EJERCICIOS
de: 1. Sean A, B y C de un espacio muestral. Encontrar las expresiones de: a) Solamente ocurre A.
SOLUCION Sea i: A ocurra
̅
Sea j: B ocurra
Sea k: C ocurre
b) Ocurren A y B pero no C.
SOLUCION
( ) ̅ ( ) ̅ c)
Los tres sucesos ocurren
SOLUCION
d) Ocurre por lo menos uno.
SOLUCION
(̅ ̅ ) ̅ ̅ e) No ocurre ninguno. 2. Consideremos dos sucesos A y B, con P(A)= 0.5 y P(A UB)= 0.7. Calcula:
a) P(B), suponiendo que A y B son independientes
SOLUCION
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] []
b) P(B), suponiendo que A y B son disyuntos disyuntos o mutuamente excluyentes c)
P(B), suponiendo que P(A/B)= 0.5
SOLUCION
⁄
3. En un laboratorio se diseña un test para detectar la presencia de una bacteria en el agua.
Para probar el test, se considera un gran número de probetas con agua, que pueden contener o no la bacteria. La probabilidad de que una probeta escogida al azar contenga la bacteria es de 0.2. Por otra parte si una probeta contiene la bacteria, el test da positivo en el 90% de los casos. En cambio, si una probeta no contiene la bacteria el test da positivo en el 55 de los casos. a) Traducir los datos del enunciado, introduciendo los sucesos convenientes.
SOLUCION
̅
̅ ⁄ ⁄ ̅
b) Al escoger al azar una probeta, ¿Cuál es la probabilidad de que de positivo en el test? ¿Y negativo?
SOLUCION Positivo
Negativo
⁄ ⁄ ̅ ̅
c)
Si una probeta ha dado positivo en el test, ¿Cuál es la probabilidad de que contenga la bacteria?
SOLUCION
⁄
⁄
d) Entre las probetas que han dado negativo en el test ¿Cuál es la proporción de probetas que tienen la bacteria?
SOLUCION
⁄ ⁄
⁄
e) Decidir si el test es apropiado o no para detectar la bacteria.
4. El siguiente circuito trabaja si y solo si existe una trayectoria en el funcionamiento de
izquierda a derecha. En el dibujo se indica la probabilidad de que cada dispositivo funciona. Si suponemos que la probabilidad de que un dispositivo funcione no depende del funcionamiento de los demás (independientes),
0.85
0.85
0.85
0.85
a) Determine el espacio muestral al experimento consistente en analizar el funcionamiento de los cuatro dispositivos (funcionan o no funcionan).
SOLUCION
0.85
0.85
1.7
0.85
0.85
1.7
b) Calcula la probabilidad de que el circuito funcione.
SOLUCION
5. Una cervecería utiliza dos maquina embotelladoras pero no operan simultáneamente. La
segunda maquina solo opera cuando la primera deja de funcionar durante las horas de trabajo. La probabilidad de que la primera maquina deje de operar es de 0.20. Si la primera maquina deja de funcionar entra en funcionamiento la segunda y tiene una
probabilidad de fallar de 0.30. ¿Qué probabilidad hay de que el sistema embotellador de que la cervecería no este disponible durante las horas de trabajo?
