Ejercicios de Estadistica_impares

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EJERCICIOS

7. Clasifique las variables e indique el tipo de escala en que están medidas las siguientes características: - Profesión - Año de nacimiento - Nacionalidad - Edad - rado de instrucción - Estado civil - N!mero de "i#os $ngreso mensual familiar promedio - N!mero de tel%fono - N!mero de &N$ - &irección

'()*C$+N: - Profesión: ,ariable cualitativa medida en escala nominal - Nacionalidad: ,ariable cualitativa medida en escala nominal - rad rado o de inst instru rucc cció ión: n: ,aria ,ariabl ble e cual cualit itat ativ iva a medi medida da en esca escala la ordinal - N!mero de "i#os: ,ariable cuantitativa discreta medida en escala de ra.ón - &irección: ,ariable cualitativa medida en escala ordinal - N!me N!mero ro de tel% tel%fo fono no:: ,ari ,ariab able le cual cualit itat ativ iva a medi medida da en esca escala la nominal - Año Año de naci nacimi mien ento to:: ,aria ,ariabl ble e cuan cuanti tita tati tiva va discr discret eta a medi medida da en escala de ra.ón - Edad: ,ariable cuantitativa discreta medida en escala de ra.ón - Estado civil: ,ariable cualitativa medida en escala nominal - $ngreso mensual familiar promedio: ,ariable cuantitativa continua medida en escala de ra.ón - N!mero de &N$: ,ariable cualitativa medida en escala nominal 9.  'e revisaron /0 lotes de 12 artículos cada uno 3 se encontró el siguiente n!mero de artículos defectuosos por lote: 45 /5 65 05 75 45 /5 75 05 75 45 15 /5 15 15 45 15 45 /5 4 Cons Constr trui uirr la distr distrib ibuc ució ión n de frec frecue uenc ncia iass rela relati tiva vass 3 frec frecue uenc ncia iass relativas acumuladas raficar 89u% porcenta#e de lotes tienen dos o más pero menos de 1 artículos defectuosos

'()*C$+N: )a variable estadística es:  x =  ;N!mero de artículos defectuosos por lote< Porcenta# ,alores de  f  i hi  H i  x es 0 / 07 07 70 07 0/ 7 4 76 6 6 01 / 1 0/ /0 6 4 = 04 0> 40

1

1

0/

6 0? 6

6

7

00 6

7

/0 6

&el cuadro de distribución de frecuencias observamos que el /0@ de lotes tienen dos artículos defectuosos 3 el 40@ tienen 4 artículos defectuosos5 por lo tanto5 el n!mero de lotes que tienen dos o más pero menos de 1 artículos defectuosos representan el 60@ del total de lotes 11. )a inversión anual5 en miles de dólares5 de una muestra de 10 pequeñas empresas fueron:

47 7> /> /0 /2 70 41 /6 1 /1 76 4? 72 40 17 /= 7/ 1= 72 /2 4= 7? /? 4> 44 /> /> /1 /= 47 /6 /2 44 /2 // /4 47 /? 46 /7 a Construir una distribución de frecuencias de > intervalos de clase b &eterminar el porcenta#e de empresas con una inversión entre 71 mil 3 /0 mil dólares '()*C$+N: a )a variable estadística es:  x =  ;$nversión anual en miles de dólares< &e los datos observamos:  xmax = 46  xmin = 4 n = 40 B B Adem Además ás tene tenemo moss el n!me n!mero ro de inte interv rval alos os  K  = 7 5 por lo que podemos determinar: ango =  xmax − xmin = 46 − 4 = 42 .

.

Amplitud =  R

K 

= 42 7 =6

A"ora5 con los datos anteriores construimos la distribución de frecuencias: $nterval os

 xi

 f  i

 F i

[ 4,10 )

>

7

7

[ 10,16 )

7 4

4

1

hi

 H i

00/ 6 00> 6

00/ 6 07

1

1

0/

6 0? 6

6

7

00 6

7

/0 6

&el cuadro de distribución de frecuencias observamos que el /0@ de lotes tienen dos artículos defectuosos 3 el 40@ tienen 4 artículos defectuosos5 por lo tanto5 el n!mero de lotes que tienen dos o más pero menos de 1 artículos defectuosos representan el 60@ del total de lotes 11. )a inversión anual5 en miles de dólares5 de una muestra de 10 pequeñas empresas fueron:

47 7> /> /0 /2 70 41 /6 1 /1 76 4? 72 40 17 /= 7/ 1= 72 /2 4= 7? /? 4> 44 /> /> /1 /= 47 /6 /2 44 /2 // /4 47 /? 46 /7 a Construir una distribución de frecuencias de > intervalos de clase b &eterminar el porcenta#e de empresas con una inversión entre 71 mil 3 /0 mil dólares '()*C$+N: a )a variable estadística es:  x =  ;$nversión anual en miles de dólares< &e los datos observamos:  xmax = 46  xmin = 4 n = 40 B B Adem Además ás tene tenemo moss el n!me n!mero ro de inte interv rval alos os  K  = 7 5 por lo que podemos determinar: ango =  xmax − xmin = 46 − 4 = 42 .

.

Amplitud =  R

K 

= 42 7 =6

A"ora5 con los datos anteriores construimos la distribución de frecuencias: $nterval os

 xi

 f  i

 F i

[ 4,10 )

>

7

7

[ 10,16 )

7 4

4

1

hi

 H i

00/ 6 00> 6

00/ 6 07

7 7 = 076 0/6 ? 0 / 7 / [ 22,28 ) 0 4 066 6 / / 4 7 4 0/> 02/ [ 28,34 ) 7 7 4 6 6 4 4 07/ [ 34,40 ) 6 0?6 > 2 6 1 1 [ 40,46 ] / 006 7 4 0 b En primer lugar "allamos el porcenta#e de empresas con una inversión menor de 71 mil dólares Dn:  n − H k −1    Pi = LI  +  ÷A  H H  − k −1    k  n − 0.025   6 14 = 10 +  ÷( ) 0.1 − 0.02 0.025 5    0.1  n − 0.025   6 4 =  ÷( ) 0.075    0.05 = n − 0.025 0.075 = n A"ora calculamos calculamos el porcenta#e porcenta#e de empresas empresas con una inversión inversión menor de /0 mil dólares Dm:  m − H k −1    Pi = LI  +  ÷A  H H  − k −1    k  m − 0.1   6 20 = 16 +  ÷( ) .25 − 0.1    0.25  m − 0.1   6 4 =  ÷( )  0.15   0.1 = n − 0.1 0.2 = n Entonces para determinar el porcenta#e de empresas con una inversión entre 71 mil 3 /0 mil dólares Dp:  p = ( m − n ) 0.2 − 0.07 0.075 5  p = 0.2  p = 0.125 Por lo tanto5 el 7/6@ de empresas tienen una inversión entre 71 mil 3 /0 mil dólares [ 16,22 )

