podemos formar el siguiente cuadro: i
ua
u b
uc
ud
f(uc)
f(ud)
1
0
20
7,618
12,380
61,629
41,200
2
0
12,380
4,761
7,618
52,118
61,629
3
4,761
12,380
7,618
9,522
61,629
58,903
4
4,761
9,522
6,665
7,618
60,271
61,629
5
6,665
9,522
7,618
8,570
61,629
61,672
6
6,665
8,570
7,618
7,618
61,629
61,629
Vemos entonces que podemos tomar como máximo el valor:
u = 7,618 → f(u) = 61,629
Y este valor se diferencia del máximo teórico en: 61,685 – 61,629 = 0,056 << 1 Tal como habíamos considerado.
Ejercicios de optimización - Enunciado 2 Resolver el siguiente problema de programación lineal:
−10 x1−20 x2−3 x3
sujeto a:
x1+ x2≤6; x x2+ x3≤6; x x1+ x3≤26; x xi≥0
Solución. En primer lugar, añadimos a todas las inecuaciones una variable de holgura:
De este sistema podemos tomar como solución básica : x1 = x2 = x3 ; x4 = 6 ; x5 = 6 ; x6 = 2 → F b = 0 En estas condiciones podemos construir la tabla del algoritmo simples, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones: 2
podemos formar el siguiente cuadro: i
ua
u b
uc
ud
f(uc)
f(ud)
1
0
20
7,618
12,380
61,629
41,200
2
0
12,380
4,761
7,618
52,118
61,629
3
4,761
12,380
7,618
9,522
61,629
58,903
4
4,761
9,522
6,665
7,618
60,271
61,629
5
6,665
9,522
7,618
8,570
61,629
61,672
6
6,665
8,570
7,618
7,618
61,629
61,629
Vemos entonces que podemos tomar como máximo el valor:
u = 7,618 → f(u) = 61,629
Y este valor se diferencia del máximo teórico en: 61,685 – 61,629 = 0,056 << 1 Tal como habíamos considerado.
Ejercicios de optimización - Enunciado 2 Resolver el siguiente problema de programación lineal:
−10 x1−20 x2−3 x3
sujeto a:
x1+ x2≤6; x x2+ x3≤6; x x1+ x3≤26; x xi≥0
Solución. En primer lugar, añadimos a todas las inecuaciones una variable de holgura:
De este sistema podemos tomar como solución básica : x1 = x2 = x3 ; x4 = 6 ; x5 = 6 ; x6 = 2 → F b = 0 En estas condiciones podemos construir la tabla del algoritmo simples, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones: 2
1ª) Se construye una primera fila con una celda menos que las restantes y se coloca en ella, a partir de la tercera celda, los coeficientes co eficientes de las variables de la función a minimizar, en orden creciente de los subíndices y haciendo h aciendo nulos los coeficientes de las variables v ariables de holgura. 2ª) Se construye una segunda fila colocando debajo de cada uno de los números anteriores la variable correspondiente y a continuación tantas filas como condiciones restrictivas se tengan, anotando sus coeficientes en la columna correspondiente a cada variable. 3ª) Si hay n condiciones restrictivas, en las dos segundas columnas de la tabla y desde la tercera hasta la n+1 fila se colocan los coeficientes de las variables no nulas en la solución básica y los valores de dichas variables. 4ª) En la fila n+1 y a p artir de la tercera columna, se colocan los valores Cq - Fq obtenidos de restar al elemento m-ésimo de la primera p rimera fila el producto ai.vmi. 5ª) En la celda correspondiente a la segunda fila, tercera columna, se coloca la suma de todos los productos de todos los pares de la tercera consideración (este valor corresponde al que toma la función a minimizar en la situación presente). Mas detalles a lo largo del texto. A partir de las consideraciones anteriores podemos construir la tabla que v iene a continuación. En ella buscaremos el llamado elemento pivote, que estará en la intersección de la columna cuya última fila sea más m ás negativa y la fila que haga h aga mínimo al cociente del elemento de la tercera columna con el de la considerada. Si hay varios elementos que cumplen dicha condición, se escoge uno.