SOLUCION
̅
̅ ̅ ̅ ̅ 6. Cinco líneas de producción en una fábrica producen un fusible eléctrico. Los fusibles se
envían a los distribuidores en lotes de 100 unidades. Los compradores realizan un control de calidad sobre el producto que reciben, inspeccionando un número pequeño de fusibles por lote antes de decidir si aceptan o rechazan la totalidad de los lotes recibidos. Las cinco líneas de producción producen fusibles a la misma velocidad y normalmente con un porcentaje de defectuosos del 2%, que se atribuyen aleatoriamente en el proceso de producción. Desafortunadamente el mes pasado la línea uno sufrió un fallo mecánico y produjo un 5% de defectuosos, pero el gerente se entero después de haber enviado a los distribuidores lotes de fusibles. Un cliente recibió un lote producido ese mes, probo tres fusibles del lote y vio que uno de ellos era defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote que compro no haya salido de la línea uno? 7. Una pieza producida en una empresa puede tener dos tipos de defectos, A y B. El 8% de la
producción presenta el defecto A. El 5% de la producción presenta el defecto B, y se pone que no hay piezas que presenten ambos tipos de defectos. Después de ser producida cada pieza es sometida de manera automática a un test de ruptura, con las siguientes posibilidades. Si la pieza tiene el defecto tipo A, tiene una probabilidad de 0.9 de romperse, si la pieza tiene el defecto tipo B, tiene una probabilidad 0.5 de romperse y si no presenta ningún tipo de defecto, tiene una probabilidad de 0.01 de romperse. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza escogida al azar en la producción se rompa durante el test?
SOLUCION D: Defectuosos
P(D/A)=0.088 Probabilidad de romperse P(A)=0.9 P(B)=0.95 P(N)=0.01
⁄ ⁄ b) Si una pieza se roto durante el test, ¿Cuál es la probabilidad de que no fuese defectuosa?
SOLUCION
⁄ ⁄
8. Con objeto de apreciar la eficiencia de dos inspectores de control, A y B se les encomendó
la verificación de un lote de artículos que contenía exactamente un 6% de defectuosos. El inspector A afirmo que el 8% de los artículos del lote eran defectuosos, mientras que el inspector B afirmo que solo eran defectuosos el 5%. El 4% de los artículos fueron identificados como defectuosos por a, y solo el 3% por B siendo realmente defectuosos. El 2% fueron indicados como defectuosos tanto por A como por B. El 1% fueron indicados como defectuosos por A y por B siendo realmente defectuosos. ¿Qué tanto por ciento de los artículos son realmente defectuosos y no fueron detectados como tales por tales inspectores? 9. Un trasnochador dispone de unas llaves con tres llaves totalmente indistinguibles en la
oscuridad, de las cuales solo una abre la puerta de su casa. Para dar con la llave en cuestión, suele seguir uno de los siguientes métodos: -
M.1: Prueba una llave, y si no sirve, agita el llavero y prueba otra vez, con lo cual corre el riesgo de volverla a usar.
-
M.2: Prueba las llaves una tras otras teniendo cuidado de no usar la misma llave
a) ¿Cual es la probabilidad de que abra al tercer intento si usa el segundo método? b) Se sabe además que el trasnochador utiliza el método 1 cuando vuelve a casa después de haber bebido en exceso (lo cual ocurre uno de cada tres días) y el método dos cuando vuelve sobrio. Si se sabe que en los dos primeros intentos ha fracasado ¿Cuál es la probabilidad de que este borracho? 10. Una fábrica de bujías para motores produce un 98% de buenas y un 2% de defectuosas.
Antes de enviarlas al los almacenes para su vente se someten a una verificación en la que se admiten como buenas las que lo son con una probabilidad de 0.95 y las que no lo son con una probabilidad de 0.04
SOLUCIÓN Buena
Mala
Total
Buena
0.98
0.93
1.95
Mala
0.02
0.04
0.06
Total
1
0.99
2.01
Sea Z: verificación de control
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ a) Calcula la probabilidad de que una bujía sea considerada como buena en un control.
SOLUCION
⁄ ⁄
⁄
b) Calcula la probabilidad de que una bujía buena sea considerada como tal en dos controles.
SOLUCION
⁄
⁄ c)
⁄
Si una bujía fue considerada como buena en dos verificaciones, ¿Cuál es la probabilidad de que sea realmente buena?
SOLUCION
11. Se analizan muestras de policarbonato de plástico para determinar su resistencia a los
golpes y a las ralladuras. Las resistencias a las ralladuras y a los golpes se clasifican en altas y bajas. A continuación se presen el resumen de los resultados obtenidos en 49 muestras.
