Preguntas y ejercicios
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Distribución Weibull Distribución valor extremo Modelo lognormal Estimador de Kaplan-Meier Mínimos cuadrados
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Máxima verosimilitud Sistema en serie Regla del producto de probabilidades Sistema en paralelo Función de estructura
Preguntas y ejercicios 1. ¿Qué es la confiabilidad de un producto? 2. Describa dos elementos distintivos de los estudios de confiabilidad. 3. Plantee al menos tres preguntas de interés en los estudios de confiabilidad. 4. Defina las censuras: por la derecha, por izquierda y por intervalo. Describa para cada censura una situación práctica que la puede generar. 5. ¿Qué información proveen las funciones de distribución acumulada y la función de confiabilidad? 6. ¿Cómo se define la función de riesgo? ¿Cómo se interpreta? 7. Si la función de riesgo de un producto es decreciente, ¿significa que después de un tiempo éste no falla? Argumente su respuesta. 8. ¿Cómo se pueden detectar y eliminar las fallas tempranas o la mortalidad infantil? ¿En qué sentido esto incrementa la confiabilidad del producto? 9. Por lo general, ¿cuáles son las tres etapas en la vida de un producto? 10. Describa una situación en la cual la tasa de riesgo constante es apropiada. 11. ¿Cómo se define el cuantil p? ¿Por qué los cuantiles son importantes en confiabilidad? 12. ¿Por qué la vida media puede ser menos relevante que la vida mediana en los estudios de confiabilidad? 13. ¿Para qué sirve el papel de probabilidad? Explique de manera breve cómo se construye una gráfica de probabilidad. 14. Según la teoría, ¿en qué situaciones puede ser útil la distribución Weibull? 15. ¿Cómo se estima la confiabilidad del producto, si en el estudio aparecieron varios modos de falla?
16. ¿En qué situaciones es útil la distribución lognormal? 17. ¿En qué consiste el tiempo de quemado o burn-in de un producto? ¿En qué situaciones puede incrementar la confiabilidad del producto? 18. Defina los sistemas en serie y los sistemas en paralelo, después comente cómo se puede mejorar la confiabilidad de cada uno de ellos. 19. ¿Qué es la función de estructura de un sistema? ¿Para qué sirve? 20. ¿En qué consiste el método de trayectorias para calcular la confiabilidad de un sistema? 21. Defina el estimador de Kaplan-Meier de la función de confiabilidad empírica. ¿Cómo es que toma en cuenta las censuras por la derecha? 22. Qué tipo de preguntas sobre la vida de un producto se pueden responder con la función de confiabilidad condicional. 23. Escriba y grafique la función de riesgo h(t) para una distribución de Weibull con parámetros: a) β = 1, η = 4, b) β = 2, η = 2, c) β = 3, η = 1. Comente el efecto de cada parámetro. 24. Suponga que la vida de un producto se distribuye de manera uniforme en el intervalo [a, b]. a) Escriba las funciones f(t), F(t), C(t) y h(t) y grafíquelas. b) Dé las expresiones para el cuantil p y la vida media del producto. 25. La duración t (en horas) de cierto componente electrónico es una variable aleatoria con función de densidad. ¤ 1 ¤ f (t) ¥ ¥ e t /1000 1000 ¥ ¥ ¦ 0 ¦
t>0 en los demás puntos
a) Calcule F(t), C(t) y h(t). b) ¿Cuál es la confiabilidad del componente a las t = 100 horas? c) Si una unidad ha sobrevivido a las primeras 100 horas, ¿cuál es la probabilidad de que sobreviva hasta las 200 horas? d) Grafique h(t) e interprétela. 26. Para un disco magnético de computadora se considera que ocurre una falla temprana si falla antes del tiempo t = α y una falla por desgaste si ocurre después del tiempo t = β. Suponga que la distribución del tiempo de falla de los discos, durante su vida útil se puede modelar con la distribución f (t)
1 Aat aB B A
a) Obtenga las funciones F(t) y C(t). b) Calcule la tasa de riesgo h(t). c) Grafique la tasa de riesgo de discos considerando α = 100 horas y β = 1 500 horas. d) Si α = 100 y β = 1 500, ¿cuál es la confiabilidad del paquete de discos en el tiempo t = 500 horas? ¿Cuál es su tasa de riesgo a las 500 horas y cómo se interpreta? 27. Se realizó un estudio para estimar la vida media (en millas) de cierto tipo de locomotora. Se operaron 96 máquinas durante 135 mil millas o hasta que fallaron; y de éstas, 37 fallaron antes de cumplirse el periodo de 135 mil millas. La siguiente tabla presenta las millas hasta fallar para las 37 locomotoras. 22.5 57.5 78.5 91.5 113.5 122.5 37.5 66.5 80.0 93.5 116.0 123.0 46.0 68.0 81.5 102.5 117.0 127.5 48.5 69.5 82.0 107.0 118.5 131.0 51.5 76.5 83.0 108.5 119.0 132.5 53.0 77.0 84.0 112.5 120.0 134.0 54.5 Las restantes 59 locomotoras no fallaron a 135 mil millas; por lo tanto, entran al estudio en forma censurada: a) Use un software apropiado y grafique los datos en varios papeles de probabilidad para identificar la distribución de la que proceden. b) Determine la vida mediana de las locomotoras. c) ¿Cuál es la confiabilidad de las locomotoras a las 200 000 mi? 28. Para los datos sobre la vida de balatas dados en el ejemplo 13.1: a) Haga un análisis gráfico para identificar la distribución que siguen los datos.