Observamos que el valor C2 - F2 es el valor mas pequeño de todos los Cq - Fq y además negativo, por lo que no estamos en el punto óptimo y el vector a introducir en la base es el a2. En este caso no podemos aplicar ap licar los criterios de salida para sacar un vector de la base pero elegimos el a4. De ese modo, el pivote es v12 = 1. Todos los elementos de la fila del pivote quedan divididos por él y todos los de su columna se anulan excepto él. Para los demás elementos vij tomamos :
Para facilitar estas transformaciones se puede proceder por filas ya qu e en este caso se 3
tendría, por ejemplo para la segunda:
En este caso v22 = 1 y no se anula el factor correspondiente (salvo que sea nulo v1j) pero podría ocurrir que v22 fuera nulo y ello simplificaría las operaciones. Para los elementos de la tercera columna que deban transformarse tomamos:
Esto salvo para el elemento que nos da el valor de la función (el primero de la columna) en la situación presente, que se calcula del mismo modo que para la tabla anterior. Para ello se cambian antes los elementos de la segunda columna escribiendo en su lugar el coeficiente según la función a minimizar, de cada una de las variables de la base. Finalmente, los elementos Cq - Fq se toman como en el caso de la primera tabla.
Vemos que el valor C3 - F3 es negativo por lo que estamos en el punto óptimo y el vector a introducir en la base es el a3. Para determinar el vector que debe salir consideramos el criterio:
De ese modo el pivote para la nueva tabla es v32 = 1 y con los pasos ya explicados se tendrá:
4
Tenemos que todos los Cq - Fq son positivos por lo que hemos llegado a la solución óptima para la que se tiene: a1 = 0 (no está en la base) ; a 3 = 0 ; a2 = 6 → Fmin(x 1, x 2, x 3) = - 120
Ejercicios de optimización - Enunciado 3 Resolver el siguiente problema de programación cu adrática: Mínimo de la función:
z =( x1−2)2+( x2−2)2
Sujeto a:
x1 + 2 x2
≤ 3; 8 x1 + 5 x2 ≥ 10; xi ≥ 0 Solución
Para desarrollar el problema hacemos: (x 1 - 2)² + (x 2 - 2)² = a² Y tenemos una circunferencia de radio a y centro en (2, 2). Por lo tanto, para obtener el mínimo de z necesitamos calcular el mínimo valor de a que cumple las restricciones. Gráficamente tenemos la situación de la figura y en ella vemos que el valor mínimo de a que verifica las restricciones es el de la perpendicular desde el punto (2, 2) a la recta dada por:
pues en dicho punto se tiene:
y de ese modo se cumplen todas las restricciones.
5
Para obtener la perpendicular hacemos:
y puesto que pasa por el punto (2, 2):
con lo que tendremos:
Ejercicios de optimización - Enunciado 4 Resolver el siguiente problema de programación cu adrática. Minimizar la función:
2 x21 + 2 x22 − 6 x1 − 2 x1 x2
sujeto a
x1 + x2
≤ 2; xi ≥ 0
Solución Podemos escribir la función objetivo en la forma:
y el problema consiste en minimizar el valor de K. 6
La expresión representa la ecuación de una cónica y para ver a que tipo de cónica se refiere, calculamos el discriminante:
y, por lo tanto, tenemos una elipse (cuando el discriminante vale 0 la ecuación se refiere a una parábola y cuando es menor que cero a una hipérbola. Para que la elipse sea real debe cumplirse Δ < 0 y tenemos:
Esto nos da para la función objetivo sin restricciones un valor mínimo de K = -6. El centro de esta elipse se encuentra como sigue:
Por otro lado, el campo de control corresponde a la zona rallada de la figura adjunta.