13. )as notas del eamen parcial de matemáticas dieron la siguiente distribución de frecuencias a Completar la distribución de frecuencias b raficar la o#iva de porcenta#es c 89u% porcenta#e de las notas se encuentran aproimadamente en el intervalo [ 8,14 ] 

$nterval Farca de Grecuencia o clase relativa [ , ) 076 [ 6, ) [ , ) [ , ) 746 [ , ) 070 '()*C$+N: a Completamos la distribución de frecuencias $ntervalo [ 6 −  A, 6 ) [ 6, 6 + A ) [ 6 +  A, 6 + 2 A) [ 6 + 2 A , 6 + 3 A) [ 6 + 3 A, 6 + 4 A)

Farca de clase

Grecuencia relativa 076 040 0/6 0/ 070

746

Grecuencia relativa acumulada 016 0>0

Grecuencia relativa acumulada 076 016 0>0 0?0 7

Hallamos la amplitud: ( 6 + 2 A) + ( 6 + 3 A) 2

 A = 3

= 13.5

Entonces5 a"ora podemos completar totalmente la distribución de frecuencias: Farca de Grecuencia Grecuencia relativa $ntervalo clase relativa acumulada [ 6 −  A, 6 ) 16 076 076 [ 6, 6 + A ) >6 040 016 [ 6 +  A, 6 + 2 A) 706 0/6 0>0 [ 6 + 2 A , 6 + 3 A) 746 0/ 0?0 [ 6 + 3 A, 6 + 4 A) 7=6 070 7 b

c En primer lugar "allamos el porcenta#e de notas menores a 2:   x − H k −1    Pi = LI  +  ÷A  H H  − k −1    k   x − 0.15   3 8 = 6+ ÷( )  0.45 − 0.15   0.35 =  x A"ora calculamos el porcenta#e de notas menores o iguales a 71:   x − H k −1    Pi = LI  +  ÷A  H H  − k −1    k   x − 0.7   3 14 = 12 +  ÷( )  0.9 − 0.7   5 6 =  x Entonces5 para determinar el porcenta#e de notas que se encuentran aproimadamente en el intervalo [ 8,14] :  p = ( y − x )  p = 5 6 − 0.35  p = 0.483 Por lo tanto5 el 124@ de notas están aproimadamente en el intervalo [ 8,14 ]  15. En una compañía5 el sueldo mínimo 3 máimo de /00 empleados es de I760 3 I400 respectivamente Jales sueldos se tabulan en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud 'i se sabe que /0 empleados ganan al menos I7605 pero menos de I7205 =0 ganan menos de I/705 770 ganan menos de I/105 720 ganan menos de I/>0 3 el 70@ restante de empleados gana a lo más I400B reconstruir la distribución 3 graficar su polígono de frecuencias

'()*C$+N: &e acuerdo a los datos del problema:  xmax = 150 n = 200 B B Entonces calculamos:

 xmin

= 300

B

k  = 5

.

ango =  xmax − xmin = 150

.

Amplitud =  R

K 

= 30

A"ora5 con los datos anteriores 3 los dic"os en le problema construimos la distribución de frecuencias:

$nterval os [ 150,180 ) [ 180, 210 ) [ 210, 240 ) [ 240, 270 ) [ 270,300 )

 xi

 f  i

7= 6 7? 6 // 6 /6 6 /2 6

/ 0 1 0 6 0 > 0 / 0

 F i

hi

 H i

/0

07

07

=0

0/

04

77 0 72 0 /0 0

0/ 6 04 6

06 6

07

7

0?

Ginalmente5 graficamos el polígono de frecuencias a3udándonos de los rectángulos del "istograma:

17. )os tiempos de vida !til Den días de un tipo de batería5 se tabuló en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud con frecuencias relativas acumuladas: 075 0/65 0665 0205 700 &etermine la distribución de frecuencias absolutas si la tercera frecuencia absoluta acumulada es 775 si la segunda marca de clase es =5 3 si el límite del cuarto intervalo es 7/

'()*C$+N: Con los datos anteriores podemos construir parte de la distribución de frecuencias absolutas:  xi  f  i  F i hi  H i $ntervalo

[ 12 − 2 A,

12 − A )

[ 12 −  A,

= 7 7

12 )

[ 12, 12 + A )

07 07 6 04 0 0/ 6 0/

07 0/ 6 06 6 02 7

&e la tabla anterior:  x2

( 12 − 2 A) + ( 12 − A) 2

=6

 H i

=6

 H 3

=

=

 F i n

 F 3 n

n =

 A = 4

11

0.55 n = 20

A"ora5 con los datos encontrados podemos completamente la distribución de frecuencias: $nterva  xi  f  i  F i hi  H i lo [ 0, 4 ) / / / 07 07 07 0/ = 4 6 [ 4,8 ) 6 6 7 7 04 06 = [ 8,12) 0 7 0 6 7 7 0/ 6 02 [ 12,16 ) 1 = 6 7 / 1 0/ 7 [ 16,20 ) 2 0

construir

19. )a organi.ación del tiempo en minutos5 que tardaron 700 obreros para e#ecutar cierta tarea5 "a dado una tabla de frecuencias de cuatro intervalos de igual amplitud cu3o "istograma correspondiente es sim%trico 'i el intervalo  I 1 = [ 6, ? ) 5 la frecuencia absoluta:  f 2 = 2 f  1 + 5 5 3 si se sabe que el 26@ de los obreros demoran menos de 7/ minutos Completar la distribución de frecuencias

'()*C$+N: &e los datos: $ntervalo [ 6, 6 + A ) [ 6 +  A, 6 + 2 A)

 xi

 f  i

 F i

hi

 H i

 f  1

 f  1

h1

h1

 f  2

 f1 + f  2

h2

h1

+

h2

[ 6 + 2 A , 6 + 3 A ) [ 6 + 3 A, 6 + 4 A )

 f  2

 f1 + 2 f  2

h2

h1 + 2h2

 f  1

2 f1 + 2 f  2

h1

2h1 + 2h2

En donde: 2 f1 + 2 f  2

= 100  f1 + f  2 = 50 Además5 sabemos que:

