family restaurant, a Beth le dijeron: “Puedes ganar en promedio más de $80 al día en propina.” Suponga que la desviación estándar de la distribución de población es de $3.24. Los primero 35 días de trabajar en el restaurante, la suma media de sus propinas fue de $84.85. Con el nivel de significancia de 0.01, ¿La señorita Beth puede concluir que gana un promedio de mas de $80 en propinas? PRUEBA DE HIPOTESIS: UNA COLA CON DESVIACION ESTANDAR DESCONOCIDA. Ejercicio 1: La vida media de una batería de un reloj digital es de 305 días. Las vidas medias de la baterías se rigen por la distribución normal. Hace poco se modificó la batería para que tuviera mayor duración. Una muestra de 20 baterias modificadas exhibió una vida media de 311 días con una desviación estándar de 12 días, ¿La modificación incremento la vida media de la batería? a ) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b ) Muestre la gráfica de la regla de decisión. Utilice el nivel de significancia 0.05. c ) Calcule el valor de t. ¿cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? Resuma sus resultados. Ejercicio 2: Sean las siguientes hipótesis: H0 : μ ≤ 10 y H1 : μ > 10 En el caso de una muestra aleatoria de 10 observaciones seleccionada de una población normal, la media muestral fue de 12, y la desviación estándar de la muestra, de 3. Utilice el nivel de significancia de 0.05: a ) Formule la regla de decisión b ) Calcule el valor del estadístico de prueba. c ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? Sean las siguientes hipótesis 11
Ejercicio 3: El ingreso promedio por persona en Estados Unidos es de $40 000 y la distribución de ingresos sigue una distribución normal. Una muestra aleatoria de 10 residentes de Wilmington, Delaware, presentó una medida de $50 000 con una desviación estándar de $10 000. Aun nivel de significancia de 0.05, ¿Existe suficiente evidencia para concluir que los residentes de Wilmington, ganan más que el promedio nacional? Ejercicio 4: En la actualidad, la mayoría de quienes viaja por avión, compra sus boletos por internet. de esta forma, los pasajeros evitan la preocupación de cuidar un boleto de papel, además de que las aerolíneas ahorran. No obstante, en fechas recientes, las aerolíneas han recibió quejas relacionadas con los boletos, en particular cuando se requiere hacer un enlace para cambiar de línea. Para analizar el problema una agencia de investigación independiente tomó una muestra aleatoria de 20 aeropuertos y recogió información relacionada con la cantidad de quejas que hubo sobre los boletos durante marzo. A continuación se presenta la información. 14 14 16 12 12 14 13 16 15 14 12 15 15 14 13 13 12 13 10 13 Con un nivel de significancia de 0.05, ¿La agencia de investigación puede concluir que la cantidad media de quejas por aeropuerto es menor de 15 al mes? Realice una prueba de hipótesis e interprete los resultados. Ejercicio 5: Se programa una máquina para llenar un frasco pequeño con 9.0 gramos de medicamento. Una muestra de 8 frascos arrojó las siguientes cantidades (en gramos) por botella. 9.2 8.7 8.9 8.6 8.8 8.5 8.7 9.0 ¿Puede concluir que el peso medio es inferior a 9.0 gramos si el nivel de significancia es de 0.01? a ) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa b ) ¿Cuántos grados de libertad existen? c ) Establezca la regla de decisión d ) Calcule el valor de t. ¿Qué decide respecto de la hipótesis nula? e ) Estime el valor de p. Ejercicio 6: Sean las siguientes hipótesis: H0 : μ ≥ 20 y H1 : μ < 20 . Una muestra aleatoria de cinco elementos dio como resultado los siguientes valores: 18, 15, 12, 19, y 21. ¿Puede concluir que la media poblacional es menor que 20, con un nivel de significancia de 0.01? a ) Establezca la regla de decisión. b ) Calcule el valor del estadístico de prueba. c ) ¿Cuál es su decisión en lo que se refiere a la hipótesis nula? d ) Calcule el valor de p. Ejercicio 7: Sean las siguientes hipótesis: H0 : μ = 100 y H1 : μ ≠ 100. Una muestra aleatoria de 6 elementos dio como resultado los siguientes valores: 118, 105, 112, 119, 105 y 111. ¿Puede concluir que la media poblacional es diferente de 100, con un nivel de significancia de 0.05? a ) Establezca la regla de decisión. b ) Calcule el valor del estadístico de prueba. 12