Según eso, vemos que el valor mínimo de z resultará cuando la recta x 1 + x2 = 2 sea tangente a la elipse. La ecuación de la tangente a la elipse en un punto (x' 1, x'2 viene dada por: 7
con lo que tendremos: x'1(4.x1 - 2.x2 - 6) + x'2(4.x2 - 2.x'1) + (- 6.x1 - K) = 0 Y operando: (4.x'1 - 2.x'2 - 6).x1 + (4.x'2 - 2.x'1).x2 - ( 6.x'1 + K) = 0 Esta recta tiene que tener la misma pendiente que x 1 + x2 = 2, por lo que tendremos:
Como el punto ha de pertenecer a la recta x 1 + x2 = 2, resultará : x'1 + x'2 = 2 ? x' 1 + x'1 - 1 = 2 ? x' 1 = 3/2 ; x' 2 = 1/2 y el valor mínimo de z será: z min = -11/2
Ejercicios de optimización - Enunciado 5 Resolver el siguiente problema de programación cu adrática. Minimizar la función:
−10 x1 −20 x2 − x1 x2 − 2 x21 − 2 x22
sujeto a:
x2 + x3 = 8;
x1 + x2 + x4 = 10; xi
≥ 0
Solución En este problema vemos que las variables x 3 y x4 no afectan a la función objetivo por lo que nos interesa que sean nulas. De ese modo, si planteamos el problema con las restricciones
es fácil ver que tomando los valores x 2 = 8 ; x1 = 2, se cumplen en grado óptimo y obtenemos el valor mínimo de la función objetivo: x2 = 8 ; x 1 = 2 ; x 3 = 0 ; x 4 = 0 → Fmin = - 332.
8
Ejercicios de optimización - Enunciado 6 Resolver el siguiente problema de programación cu adrática. Obtener el mínimo de la función:
−2 x1− x2+ x21
sujeto a :
2 x1+3 x2≤6;2 x1+ x2≤4; xi≥0 Solución Para desarrollar el problema podemos hacer:
De ese modo tenemos una parábola con un mínimo en
y corta al eje x1 en:
Y puede comprobarse que se desplaza hacia arriba al disminuir el valor de C. El campo de control viene dado por el recinto rayado ABDE, que está definido por las condiciones dadas en el enunciado del problema.
9
Por lo tanto, dada la posición del mínimo de (*) y dado que el punto buscado ha de pertenecer a la frontera de ABDE, la posición mas elevada (mínimo de C) de la parábola será la que sea tangente a la recta AB .- 2x 1 + 3x2 = 6. Esta recta tiene una pendiente de –2/3, con lo cual :
y sustituyendo este valor de x 1 en la ecuación de la recta AB:
por lo que, finalmente:
Ejercicios de optimización - Enunciado 7 Resolver el siguiente problema de programación cu adrática. Mínimo de la función
− x1 − x2 + 12( x21+ x22)
sujeto a :
x1 + x2
≤ 1; 4 x1 + 2 x2 ≤ 7/3; xi ≥ 0 Solución
Vamos a resolver el problema gráficamente. La función a minimizar puede escribirse en la forma:
que es una circunferencia de radio y centro (1, 1). Por lo tanto, para obtener el mínimo de F necesitamos calcular el mínimo valor de r (ó a) que permita cumplir las restricciones.
10
Según el esquema adjunto, el valor mínimo de r que hace cumplir las restricciones es el de la intersección de la perpendicular desde el punto (1, 1) a la recta da por la ecuación :
pues en dicho punto se tiene, tal como se aprecia en el esquema:
y de ese modo se cumplen todas las restricciones. La ecuación de la perpendicular será aquella que cumpla:
y puesto que pasa por el punto (1, 1) :
De ese modo tendremos :
11
y el valor mínimo de la función será :
Ejercicios de optimización - Enunciado 8 Obtener el mínimo de la función:
3 x1 + x2 + 32 x3 sujeto a :
x1 + x2 + x3 = 1; 15 x1 + 32 x2 ≤ 35; 36 x1 + 24 x2 + 48 x3 ≥ 32
Solución Considerando la primera de las restricciones podemos escribir :
y de ese modo el problema se transforma en obtener el mínimo de:
sujeto a
que resolvemos gráficamente.