2h1 + 2h2

=1 h1 + h2 = 0.5

 f 2

= 2 f  1 + 5

Entonces:  f  1 = 15

= 0.15 h2 = 0.35 h1

= 35 'abemos tambi%n que:  f  2

 P 85

= 12

 0.85 − H k −1   ÷A = 12  H H  − k −1    k  0.85 − 0.5   A = 12 ( 6 + 2 A) +  ÷( )  0.85 − 0.5    A = 2 Con los datos anteriores construimos completamente distribución de frecuencias: $nterva  xi  f  i  F i hi  H i lo 7 07 07 [ 6,8 ) > 76 6 6 6 4 04 [ 8,10 ) ? 6 06 6 6 7 4 04 02 [ 10,12 ) 26 7 6 6 6 7 7 70 07 [ 12,14 ) 7 4 6 0 6  L I  + 

la

21.  )as notas de un eamen se tabularon en una distribución de frecuencias relativas de 4 intervalos de amplitud iguales a 6 'i la nota mínima es 65 el 12@ de las notas son menores que 7/5 3 si el 20@ de las notas son inferiores a 7=5 reconstruir la distribución de frecuencias

'()*C$+N: Como la amplitud es 6 3 la nota mínima tambi%n es 65 los intervalos serán: [ 5,10 ) [ 10,15) [ 15,20 ) B B &el problema sabemos:

 P 48

= 12

 0.48 − H k −1   ÷A = 12  H H  − k −1    k  0.48 − h1   10 +  ÷( 5) = 12 h 2     P 80 = 16  0.80 − H k −1    L I  +  ÷ A = 16  H H  − k −1    k  0.80 − ( h1 + h2 )   15 +   1 − ( h1 + h2 ) ÷÷( 5) = 16    h1 + 0.4h2 = 0.48 K D7

 L I  + 

h1 + h2 =  0.75

K D/

&e D7 3 D/: h2 =  0.45 = 0.3 &ado que las frecuencias relativas suman 7: h1 + h2 + h3 = 1 h3 = 0.25 Con los datos anteriores construimos la distribución de frecuencias relativas: $nterva  xi hi  H i lo [ 5,10 ) >6 04 04 7/ 01 0> [ 10,15) 6 6 6 7> 0/ [ 15,20 ) 7 6 6 h1

23.  )os salarios que ofrece una empresa a los practicantes varían entre I760 3 I/>0 'i los salarios se agrupan en cuatro intervalos de clase de longitudes iguales de manera que el 10@ de los practicantes tienen salarios menores o iguales que I7?65 el 20@ tienen salarios menores o iguales que I//6 3 el 76@ tiene salarios ma3ores que I/4/60 a Hallar el porcenta#e en cada intervalo b 'i el ingreso mínimo se fi#a en I/10 3 la empresa aumenta una misma cantidad a todos los practicantes de modo que el /0@ supere el ingreso mínimo5 8cuánto sería el aumento

'()*C$+N: a Hallamos la amplitud de los intervalos Amplitud =  R K  = (  xmax − xmin ) =6

k 

*tili.ando la amplitud encontrada $nterval  xi hi o 7= h1 [ 150,180 ) 6 7? h2 [ 180,210 ) 6 // h3 [ 210, 240 ) 6 /6 h4 [ 240, 270 ) 6 Además5 sabemos que:  P 40 = 195  0.40 − h1   180 +  ÷( 30 ) = 195 h 2     P 80 = 225  0.80 − ( h1 + h2 )   210 +  ÷( 30 ) = 225 h 3    h1 + 0.5h2 = 0.40 K D7

 H i h1 h1 + h2 h1 + h2 + h3 1

h1 + h2

+ 0.5h3 = 0.80 K

D/

= 232.50  0.85 − ( h1 + h2 )   210 +  ÷( 30 ) = 232.50 h 3    h1 + h2 + 0.75h3 = 0.85 K D/ &e D75 D/ 3 D4: h1 = 0.1 h2 = 0.6 h3 = 0.2 B B )as frecuencias relativas suman 7: h1 + h2 + h3 + h4 = 1 h4 = 0.1 Entonces5 completando la distribución de frecuencias relativas:  P 85

$nterval o [ 150,180 ) [ 180,210 ) [ 210, 240 ) [ 240, 270 )

 xi

hi

 H i

7= 6 7? 6 // 6 /6 6

0 7 0 = 0 / 0 7

0 7 0 > 0 ? 7

b &e la parte Da tenemos:

= 225 &ebemos tener en cuenta que  P 80  representa a los practicantes que reciben un monto no ma3or de I//65 entonces5 como el salario mínimo es I/105 el aumento deberá ser de I76  P 80

Ejercicio 25, Pagina 35: 25. )a siguiente tabla muestra la superficie Den millones de millas cuadradas de los oc%anos: (c%ano: Pacifico Atlántico $ndico Antártico Lrtico 'uperficie: >0 17 /2 > 1 $dentificar la variable5 3 representante los datos mediante dos gráficos diferentes

'()*C$+N )a variable es una variable cuantitativa5 3 entre este grupo es una variable continua 



ráficos:

20 >0 =0 60 10 'eries7 40 /0 70 0 Pacifico

Atlantico

$ndico

Antartico

Artico

ArticoB /-=@ AntárticoB 1-=@ MndicoB 72-=@ PacíficoB 1=-=@

AtlánticoB />-4@

27. 'e "a clasificado a un grupo de personas de acuerdo a su ocupación 3 procedencia )a distribución resulto la siguiente: Costa 'ierra 'elva Agricultur 76 7= > as 6 ? 1 Fineros 74 2 /  J%cnicos 7= 77 1 (breros

a Haga un grafico para representar la distribución de las personas por su ocupación b Haga un grafico para comparar la región de procedencia de las personas seg!n su campo de ocupación '()*C$+N a 10 46 40 /6 /0 76 70 6 0 Agricultores

