ÍNDICE
Preliminares El campo magnético Fuerza del campo magnético sobre una carga móvil Fuerza del campo magnético sobre un conductor. Ley de Laplace Flujo del vector inducción a través de una superficie Campo creado por un elemento de carga y de corriente Campo creado por una corriente rectilínea indefinida Campo creado por una corriente c orriente circular en el centro de la espira Teorema de Ampere Acción entre dos corrientes paralelas e indefinidas Fenómenos de inducción electromagnética Fuerza electromotriz inducida. Ley de Faraday-Henry Ley de Lenz Inducción mutua. Autoinducción Producción de una f.e.m inducida
CONCEPTOS GENERALES PRELIMINARES El conocimiento de las acciones magnéticas se remonta a la antigüedad griega,pues ya entonces se había observado la acción de la magn etit sobre el hierro. Pero el estudio fundamentado etita a o pi edra i mán sobre del magnetismo y sus leyes tienen su inicio en el siglo XIX. El físico danés Oersted comprobó la comprobó interacción entre la corriente eléctrica y una aguja imantada, lo que indicaba que los efectos de imanes y corrientes eléctricas eran similares. Algunos años mas tarde, Faraday consiguió generar una corriente eléctrica en una espira variando la consiguió intensidad de corriente en un circuito próximo. Ambos resultados se deben a fuerzas originadas por la car ga elé ctr i ca en movi m ovimi mi ento . Estas fuerzas no son las electrostáticas ya estudiadas en el Capítulo 6, sino que tienen un carácter diferente (magnético), atribuible sin duda al movimiento de la carga eléctrica.
EL CAMPO MAGNÉTICO Después de haber estudiado las acciones (fuerzas) entre masas y cargas (Campos gravitatorio y eléctrico) parece razonable abordar los fenómenos magnéticos de esa misma forma, es decir, suponiendo que las acciones entre imanes y/o corrientes originan un campo de fuerzas, de modo que cualquier imán o corriente eléctrica modifica el espacio que les rodea creando lo que en adelante llamaremos Ca Cam m po m agn é ti co . El § 1 del Capítulo 4 definía con carácter general el concepto de campo. Su aplicación a n uestro caso concreto nos permite establecer la siguiente definición: « CAM CA M PO M AG AGNE NE TI CO es l a zona zona espacial espacial en l a cual se manif mani f i estan f enóme nómenos nos de atr acció acción no
r epu epull sión m agn é ti ca» ¿Cuál es la magnitud que representa este nuevo campo de fuerzas?. Si tomamos una aguja imantada o una brújula y la introducimos en el seno de un campo magnético, una vez alcanzado el equilibrio, la ducci cción ón magn m agné é ti ca , dirección que marca es la del llamado vector i n du es decir la SN ( Sur Sur -Norte ) tal como se muestra en la Fig 1.8. En ella se han reflejado las llamadas l ín eas de fu f u er erza za del cam campo po m agn é ti co que son líneas cerradas que salen de la cara NORTE del imán y entran en su cara SUR . El vector inducción es tangente a ellas en todos sus puntos. Mediante una aguja imantada podremos aproximarnos a la forma de las líneas de fuerza de un determinado campo magnético y establecer adecuadamente su sentido. Particularmente nos interesan los llamados cam , definidos como aquellos en los que el campos pos magn é ti cos un i f or mes vector inducción « . ti ene i gu gual al val or , dir ec ecci ció ón y sent sentii do en en todos t odos l os pun tos del mi smo» Campos magnéticos uniformes son los existentes en el interior de un largo solenoide (Bobina) o el producido entre las caras N-S de un imán tipo herradura (Fig 2.8). A lo largo del desarrollo del capítulo, y sobre todo, en la sección de ejercicios, tendremos ocasión de trabajar con este tipo de campos, que como puede observarse están representados por l ín eas de fu er erza za equ equii di distan stantes tes y paralelas.
1.-Fuerza del campo magnético sobre una carga móvil. Cuando una carga eléctrica +q penetra en un campo magnético de penetra inducción con velocidad , experimentalmente se comprueba que dicha carga queda sometida a una fuerza que viene dada por la expresión:
(1) Obsérvese que la dirección y sentido de la fuerza es la del producto
vectorial de los vectores y . La regla de la mano izqui izqui er da (Fig 3.8) proporciona la dirección de la fuerza. Si la carga es negativa , la fuerza invierte su sentido. En el caso que la carga se encuentre en reposo, la fuerza ejercida por el campo magnético sobre ella es nula , como se desprende de la fórmula (1). Es importante señalar que al actuar la fuerza sobre la carga móvil, esta se desvía de d e su trayectoria. Mientras permanece en el interior del campo magnético, suponiendo que las direcciones de la y del campo son perpendiculares entre sí, el movimiento de la carga es circular uni forme . En velocidad efecto, si aplicamos la 2ª Ley de la Dinámica al movimiento de la misma tendremos:
(2) donde R es el radio de curvatura de la trayectoria descrita por la carga. En la expresión anterior se han utilizado los módulos de las magnitudes vectoriales presentes en la fórmula (1).