b) Una vez identificada una distribución, estime los parámetros por máxima verosimilitud y también por mínimos cuadrados. Compare los estimadores. c) ¿Cuál es la confiabilidad de las balatas a los 10 000 km? d) Si el fabricante no está dispuesto a reemplazar más de 2% de las balatas, ¿es razonable otorgar una garantía de 10 000 km? e) Si tiene apoyo de un software apropiado, proporcione un intervalo de confianza al 95% para los kilómetros en que falla 2% de las balatas e interprételo. 29. Para los datos sobre la vida de ventiladores dados en el ejemplo 13.2, identifique un modelo adecuado para los datos y conteste las siguientes preguntas: a) Estime los parámetros del modelo usando el método gráfico, el método de mínimos cuadrados y el método de máxima verosimilitud. Compare los resultados. b) Grafique el estimador no paramétrico de la función de supervivencia. c) ¿Cuál es la proporción de ventiladores que fallan antes del tiempo de garantía de 8 000 h? d) ¿Será necesario rediseñar los ventiladores para tratar de incrementar su confiabilidad? Argumente. 30. Suponga que la duración (en años) de un chip para computadoras tiene una distribución de vida Weibull. A fin de estimar los parámetros de esta distribución, se sometieron a prueba 100 chips y se registró el número de supervivientes al final de cada año, durante un periodo de ocho años. Los datos con censura por intervalo se presentan en la siguiente tabla: Año 1 94 Número de supervivientes
2 78
3 4 5 6 7 8 58 36 22 10 6 2
a) Utilice el método de mínimos cuadrados para obtener estimaciones de β y η. b) Si tiene apoyo de un software apropiado, establezca un intervalo de confianza de 95% para el percentil 1%. c) Calcule la probabilidad de que un chip falle antes de cinco años. d) Estime la confiabilidad de los chips en el tiempo de siete años. e) Calcule la tasa de riesgo, h(t), y grafíquela. Obtenga la tasa de riesgo en el tiempo t = 4 años e interprete su valor. 31. Nelson (1985) aplicó la distribución Weibull a los tiempo de vida de una muestra de n = 138 cojinetes de rodillos. La siguiente tabla indica el número de cojine-
tes que seguían funcionando al final de cada periodo de 100 horas hasta que todos fallaron.
a) Calcule la probabilidad de que la lámpara falle antes de las 900 horas. b) Calcule la confiabilidad de la lámpara en el tiempo t = 400 h e interprete su valor. HORAS 1 2 3 4 5 6 7 8 12 13 17 19 24 51 c) Grafique la función de riesgo. ¿Podría funcionar (CIENTOS) con esta lámpara el tiempo de quemado para NÚMERO detectar y eliminar unidades débiles? 138 114 104 64 37 29 20 10 8 6 4 3 2 1 DE COJINES 35. Sea la siguiente función de distribución acumulada F(t) = 1 − (t−2) para t > 1, que modela el tiempo de vida de a) Ajuste un modelo Weibull a estos datos. un microorganismo en cierto medio: b) Si tiene apoyo de un software apropiado, dé un a) Obtenga las siguientes funciones f(t), S(t) y h(t). intervalo de confianza para el tiempo al cual falla b) Bosqueje la gráfica de f(t) y h(t) e interprételas en una proporción de 2% de los cojinetes. términos del tiempo de vida. c) Calcule la confiabilidad de los cojinetes de rodillos c) Obtenga la función percentil. a las 400 horas. d) Calcule el percentil 90 e interprételo. d) Calcule la confiabilidad de que, luego de sobrevivir e) Calcule Pr(T < 2). las primeras 300 horas, un cojinete sobreviva 100 horas más. 36. Con el propósito de estudiar la vida de un producto semiperecedero se realiza un experimento teniendo 32. El tiempo de vida en años de un generador que se como tiempo de censura 400 h. Se estudiaron un total compra tiene una distribución Weibull con parámetros de 60 productos. Los datos obtenidos hasta el η = 13 años y β = 2. El periodo de garantía que ofrece tiempo de censura se muestran a continuación. el proveedor es de dos años. 82 113 132 136 154 156 204 212 238 242 249 a) ¿Cuál es la confiabilidad del generador al terminar 270 275 276 284 290 290 292 302 304 308 313 el periodo de garantía? b) Si se compran 1 000 unidades, ¿cuál es el número 317 331 334 334 335 336 342 351 352 354 358 esperado de reclamos al fabricante? 