(breros

Jecnicos 'eries7

b

Fineros

72 7= 71 7/ 70 2 = 1 / 0

Agricultores Fineros  Jecnicos (breros

Costa

'ierra

'elva

Página 56 – 62  1. )os costos de fabricación en soles5 de die. dígitos son los siguientes: ?465 ?1=5 ?/05 ?205 ?>>5 ?005 ???5 ?4=5 ?605 ?=0 'i el precio de venta de cada ob#eto es 4 veces su costo de fabricación menos 6 soles5 calcular la utilidad media por ob#eto

'()*C$+N   costo de fabricación   ?465 ?1=5 ?/05 ?205 ?>>5 ?005 ???5 ?4=5 ?605 ?=0  x  ?604 3  precio de venta 3  4 O 6 Calculamos la utilidad media por ob#eto:  y = 3x − 5 ⇒ y = 3(9.503) − 5 = 23.509

*  *tilidad U = y − x ⇒ U =  23.509 − 9.503 = 14.006

3. &e las edades de cuatro personas5 se sabe5 que la media es igual a /1 años5 la mediana es /4 3 la moda es // Encuentre las edades de las cuatro personas

'()*C$+N Como la moda es //  &os de la cuatro edades serán //B no puedan ser tres5 porque nos dicen que la mediana es /4 Planteamos las ecuaciones: Edades  //5 //5 5 3 Fedia  /1  Fediana  /4

22 + 22 +  x + y



4 22 +  x 2

= 24 ⇒ 44 +  x + y = 96 ⇒ x + y = 52

= 23 ⇒ 22 +  x = 46 ⇒ x = 24

D7 D/

eempla.amos D/ en D7 /1 3  6/ 3  /2 ∴ )as edades de las cuatro personas serán: //5 //5 /15 /2 5. Para calcular el suministro de agua que una ciudad requiere mensualmente se escogen 76 familias de la ciudad5 resultando los siguientes consumos en metros c!bicos: 77/5 /765 7=15 7?>5 71=5 7=?5 4//5 72/5 7475 /425 7245 7665 7225 //>5 710 'i en la ciudad "a3 6000 familias 8Cuántos metros c!bicos de agua se requieren mensualmente si el consumo promedio por familia permanece igual

'()*C$+N  K = 2.5 4 n ⇒ 2.5 4 15 = 4.92 ≡ 5

 A =

 R  K

=

 LS − LI  K 

=

32.2 − 11.2 5

= 4.2 ≡ 4.21

i 77/ 7617 7617 7?=/ 7?=/ /424 /424 /201 /201 4//6  Media( x)

Gi 1

74406

QQQQ

1

7>676

QQQQ Q

=

/7>/6

QQQQ

1

/6?46

0

40716 x=

f i

Q

7

7 1 7 1 7 6

"i >R7 6 =R7 6 1R7 6 0R7 6 7R7 6

4(13.305) + 6(17.515) + 4(21.725) + 1(30.145)

 x = 18.357 m

15 3

N  6000 familias Cantidad total de agua: N  x

 6000

D7246>  ?7>26 m 4

7. Al calcular la media de 7/6 datos5 resultó 1/ *n c"equeo posterior mostró que en lugar del valor 7/1 se introdu#o 7/1 Corregir la media

'()*C$+N &atos: 75 /5 45 15 K5 7/6

Hi 1R76 70R76 71R76 71R76 76R76

 x1 + x2 + x3 + x4 + ... + x125

Fedia:

125

= 42

Como en lugar de 7/1 se puso 7/1: 124 − 12.4 =

111.6 125

= 0.8928

Este error de colocar 7/1 en lugar de 7/15 produ#o un eceso de 02?/2 en la media  Fedia corregida  Fedia O Eceso  1/ O 02?/2  1770>/ 

9. &e los "orarios de clases de EECC se sabe que ninguno tiene más de 700 ó menos de >0 alumnos matriculados 'e sabe que uno de cada 6 tiene 20 alumnos5 que el 40@ tiene 700 3 la ma3oría ?0 alumnos Calcular la media de alumnos por "orario

'()*C$+N

• 7 de 6 tiene 20



1 5

 tiene 20

 /0@

tiene 20

• 40@ tiene 700 • Fa3oría tiene ?0  @ tiene ?0 /0@ S 40@ S @  700@ @  60@  60@ tiene ?0 ∴  x =

20%(80) + 30%(100) + 50%(90) 100%

=

16 + 30 + 45 1

= 91

11. En un informe Dque se supone es correcto sobre sueldos en todo el país una empresa de estudios de mercados publica la siguiente tabla Clase Clase Clas Clas A T eC e& @ de población 70@ /6@ 46@ 40@ 'ueldos 'R/6 'R76 'R60 'R/0 00 00 0 0

 U conclu3e diciendo que la media de los sueldos en todo el país es 'R77>6 a 89u% comentario le merece el informe 'i no está de acuerdo 8Cuál sería la corrección b 8Es la media en este caso el promedio representativo 'i no está de acuerdo 8Cuánto es el promedio adecuado '()*C$+N

( )

 Media x

x=

2500(0.1) + 1500(0.25) + 500(0.35) + 200(0.3)

a  x = 860 soles

1

El informe es incorrecto porque la media de los sueldos no es 'R77>6 sino 'R2=0 Además en este caso la media no es una medida adecuada porque no representa de manera correcta 3 eacta el promedio de los sueldos b No5 la media es un promedio representativo5 lo ideal es tener 1 promedios5 3a que son 1 niveles distintos 3 cada uno tiene su promedio representativo En todo caso la mediana es un poco más representativa que la media Fediana  'R60000 13. Cuatro fábricas A5T5C5& producen un mismo ob#eto )a fábrica T produce el doble de C5 la & 70@ menos que la C 3 la A al =0@ menos que la T )os costos de producción Den dólares por unidad de estas fábricas son respectivamente: 0/5 045 0/5 06 Calcular el precio medio de venta si se quiere ganar el /0@ por unidad

'()*C$+N Costo A  0/ Costo T  04 Costo C  0/ Costo &  06 P, de A  0/ S /0@D0/  0/1 P, de T  04 S /0@D04  04= P, de C  0/ S /0@D0/  0/1 P, de &  06 S /0@D0/  0=0   cantidad de ob#etos C T  / A  01D/  02 &  0? Precio medio 

0.8 x (0.24) + 2 x (0.36) + 0.24( x ) + 0.9x (0.6) 2 x + 0.8 x + x + 0.9 x

=

1.692x 4.7 x

= 0.36

15. En una empresa donde el sueldo medio es de I100 se incrementa un personal igual al /6@ del 3a eistente con un sueldo medio igual al =0@ de los antiguos 'i 4 meses más tarde se incrementan cada sueldo en /0@5 más 40I5 8cuánto es el nuevo salario medio