c ) ¿Cuál es su decisión en lo que se refiere a la hipótesis nula? d ) Calcule el valor de p. Ejercicio 8: La cantidad de agua consumida al día por un adulto sano, sigue una distribución normal, con una media de 1.4 litros. Una campaña de salud promueve el consumo de cuando menos 2.0 litros diarios. Después de la campaña una muestra de 10 adultos muestra el siguiente consumo en litros. 1.5 1.6 1.5 1.4 1.9 1.4 1.3 1.9 1.8 1.7 A un nivel de significancia de 0.01, ¿Se puede concluir que se ha elevado el consumo de agua? Calcule e interprete el valor de p. Ejercicio 9: Los estudiantes de una clase de S. University cuestionan la afirmación de que Burger coloca 0.25 libras de carne en sus hamburguesas de cuarto de libra. Algunos estudiantes argumentan que en realidad se utiliza más, mientras que otros insisten que es menos. Para probar la afirmación publicitaria que el peso promedio es de 0.25 libras, cada estudiante compra una hamburguesa de cuarto de libra y la lleva a clase, en donde la pesan en una balanza suministrada por el instructor. Los resultados de la muestra son: Media muestral= 0.22 libras y s= 0.09. Si hay 25 estudiantes en clase. ¿A qué conclusiones llegarían a un nivel de significancia de 5%? Las hipótesis son: H0 : μ = 0.25 y H1 : μ ≠ 0.25 Debido a que n es menor que 30, t se calcula como Ejercicio 10: The American Club (Akc) Reportó en su publicación estadounidenses propietarios de perros (American Dogs Owners) (Abril de 1997) Que los perros cocker, de un año de edad deberían pesar un poco más de 40 libras (μ > 40 ) si han recibido una nutrición apropiada. Para probar la hipótesis H0 : μ ≤ 40 y H1 : μ > 40 . Hills Productor de alimentos para la dieta de los perros, pesa 15 perros cocker de un año de edad y descubre una media de 41.17 libras, con s= 4.71 libras. Seleccionando una probabilidad de 1% de cometer un error tipo 1. PRUEBAS DE HIPOTESIS PARA PROPORCIONES. Ejercicio 1: Un informe reciente de la industria de seguros indico que 40% de las personas implicadas en accidentes de tránsito menores había tenido por lo menos un accidente los pasados 5 años. Un grupo de asesoría decidió investigar dicha afirmación pues creía que la cantidad era muy grande. Una muestra de 200 accidentes de tránsito de este año mostró que 74 personas también estuvieron involucradas en otro accidente los pasados 5 años. Utilice el nivel de significancia 0.01. a ) ¿Se puede emplear z como estadístico de la prueba? Indique la razón. b ) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. c ) Muestre gráficamente la regla de decisión d ) Calcule el valor z y plantee su decisión respecto de la hipótesis nula. e ) Determine e interprete el valor p
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Ejercicio 2: Como director de las operaciones de mercadeo para una gran cadena minorista, usted considera que el 60% de los clientes de la firma se han graduado de la universidad. Usted intente establecer una importante política respeto a la estructura de precios sobre esta proporción. Una muestra de 800 clientes revela que 492 clientes tienen grados universitarios, produciendo una proporción muestral de p=492/800= 0.615. A un nivel del 5%, ¿Qué puede concluir sobre la proporción de todos los clientes que se han graduado de la universidad? Sus hipótesis son H0 : π = 0.60 y H1 : π ≠ 0.60 Ejercicio 3: Al igual que con las pruebas para las medias las pruebas de hipótesis de una sola cola para las proporciones pueden tener cola a la derecha o a la izquierda. Considerando esta prueba con cola a la izquierda, EL CEO de una gran firma manufacturera debe garantizar que por lo menos 75% de sus empleados han concluido un curso avanzado de capacitación. De los 1200empleados seleccionados aleatoriamente, 875 lo han hecho. EL CEO registra su asistencia para probar esta hipótesis y calcular el valor p. A un nivel de significancia del 5%, ¿Qué conclusiones