Oficina de Investigación Ejercicios Propuestos – Sesión Sesión Nº 12 Prueba de hipótesis: Media
1) Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de estadística es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de significancia del 5%? 2) Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico. 3) En un proceso de fabricación, se cree que a lo sumo el 5% de las piezas resultan defectuosas. En una muestra aleatoria de 200 piezas se encontraron 20 piezas defectuosas. ¿Es este resultado evidencia suficiente para concluir que la proporción de piezas defectuosas es superior al 5%? Utilice α = 0,05. 4) Un analista del departamento de personal selecciona al azar los registros de 16 empleados contratados por hora y de esa muestra obtiene una tasa media de salario de $7,50 por hora y un desvío estándar de $ 1. Si se supone que las tasas salariales están normalmente distribuidas. a) Pruebe la hipótesis de que la tasa media poblacional es de $ 8 por hora, a un nivel del 5%. 5) Una empresa de teléfonos asegura que por término medio realiza una instalación estándar en una casa en menos de 15 días con una desviación de dos días. Se seleccionan un total de 20 instalaciones realizadas por dicha empresa, resultando un tiempo medio de 14,2 días. Contrastar con un nivel de significación de 0,05 que el tiempo medio de cada instalación es inferior a los 15 días. días. 6) Un gerente de operaciones desea saber si fabrica el nuevo modelo de celular. Ha decidido continuar con la producción si un estudio de mercadotecnia demuestra que al menos el 65% del público que vive en un radio de 50 millas aprueba el producto. Los datos recabados en el estudio muestran que de 950 muestras tomadas aleatoriamente, 560 aprobaron el producto. ¿Decidirá el gerente continuar con la producción? Utilice un nivel de significancia del 5%? 7) Un test de psicología tenía una puntuación de 82 puntos. Se seleccionó al azar un grupo de 16 estudiantes siendo su puntuación promedio de 77 puntos con una desviación estándar de 5. ¿Puede afirmarse al nivel de significancia del 1% que la puntuación de este grupo fue inferior? 8) El sindicato de empleados de la corporación TCA asegura de la antigüedad promedio de los empleados es al menos de 12 años. En una muestra aleatoria de 49 trabajadores se encontró que la antigüedad promedio era de 11,5 años con una desviación típica de 1 año. Pruebe la afirmación del sindicato con un nivel de significación del 0,02. Prueba de hipótesis: Proporción
9) El gerente de una red hotelera ha estimado que a menos que el porcentaje de ocupación de sus hoteles sea superior al 65% no obtendrá suficiente margen de ganancia. Se tomó una muestra de 400 huéspedes, de loscuales 228 alquilaron habitaciones. El gerente desea saber si el porcentaje del total de huéspedes superará el 65% dentro de un nivel de significación de 0,05. 10) El Ministerio del Trabajo ha afirmado que el 40% de las personas que se retiraron de un empleo antes de los 65 años volverían a trabajar si alguien les ofreciese empleo. Esta pregunta se hizo a 200 personas en esta condición, y 64 contestaron en forma afirmativa. ¿Es cierta la afirmación del Ministerio, con base a la evidencia estadística, utilice un nivel de significación del 5%? 11) Un artículo leído en la prensa nacional afirma que solamente 1 de cada 3 personas que se gradúan en la universidad consiguen empleo. Sin embargo, se preguntó a 215 graduados universitarios si tenían trabajo, y 50 contestaron afirmativamente. ¿Puede decirse que la afirmación de la prensa es correcta? Utilice un nivel de significación del 10%.