377 383 386 390 396 396 397 c) ¿Cuál periodo de garantía debe ofrecer el fabria) ¿Por qué cree que se censuró el experimento y qué cante si quiere tener una proporción de reclamos tipo de censura se aplica? a lo más de 1 por ciento? b) ¿Los datos siguen una distribución Weibull? 33. De un proveedor se adquiere un lote de 100 000 unic) Estime los parámetros de la distribución Weibull, dades cuyo tiempo de falla sigue una distribución grafique la densidad correspondiente e interprétela. Weibull. Si 5% de las unidades falla al tiempo t1 = 225 d) ¿Qué tiempo de garantía propondría para el proh y 10% falla a las t2 = 325 h, encuentre: ducto? ¿Por qué? a) Los parámetros de forma y escala, utilizando la e) Utilizando la estimación no parámetrica de función cuantil. Kaplan-Meier obtenga el inciso d). b) La vida media de las unidades. 37. Con el propósito de estudiar la vida de anaquel de dos c) La vida mediana de las unidades. marcas del mismo producto, se realiza un experimento d) La proporción de reclamos esperada si el producteniendo como tiempo de censura 200 horas. Se estutor ofrece un tiempo de garantía de 30 días. diaron un total de 40 productos de cada marca. Los 34. Suponga que la duración (en horas) de una lámpara datos obtenidos hasta 200 horas (el resto regístrelos fluorescente tiene una distribución de tiempo de falla como censurados) para las dos marcas se muestran a Weibull con parámetro η = 500 y β = 0 .70. continuación: MARCA A 23 25 29 30 44 60 62 69 72 75 77 82 87 91 119 121 127 132 133 136 155 178 187 189 192 196 198 200* (*) Censura
MARCA B 64 110 156 200*
67 114 161 200*
68 33 118 99 165 128 200* 181
51 71 79 82 102 103 104 111 128 131 132 132 185 194 200* 200*
83 112 134 200*
84 112 157 200*
86 114 158 200*
92 119 171 200*
93 125 175 200*
A
C
A
D
B C
B FIGURA 13.19
D
E Diagrama del ejercicio 41.
a) ¿Por qué cree que se censuró el experimento y qué tipo de censura se aplica? b) ¿Los datos para cada marca siguen una distribución Weibull? c) Estime los parámetros de la distribución Weibull para cada caso; además, grafique las densidades y las funciones de riesgo correspondientes. Comente las diferencias entre marcas. d) Estime e interprete los cuantiles 0.05, 0.10, 0.25 y 0.80, para cada caso, con base en la distribución Weibull. e) Utilice la estimación no parámetrica de KaplanMeier y obtenga el inciso d). f ) ¿Hay diferencias importantes entre los dos métodos de estimación? Comente. g) ¿Los diseños son diferentes? 38. Haga el mismo análisis del problema anterior pero ahora con la distribución lognormal, en lugar de la distribución Weibull. 39. Un sistema con dos componentes conectados en serie tienen distribuciones de tiempo de falla exponenciales con medias θ = 1 000 horas. En el tiempo t = 1 400 h, ¿cuál es la confiabilidad del sistema? ¿A las cuántas horas falla 10% de estos sistemas? 40. Considere un sistema con cuatro componentes, A, B, C y D, conectados en paralelo. Suponga que los componentes A y B tienen distribuciones de tiempo de falla normales con parámetros μ = 800 horas y σ = 100 horas, mientras que los componentes C y D tienen distribuciones de tiempo de falla Weibull con parámetros β = .5 y η = 300. Calcule la confiabilidad del sistema en el tiempo t = 500 horas. 41. Considere el sistema de la figura 13.18. Si las confiabilidades de los componentes individuales son CA = .85,
FIGURA 13.20
E Diagrama para el ejercicio 42.
CB = .75, CC = .75, CD = .90, CE = .95, calcule la confiabilidad global del sistema. 42. El sistema dado en la figura 13.19 se llama sistema puente y es muy utilizado para incrementar la confiabilidad de redes eléctricas. Suponga que las confiabilidades de los cinco componentes son: CA = 0.96, CB = 0.92, CC = 0.94, CD = 0.89 y CE = 0.90. Calcule la confiabilidad del sistema utilizando el método de trayectorias. 43. Considere el sistema dado en la figura 13.20. a) Dé una expresión para la función de estructura del sistema. b) Considerando que las confiabilidades los seis componentes independientes son: CA = 0.95, CB = 0.92, CC = 0.95, CD = 0.90, CE = 0.92 y CF = 0.90, calcule la confiabilidad del sistema. 44. Demuestre que la tasa de riesgo h(t) se puede expresar como: d −In C (t) h(t) = dt
[
]
45. Demuestre que en general C(t) = exp (−H(t)).
A
B
C
D
E
FIGURA 13.18
F
Diagrama para el ejercicio 43.