2.-Fuerza del campo magnético sobre un conductor.Ley de Laplace. Cuando un conductor de longitud l que transporta una corriente de intensidad I se introduce en un campo magnético,este ejerce sobre él una fuerza cuyo valor puede obtenerse de la expresión (1). En efecto, puesto que el conductor transporta carga eléctrica móvil,cada una de ellas estará sometida a una fuerza dada por la citada fórmula (1). Bastará expresar la carga q en función de la intensidad I que circula por el conductor es:
y sustituir en (1), teniendo en cuenta que
. El resultado
(3) Observar que la dirección y sentido de la fuerza es la del producto vectori al de los vectores y . La regla de la mano izquierda (Fig 3.8) proporciona la dirección de la fuerza sin más que cambiar el vector por . La dirección y sentido de este último es la del senti do convencional de la cor riente que circula por el conductor. La expresión (3) en su forma escalar nos permite establecer la unidad S.I de la inducción magné ti ca . En efecto, despejando B tendremos:
3.-Flujo del vector inducción a través de una superficie. Hemos visto en las secciones anteriores que un campo magnético se representa mediante líneas de . En el § 14 del Capítulo 1 se definía el concepto de fl uj o de un vector a través de una superficie fuerza de forma genérica. En nuestro caso, el flujo del vector indu cción a través de una superficie es:
o
(4)
La segunda expresión se utilizará en el caso de una superficie elemental. En ambos casos,el fl ujo del vector indu cción puede definirse como «El conj unto de líneas de campo qu e atraviesan una superficie» La unidad S.I de flujo magnético es el Weber (Wb) que está relacionado con la unidad de inducción
magnética así: Puesto que el flujo del vector inducción está definido como el producto escalar de los vectores ,depende de ambos y del ángulo que forman entre sí. Debe recordarse que el vector normal(perpendicular) a la superficie que representa.
y
es
4.-Campo creado por un elemento de carga y de corriente. Cuando una carga eléctrica +q se mueve con velocidad
, en sus alrededores se origina un campo
magnético. Sea P un punto cuyo vector de posición respecto de la carga en un instante dado es
. El
vector inducción en P es: Si se trata de un elemento de carga +dq la expresión anterior toma la forma:
(5)
En el caso de un elemento de corriente, basta sustituir dq=I.dt , y teniendo en cuenta que para la inducción magnética:
resulta
(6)
5.-Campo creado por una corriente rectilínea indefinida. La expresión (6) puede utilizarse para determinar el v alor de la inducción magnética creada por un conductor rectilíneo indefinido en un punto P (Fig 4.8). Integrando entre los límites - y + resulta:
(7) Observar que esta expresión corresponde al módulo del vector inducción en un punto P situado a una distancia a del conductor y perteneciente a un plano perpendicular al mismo. Su sentido es el que da la regla de la mano derecha cuando se coge el conductor de modo que el dedo pulgar de esa mano señale el sentido convencional de la corriente y el giro de los dedos restantes el sentido del vector inducción en cada punto (Fig 5.8). Tanto en esta figura como en la Fig 4.8 pueden observarse las líneas de fuerza
del campo magnético y su sentido de giro. Señalar que la constante µ se le conoce como o cuyo valor en el S.I es: permeabilidad magné ti ca del vacío
6.-Campo espira.
creado por una corriente circular en el centro de la El campo magnético creado por un conductor cerrado sobre sí mismo (espira) tiene las líneas de fuerza en su interior, son perpendiculares al plano de la espira y cerradas sobre sí mismas (Fig 6.8). De acuerdo con la regla de la mano derecha, para determinar el sentido del vector inducción, bastara coger la espira en uno cualquiera de sus puntos con el dedo pulgar señalando el sentido de la corriente y verificar el giro de los restantes dedos d e la mano. Ese será el sentido del vector inducción. Puesto que
una corriente eléctrica se comporta de forma similar a un imán, vamos a ver como pueden determinarse sus polos magnéticos para el caso de una espira, solenoide, etc. Como regla general puede establecerse que en toda espira, si la corriente que la recorre tiene sentido antihorario cuando se la observa frontalmente, esa cara es NORTE, en tanto si el sentido de circulación es horario , la cara que presenta es SUR . La Fig 7.8 aclara lo expuesto. Nuestro objetivo va un poco más lejos, pues queremos determinar el valor del módulo del vector inducción en el centro de la espira. De la fórmula (6), teniendo en cuenta que los vectores y perpendiculares en todo punto de la espira y que el radio de la misma es R , puede escribirse:
son
que integrada a lo largo del perímetro de la circunferencia resulta:
(8) Si se trata de una bobina de N espiras muy próximas entre sí de radio medio R , la inducción magnética
en su centro es:
(9)
Puede extenderse esta expresión para el cálculo de la inducción magnética en puntos del eje de simetría de un solenoide (bobina) de gran longitud ( l»R ). Si está formado por N espiras, su longitud es l y su radio R , verificándose entre estos dos últimos la anterior condición, resulta:
(10)
Para un solenoide que no cumpla lo anteriormente establecido (l»R ), el valor de la inducción para un punto P de su eje e interior a él (Fig 8.8) es:
(11) expresión que coincide con la (10) si
.(Solenoide de gran longitud).