12
Haciendo x1 = 0 y x2 = 0, respectivamente, en cada una de las rectas que señalan restricciones, se tiene: Para la recta límite de la primera restricción los puntos de corte con los ejes (0, 0,4) y (3, 0) y para la recta límite de la segunda restricción los puntos de corte con los ejes (0, 0,66) y (1,33, 0). En la figura hemos rayado el campo de control y en ella vemos que el mínimo valor de la recta objetivo que cumple todas las restricciones es el punto (x 1 = 0 ; x 2 = 0,4); por lo tanto :
y el valor de las variables para el problema original es : x 1 = 0 ; x 2 = 0,4 ; x 3 = 0,6.
13
Ejercicios de optimización - Enunciado 9 Maximizar la función
x1+ x2 sujeto a :
x1+ x2≥1; x1− x2≤1;− x1+ x2≤1; xi≥0 Solución
Consideramos el problema gráficamente. El campo de control está rayado en la figura.
En ella podemos ver que la solución óptima no es finita.
14
Ejercicios de optimización - Enunciado 10 Maximizar la función
z =3 x1− x2
sujeto a :
2 x1+ x2≥2; x1+3 x2≤3; x2≤4; xi≥0
Ver Solución
Ejercicios de optimización - Enunciado 11 Resolver el siguiente problema de programación lineal. Minimizar la función:
2 y1 + 4 y2 + 3 y3 Sujeto a:
y1 − y2 − y3 ≤ −2;
−2 y1 − y2 ≤ −1; yi ≥ 0
SOLUCIÓN Las condiciones restrictivas son equivalentes a:
E introduciendo las variables de holgura y4 e y5 junto a la variable prefijada, y6, nos queda minimizar la función:
2•y1 + 4•y2 + 3•y3 + M•y6 Sujeto a:
Podemos tomar la solución básica:
De ese modo, la primera tabla para el desarrollo del algoritmo del método el simplex nos queda como sigue:
15
De todos los Cq-Fq el menor de ellos corresponde a C1-F1 ; por lo tanto, el criterio de entrada nos permite colocar en la base el vector y1. El criterio de salida nos da para sacar el vector y6. De ese modo, operando tenemos:
Para la siguiente tabla ya no necesitamos considerar la variable prefijada y6, pues su término C6 – F6 puede hacerse tan positivo como queramos. Aplicando el criterio de entrada, la nueva base acoge al vector y2 y saca al vector y1. El pivote será, por tanto v22:
Puesto que todos los Cq-Fq son positivos, hemos alcanzado el punto óptimo y la solución del problema es:
Ejercicios de optimización - Enunciado 12 Resolver el siguiente problema de programación lineal. Mínimo de la función:
−6 x1−8 x2−2 x3
Sujeto a:
x1 + x2
≤ 4; x2 + x3 ≤ 3; x1 + x3 ≤ 2; xi ≥ 0
SOLUCIÓN Pasamos a la forma regular mediante la introducción de variables de holgura:
16
Una solución básica para este sistema es:
Y aplicando el método de simplex, la primera tabla del algoritmo queda:
Según el criterio de entrada, introducimos en la base el vector a2 y según el criterio de salida sacamos el vector a5. De ese modo, el pivote de la transformación será v 22 y, aplicando las expresiones:
Tenemos para la segunda tabla:
En este caso vemos que el pivote de la transformación es v 11 y la tercera tabla resulta ser:
17
Puesto que todos los Cq – Fq son positivos, podemos decir que hemos encontrado la solución óptima del problema:
Ejercicios de optimización - Enunciado 13 Resolver el siguiente problema de programación lineal. Minimizar la función:
F (u)=−3u1−u2
Sujeto a:
y1≤7;u2≤9;u1+2u2≤22;4u1+u2≤32;ui≥0
Solución En primer lugar pasamos a la forma regular mediante la introducción de variables de holgura. Con ello la función objetivo queda igual y las restricciones toman la forma:
En esas condiciones podemos tomar como solución básica:
Y la primera tabla para desarrollar el algoritmo simplex será:
18