'()*C$+N 'ueldo Fedio 100I5 Personan

&espu%s de 4 meses: 'ueldo Fedio100I S /0@100I S 40I  670I n Personaln Entonces

 670IVn

!"#en$o %e &er'ona(:

'ueldo Fedio  =0@100I  /10I5 Personal0/6n &espu%s de 4 meses: 'ueldo Fedio/10I S /0@/10I S 40I  472I 0/6n Entonces  472ID0/6n S

'alario Fedio Nuevo

n S 0/6n

'alario Fedio Nuevo D670In S 472ID0/6nR7/6n )*71.6 17. Al tabular las calificaciones de un eamen se obtuvieron las siguientes notas: 0>5 025 0?5 705 775 7/5 745 715 765 7=5 7> 3 las frecuencias del n!mero de alumnos respectivas: 75 75 75 75 75 =5 25 7=5 725 /05 / a 8Cuánto es la media5 la mediana 3 la moda de las notas 89u% valor escogería como el promedio b 8Cuánto es la nota mínima para estar en el quinto superior

'()*C$+N +O!S DWi 7  9 1 11 12 13 1* 15 16 17

f i

Gi

7 7 7 / 7 4 7 1 7 6 = 77 2 7? 7= 46 72 64 /0 >4 / >6 n >6 a - Fedia

 71/64444

n /e%ia0 1*.253

- /o%a0 165 X que más se repite - Fediana valor central &onde nR/4>65 entonces:

FedianaX de orden 42 /e%iana 0 15

- Por ser asim%trica DFedia Y Fediana Y Foda5 entonces el promedio más adecuado a utili.arse sería la /EI!+! b El quinto superior es el ;/0@ ma3or que<5 que es igual a decir ;20@ menor que<5 entonces: )a nota mínima que pertenece al quinto superior será el valor de orden D020Vn020V>6  =0 Nota mínimaX de orden =0 +o$a /ni#a016 19 A una muestra se aplicó un test para medir autoestima 3 los punta#es se tabularon en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud5 siendo la puntuación mínima /65 la tercera marca de clase =/6 'i las frecuencias en porcenta#es del primero al tercero son: 65 765 /6B 3 si el ?0@ de las puntuaciones son menores que 26: a calcule el promedio adecuado b 3 si se considera normal una autoestima comprendida entre 62 3 20 puntos5 8qu% porcenta#e de la muestra no tiene una autoestima normal

'()*C$+N I+ER!4OS

/6 - /6SAZ /6SA /6S/AZ /6S/A /6S4AZ  Jotal Cálculo de la amplitud:   I+ER!4OS

/6 - 10Z

Farca de Clase

f i

=/6

hi

Hi

006

6

076

76

0/6

/6

700 700 D/6 S /A S /6 S 4AR/  =/6 A76 Farca de Clase 4/6

f i

P

700

hi

Hi

P

006

006

6

10 - 66Z 66 - >0Z >0 - 26Z 26 - 700Z  Jotal

1>6 =/6 >>6 ?/6

076 0/6 700

&?  26  )$ S AVD0? O 016RDH i

0/0 016

700

76 /6 700

- 0.45)

26  >0 S 76VD0? - 016RD Hi  -

0.45)

Hi  0? I+ER!4OS

/6 - 10Z 10 - 66Z 66 - >0Z >0 - 26Z 26 - 700Z  Jotal

Farca de Clase 4/6 1>6 =/6 >>6 ?/6

f i

hi

Hi

P

6 76 /6 16 70 700

006 076 0/6 016 070 700

006 0/0 016 0?0 700

6 76 /6 16 70 700

a Calculamos la media5 mediana 3 moda para saber cual es el promedio más apropiado - Fedia  D4/6V6 S 1>6V76 S =/6V/6 S >>6V16 S ?/6V70R700 Fedia  =26 - Fediana  >0 S 76VD06 O 016RD0? - 016 Fediana >7=> - Foda  >>6 Entonces por ser asim%trica5 tomamos como promedio más adecuado a la #e%iana 0 71.67 b Porcenta#e que no posee autoestima normal será igual a 700@ menos la diferencia entre el porcenta#e con punta#e 20 3 el porcenta#e con punta#e 62 - Porcenta#e con punta#e 62: 62  66 S 76VDN O 0/0RD016 O 0/0 4R76  DN O 0/0RD0/6 006  N O 0/05 N  0/6  /6@ - Porcenta#e con punta#e 20 20  >0 S 76VDF O 016RD0?0 O 016 70R76  DF O 016RD016

040  F O 0165

F  0>6  >6@

+o $iene a"$oe'$i#a nor#a(: 700@ - D>6@ - /6@  0 5 21. En una prueba de aptitud mental la menor 3 ma3or puntuación fueron 60 3 7?? respectivamente )os punta#es Dsin decimales se tabularon en una distribución de frecuencias sim%trica de 6 intervalos de igual amplitud donde el /0@ de los casos son menores de ?6 3 el >0/@ de los casos son menores que 710 a Hallar el intervalo centrado en la mediana donde se encuentran el 60@ de los punta#es b 8Es el cuartil /5 el punto medio entre los cuartiles 7 3 4

'()*C$+N Primero calculamos la Amplitud: AR[ : ango  7?? O 60  71? \: X de intervalos 6 Entonces A  71?R6  /?2 ] 40 I+ER!4 OS 60 - 20Z 20 - 770Z 770 710Z 710 7>0Z 7>0 /00Z  Jotal

f i

hi

Hi

m n [

W

n m 7

- Como el /0@ de los casos es menor a ?65 entonces: ?6  &/  20 S 40VD0/ O mRDDnSm O m 76R40  D0/ O mRn n  01 O /m n S /m  01 KKD$ - Hacemos lo mismo para >0@ de los casos menores que 710:

710  &>  770 S 40VD0> O DmSnRDW O DmSn  W O DmSn  0> O DmSn m S n S [  0>KD$$ Entonces: m S n S [ S n S m  75 reempla.ando D$$ 0> S m S n  7 m S n  04 KK D$$$ reempla.ando D$$$ en D$ m S DnSm  01 m  075 n 0/5 I+ER!4 OS 60 - 20Z 20 - 770Z 770 710Z 710 7>0Z 7>0 /00Z  Jotal