1 Cultura Estadística para la Investigación
Oficina de Investigación 12) En unas elecciones municipales de una ciudad, el 42 % de los votantes dieron su voto al partido A. En una encuesta realizada un año después a 500 personas con derecho a voto, solo 184 votarían al partido A. Con estos datos, ¿puede afirmarse que ha disminuido la proporción de votantes a ese partido? Responder a la pregunta anterior con niveles de significación de 0,01. 13) Un estudio indicó que el 64% de los consumidores de supermercado creen en las marcas propias. El fabricante de una salsa de tomate preguntó a 100 compradores donde 52 prefieren marca propia, probar si el porcentaje de preferencias es menor al 64%, para un 5% de nivel de significancia 14) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis? a) Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto. b) Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto. 15) En una investigación de consumidores de drogas intravenosas en una ciudad grande, encontraron a 18 de 423 individuos con VIH positivo. Se pretende saber si es posible concluir que menos de 5 por ciento de los consumidores de drogas intravenosas en la población muestreada tienen VIH positivo. 16) Se tiene que el 66 por ciento de los niños en una muestra de 670 completaron toda la serie de vacunas contra la hepatitis B. ¿Es posible concluir que, con base en estos datos, en la población muestreada, más de 60 por ciento tienen la serie completa de vacunas contra la hepatitis B?. Utilice α= 0,05
17) Una agencia de empleos afirma que el 80% de todas las solicitudes hechas por mujeres con hijos prefieren trabajos a tiempo parcial. En una muestra aleatoria de 200 solicitantes mujeres con niños, se encontró que 110 prefirieron trabajos a tiempo parcial. Pruebe la hipótesis de la agencia con un nivel de significancia de 5%. 18) Una compañía de seguros afirma que el 90% de sus siniestros se resuelven en menos de 30 días. Para probar esta afirmación, un grupo de asegurados eligió una muestra aleatoria de 75 siniestros declarados. Si el grupo de asegurados encontró que 55 de los siniestros se resolvieron en menos de 30 días, ¿tienen razones suficientes para apoyar la afirmación de la compañía de seguros? Use un nivel de significación del 5%. Prueba de hipótesis para diferencia de Medias
1.
Para obtener inferencias válidas de una población, la muestra a obtener debe ser: a. Aleatoria b. Representativa c. Simultánea
2.
Si se rechaza una hipótesis nula Ho: µ1= µ2, esto implica que la media de la población 1 es estadísticamente diferente de la media de la población 2. a. Verdadero b. Falso.
3.
¿En qué escalas pueden estar los datos para estimar la media y la varianza de la población? 1._____________________ 2._____________________
4.
La media de las calificaciones de dos muestras de 15 estudiantes de primer semestre en la asignatura de Estadística de la universidad UCV resulta ser de 7 y 8,5. Se sabe que la desviación típica de las calificaciones en esta asignatura fue en el pasado de 1.5.
5.
La compañía Gibbs Baby desea comparar el aumento de peso de bebés que consumen su producto en comparación con el producto de su competidor. Una muestra de 40 bebés que consumen los productos de Gibbs reveló un aumento de peso medio de 7.6 libras en sus primeros tres meses de vida, con una desviación estándar de la población de la muestra de 2.3 libras. Una muestra de 55 bebés que consumen la marca del competidor reveló un aumento medio de 8.1 libras, con una desviación estándar de la población de 2.9 libras. Con un nivel de significancia de 0,05, ¿es posible concluir que los bebés que consumen la marca Gibbs ganaron menos peso?
6.
una firma que tiene dos fábricas ubicadas en dos regiones del país, desea establecer el promedio de antigüedad que tiene sus trabajadores, a fin de establecer un programa para sus pensionistas. Se toma de la primera fábrica una muestra de 60 obreros la cual refleja un promedio de trabajo de 16.4 años, con desviación estándar de 5 años, mientras que la segunda fábrica una muestra de 40 obreros, dio una media
2 Cultura Estadística para la Investigación
Oficina de Investigación de 15.8 y una desviación estándar de 4.2 años. ¿Al nivel del 5% se podrá afirmar que hay una diferencia significativa en cuanto a la antigüedad en la empresa? (Tp=0.63; v-p=0.533) 7.
En un experimento pedagógico para probar dos métodos para enseñar a leer, método de palabras normales y método fonético, se usaron ambos métodos en dos grupos de estudiantes con similares capacidades, por dos profesores, quienes dominan sus respectivos métodos. Después de desarrollar ambos métodos en un periodo de 18 semanas laborales, se obtuvieron los siguientes resultados. El primer método se tomó una muestra de 40 alumnos, dio una media muestral de 68 puntos y una desviación típica de 12 puntos. En el segundo método se tomó una muestra de 50 alumnos, dio una media muestral de 65 puntos y una desviación típica muestral de 14 puntos. ¿Cree que el método de palabras normales es más eficiente que el método fonético? Use un alfa del 5% (Tp=1.08; v-p=0.143)
8.
De una poblacion se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestral es de 102 y la desviacion estadar 5. De otra poblacion se toma una muestra de 50 observaciones. La media muestral es ahora 99 y la desviacion estandar es 6. Realice la siguiente prueba de hipotesis usando como nivel de significancia 0.04.