Resistencia ralladuras\Resistencia golpes
Alta
Baja
TOTAL
Alta
40
4
44
Baja
2
3
5
TOTAL
42
7
49
Calcula: a) Probabilidad de que una muestra presente resistencia tanto a los golpes como a las ralladuras
SOLUCION
b) Si una muestra presenta alta resistencia a los golpes, ¿Que es mas probable que presente alta o baja a las ralladuras?
SOLUCION
Presenta mayor probabilidad resistencia a los golpes. c)
Si una muestra alta resistencia a las ralladuras, ¿Qué es mas probable que presente alta o baja a los golpes?
SOLUCION
d) Si una resistencia es baja, ¿Cómo suele ser la otra?
SOLUCION
e) Conclusiones
SOLUCION El evento A∩B esta formado por 40 muestras resistentes a las ralladuras y a los golpes A’ contiene 7 muestras para que las resistencias a los golpes es bajo. El evento AUB esta formado por 49 muestras en las que la resistencia a las ralladuras o a los golpes (o ambos) es alt. 12. El blanco para practicar tiro al blanco tiene dos sectores. El blanco para practicar tiro con
arco tiene dos sectores. Cada acierto en el sector central vale dos puntos y en el sector exterior nueve puntos. Una jugada consiste en realizar dos tiros consecutivos (independientes) y sumar los puntos obtenidos. De un arquero se sabe que la probabilidad de acertar en el sector central es 0.3 y en el sector exterior 0.6. calcula la probabilidad de que el arquero adquiera 19 puntos en una jugada.
SOLUCION
-
De que le pegue al eje central los dos tiros
-
De que le pegue al eje central y al exterior
-
-
De que le pegue al exterior y luego al eje central
-
-
De que le pegue los tiros en el exterior
-
13. Los empleados de la compañía New Horizons se encuentran separados en tres divisiones:
administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el numero de empleados en cada división clasificados por sexo:
Tabla N°1. Número de empleados New Horizons por sexo según división de planta
Administración (A) Operación de planta (O) Ventas (V) Totales
Mujer (M) 20 60 100 180
Hombre (H) 30 140 50 220
Totales 50 200 150 400
a) Usar un diagrama de Venn para ilustrar los eventos O y M para todos los empleados de la compañía. ¿Son mutuamente excluyentes?
SOLUCION El grafico de Venn ilustrando los eventos O y M es el siguiente:
M
H
S
Donde S es el conjunto de empleados de New Horizons, M el conjunto de empleados de New Horizons mujeres y hombres y O em pleados de la división de operación. Los sucesos O y M son mutuamente excluyentes (ver gráfico) b) Si se elige aleatoriamente un empleado 1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
2. ¿Cual es la probabilidad de que trabaje en ventas?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y tr abaje en la división de administración?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en la división de operación de planta, si es mujer?
5. ¿Cuale es la probabilidad de que sea mujer si trabaja en la operación de división de planta?
c)
¿Son los eventos V y H estadísticamente independientes?
⁄
d) ¿Son los eventos A y M estadísticamente independientes?
⁄
e) Determinar las siguientes probabilidades: 1.
2.
( )
3.
4.
⁄
14. Con la definición 2.14 demuéstrese que para cualesquiera dos eventos, A y B,
⁄ ( ⁄) , con tal de que P(B)
≠
0
15. Sean A y B dos eventos cualesquiera de S. si A y B son mutuamente excluyentes muéstrese
que no son mutuamente excluyentes. Dedúzcanse cuando dos eventos son, son, mutuamente excluyentes 16. Sean A y B dos eventos cualesquiera de S. Empléese un diagrama de Venn para demostrar
que
17. Se extraen dos cartas de una baraja ¿cual es la probabilidad de que ambas sean ases?
SOLUCION
18. Se lanza una moneda diez veces y en todos los lanzamientos el resultado es cara. ¿Cuál es
la probabilidad de este evento?, ¿Cuál es la probabilidad de que el decimoprimero lanzamiento el resultado sea cruz?
SOLUCION
19. Una agencia de automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre éstos,
dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el embarque?