[  01

f i

hi

7 /

07 0/

1

01

/

0/

7

07

70

7

Hi

07 04 0> 0? 70

a Fediana  9 /  770 S 40VD06 O 04RD0> O 04  7/6 b 97  20 S 40VD0/6 O 07RD04 O 07  70/6 94  710 S 40VD0>6 0>RD 0? O 0>  71>6 )uego: Punto medio entre 9 7 3 94  D70/6 S 71>6R/  7/6  9 / El cuartil / SI es el punto medio de los cuartiles 7 3 4

23. )os porcenta#es de artículos defectuosos encontrados en un n!mero encontrados en un n!mero determinado de ca#as recibidas varían de 70 a /6 3 "an sido tabulados en una distribución de frecuencias sim%trica de 6 intervalos de igual amplitud5 siendo las frecuencias relativas respectivas

del primero al tercero 0025 0/15 04= *na ca#a se considera óptima si el porcenta#e de defectuosos no supera el 7>@ 3 casi óptima si no supera el /0@ a Calcular el porcenta#e de ca#as óptimas 3 casi óptimas b 'i las utilidades por ca#a es de 40 unidades monetarias Dum para las óptimas5 76 um para las casi óptimas 3 6 um para el resto5 8cuánto es la unidad promedio por ca#a

'()*C$+N Amplitud  D/6 O 70R4  4 I+ER!4OS porcenta#e de defectuosos 70 - 74Z 74 - 7=Z 7= - 7?Z 7? - //Z // - /6Z  Jotal

f i

Gi

hi

Hi

P

2 /1 4= /1 2 700

2 4/ =2 ?/ 700

002 0/1 04= 0/1 02 700

002 04/ 0=2 0?/ 700

2@ /1@ 4=@ /1@ 2@ 700@

a - Porcenta#e de ca#as óptimas Dno supera 7>@ de porcenta#e de defectuosos: 7>  7= S 4VDn O 04/RD0=2 O 04/ 7R4  Dn O 04/R D04= 07/  n O 04/5 n  011  ** &orcen$aje %e caja' 8&$i#a' - El porcenta#e de ca#as casi óptimas es igual al porcenta#e de de ca#as que no supera el /0 @ de porcenta#e de defectuosos menos el porcenta#e de ca#as óptimas Cálculo de porcenta#e que no supera el /0@ /0  7? S 4VDm O 0=2RD0?/ O 0=2 7R4  Dm O 0=2RD0/1 002  m O 0=25 m  0>=  >=@ Entonces el &orcen$aje %e caja' ca'i 8&$i#a' 0 >=@ - 11@ 0 32 El resto tiene un porcenta#e de /1@ b *tilidad de ca#as óptimas 40 um *tilidad de ca#as casi óptimas  76 um *tilidad del resto  6 um

$i(i%a% &ro#e%io 0 **3 ; 3215 ; 2*5<1 0 19.2 ".#. 25. Cinco personas viven en los lugares A5 T5 C5 & 3 E separadas a las distancias en \m Como se indica en la figura que sigue5 deben reunirse en alg!n lugar

&istancias )ugares

76 A

70 T

4 C

6 &

E

&etermine el lugar de reunión de manera que el costo total de transporte sea el mínimo5 si el costo de cada transporte es proporcional a al recorrido b al cuadrado del recorrido '()*C$+N - Pro&ie%a% %e (a /e%iana: )a suma de las diferencias Den valor absoluto de n datos con respecto a su mediana es mínima En el caso de datos sin tabular

- Pro&ie%a% %e (a /e%ia:  )a suma de los cuadrados de las desviaciones de n datos con respecto a su media es mínima Para dato no tabulados

Entonces para dar las respuestas debemos partir del punto A 3 aplicar las propiedades mencionadas: 4=!RE S A T C & E

IS!+CI! >!S! ?!@ ---76 [m /6 [m /2 [m 44 [m

a 'i el costo es proporcional al recorrido5 entonces este será mínimo cuando la distancia recorrida sea igual a la mediana de todas las distancias Punto de encuentro  Fediana  valor central P"n$o %e enc"en$ro 0 25 A#. %e !.

b 'i el costo es proporciona a los cuadrados de los recorridos5 entonces este será mínimo cuando la distancia recorrida sea igual a la media Punto de encuentro  Fedia  D0 S 76 S /6 S /2 S 44R6 P"n$o %e enc"en$ro 0 2.2 A#. %e ! 27. *n con#unto de n artículos cu3os valores de venta serán de I65 I> 3 I70 con las frecuencias respectivas de /0@5 /6@ 3 66@ tienen un costo de producción fi#o de I k. Hallar el valor de k si se quiere "acer una inversión mínima 3 si se supone que la inversión es: a Es igual a la suma de todas las utilidades b Es igual a la suma de los cuadrados de todas las utilidades

'()*C$+N Aplicando las propiedades anteriores: !4OR E E+! %e ar$c"(o' I6 I> I70

BRECE+CI!S

/0@ /6@ 66@

a Cuando la inversión es igual a la suma de las utilidades5 entonces el valor de \ es igual a la mediana:  0 Fediana  valor centra  0 )1 b Cuando la inversión es igual a la suma de los cuadrados5 entonces el valor de \ es igual a la media: \  Fedia  DI6V/0 S I>V/6 S I70V66R700  0 ).25 29 *n a"orro de 700I acumula intereses variables de 4@5 6@5 2@5 durante 4 años5 calcular: a El monto del a"orro por año b )a tasa promedio del crecimiento del a"orro en los tres años c El porcenta#e promedio de crecimiento del a"orro

'()*C$+N !DO

0 7 /

 CRECI/IE+ O --4@ 6@

!>ORRO

!S!S

I700 I700 S 004VI700  I704 I740 S 006VI704 

--740R700  704 70276R740  706

4

2@

I70276 I70276 S 002VI70276  I77=20/

77=20/R70276  702

a El monto de a"orro por año es de )13 en el primer año5 )1.15 en el segundo 3 )116.2  en el tercero b )a tasa promedio del crecimiento del a"orro en los tres años es igual a promedio geom%trico de las tres tasa: a'a Pro#e%io  5.31<1

4

704V706V702

0 1.5313  7 S

c El porcenta#e promedio de crecimiento de a"orro es de 5.31 31. En cuatro meses consecutivos los precios de un artículo fueron I6005 I6605 I1105 I1=/ respectivamente 8Es la tasa de variación promedio igual a -7=>@'i no es así5 8cuánto es