7.-Teorema de Ampere. La expresión obtenida en el § 7.1 del Capítulo 6 para el Teorema de Gauss establecía la relación entre la intensidad de campo eléctrico y la carga o cargas que lo producían, así como las condiciones para su correcta aplicación. Para el campo magnético existe un Teorema análogo al de Gauss que relaciona entre sí el campo magnético con las corrientes eléctricas que lo producen. Si el campo está originado por una serie de corrientes, la expresión del Teorema de Ampere es:
(12) Observar que la integral se extiende a una línea cerrada que debe incluir a todas las corrientes interiores a ella. Por simplicidad se tomarán líneas cerradas conocidas (circunferencias por ejemplo), pero es perfectamente válida cualquier otra línea con tal que se cierre sobre sí misma. Como aplicación de este Teorema vamos a calcular la inducción magnética en el interior de un toroide , puesto que allí esta magnitud tiene un valor constante. Tomaremos como línea o solenoi de cerr ado cerrada una circunferencia de radio R que pasa por el centro de las N espiras. Según esto:
8.-Acción entre dos corrientes paralelas e indefinidas. Cuando dos conductores infinitamente largos por los qu e circula corriente se sitúan paralelamente entre sí, cada uno de ellos está sumergido en el campo magnético creado por el otro. De acuerdo con la fórmula (3) del § 2, la fuerza que actúa sobre uno de los conductores debido al campo magnético que crea el otro será:
La Fig 9.8 muestra como el conductor 2 está sumergido en el campo magnético creado por el conductor 1 paralelo a él, que de acuerdo con la regla de la mano derecha será per pendicular al plan o del papel y entr ante (Aspa). Recíprocamente, el conductor 1 está sumergido en el campo magnético perpendicular al plano de la figura y saliente -no representadocreado por el conductor 2. La inducción magnética en la posición del conductor 2 (Ver expresión (7)) es:
y la fuerza ejercida por el campo magnético sobre ese conductor es entonces:
que coincide en valor de la fuerza que el conductor 2 ejerce sobre el anterior, es decir:
En definitiva, el módulo de la fuerza entre ambos conductores puede escribirse así:
(13) y esta fuerza será atractiva si ambas intensidades son d el mi smo sentido y repulsiva si son de sentido . La fórmula (13) suele escribirse como fuerza por unidad de longitud: contrario
(14) Esta última expresión permite definir la unidad S.I de intensidad de corriente: «Amper io es la i ntensidad de corr iente que transportada en el mi smo sentido por dos hil os paralelos -7 e indefi ni dos separados d=1 m en el vací o origin a entr e ellos un a fuerza F =2.10 Newton por metro de lon gitu d »
FENÓMENOS DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
El estudio de la inducción electromagnética tiene su origen en los experimentos de Faraday en los que consigue generar una corriente eléctrica en un circuito haciendo variar la intensidad que circulaba en un segundo circuito cercano al anterior. ¿Cuál es la causa de esta corriente en un circuito en el que no existen generadores?. La razón radica en la variación del f luj o magn é con el tiempo que atraviesa ti co el segundo circuito, o equivalentemente, el aumento o disminución de líneas de fuerza con el tiempo que pasan a través de él. La corriente que se establece es llamada corr iente in ducida , el circuito en el que se produce inducido mientras el primero de ellos se le llama inductor .
9.-F.e.m inducida.Ley de Faraday-Henry. La expresión (4), Pág 157 definía el flujo del vector inducción a través de una superficie como: y su variación con el tiempo, responsable de la generación de corrientes inducidas, puede deberse a tres factores: Que varíe la inducción
(Campos dependientes del tiempo).
Que varíe la superficie campo magnético).
(Deformaciones o aumento/disminución de la superficie atravesada por el
Que varíe el ángulo entre y . De acuerdo con lo anterior, la expresión que permite el cálculo de la fu erza electromotr iz induci da (f.e.m) , conocida como Ley de Faraday-Henry es: (15) que se medirá en VOLTIOS(V) si el flujo se expresa en Weber y el tiempo en segundos. Si el circuito en que se produce la f.e.m tiene N espiras la expresión (15) toma la forma:
(16)
10.-Ley de Lenz. La Ley de Faraday-Henry permite sin duda el cálculo del valor numérico de la f.e.m inducida , pero no indica el sentido de las intensidades que produce. Lenz estableció un procedimiento que permite determinar dicho sentido. El enunciado, conocido como Ley de Lenz, es: «El sentido de la cor riente inducida en un cir cuito es tal que crea un campo magné ti co cuyo fluj o se opone a la vari ación del f lu jo i nductor » Conviene tener presente todo lo dicho en el § 6, Pág 159 acerca de las caras magnéticas de una espira según sea el sentido de circulación de corriente en la misma. Así, si acercamos la cara NORTE de un imán a una espira, el número de líneas de fuerza entrantes en ella tiende a aumentar, luego, según la Ley de Lenz, la corriente inducida debe crear un campo magnético saliente que se oponga al aumento
de líneas entrantes. Si el campo magnético es saliente, la espira presentará una cara NORTE y por tanto, la intensidad inducida circulará en sentido antihorario (Ver Fig 7.8).
11.-Inducción mutua. En la sección anterior se ha visto que la f.e.m inducida en un circuito es debida a la variación temporal del flujo magnético que lo atraviesa. Si esta variación es producida por una corriente variable próxima, nos interesa expresar la f.e.m inducida en términos de esa corriente en lugar de utilizar la variación del flujo. Sea entonces I una corriente variable que circula por un circuito. Si llamamos al flujo -también variable- debido a I que atraviesa un segundo circuito de N espiras próximo al anterior y en el cual se genera una f.e.m inducida, el cociente entre e I se conoce como Coeficiente de in ducción mu tua , que en adelante representaremos por M :
(17) Si el circuito inducido tiene una sola espira en la fórmula anterior N=1 .