incluye usted en su reporte? debido a que por lo menos el 75% se escribe como π≥ 0.75, las hipótesis son: H0 : π ≥ 0.75 y H1 : π < 0.75 Ejercicio 4: Sean las siguientes hipótesis H0 : π ≤ .70 y H1 : π > .70. Una muestra de 100 observaciones reveló que p=0.75. ¿Puede rechazar la hipótesis nula en el nivel de significancia 0.05? a ) Formule la regla de decisión b ) Calcule el valor estadístico de prueba c ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? Ejercicio 5: Sean las siguientes hipótesis H0 : π = .40 y H1 : π ≠ .40 Una muestra de 120 observaciones reveló que p=0.30. ¿Puede rechazar la hipótesis nula en el nivel de significancia de 0.05? a ) Formule la regla de decisión b ) Calcule el valor estadístico de prueba c ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? ERROR TIPO II Ejercicio 1: Repase el ejemplo anterior. Suponga que la media real de un lote de barras de acero que llega es de 10 180 psi. ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector de control de calidad acepte las barras como si tuvieran una media de 10 000 psi? (Parece poco probable que las barras de acero se rechacen si la fuerza de tensión es mayor que la especificada. No obstante, puede ser que la clavija tenga una doble función en un motor fuera de la borda. Tal vez esté diseñada para que no se desprenda si el motor golpea un objeto pequeño, aunque si lo haga si golpea una roca. Por consiguiente el acero no debe ser demasiado fuerte.)
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El área no sombreada de la gráfica 10-10, región C, representa la probabilidad de aceptar por error la hipótesis que indica que la fuerza de tensión media de las barras de acero es de 10 000 psi. ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error tipo II?
PRUEBA DE HIPOTESIS DE DOS MUESTRAS Ejercicio 1: Tom Sevits, propietario de Appliance Patch, observó una diferencia en el total en dólares de las ventas entre los hombres y las mujeres que emplea como agentes de ventas. Una muestra de 40 días reveló que los hombres venden una media de $1 400 por concepto de venta de aparatos por día. En una muestra e 50 días, las mujeres vendieron una media de $1 500 por concepto de venta de aparatos por día. Suponga que la desiacioon estándar de los hombres es de $200 y la de las mujeres de $25. Con un nivel de significancia de 0.05. ¿Puede concluir el señor Sevits que la cantidad media que vende por día las mujeres es mayor? a ) Formule la hipótesis nula y alternativa b ) ¿Cuál es la regla de decisión? c ) ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba? d ) ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? e ) ¿Cuál es el valor p? f ) Interprete el resultado Ejercicio 2: considere una muestra de 40 observaciones de una población con una desviación estándar de la población de 5. La media muestral es 102. Otra muestra de 50 observaciones de una segunda población, tiene una desviación estándar de la población de 6. La media muestral es de 99. Realice la prueba de hipótesis siguiente con el nivel de significancia de 0.04 H0 : μ1 = μ2 y H1 : μ1 ≠ μ2 a ) ¿ Se trata de una prueba de una o de dos colas? b ) Formule la regla de decisión c ) Calcule el valor del estadístico de prueba. d ) ¿Cuál es su decisión respecto de H0? e ) ¿Cuál es el valor p? Ejercicio 3: Considere una muestra de 65 observaciones de una población con una desviación estándar de la población de 0.75. La media muestral es 2.67. Otra muestra de 50 observaciones de una segunda población tiene una desviación estándar de la población de 0.66. La media muestral es 2.59. Realice la prueba de hipótesis siguiente con el nivel de significancia de 0.08. H0 : μ1 ≤ μ2 y H1 : μ1 > μ2 a ) ¿ Se trata de una prueba de una o de dos colas? b ) Formule la regla de decisión c ) Calcule el valor del estadístico de prueba. d ) ¿Cuál es su decisión respecto de H0? e ) ¿Cuál es el valor p? 15