'()*C$+N /ES 7

/ 4 1

 CRECI/IE+O ---DI660 - I600RI600  070  70@ DI110 - I660RI660  -0/0  -/0@ DI1=/ - I110RI110  006  6@

 Jasa promedio 

!>ORRO I600

!S!S ---

I660

660R600  77

I110

110R660  02

I1=/

1=/R110  706

4 77 V 02 V 706  0?>4??  7 – 2.6<1

Entonces la tasa de variación promedio es de  -2.6 35 Jres obreros utili.aron 1205 4=05/10 minutos respectivamente para "acer cierto tipo de ob#etos 'i utili.aron 025 7 576 minutos por ob#eto5 calcular el tiempo promedio por ob#eto '()*C$+N

WH  E) J$EFP( P(FE&$( &E )(' (T^EJ(' E' 0?=



0?=

37. &urante los días lunes5 martes5 mi%rcoles5 #ueves 3 viernes *na persona A compro >0 acciones cada día de la compañía ___ (tra persona T invirtió diariamente 'R 7200 para comprar acciones de dic"a compañía 'i los precios de las acciones cada día fueron como sigue: 4"ne' 2 //6 /ar$e' /1 /irco(e'  J"eFe' /6 40 ierne'

a &eterminar el costo promedio por acción para cada una de las personas b 89ui%n consiguió el menor costo promedio por acción '()*C$+N a

A T





/14

c El que consiguió el menor costo promedio por acción es T Página 1 – 6 1.

A cuatro unidades estadísticas se le asigna los valores =5 705 71 3 /0 respectivamente en una escala de ra.ón 'i en la misma escala se transforma = en ?5 calcular el coeficiente de variación de los 1 valores transformados

'()*C$+N

=5 705 715 /0

=a?



a

72>6

 Jransformando los valores: ?5 765 /7540 C,

donde por propiedad de la varian.a obtenemos s3/ a/s/ si tiene la forma a3 empla.ando: '/

D 

>>62 C, 

0174>

5 la media 3 al desviación estándar de los sueldos de N empleados de una fabrica son 600 3 40 respectivamente A cada uno de los N empleados sele dará un aumento de A@ de su sueldo mas una bonificación de T soles Halle A 3 T de tal manera que la media delos sueldos modificados sea =00 3 su desviación estándar 44

'()*C$+N W600  U=00 ' U/$a$ 'W D44 / D7S   T60

'W40 ' U44 EFP)A`AN&( D40

U DAS700 @ WST

A70

U DAS700 @WST

=00770@D600ST

E) ,A)( &E A70 U E) ,A)( &E T60 7.  una prueba de conocimientos5 A5 se califico sobre /0 puntos dando una media de 7/ 3 una desviación estándar de / puntos Fientras que una prueba de actitud5 T5 'E CA)$G$C( sobre 700 puntos5 dando una media de >0 3 una desviación estándar de 6 a 8en cual de las pruebas los punta#es son mas "omog%neos b si ^uan tiene 71 en A 3 )uis >4 en T 89ui%n tiene me#or rendimiento

'()*C$+N W7/ 'W/ C,

U >0 ' U6

C,  07=> rpta En la prueba T los punta#es son más "omog%neos rpta ^uan tiene me#or puntuación estándar

C,

0>7

9. los sueldos de 760 traba#adores de una empresa tienen un coeficiente de variación del 6@ en el mes de agosto Para el mes de setiembre "a3 un aumento a cada traba#ador del /0@ de su sueldo mas una bonificación de I=0 3 el coeficiente de variación ba#a a 1@ a calcule la media 3 la desviación estándar de los sueldos del mes de agosto b 8cuanto dinero adicional necesita la empresa para todos los sueldos del mes de setiembre

'()*C$+N W  FE' &E A('J(  UFE' &E 'EJ$EFTE C,W6@006 '3/A/s U/

U7/0@WS=( C, U1@001

W/00  U7/0@WS=0  U7/0@/00S=0  U400 'WC,VW 'W006W/00 'W70 )A FE&$A E' $*A) A /00 U )A &E',$AC$(N E'JAN&A E' &E 70 &$NE( J(JA) EN E) FE' &E A('J( 'R 4000 &$NE( J(JA) EN E) FE' &E 'EJ$EFTE 'R 1600    A&$C$(NA) 'R 7600 11. al calcular la media 3 la desviación estándar de 20 datos resultaron 40 3 1 respectivamente *n c"equeo mostro en que lugar del valor 7> se introdu#o 7>7 corri#a la media 3 la desviación estándar '()*C$+N W40 &onde

'1 7> a 7> a05??4=4

 U  a W  Ua D40D0??4=4D40/?20? ' U/a/'W

' U7//7V1 ' U1226 13. )a varian.a de n DnZ1 datos de variable W es 10 'i la suma de los datos es 10 3 la suma de sus cuadrados es 6=15 calcular el coeficiente de variación de los datos despu%s de la transformación: UD4WS?R70

'()*C$+N '/10 10

'/

6=0





10

W1

W 10 Rn  U D4S?R70/7 ' U04 72?> C, U72?>R/70?

n70

E) C(EG$C$ENJE &E ,A$AC$(N &E )(' &AJ(' &E'P*E'  JAN'G(FAC$(N E' 0?

&E

)A

E^EC$C$('

17. )os siguientes datos muestran los calificativos de /0 personas sometidos a una prueba de aptitud los /0 estudiantes fueron divididos en / grupos5 al grupo $ se califica de 0 a 700 3 al / grupo de 0 a /0:

 rupo 7: 2=5 275 >?5 >45 ?65 2=5 ?15 ?05 2=5 22  rupo /: 7=5 7?5 745 /05 715 7=5 7?5 725 7>5 76

a

Calcule la media 3 la desviación estándar en cada grupo 8Cuál de los grupos es más "omog%neo

b

8'e puede aceptar que el estudiante con >4 puntos en del grupo $ tiene ma3or aptitud que el estudiante con 74 puntos del grupo / 'olución: a

rupo 7: 7  262 rupo /: /  7=> n

x2  ∑1 - / i=

n

V s  >10/1 O >4=5 =1 s/7  10>= / 7

7  =421

s//  /24> - />22? s//  127 V

C,7 C,/ 

s x

s x

   