12.-Autoinducción. En todo lo expuesto en las secciones anteriores las f.e.m inducidas en un circuito tenían su origen en la variación temporal del flujo magnético que lo atravesaba y este flujo era debido siempre a una una causa exterior. Pero ¿qué ocurre si la variación de flujo que atraviesa un circuito es debida al propio circuito?. Indudablemente la f.e.m inducida ya no tiene una causa externa, sino propiamente interna. A este fenómeno se le conoce como autoinducción. Supongamos que nuestro circuito tiene N espiras. Si como hemos dicho el flujo que lo atraviesa es función únicamente de su propia intensidad, podemos escribir: (18) donde la constante K depende de las características geométricas del circuito. De acuerdo con la expresión (16), la f.e.m autoinducida será:
Si hacemos NK=L la fórmula anterior se escribe:
(19)
El factor constante L es el coeficiente de autoin ducción y su unidad S.I es el Henry (H). Puede definirse como «el coefi ciente de autoin ducción de un cir cuito en el que al vari ar la cor riente a razón de 1 Am peri o por segundo se induce la f .e.m de 1 Vol ti o ». El sentido de la f.e.m autoinducida puede establecerse aplicando la Ley de Lenz en términos
similares a los descritos en la sección § 10, Pá g 162. Multiplicando los dos miembros de la fórmula (18) por N y teniendo en cuenta que NK=L resulta:
(20) expresión que permite el cálculo del coeficiente de autoinducción. ¿Qué elemento instalado en un circuito puede producir fenómenos de autoinducción?. Un simple descrito en la sección § 6, Págs 159-160 es idóneo para este cometido. Su solenoi de o bobina coeficiente de autoinducción L puede determinarse a partir de la expresión (20), teniendo en cuenta que el flujo que atraviesa sus N espiras es
y que la inducción magnética en su interior viene dada
por la fórmula (10). El flujo es entonces
y el coeficiente L :
(21) Observar que este coeficiente depende únicamente del número de espiras N de la bobina, de su sección S , de su longitud l y del material que forme su núcleo µ , es decir, de características puramente o geométricas a excepción de la última enumerada.
13.-Producción de f.e.m inducida. El dispositivo mostrado en la Fig 10.8 consta de un conductor en forma de U y resistencia R , sumergido en un campo magnético uniforme, perpendicular al plano del dibujo y saliente y una barra conductora M N en contacto con él. Al mover la barra hacia la derecha, el flujo que atraviesa la superficie del circuito formado aumenta con el tiempo. La variación de flujo al avanzar la barra un elemento de longituddx puede escribirse así:
La Ley de Faraday-Henry proporciona la f.e.m inducida:
Para determinar el sentido de la corriente basta aplicar la Ley de Lenz: Al avanzar la barra hacia la derecha, el número de líneas de fuerza salientes aumenta por lo que la corriente inducida debe originar un campo magnético que contrarreste ese aumento de líneas salientes, es decir, que genere líneas de fuerza entrantes . Si las líneas de fuerza entran en la espira, esta debe presentar una cara SUR y la
corriente inducida tendrá senti do horar io (Ver Fig 10.8). Si la barra se mueve en sentido contrario el efecto es similar, salvo que la corriente inducida tiene ahora sentido antihorario. En ambos casos, la Ley de Ohm nos proporciona su valor:
1.- Tres cargas positivas q 1 , q 2 =q 1 y q 3 =2q 1 , de masas m 1 , m 2 =2m 1 y m 3 =4m 1 , se mueven con la misma energía cinética. entran en un campo magnético, perpendicular a sus velocidades, describiendo órbitas /v 1 y v /v 1 b) El cociente entre los circulares de radios r 1 , r 2 y r 3 . Hallar: a) El cociente de velocidades v 2 3 radios r 2 /r 1 y r 3 /r 1 .
SOLUCIÓN a) Sea E la energía cinética de cada una de las partículas. La expresión en función de sus velocidades es:
Igualando las energías de las partículas 1 y 2 :
Igualando las energías de las partículas 1 y 3 :
b) Puesto que las partículas describen órbitas circulares dentro d el campo magnético, la ecuación de la dinámica
aplicada a cada una de ellas proporciona:
Dividiendo las dos primeras entre sí y teniendo en cuenta la relación entre las masas obtenida en el apartado a):
Dividiendo ahora la primera y la tercera y con la relación de masa hallada:
-4 2.- Una partícula cargada (q=+5 µC; m=10 kg ) penetra en un campo magnético de inducción B=10 T 3 según indica la Fig 23.8. En el punto A pasa a una zona de campo eléctrico vertical uniforme, E=10 . Con los datos expresados: a) ¿Cuánto vale la velocidad con que V/m , y sale de éste por el punto S entra la partícula? b) ¿Cuál es el ángulo de salida ?