Por el criterio de entrada introducimos en la base el vector u 1 y por el criterio de salida sacamos el vector u 3. Por lo tanto, el pivote de la transformación es v 11 y, teniendo en cuenta la expresiones:
La segunda tabla del algoritmo será:
Es necesario aplicar otra vez el algoritmo, siendo en este caso el pivote v 42:
Para este caso el criterio de entrada nos permite introducir en la base el vector u 3 y el criterio de salida (vector estrictamente positivo) sacar u 5. Así:
19
Así, hemos llegado a la solución óptima que es:
Ejercicios de optimización - Enunciado 14 Minimizar la función:
F = x1+ x2+ x3 Sujeta a:
x1+ x2≥5; x2+ x3≤3; x1+ x3≤5; xi≥0
Solución A cada una de las inecuaciones le añadimos una variable de holgura:
Para obtener una solución básica consideramos el método de las penalizaciones añadiendo una variable prefijada, x 7, con un coste M en la función objetivo. F = x1 + x2 + x3 + M•x7 De ese modo, una solución básica para el problema ampliado es:
Y la primera tabla para el algoritmo simplex es:
20
Tenemos dos elementos negativos en la fila C q-Fq y ello significa que no estamos en la solución óptima. Para pasar a la segunda tabla del algoritmo tenemos dos posiciones a elegir. Tomaremos C 2 – F2 ya que ello nos permite aplicar mejor el criterio de salida. Así pues, el pivote de la transformación e s v 22 y la segunda tabla quedará:
El elemento C 1 – F1 es negativo por lo que tenemos que aplicar de nuevo el algoritmo. Como vector de entrada tomamos a 1 y como vector de salida a 7; por lo tanto, el pivote de la transformación es v 11 y la siguiente tabla será:
Puesto que todos los C q – Fq son positivos, podemos decir que la solución óptima del problema es:
21
Ejercicios de optimización - Enunciado 15 Resolver el siguiente problema de programación lineal. Máx imo de la función
z =−8 x1+3 x2−6 x3
Sujeto a:
x1−3 x2+5 x3=4;5 x1+3 x2−4 x3≥6; xi≥0
Solución El problema es idéntico al de minimizar la función: Z' = 8x1 -3x2 + 6x3 Aplicaremos el método simplex y para ello buscamos una solución básica por el método de las dos fases: Min : G(x) = x 5 + x6 Sujeto a:
Para el problema ampliado una solución básica es:
La primera tabla del algoritmo para el método de las dos fases es:
El pivote de la transformación es v 21 y la segunda tabla queda:
22
El pivote para este caso es v 13 y la tercera tabla es:
Hemos llegado a una solución óptima en la que la función objetivo, G(x) es nula; por lo tanto, el problema original tiene solución finita que podemos obtener aplicando nuevamente el algoritmo. Para la tabla siguiente hemos de cambiar la función objetivo y, por tanto, los C q – Fq:
Para la siguiente tabla el pivote es v 22 y tenemos:
23
Puesto que todos los C q – Fq son positivos hemos llegado a la solución óptima que es:
Este problema puede también resolverse de otro modo. Si consideramos la restricción que es igualdad, podemos despejar de ella una de las variables en función de las otras y rebajar el problema en una dimensión. En principio podemos suponer que la variable despejada no será nula al final por lo que nos interesa separar aquella que favorezca la optimización. En este caso tomaremos x2. De ese modo: 3•x2 = x1 + 5•x3 – 4 Y llevando este resultado a las otras expresiones:
En la expresión a maximizar vemos que cuanto más pequeño sea el valor de las variables sin llegar a ser negativo, mas se optimiza esta. Puesto que tiene que cumplirse la inecuación, es trivial que tomemos x 1 = 0. De ahí x 3 = 10. Considerando de nuevo la restricción igualdad se deduce inmediatamente x2 = 46/3 y, en consecuencia, F máx = - 14.