6.384 85.8

2.193 16.7

Es mas "omog%neo el



b

/ /7?4   00>11  07474

C,7

X-x s

`

73 - x s

 `7 



`/ 



el segundo grupo tiene ma3or amplitud

13 - x s

 

73 - 85.8



 

6.384

13 - 16.7 2.193

 -/

 -7=>

19. )as notas de un eamen se tabularon en una distribución de frecuencia de cuatro intervalos de amplitud iguales5 siendo el dato mínimo igual a cuatro 3 las frecuencias relativas primera 3 tercera respectivamente 076 3 046 Calcule la varian.a de la distribución si la media aritm%tica es 7/1

'()*C$+N A1 Wmin 1

  7/1

"/046 s/ 

"7  076

$ntervalos  1 2  2 7/   7/ 7=   7= /0

Clases = 70 71 72

f7  

"7 076

a b c d

aSbScSd  n

046

bSd  06n

aSc06n

=a S 70b S 71c S 72d 7/1n 4a S 6b S >c S ?d  =/n 4Da S c S 1c S 6Db S d S 1d  =/n 4D06n S 1Dc S d S 6D06n  =/n 76n S 1DcSd S /6n =/n c S d  066n 046n S d 066n d 0/n n

V

∑

'   /

i =1



f 

m i

b  04n

2 i

-

/

n

'/ 

36 a + 100 b + 196 c + 324 d  n

'/  '/  '/ 

- D7/1/

36(0.15n) +100(0.3n) +196(0.35n) + 324(0.2n) n

5.4n + 30n + 68.6n + 64.8n n

168.8n n

- 764>=

'/  7=22 - 764>=

- 764>=

- 764>=

'/  7601 21. *n con#unto "abitacional esta formado por 4 edificios de departamentos se tiene los siguientes datos respecto al consumo mensual de electricidad de cada uno de los edificios

Edificio 7: Jiene 2 departamentos5 la media 3 la desviación estándar de los consumos es R 26 3  7/ respectivamente Edificio /: Jiene ? departamentos cu3os consumos en soles son de 225 ?/5 70=5 7705 ?45 70/5 ?75 ?15 20 Edificio 4 : )os consumos se dan en la siguiente tabla: Consumo en soles D 605 =0  D =05 >0  D >05 20  D 205 ?0  a b c

&epartamentos 7 / 4 1

8Cual de los edificios tiene el menor consumo de electricidad 8 Cual es el consumo promedio en todo el con#unto "abitacional En cual de los edificios de los valores que representa los consumos estan mas dispersos   '()*C$(N



edificio 7   26

V C,7

12 85

  7/   0717

Consumo  n  2D26 

edifico / n?

consumos: 225 ?/5 70=5 7705 ?45 70/5 ?75 ?15 20 

88 + 92 + 106 + 110 + 93 + 102 + 91 + 94 + 80

  ?677

9

n

∑

  /

x

i =1

2

- /

i

n

  ?7/4>>> - ?016?7/7 /  >>2=6 /

 

 s

2

 22/1

V Consumo  n ?D?677 26= V C,/

 s

8.824

 

95.11

  00?/

 x



edificio 4 V 

1(55 ) + 2( 65) + 4(75 ) + 3(85) 10

  >1 2 f  m i =1 i i k 

V

  /

∑

n

  66=6 - 61>= /

/ 2?

  V C,4

 s  x

 s

2

 ?14

  07/>

V consumo nD  70D>1 a

Edificio 7

b Cp

360 + 856 + 740   3

c C,7 071

=6/

- /

23. En una empresa donde traba#an "ombre 3 mu#eres la media general de los sueldos es /60 'i la media 3 la desviación estándar de los sueldos en el grupo de varones es />0 3 76 3 en el grupo de mu#eres es //0 3 70

a b

Calcule el porcenta#e de "ombres 3 mu#eres Calcule las desviación estándar de los sueldos de todos los traba#adores de la empresa '()*C$+N a

V

Hn

Fm

"/>0

m  //0

"  76

m  70

n

V

∑ 1x i

+

i=

m

∑i

x

i

 /60

n +m

270n + 220m n

+m

  /60

/>0n S //0m  /60 D n S m /0n 40m n m





3 2

Entonces "ombres son el =0@ 3 mu#eres el 10@

25. * n producto de dos fabricas A 3 T se clasifican en tres clases seg!n su duración: de 7era5 si su vida !til esta en el cuarto superior5 de 4era5 si su duración esta en el cuarto inferior5 en otro caso son de /da clase )os precios sean los mismos en cada marca A 3 T 3 en cada clase si A 3 T tienen medias iguales a 7/ meses5 7er cuartel 70 3 2 meses5 3 si sus curvas de frecuencia son simetrías leptocurticas 3 platicurticas respectivamente 8Cuál seria su estrategia de compra para adquirir las 4 clases del producto

27. 'i a  3 s son la media 3 la desviación estándar de n datos5 pruebe que el intervalo  - [s5  S[s 5 [ Z7 contiene al menos D7-aR[ / 700@ de los n datos esto es 5 el numero de datos de cualquier tipo de distribución que caen en tal intervalo no puede ser menor a D7-aR[ / 700@

'()*C$+N V sean n7 3 n/ X de dentro 3 fuera respectivamente del intervalo5 entonces5

n

1

+n

2

7 

Por otra parte la suma de cuadrados total es

n

igual a la suma de cuadrados dentro mas suma de cuadrados fuera )uego:

/ 

∑n ( x 1 −  x)

2



∑

2

n

2

( x −  x) + ∑ ( x −  x) + 1 1 2 1 n



∑

2

n

( x −  x) + 1 2

n

n

n

si los datos i fuera del intervalo5 entonces Q  i -  Q Z [s 3

'C[ 

∑

2

n

∑

( x −  x) + Z 1 2

n 2

n

 [/s/ n/

n

'ustitu3endo este ultimo en s/5 resulta5 proporción de datos fuera del intervalo

2 2 k   s

[/s/ n/ Z s n/ n

2

 7 es menor que

)uego la 1 2

k 

  3 la

n

proporción de datos dentro es al menos 7 -

1 2

k 

29. )os punta#es obtenidos en una prueba de conocimientos tiene una media igual a 2 'i el coeficiente de variación de los punta#es es igual 0/6

a

Halle el porcenta#e de evaluados cu3os punta#es est%n comprendidos en el intervalo 015 7/