9.
El propietario de un negocio observa que hay diferencia entre el monto de las ventas realizadas por los vendedores hombres y mujeres que laboran en su establecimiento En una encuesta de 40 días encuentran que los hombres vendieron en promedio s/.1.400 por día, con una desviación estándar de s/.200. En una encuesta de 50 días encuentran que las mujeres vendieron en promedio s/.1.500 por día, con desviación estándar de s/.250. En el nivel de significancia de 0.05.
10. Un analista financiero está interesado en comparar los niveles de rendimiento, en puntos porcentuales, de dos empresas de sectores diferentes 1 y 2. Él sabe que las tasas de rendimiento de cada una de estas empresas tiene distribución normal. Seleccionó al azar 16 acciones de cada una de las empresas y observó las tasas de rendimiento. Las tasas de rendimiento dieron las medias 45 y 38, y las varianzas 128 y 64 respectivamente para las empresas 1 y 2. Al nivel de significancia del 5%. ¿Es la tasa de rendimiento promedio de la empresa 1 mayor que la de la empresa 2? 11. Se quiere estudiar si el número de bacterias que aparecen en un determinado cultivo al cabo de una semana es aleatorio o por el contrario habría que suponer que hay algo en el cultivo que propicia el desarrollo de tales bacterias. Para ello, se sometió el cultivo a 10 semanas de observación y se obtuvieron los siguientes resultados: 498, 490, 510, 505, 495, 496, 497, 501, 502, 520. 12. En las dos zonas muy secas (Ladihonda y Fazares) se pretende comprobar si determinado tratamiento, aplicado durante un mes, ayuda a reducir la presencia de dichas agallas. Para ello, se realiza un estudio a 10 encinas, en las que se selecciona aleatoriamente 10 hojas y se registra el promedio de agallas presentes antes del tratamiento y después del tratamiento (se supone normalidad). Los resultados se muestran a continuación: Antes 10,5 9,7 13,3 7,5 12,8 15,2 11,2 10,7 5,2 18,9 Después 11,2 7,8 9,2 3,4 8,9 10,8 11,4 8,5 6,2 11,1 13. Supongamos que un estadístico de recursos humanos desea analizar si los salarios por hora de los obreros semiespecializados son los mismos, mayores o menores en Madrid que en Barcelona. Los datos muestrales obtenidos son los siguientes:
Supongamos que la empresa desea probar la hipótesis en el nivel de significación del 5% de que (en promedio) no hay diferencia entre los salarios por hora de los trabajadores semiespecializados de las dos ciudades. 14. Lisa Monnin es la directora de presupuestos de Nexos Media, Inc. Ella quiere comparar los gastos diarios en viáticos del personal de ventas con los gastos del personal de auditoría, para lo cual recopiló la información siguiente sobre las muestras: Ventas ($) 131 135 146 165 136 142 Auditoría ($) 130 102 129 143 149 120 139
3 Cultura Estadística para la Investigación
Oficina de Investigación Con un nivel de significancia del 10%. ¿Puede Monnin concluir que los gastos diarios medios del personal de ventas son mayores que los del personal de auditoría? 15. Las ventas medias semanales de las llantas PS214 en dos tiendas A y B de servicios, son aproximadamente iguales. Sin embargo el gerente de ventas de la tienda B cree que sus ventas son más consistentes. A continuación se presenta el número de llantas PS214 que se vendieron en las últimas 10 semanas en la tienda A y durante las últimas 11 semanas en la tienda B. A 32 35 34 35 32 30 33 31 31 33 B 39 38 40 42 45 44 35 32 36 38 37 Suponga que tales ventas en cada tienda tienen distribución normal. En el nivel de significancia de 5%. ¿Está usted de acuerdo con el gerente de la tienda B? 16. En un estudio reciente se comparó el tiempo que pasan juntas las parejas en que solo trabaja uno de los cónyuges con las parejas en que ambos trabajan. De acuerdo con los registros que llevaron las esposas durante el estudio, la cantidad media de tiempo que pasan juntos viendo televisión las parejas en que solo trabajan uno de los cónyuges fue de 61 minutos por día, con una desviación estándar de 15.5 minutos. Las parejas en que los dos trabajan, el número medio de minutos que ven televisión fue de 48.4 minutos, con una desviación estándar de 18.1 minutos. Con un nivel de significancia del 1%, ¿se puede concluir que, en promedio, las parejas en que solo trabaja uno de los cónyuges pasan más tiempo junto viendo televisión? En el estudio había 15 parejas en que solo uno trabaja y 12 en que trabajan los dos.