Ejercicio 4: Robert S. es vicepresidente de mercadeo en First City Bank, en Atalnta. Los recientes esfuerzos promocionales para atraer nuevos depositantes incluyen algunos juegos y premios en cuatro sucursales del bando, Robert está convencido de que diferentes tipos de premios atraerían a diferentes grupos de ingreso. Las personas de un nivel de ingreso prefieren los regalos, mientras que los de otro grupo de ingreso pueden sentirse más atraídos por viajes gratuitos a sitios favoritos para pasar vacaciones. Robert decide utilizar el monto de los depósitos como una medida representativa del ingreso. El desea determinar si existe una diferencia en el nivel promedio de depósitos entre las cuatro sucursales. Si se halla alguna diferencia, Robert ofrecerá una diversidad de premios promocionales. Aquí aparecen siete depósitos seleccionaos aleatoriamente de cada sucursal, aproximado al US$100 más cercano. Hay c= 4 tratamientos (muestras) r= 7 observaciones en cada tratamiento. El número total de observaciones es n = rc = 28 Depósito Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Sucursal 4 1 5.1 1.9 3.6 1.3 2 3 4 5
4.9 5.6 4.8 3.8
1.9 2.1 2.4 2.1
4.2 4.5 4.8 3.9
1.5 0.9 1.0 1.9
6 7 x
5.1 4.8 4.87
3.1 2.5 2.29
4.1 5.1 4.31
1.5 2.1 1.46
(5.1 + 4.9+…+2.1) x= 28 x =3.23 Robert desea probar la hipótesis al nivel del 5% que H0 : μ1 = μ2 = μ3 = μ4 y H1 : No todas las medias son iguales. PRUEBA DE PROPORCIONES DE DOS MUESTRAS Ejercicio 1: De 150 adultos que probaron un nuevo pastel sabor durazno , 80 lo calificaron como excelente. De 200 niños muestreados, 123 lo calificaron como excelente. Con un nivel de significancia de 0.10 ¿Puede concluir que existe una diferencia significativa entre la proporción de adultos y la de niños que calificaron el nuevo sabor como excelente? a ) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b ) ¿Cuál es la probabilidad de un error tipo I? c ) ¿Se trata de una prueba de una o dos colas? d ) ¿Cuál es la regla de decisión? e ) ¿Cuál es el valor estadístico de la prueba? f ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? g ) ¿Cuál es el valor p? Explique qué significa en términos de este problema 16
Ejercicio 2: La hipótesis nula y la alternativa son H0 : π1 ≤ π2 y H1 : π1 > π2 Una muestra de 100 observaciones de la primera población indicó que X2 es 90. Utilice el nivel de significancia de 0.05 para probar la hipótesis a ) Formule la regla de decisión b ) Calcule una porción conjunta c ) Calcule el valor estadístico de la prueba d ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? PRUEBA E HIPÓTESIS CON DES. EST. DESCONOCIDA Y DES. EST. POBLACIONAL IGUALES. Ejercicio 1: El gerente de producción de Bellevue Steel, fabricante de silla de ruedas, desea comprar el número de sillas de ruedas defectuosas producidas en el turno matutino con el turno vespertino. Una muestra de la producción de 6 turnos matutinos y 8 vespertinos reveló el número de defectos siguiente Matutino 5 8 7 6 9 7 Vespertino 8 10 7 11 9 12 14 9 Con un nivel de significancia de 0.05, ¿Hay alguna diferencia entre el número medio de defectos por turno? a ) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b ) ¿Cuál es la regla de decisión? c ) ¿Cuál es el valor estadístico de la prueba? d ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? e ) ¿Cuál es el valor p? f ) Interprete el resultado g ) ¿Cuáles son las suposiciones necesarias de esta prueba? MEDIAS POBLACIONALESCON DESVIACIONES ESTÁNDARES DESIGUALES Ejercicio 1: Con frecuencia para las compañías es útil saber quiénes son sus clientes y como se convirtieron en lo que son. Una compañía de tarjetas de crédito tiene interés en saber si la tarjetahabiente la solicitó por interés propio o si fue contactado por teléfono por un agente. La compañía obtuvo la información muestral siguiente respecto de los saldos al final del mes de los dos grupos. Fuente Media Desviación Estándar Tamaño de la muestra Solicitantes $ 1 568 $ 356 10 Contactados $1 967 $ 857 89 ¿Es razonable concluir que el saldo medio de los tarjetahabientes que fueron contactados por teléfono es mayor que el de quienes solicitaron tarjeta por cuenta propia? Suponga que las desviaciones estándares de las poblaciones no son iguales. Utilice el nivel de significancia de 0.05.