Ejercicios de optimización - Enunciado 16 Resolver el siguiente problema de programación lineal. Minimizar la función:
x1−2 x2+3 x3
Sujeto a:
−2 x1+ x2+3 x3=2;2 x1+3 x2+4 x3=1; xi≥0 Solución
Para encontrar una solución básica aplicamos el método de las dos fases. Para ello tenemos:
Sujeto a:
24
Y una solución básica inicial para este problema es:
Por lo que la primera tabla del algoritmo queda:
El pivote de la transformación es v 23 y las ecuaciones que nos permiten el cambio quedan:
Por lo que la segunda tabla es:
Puesto que todos los C q – Fq son positivos, podemos decir que hemos encontrado la solución óptima no nula del problema auxiliar, por lo tanto, el problema inicial no tiene solución.
25
Ejercicios de optimización - Enunciado 17 Resolver el siguiente problema de programación lineal. Max imizar la función:
x1+9 x2+ x3 Sujeto a:
x1+2 x2+3 x3≤9;3 x1+2 x2+2 x3≤15; xi≥0 Solución
Ejercicios de optimización - Enunciado 18 Resolver el siguiente problema de programación lineal. Minimizar la función:
−5u1−2u2
Sujeto a:
u1+u2≥2;3u1+u2≤4;ui≥0
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 19 Resolver el siguiente problema de programación lineal. Minimizar la función:
z =80 x1+60 x2 Sujeto a:
0,2 x1+0,32 x2≤0,25; x1+ x2=1; xi≥0
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 20 Resolver el siguiente problema de programación lineal. Max imizar la función:
95 x1+ x2−4 x3
Sujeto a:
x1+ x2+ x3≤1; x1+4 x2≤2;− x3≥−34; xi≥0
Ejercicios de optimización - Enunciado 21 Encontrar el valor mínimo del funcional:
∫101+ x˙2(t )−−−−−−−−√dt
Con las ligaduras x(0) = 0 ; x(1) = 1.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 22 Hallar el extremal del funcional:
∫10(tx˙+ x˙2)dt
Siendo x(0) = 1 ; x(1) = ¼
Ver Solución
26
Ejercicios de optimización - Enunciado 23 Hallar el extremal del funcional:
∫21( y˙2−tx˙ y)dt
Siendo x(1) = y(1) = 1 ; x(2) = 1/6 ; y(2) = 1/2
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 24 Hallar el extremal del funcional:
∫21 x˙(1+t 2 x˙)dt
Siendo x(1) = 1 ; x(2) = 1/2
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 25 Encontrar el valor mínimo del funcional:
∫10 x¨2dt Siendo x(0)= x˙(0)=1; x(1)= x˙(1)=0 Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 26 Hallar la línea de longitud más corta entre el punto (0, 1) y la parábola de ecuación x=t 2.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 27 Encontrar el control óptimo del sistema:
x˙=−2 x+u
Con la función de coste:
J =∫10u2dt
Que transfiera el sistema desde el estado x(0) = 1 al estado x(1) = 0.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 28 Aplicando el método basado en la función H de Pontryagin, obtener el control óptimo del sistema presentado en el ejercicio anterior, sujeto a la misma función de coste.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 29 Sea el sistema:
x˙=(001−1) x+(01)U
Con las condiciones iniciales:
x(0)=(11); x(1)=(00); E (u)=∫10(u− x2)2dt
Obtener el control optimo, u*(t).
Ver Solución
27
Ejercicios de optimización - Enunciado 30 Sea el sistema:
x˙=(0010) x+(01)u
Con la función de coste:
J =∫∞0(4 x21+u2)dt
Determinar el sistema de realimentación óptimo.