Prueba de hipótesis para diferencia de Proporciones
1. Rechazar H 0 siendo correcta y aceptar H 1, siendo falsa es equivalente a: A.- Probabilidad 1-. B. - Error tipo II. C. - Error tipo I. 2. Se seleccionó una muestra aleatoria de 100 hombres y 100 mujeres de un departamento de Colombia; se halló que de los hombres 60 estaban a favor de una ley de divorcio y de las mujeres 55 estaban a favor de dicha ley. Con base en ésta información, pruebe que la proporción de hombres que favorece ésta ley es mayor que la proporción de mujeres. Asuma un nivel de confianza del 99 por ciento. 3. Sobre parcelas sembradas con dos variedades distintas de maíz (A y B), se aplicó un herbicida que resultó ser nocivo en el sentido que destruyó gran parte de las plantas. De un total de 500 plantas de la primera variedad fueron destruidas 200 y de 570 plantas de la segunda variedad, murieron también 200. ¿Se puede considerar que el herbicida es igualmente nocivo para las dos variedades? (a = 0,05). 4. Se seleccionó una muestra aleatoria de 100 hombres y 100 mujeres de un departamento de Colombia; se halló que de los hombres 60 estaban a favor de una ley de divorcio y de las mujeres 55 estaban a favor de dicha ley. Con base en ésta información, pruebe que la proporción de hombres que favorece ésta ley es mayor que la proporción de mujeres. Asuma un nivel de confianza del 99 por ciento. 5. Una muestra de 87 mujeres trabajadoras profesionales mostró que la cantidad promedio que pagan a un fondo de pensión privado el 5% de su sueldo. Una muestra de 76 hombres trabajadores profesionales muestra que la cantidad que paga a un fondo de pensión privado es el 6.1% de su sueldo. Un grupo activista de mujeres desea demostrar que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos de pensión privados. Si se usa alfa = 0.01 ¿Se confirma lo que el grupo activista de mujeres desea demostrar o no? 6. Se ponen a prueba la enseñanza de la Estadística empleando Excel y Winstats. Para determinar si los estudiantes difieren en términos de estar a favor de la nueva enseñanza se toma una muestra de 20 estudiantes de dos paralelos. De paralelo A 18 están a favor, en tanto que del paralelo B están a favor 14. ¿Es posible concluir con un nivel de significación de 0,05 que los estudiantes que están a favor de la nueva enseñanza de la Estadística es la misma en los dos paralelos? 7. De 2.000 empresas muestreadas aleatoriamente en el año 2002, 58 tenían alguna anomalía en sus cuentas auditadas en EE.UU. mientras que en 2000, de otra muestra de 2.500 empresas, 61 tenían algún error en la contabilización de sus cuentas. , ¿la proporción de empresas con algún error en sus cuentas auditadas en 2002, fue significativamente distinta que la proporción de ellas en el año 2000?
4 Cultura Estadística para la Investigación
Oficina de Investigación 8. ¿Fuman más los estudiantes de preparatoria que los del Conalep? Supongamos que de una muestra aleatoria de 80 estudiantes de una escuela preparatoria, 49 de ellos habían consumido seis o más cigarrillos en la última semana, mientras que de una muestra de 90 estudiantes de un plantel del Conalep, 44 de ellos habían consumido 6 o más cigarrillos en la última semana. Veamos si con un nivel de significancia de 0.05 es posible afirmar que las proporciones de fumadores en estos planteles son diferentes. 9. Un laboratorio desea saber qué tan efectivo en el tratamiento de dolores de aveza resulta duplicar la dosis que usualmente se recomienda. Para ello a un grupo de 60 pacientes con dolor de cabeza se les suministra la doble dosis y a otro grupo con 60 pacientes se les suministra la dosis normal. Si del primer grupo 51 pacientes sintieron una mejoría sustancial y del segundo grupo sólo 34 pacientes la sintieron, ¿Qué podemos concluir del beneficio de duplicar la dosis con un nivel de significancia de 0.05? 10. Según los resultados de un estudio exhaustivo de la población un 80% de las mujeres entrevistadas afirman utilizar algún producto cosmético todos los días, mientras que en el caso de los hombres este porcentaje en la actualidad asciende 55%. Una firma de cosmética se plantea sacar al mercado una crema hidratante de uso específico para hombres, pero antes de crear esa nueva línea de negocio, decide realizar su propia encuesta sobre una pequeña muestra aleatoria: selecciona a 50 mujeres y a 60 hombres y les pregunta sobre sus hábitos cosméticos. Halle la probabilidad de que la diferencia entre la proporción de mujeres que utiliza cosméticos respecto a la proporción de hombres que los utiliza sea inferior al 20%. 