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a ) Formule la hipótesis nula y la alternativa b ) ¿Cuántos grados de libertad hay? c ) ¿Cuál es la regla de decisión? d ) ¿Cuál es el valor del estadístico de la prueba? e ) ¿Cuál es su decisión respeto de la hipótesis nula? f ) Interprete el resultado Ejercicio 2: En los ejercicios 19 y 20 suponga que las poblaciones muestrales no tienen desviaciones estándares iguales y utilice el nivel de significancia 0.05: a ) Determine el número de grados de libertad; b ) Formule la regla de la decisión; c ) Calcule el valor del estadístico de prueba y d ) Tome su decisión a cerca de la hipótesis nula. 19. Las hipótesis nula y alternativa son: H0 : μ1 = μ2 y H1 : μ1 ≠ μ2 Una muestra aleatoria de 15 elementos de la primera población reveló una media de 50 y una desviación estándar de 5. Una muestra de 12 elementos para la segunda población reveló una media de 46 y una desviación estándar de 15. 20. La hipótesis nula y la alternativa son: H0 : μ1 ≤ μ2 y H1 : μ1 > μ2 Una muestra aleatoria de 20 elementos de la primera población reveló una media de 100 y una desviación estándar de 15. Una muestra de 16 elementos de la segunda población reveló una media de 94 y una desviación estándar de 8. Utilice el nivel de significancia de 0.05 Ejercicio 3: La publicidad que realiza Slyph Fitness Center afirma que al terminar su entrenamiento las personas bajarán de peso. Una muestra aleatoria de ocho participantes recientes reveló los pesos siguientes antes y después de terminar el entrenamiento. Con un nivel de significancia de 0.01. ¿Se puede concluir que los participantes bajan de peso? Nombre Antes Después Hunter 155 154 Cashman 228 207 Marvine 141 147 Massa 162 157 Creola 211 196 Peterson 164 150 Reding 184 170 Poust 172 165 a )Formule la hipótesis nula y la alternativa b ) ¿Cuál es el valor crítico de t? c ) ¿Cuál es el valor calculado de t? d ) Interprete el resultado. ¿Cuál es el valor p? e ) ¿Qué suposición necesita acerca de la distribución de las diferencias?
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COMPARACION DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES Ejercicio 1: Steele Electri Products, Inc., ensambla componentes eléctricos para teléfonos celulares. Durante los últimos 10 días. Mark Nagy ha promediado 9 productos rechazados, con una desviación estándar de 2 rechazos por día. Debbie Richmond promedió 8.5 productos rechazados, con una desviación estándar de 1.5 rechazos durante el mismo periodo. Con un nivel de significancia de 0.05 ¿Podría concluir que hay más variación en el número de productos rechazados por día de Mark? Ejercicio 2: ¿Cuál es el valor crítico de F de una muestra de seis observaciones en el numerador y cuatro en el denominador? Utilice una prueba de dos colas y el nivel de significancia de 0.10 ¿Cuál es el valor crítico de F de una muestra de cuatro observaciones en el numerador y siete en el denominador? Utilice una prueba de una cola y el nivel de significancia de 0.01 Ejercicio 3: Se dan las siguientes hipótesis: H0 : σ²1 = σ²2 y H1 : σ²1 = σ²2 En una muestra aleatoria de ocho observaciones de la primera población resultó una desviación estándar de 10. En na muestra aleatoria de seis observaciones, de la segunda población resultó una desviación estándar de 7. A un nivel de significancia de 0.02 ¿Hay alguna diferencia entre las variaciones de las poblaciones? Se dan las siguientes hipótesis: H0 : σ²1 ≤ σ²2 y H1 : σ²1 > σ²2
Ejercicio 4: En una muestra aleatoria de cinco observaciones de la primera población resultó una desviación estándar de 12 . Una muestra aleatoria de siete observaciones de la segunda población reveló una desviación estándar de 7. A un nivel de significancia de 0.01. ¿Varía más la primera población? ANÁLISIS DE VARIANZA: ANOVA Ejercicio 1: Citrus Clean es un nuevo limpiador multiusos a prueba en el mercado, del cual se han colocado exhibidores en tres lugares distintos dentro de varios supermercados. A continuación se reporta la cantidad de botellas de 12 onzas que se vendieron en cada lugar del supermercado. Cerca del pan 18 14 19 17 Cerca de la cerveza 12 18 10 16 Cerca de otros limpiadores 26 28 30 32 A un nivel de significancia de 0.05, ¿hay alguna diferencia entre los promedios de botellas que se vendieron en los tres lugares? a ) Formule la hipótesis nula y alternativa b ) ¿Cuál es la regla de decisión? c ) Calcule los valores de SS total, SST y SSE d ) Elabore una tabla ANOVA e ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula?