SOLUCIÓN a) Como se observa en la Fig 23.8, en la zona de campo magnético, la partícula describe un cuadrante de circunferencia de radio D , l uego debe verificarse: (1)
En la zona de campo eléctrico la partícula está sometida a una fuerza vertical ascendente que le comunica una aceleración también vertical y ascendente. Las ecuaciones del movimiento de la partícula en esta zona son:
(2) Resolviendo entre las ecuaciones (1) y (2) resulta:
b) El ángulo de salida es:
y
y
3.- Un ión 23Na + acelerado por una ddp de 50.000 V se mueve en el sentido positivo del eje OY y
penetra en una región donde existe un campo magnético . Calcular: a) El radio de la órbita descrita por el ión y el Tesla período de revolución. b) Si queremos que el ión no se desvíe de su trayectoria ¿Qué campo eléctrico -módul o, dir ección y - habría que aplicar?. sentido DATO:N A =6,02.10 23 iones/mol ; e=1,6.10 -19 C .
SOLUCIÓN a) Para hallar el radio de trayectoria del ión necesitamos conocer la fuerza que el campo magnético ejerce sobre él
, pues la 2ª Ley de la Dinámica relaciona la fuerza, velocidad y radio de la
órbita mediante la expresión eléctrica
.Además, es preciso conocer la velocidad
. La energía
que proporciona la d.d.p se convierte en energía cinética, luego:
donde
. Sustituyendo valores resulta:
De todo lo anterior:
de donde el valor del radio:
.El período vale:
b) Para que el ión no se desvie de la trayectoria la resultante de las fuerzas eléctrica y magnética deb e ser nula:
Sustituyendo valores:
4.- A un alambre conductor se le da forma de M con las dimensiones indicadas en la Fig 24.8 y se le hace conducir una corriente I =15 A . Un campo magnético externo de B= 2,5 T está dirigido según indica la figura a través de toda la región ocupada por el conductor. Hallar la dirección y magnitud de la fuerza total ejercida sobre el conductor por el campo magnético.
SOLUCIÓN
El vector
está contenido en el plano YZ formando 45 con ambos ejes. Su expresión vectorial es:
Calcularemos la fuerza ejercida por el campo magnético sobre cada uno de los conductores que forman la M empezando por el superior y aplicando para ello la expresión
Conductor 1:
.
;
Conductor 2:
;
Conductor 3:
;
Conductor 4:
;
La fuerza resultante sobre el conductor se obtiene sumando las anteriores:
5.- Cuatro conductores indefinidos y paralelos llevan una corriente I =5 A . El sentido de la corriente es entrante en los conductores 2 y 3 y saliente en 1 y 4 (Fig 25.8). Determinar el campo magnético (Inducción) el punto O , centro de un cuadrado de lado a=0,2 m .
SOLUCIÓN
Basta aplicar el Teorema de Ampere tomando para cada conductor como línea cerrada, una circunferencia con centro en cada hilo y radio la mitad de la diagonal del cuadrado.
(*) Puesto que todos los conductores llevan la misma intensidad y están a la misma distancia del punto del vector inducción debido a cada uno de ellos en dicho punto tiene el mismo valor (*). O , el módulo La dirección y sentido de cada uno de los vectores puede verse en la Fig 25.8, obtenida sin más que aplicar la regla de la mano derecha. Para hallar el vector inducción resultante, basta descomponer los vectores hallados según los ejes cartesianos mostrados en la figura, teniendo presente que las componentes y (Verti cales) se anulan. Por tanto:
Reemplazando valores numéricos resulta:
6.- Para determinar el número de espiras N de un cuadro ABCD se le suspende de uno de los extremos de una balanza de brazos iguales, debajo del cual se coloca un conductor rectilíneo muy largo, recorrido por una corriente I 1 . El cuadro y el hilo son coplanarios. Se equilibra la balanza cuando las corrientes I 1 e I 2 (Fig 26.8) son nulas. Al establecerse las corrientes ¿Sobre que platillo ha de colocarse la sobrecarga m ?. Determinar el número de espiras si la sobrecarga es m=4,5 mg , I 1 =210 A I 2 =0,5 mA , ,2b=BA =CD= 3 cm , x=1 cm . 2a=BC=A D=7 cm
SOLUCIÓN La dirección y sentido de las fuerzas que actúan sobre la espira están representadas en la figura. Calcularemos en primer lugar la inducción magnét ica creada por el conductor en las posiciones de los lados AD y BC , y a partir de ello el módulo de la fuerza que actúa sobre cada lado. De acuerdo con la Ley de Ampere y la expresión (3) del resumen teórico:
La fuerza resultante es F =F 1 -F 2 puesto que el módulo de F 1 >F 2 y está dirigida verticalmente hacia abajo. Por tanto, la sobrecarga deberá colocarse sobre el platillo derecho de la balanza. El valor de la fuerza neta es:
Para determinar el número de espiras, basta sustituir en la relación anterior los valores numéricos, teniendo en cuenta que -5 F=mg=4,5.10 N :
Las fuerza F 3 y F 4 son iguales y opuestas y por eso no se han considerado.Su cálculo se hace eligiendo un elemento de corriente dz en la espira a distancia z del hilo conductor. La fuerza elemental es:
Sustituyendo la inducción magnética en la fórmula de la fuerza e integrando resulta:
Esta expresión no es necesaria para la solución del problema, pero su deducción constituye un ejercicio cuyo resultado puede tener utilidad posterior.