11. El departamento de investigaciones de una compañía de seguros investiga continuamente las causas de los accidentes automovilísticos, las características de los conductores, etc. En una muestra de 400 pólizas de seguros que adquirieron personas solteras, se encontró que 120 habían tenido por lo menos un accidente en los últimos 3 años. De manera similar, en una muestra de 600 pólizas de personas casadas se encontró que 150 habían tenido por lo menos un accidente. Al nivel de significancia 0.05, hay una diferencia significativa entre las proporciones de las personas solteras y casadas que tuvieron algún accidente en los últimos 3 años. 12. En un proceso de producción de botellas de vidrio se tomó una muestra de 400 de las cuales 28 estaban defectuosas, en otro proceso se tomaran 300 muestra de botellas de la cuales 15 estaban defectuosas. Demuestre la hipótesis nula p1= p2 de que los dos procesos generan proporciones iguales de unidades defectuosas, contra la hipótesis alternativa p1 ≠ p2 con un nivel de significancia de 0.05.
13. Un fabricante de productos medicinales está probando dos nuevos compuestos destinados a reducir los niveles de presión sanguínea los compuestos son suministrados a dos conjuntos diferentes de animales de laboratorio. En el grupo A, 71 de 100 animales probados respondieron al medicamento A con niveles menores de presión arterial. En el grupo B, de 90 animales 58 respondieron al medicamento B con menores niveles de presión sanguínea. El fabricante desea probar a un nivel de significancia de 0.05 si existe una diferencia entre la eficiencia de las dos medicinas. ¿De qué manera se debe proceder en este caso? 14. En un sondeo de opinión en la UCV Lima forma han opinado 75 de 300 estudiantes del sexo femenino. Se quiere saber si existe una diferencia real de opinión entre los estudiantes de sexo masculino y femenino de la UCV Lima. Para realizar el contraste de hipótesis de las proporciones utilice un nivel de significancia de 0.10. 15. En el Departamento de Pruebas del laboratorio INNEBIS se investiga si cierto tipo de químico es efectivo, para la precipitación de partículas. Para ello se deja sin aplicar el químico a 100 soluciones y de esas, 52 soluciones tienen una precipitación satisfactoria. De la misma forma se aplicó el químico a 400 soluciones, y se detectó que 275 presentaron una precipitación satisfactoria. ¿Qué conclusión pueden obtener los investigadores del laboratorio INNEBIS, si para contrastar la hipótesis utilizan un nivel de significancia de 0.05? 16. Una muestra de 50 hogares de una comunidad revela que 10 de ellos vieron un programa especial de televisión sobre contaminación ambiental. En una segunda comunidad, 15 hogares de una muestra aleatoria de 50 vieron ese programa especial de televisión. Probar la hipótesis de que la proporción global de espectadores de las dos comunidades no difiere, con un nivel de significancia de 1% 17. Un fabricante evalúa dos tipos de equipo para la fabricación de un componente. Una muestra aleatoria de n1=50, se recolecta de la primera marca de equipo, y cinco artículos son encontrados defectuosos, una muestra aleatoria de n2= 80 se recolecta de la segunda marca y seis artículos son encontrados defectuosos. El índice d e fabricación de ambas marcas es el mismo. Sin embargo dado que el costo de la primera marca es sustancialmente menor, el
5 Cultura Estadística para la Investigación
Oficina de Investigación fabricante le concede el beneficio de la duda y formula la hipótesis H0 : P1 significancia de 3%
≤ P2 Pruebe
esta hipótesis al nivel de
18. Una fábrica de cigarrillos distribuye dos marcas de cigarrillos. En una encuesta se encuentra que 56 de 200 fumadores prefieren la marca A y que 29 de 150 de los encuestados prefieren la marca B. Se puede concluir al nivel de significancia de 6% que la marca A se vende más rápidamente que la marca B?
6 Cultura Estadística para la Investigación