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Ejercicio 2: La siguiente es información muestral. Verifique la hipótesis de que las medias de tratamiento son iguales. Utilice el nivel de significancia de 0.05 Tratamiento 1 Tratamiento 2 Tratamiento 3 8 3 3 6 2 4 10 4 5 9 3 4 a ) Formule la hipótesis nula y alternativa b ) ¿Cuál es la regla de decisión? c ) Calcule los valores de SS, SST y SSE total d ) Elabore una tabla ANOVA e ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? Ejercicio 3: La siguiente es información muestral. Verifique la hipótesis con un nivel de significancia de 0.05 de que las medias de tratamiento son iguales Tratamiento 1 Tratamiento 2 Tratamiento 3 9 13 10 7 20 9 11 14 15 9 13 14 12 15 10 a ) Formule la hipótesis nula y alternativa b ) ¿Cuál es la regla de decisión? c ) Calcule los valores de SS, SST y SSE total d ) Elabore una tabla ANOVA e ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? Ejercicio 4: Los siguientes datos son colegiaturas por semestre (en miles de dólares) de una muestra de universidades privadas en varias regiones de Estados Unidos. A un nivel de significancia de 0.05, ¿se puede concluir que hay una diferencia entre las colegiaturas medias de las diversas regiones? Noreste (en miles de dólares) Sureste (en miles de dólares) Oeste (en miles de dólares) 10 8 7 11 9 8 12 10 6 10 8 7 12 6 a ) Formule la hipótesis nula y alternativa b ) ¿Cuál es la regla de decisión? c ) Elabore una tabla ANOVA ¿Cuál es el valor estadístico de prueba? 20
d ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? e ) ¿Puede existir diferencia significativa entre la colegiatura media en el noreste en comparación con la del oeste? Si la hay, desarrolle el intervalo de confianza de 95% de esa diferencia.
Ejercicio 5: Con la siguiente información muestral, compruebe la hipótesis de que las medias del tratamiento son iguales con un nivel de significancia de 0.05 Tratamiento 1 Tratamiento 2 Tratamiento 3 8 3 3 11 2 4 10 1 5 3 4 2 a ) Formule la hipótesis nula y alternativa b ) ¿Cuál es la regla de decisión? c ) Calcule los valores de SS, SST y SSE total d ) Elabore una tabla ANOVA e ) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula? f ) Si se rechaza H0 ¿puede concluir que el tratamiento 1 y el 2 difieren? Utilice el nivel de confianza de 95% Ejercicio 6: Rudduck Shampoo vende tres tipos de champúes: para cabello seco, normal y graso. En la tabla siguiente se presentan las ventas, en millones de dólares, de los últimos cinco meses. Con un nivel de significancia de 0.05, compruebe si las ventas medias difieren entre los tres tipos de champúes o según el mes. Ventas (millones de dólares) Mes Seco Normal Graso Junio 7 9 12 Julio 11 12 14 Agosto 13 11 8 Septiembre 8 9 7 Octubre 9 10 13
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ANÁLISIS DE VARIANZA: ANOVA DE DOS VÍAS CON INTERACCIÓN Ejercicio 1: Vea la siguiente tabla ANOVA Fuente de variación Factor A Factor B Interacción Error Total
SS 6.41 5.01 33.15 14.83 59.41
ANOVA gl 3 2 6 24 35
MS 2.137 2.507 5.525 0.618
F 3.46 4.06 8.94
Valor p 0.0322 0.0304 0.0000
Utilice el nivel de significancia de 0.05 para responder las siguientes preguntas a ) ¿Cuántos niveles tiene el factor A? ¿Existe una diferencia significativa entre las medias del factor A? ¿Cómo lo sabe? b ) ¿Cuántos niveles tiene el factor B? ¿Existe una diferencia significativa entre las medias del factor B? ¿Cómo lo sabe? c ) ¿Cuántas observaciones hay en cada celda? ¿Existe alguna interacción significativa entre el factor A y el factor B sobre la variable de respuesta? ¿Cómo lo sabe?
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