7.- Un circuito está constituido por dos carriles rectilíneos, paralelos, horizontales y resistencia despreciable separados una distancia -l -. Por uno de sus extremos están unidos a una
resistencia R . Una barra conductora de masa m puede deslizar sin rozamiento sobre los dos raíles (Fig 27.8). El conjunto está situado en una campo magnético B uniforme y vertical. En t=0 la barra está en y es lanzada con una velocidad v x= 0 o y luego abandonada a sí misma. Hallar la expresión de la velocidad v de la barra para t>0 .
SOLUCIÓN Calcularemos la f.e.m inducida en el circuito a fin de determinar la intensidad que produce, y a través de ella, la fuerza magnética que actúa sobre la barra móvil.Aplicando la Ley de Faraday-Henry:
La intensidad de corriente es: que nos permite determinar el módulo de la fuerza magnética sobre la barra:
El sentido de la corriente puede conocerse aplicando la Ley de Lenz, pues al aumentar el flujo que trate de contrarrestar ese saliente la corriente inducida debe crear un campo magnético entrante aumento de flujo. Si el campo es entrante, la espira presenta una cara SUR y la intensidad tendrá
sentido horario . Aplicando la regla de la mano izquierda, la fuerza magnética sobre la barra tiene el sentido indicado en la Fig 27.8. La ecuación del movimiento de la barra se obtiene sin más que aplicar la 2ª Ley de la Dinámica, teniendo en cuenta que en t=0 ,x=0 y v=v o . En efecto:
donde el signo negativo indica que la fuerza se opone al movimiento. Separando variables en la ecuación
anterior:
Despejando la velocidad v :
8.- El circuito ABC de la Fig 28.8 transporta una corriente I =2 A y está situado en un campo magnético paralelo al eje OX . a) Hallar la fuerza resultante sobre el circuito. b) Se anula la corriente y se B=1 T hace girar este circuito en torno al lado AC un ángulo de 90° . Si la duración del giro es t=0,01 s hallar la f.e.m inducida y la corriente sabiendo que los hilos tienen un diámetro D= 2 cm y una resistividad -8 =1,7.10 .m .
SOLUCIÓN a) La expresión vectorial de cada uno de los lados del triángulo que forman la espira es:
AC :
CB :
BA : Como puede observarse,el sentido de estos vectores se ha obtenido a partir del sentido de la intensidad de corriente. Puesto que el campo magnético tiene la dirección OX( + ) su expresión vectorial es: La fuerza sobre cada uno de los conductores se obtiene aplicando reflejado en la Fig 28.8.
. El sentido está
: L ado AC
: L ado CB
L ado BA : La fuerza resultante sobre el circuito es la suma d e las tres anteriores:
b) la f.e.m inducida se obtiene aplicando la Ley de Faraday-Henry
siendo: y donde se ha tomado el vector superficie del triángulo perpendicular a su plano y saliente. Observar que cuando ha alcanzado su posición final el vector de superficie y la inducción magnética son perpendiculares . Sustituyendo:
La resistencia del circuito de longitud total l= 12 cm es:
La intensidad la da la Ley de Ohm:
9.- El cuadrado de la Fig 29.8 tiene fijos los puntos A , B y C pudiendo el lado vertical CD girar alrededor de C . El hilo de unión entre A y D es flexible, y su misión es cerrar el circuito. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza F para formar el cuadrado perfecto si está sumergido en un campo magnético como el indicado de B=10 T ?. Los tres lados tienen una resistencia R=9 , y el hilo carece de ella, siendo V=27 V . b) En un instante dado se elimina la pila y simultáneamente se libera el punto A , de modo que
llega a coincidir con el D formando un triángulo. Si el proceso dura t=0,01 s ¿cuál es la f.e.m inducida en la misma? ¿Y la intensidad que circula?¿En qué sentido?
SOLUCIÓN a) La intensidad que circula es
y la fuerza (Regla mano izquierda):
b) Al soltar A y D el cuadrado se convierte en un triángulo equiláter o de lado l= 0,5 m
y:
e
1.- Sobre un electrón que se mueve con velocidad v=3.000 km/s actúa en dirección perpendicular a su velocidad un campo magnético B=18 T .Determinar :a) El valor de la fuerza que actúa sobre el electrón b) El radio de la órbita que describe c) El tiempo que tarda el electrón en recorrer la órbita completa d) -19 -31 La frecuencia del movimiento. DATOS:e=1,6.10 C ; m=9,1.10 kg 2.- Un protón de masa m=1,67.10 -27 kg y carga e=1,6.10 -19 C se mueve en el plano de la hoja del ejercicio.Perpendicularmente a esta hoja existe un campo magnético dirigido verticalmente de arriba hacia abajo,de módulo B=0,4 T .Bajo la acción de este campo el protón describe una trayectoria circular de radio R=21 cm .a) Justificar y representar el tipo de movimiento del protón. b) Calcular el período de su movimiento c) Calcular la velocidad inicial del mismo.