Ver Solución
Ejercicios de optimización - Enunciado 31 Determinar un punto de la curva dada por la ecuación:
y=2 x⋅e−3 x2 En el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 32 Queremos diseñar una tabla en forma de trapecio isósceles, cuya altura sea de 50 cm y cuyo perímetro menos la longitud de su base mayor mida 275 y que cumpla la condición de que su área sea máxima. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados?
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 33 Calcular las dimensiones más económicamente convenientes que deberá tener un marco de una ventana de 1 m² de superficie sabiendo que el coste del metro lineal de los lados verticales es de 10 euros y el de los lados horizontales es de 15 euros. Determinar también el coste aproximado del marco más económico.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 34 El consumo de un avión volando a una velocidad de x km/h viene dado por la expresión:
C = x250+5000 x Calcular la velocidad más económica y el coste equivalente
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 35 Construir un triángulo rectángulo de área máxima y perímetro igual a 5
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 36 Sea la parábola de ecuación:
y2−8 x=0
28
Determinar las coordenadas de los puntos cuya distancia al punto P(6,0) sea mínima.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 37 3
Calcular las proporciones más económicas de una lata cilíndrica de V cm de volumen.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 38 Hallar un número tal que el exceso sobre su cuadrado sea máximo.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 39 Un rectángulo tiene A m² de superficie. Calcular sus dimensiones para que, siendo constante su superficie, el perímetro sea mínimo.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 40 Con una cartulina cuadrada de 18 cm² de lado, se desea construir una caja y para ello se corta un pequeño cuadrado en cada esquina de la cartulina, doblando las solapas resultantes. Calcular el lado de cada cuadrado para que la caja tenga el mayor volumen posible.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 41 Si se tiene la ecuación:
y3=6 xy− x3−1
Demuéstrese que se verifica:
dydx=2 y− x2 y2−2 x Y que el máximo y mínimo de y se encuentran, respectivamente en:
x3=8±214−−√ Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 42 Una pequeña editorial pretende poner en marcha una campaña de promoción de la última novela de uno de sus escritores y para ello va a lanzar al mercado dos formatos de presentación de la misma, libro de bolsillo y libro de tapa dura. En el departamento de impresión disponen de 140 horas para su tarea sobre el proyecto y en el departamento de encuadernación de 250. Los ingresos obtenidos por cada libro de bolsillo son de 10 euros y para su elaboración se requiere 1 hora en el departamento de impresión y 2 horas en el de encuadernación y los ingresos obtenidos por cada libro de tapa dura, son de 17 euros, 29
siendo 2 las horas necesarias para su elaboración en el departamento de impresión y 3 las necesarias en el de encuadernación. ¿Cuantos libros de cada uno de los formatos ha de publicar la editorial para obtener beneficio máximo y a cuanto ascienden los ingresos correspondientes.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 43 Dibujar la región definida por el siguiente sistema de inecua ciones:
3 x+5 y≤30; x−2 y≤6;2 x+12≥3 y; x≥0; y≥0
y calcular sus vértices. Determinar los puntos de dicha región en los que la función F ( x, y)=3 x+2 y alcanza los valores máximo y mínimo y calcular dichos valores.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 44 Determinar los extremos relativos de las funciones que se an otan a continuación, precisando si se trata de mínimos o máximos:
y= x3−3 x2+3 x; y=−3 x2+ x+1; y= x3−2 x2+ x+1
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 45 Un cono circular, recto tiene una superficie lateral dada, A. Demostrar que cuando su volumen es máximo, la razón entre la altura y el radio de la base es 2√:1.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 46 Aprovechando un largo muro de altura adecuada, queremos construir un corral rectangular de 200 metros cuadrados y para ello hemos pensado cerrar con tela metálica los tres lados restantes de una superficie rectangular para la qu e el muro será una de las paredes. Calcular las dimensiones de dicha superfcie rectangular para que el coste del corral sea mínimo.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 47 De todos los rectángulos de igual perímetro 2 p determinar las dimensiones del de área máxima.
Ver Solución Ejercicios de optimización - Enunciado 48 Hallar la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de altura h. 30