Observa que ambas figuras presentan un selector de velocidades para que la partícula cargada tenga una trayectoria rectilínea
3.- Un selector de velocidades es un dispositivo consistente en dos campos,eléctrico y magnético, cruzados perpendicularmente en el espacio según muestra la Fig 30.8, de valores constantes, atravesado por una partícula cargada en dirección perpendicular al campo eléctrico.¿Cuál debe ser la velocidad de 6 la partícula para que pase sin ser desviada por el selector de velocidades cuando E=0,4.10 V/m y
-27 -19 entra en el selector con una B=0,2 T ?.Un protón de masa m=1,67.10 kg y carga e=1,6.10 C velocidad teórica adecuada para no ser desviado,pero se suprime el campo magnético.Calcular la desviación lateral sobre una pantalla situada a d=20 cm del punto de entrada.
4.- Considerar el espectrómetro de masas mostrado en la Fig 31.8. El campo eléctrico entre las placas del selector de velocidades es E=950 V/m y el campo magnético tanto en el selector como en la cámara de desviación es B=0,93 T ,perpendicular al plano del papel y entrante.Calcular el radio de la trayectoria -26 en el sistema de un ión monopositivo de masa m=2,18.10 kg .
5.- Un conductor suspendido de dos alambres flexibles tiene una masa por unidad de longitud =0,04 kg/m (Fig 32.8). Calcular la corriente que debe existir en el conductor para que la tensión en los alambres que lo soportan sea nula.¿Es adecuada la colocación de los bornes de la pila en la figura para que esto ocurra?
6.- Un hilo conductor está formado por dos segmentos rectilíneos de longitud MP=QN=l y uno semicircular de diámetro PQ=2l (Fig 33.8) situado entre los dos anteriores.El conductor está sumergido en un campo magnético uniforme, perpendicular a su plano, entrante y recorrido por una intensidad de corriente I . Determinar la fuerza que actúa sobre el conductor. y dimensiones a=0,4 m y b=0,3 m .La espira puede 7.- Una espira rectangular tiene N= 100 vueltas girar en torno al eje OZ y su plano forma un ángulo de 30° con el eje OY .Calcular el momento ejercido sobre la espira por un campo magnético de B= 0,8 T dirigido a lo largo del eje OY en sentido positivo cuando la corriente en la espira es I =1,2 A en la dirección mostrada en la Fig 34.8.
8.- Determinar el valor de la inducción magnética B en el centro de un arco de circunferencia de radio R
y amplitud 2 cuando está recorrido por una corriente de intensidad I .
9.- Dos conductores largos paralelos llevan corrientes iguales I 1 =I 2 =3 A dirigidas hacia el interior del papel (Fig 35.8). Los conductores están separados una distancia D= 13 cm . Determinar la magnitud y dirección del campo magnético resultante en el punto P situado a 5 cm de I 1 y a 12 cm de I 2 .
10.- Un hilo muy largo horizontal soportado rígidamente, transporta una corriente I =100 A . Encima de él y paralelo se encuentra otro hilo muy fino que transporta una corriente I 1 =20 A y cuyo peso por unidad de longitud es 0,073 N/m . ¿A qué distancia habrá de colocarse el segundo hilo si se ha de sostener por repulsión magnética?.Hacer un esquema.
11.- Dos conductores paralelos llevan corrientes en sentidos opu estos como indica la Fig 36.8. Uno de ellos lleva una corriente I 1 =10 A . El punto A está situado en el centro de ambos hilos y C está a distancia d/2 a la derecha de la corriente de 10 A . Si d=10 cm e I 2 se ajusta para que el campo magnético en C sea nulo,calcular:a) Valor de la corriente I 2 b) Campo magnético en A .c) Módulo, dirección y sentido de la fuerza entre los conductores por unidad de longitud.
12.- Un hilo largo AB (Fig 37.8) transporta una corriente I . a) ¿Cuál es el campo magnético en el área rayada a distancia x ? b) ¿Qué flujo magnético atraviesa dicha área ? c) ¿Cuál es el flujo magnético que atraviesa CDEF ?
13.- Una espira de radio a=10 cm y resistencia R=10 se sitúa en un campo magnético perpendicular a su plano y entrante (Fig 38.8 (II)).El campo magnético es de módulo variable, siendo su variación la
mostrada por la Fig 38.8 (I). Hallar:a) F.e.m inducida en la espira en los intervalos de tiempo [0, ] y [0,2 ] b) Intensidad que circula en la espira en dichos intervalos,así como su sentido de circulación.
14.- El circuito de la Fig 39.8 está situado en un plano horizontal. Una varilla conductora móvil de masa m=1 g se desplaza sin rozamiento con un movimiento dado por la ecuación
(x en m. y t en s ).El circuito está sumergido en un campo magnético uniforme, perpendicular a su plano y saliente de B= 0,1 T .Determinar: a) Amplitud y frecuencia de la f.e.m inducida en la espira b) Fuerza que actúa sobre la varilla cuando la espira es justamente un cuadrado
15.- Un haz de electrones acelerado por una d.d.p de V=50.000 V se mueve en el sentido positivo del eje OX y entra en una región en el que existe un campo magnético . Determinar: a) Radio de la órbita descrita por los electrones y período de revolución b) Campo eléctrico que habría que aplicar para que los electrones mantuvieran rectilínea su tra yectoria.
16.- Un haz de electrones está acelerado por una d.d.pV=400 V ,penetra en una región de anchura a=4 cm en la
En el ejercicio nº 16 debes tener en cuenta que conocida la d.d.p de aceleración y el tipo de partícula cargada, es muy sencillo obtener la velocidad. Además, una vez el electrón abandone la zona de campo, su trayectoria es rectilínea
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que existe un campo magnético B=2.10 T .Si a distancia d=8 cm se coloca una pantalla (Fig 40.8), calcular la distancia entre P y P' en los que se produciría el impacto del haz sin o con el campo magnético aplicado.
17.- Dos hilos rectilíneos infinitamente largos son paralelos y distan entre sí d=20 cm . Uno de ellos transporta una corriente de 10 A . ¿Cuál ha de ser el valor y sentido de la corriente en el otro hilo para que el campo magnético resultante de ambos en todos los puntos de una paralela común y situada a 25 cm del primero y 5 cm del segundo sea nulo (Fig 41.8)?
18.- Una barra conductora de a=45 cm desliza con velocidad constante sobre carriles conductores paralelos unidos por una resistencia R=1,4 (Fig 42.8). El v=4 m/s conjunto se encuentra en una zona donde existe un campo magnético uniforme de B= 1,5 T dirigido perpendicularmente al plano del papel y entrante. Calcular: a) El flujo magnético y la fuerza electromotriz inducida b) Intensidad de corriente que recorre el circuito y sentido de la misma.
19.- El módulo del campo magnético creado por un hilo rectilíneo y de gran longitud a una distancia r del mismo viene dado por la expresión siendo µ o la permeabilidad magnética del vacío, con un -7 valor 4 .10 T.m/A . Dos conductores paralelos y separados D=8 cm transportan corrientes en sentidos opuestos de valores I 1=6 A e I 2=8 A estando situados perpendicularmente al plano del papel e I 1 saliente.a) Dibujar el campo magnético que el primer conductor crea en la posición del segundo. b) Calcular y representar la fuerza de origen magnético que experimentará el segundo conductor por unidad de longitud.c) ¿A qué fuerza por unidad de longitud estará sometido el primer conductor como consecuencia del paso de corriente por el segundo?
20.- En un campo magnético horizontal B=4 T , un haz de electrones es acelerado por una diferencia de 5
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potencial V=500 V , que adquieren una velocidad vertical v=10 m.s y describen una trayectoria circular.Demostrar que su movimiento es uniforme y calcular el rad io de la circunferencia que -19 -31 describen.DATOS: e=1,6.10 C ; m=9,1.10 kg .
21.- Una espira circular metálica se coloca perpendicularmente a un campo magnético uniforme de .Esto origina una f.e.m inducida B=0,2 T .Se hace que la espira pase de 0,3 m de radio a 0,2 m en t=0,1 s en VOLTIOS:a) 0,3 V b) 1,5 V c) 2,5 V d) 3,14 V e) Ninguna respuesta es correcta. Haz los cálculos a fin de dar la respuesta correcta.
22.- Un anillo de alambre de radio R=5 cm se encuentra en un campo magnético cuya inducción es perpendicular al radio del anillo, entrante y variable con el tiempo de acuerdo con la ley B=3t . Determinar: a) La f.e.m inducida en el anillo b) El sentido de circulación de la corriente inducida ¿Puedes hallar su valor numérico? Razónalo.
Para resolver el ejercicio nº 20, te ayudará saber que al ser la trayectoria dentro de la zona de campo un arco de circunferencia, la trayectoria emergente es una recta perpendicular a dicho radio.
23.- Una partícula de masa m=20 g y cargada con Q= 3 µC penetra en un campo magnético de a=20 cm de anchura y emerge formando un ángulo de 37° con la horizontal(Fig 43.8). Determinar la velocidad con que entró en el campo magnético. Despreciar los efectos gravitatorios.
24.- Un largo conductor AB transporta una corriente I =10t A en el sentido indicado. (Fig 44.8). Con esos datos, determinar: a) El flujo del vector inducción que atraviesa la espira b) Si la resistencia de la espira es R=20 ¿Cuánto vale la intensidad de la corriente inducida que la recorre? ¿Qué sentido tiene?
25.- Un protón H+ (q=1,6.10 -19 C ) se mueve en el plano del papel, donde existe un campo magnético uniforme perpendicular a dicho plano y de sentido entrante. Demostrar que describe una trayectoria circular y hacer un dibujo donde figuren todas las magnitudes que intervienen. S i el radio de la -20 trayectoria es de 30 cm y la cantidad de movimiento es P=2,4.10 kg.m/s , (Módulo) hallar el módulo del campo magnético.
26.- Dos trozos de conductor de l=1 m están unidos según indica la Fig 45.8. Si están recorridos por una intensidad de corriente I =3 A y sumergidos en un campo magnético de inducción B=8 T en la dirección positiva del eje OY , determinar la fuerza que el campo ejerce sobre el conductor.
El ejercicio nº 26 debes resolverlo calculando la fuerza magnética sobre cada uno de los trozos de conductor y sumando vectorialmente ambas fuerzas
27.- Sobre un conductor en forma de U y de resistencia R=20 se coloca una barra también conductora de l= 20 cm cerrando un circuito que se sumerge en un campo magnético perpendicular a su plano y entrante, de valor B desconocido (Fig 46.8). La barra se mueve hacia la izquierda con velocidad constante v=5 m/s y se observa que circula una corriente I =0,01 A. Determinar con estos datos: a) Sentido de circulación de la corriente b) Valor de la inducción magnética B .