SOLUCION
El 10% de los automóviles están en mal estado y el 90% de los automóviles están en buen estado.
20. Se lanza una moneda con una probabilidad de 2/3 que el resultado sea cara. Si aparece
una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es cruz se extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota roja?
SOLUCION
Probabilidad de que salga:
Posibles eventos
21. De entre 20 tanques de combustible fabricados para el transbordador espacial, tres se
encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques:
i = tanques buenos i’= tanques defectuosos
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuoso?
SOLUCION
b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los tanques tengan defectos?
SOLUCION
Se toman cuatro tanques:
a) probabilidad de que todos los tanques estén buenos
22. La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9%. Un aparato
contiene dos de estos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga por lo menos, uno de los componentes. a) Sin importar cual de los dos componentes funcione o no, ¿Cuáles son los posibles resultados y sus respectivas posibilidades? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? SOLUCION
23. Un sistema contiene tres componentes A,B y C. Estos pueden conectarse en una,
cualquiera de las cuatro configuraciones mostradas en la figura. Si los tres componentes operan de manera independiente y si la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos este funcionando de 0,95, determinar la probabilidad de que el sistema funcione para cada una de las cuatro configuraciones
A
B
C
A
B
C
A C B
A
B
C
SOLUCION Cada aparato= 95%
24. Una familia tiene tres hijos. Determinar todas las posibles permutaciones, con respecto al
sexo de los hijos. Bajo suposiciones adecuadas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los hijos tengan el mismo sexo?, ¿Cuál es la posibilidad de tener un varón y dos mujeres?¿cuál es la probabilidad de tener tres hijos del mismo sexo?
SOLUCION Hombre: i Mujer: j M: dos hijos del mismo sexo
N° de sucesos: 11
25. Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes B1,
B2 y B3. El 50% del total se compra a B1 mientras que a B2 y B3 se le compra un 25% a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5,10 y 12% respectivamente. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar cual fue el proveedor : a) Determinar la probabilidad de una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso
SOLUCION B1: Circuito fabricado por B1 B2: Circuito fabricado por B2 B3: circuito fabricado por B3 D: Circuito defectuoso
⁄ ⁄ ⁄
P(D)=?
⁄ ⁄ ⁄ b) Si un circuito no esta defectuoso cual es la probabilidad que haya sido vendido por el proveedor B2
SOLUCION
⁄
⁄
26. El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el
proceso de fabricación se encuentran bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control?
SOLUCION
Bajo control: P(A)= 0,92 Sea N: Defectuoso
⁄
Sin control: P(B)=0.08 Sea N: Defectuoso
⁄ ⁄ ⁄ 27. Un inversionista esta pensando en comprar un numero muy grande de acciones de una
compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran interés para el inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el producto nacional bruto. Si el PNB aumenta la probabilidad de que el valor de las acciones es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si PBN disminuye, la probabilidad es de solo 0.1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, El PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses.
SOLUCION Sea A: Aumento PNB Sea: Igual PBN Sea C: Disminuye PBN Sea N el valor en las seis
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
⁄
28. Con base en varios estudios una compañía ha clasificado, de acurdo con la posibilidad de
descubrir petróleo, las formaciones geológicas en tres tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado sitio, al que se le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de formaciones de tipo I, en un 20% de formaciones del tipo III. Si la compañía no descubre petróleo en ese lugar, determínese la probabilidad de que exista una formación del tipo II. 20%de formaciones de tipo II y en un 30%
SOLUCION
Sean A, B y C tipos de formaciones P(A)= 0.35 Tipo I P(B)= 0.40 Tipo II P(C)= 0.25 Tipo III Z= encontrar petróleo K =no encontrar
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ Sea:
⁄
⁄
Probabilidad de que exista una formación tipo II
29. Supóngase la probabilidad de los Potros Baltimore ganen el campeonato de la
Conferencia Americana es de 0.25, y la probabilidad de que lo obtengan los Cargadores de San Diego es de 0.20. Además, la probabilidad de que el campeón de la conferencia americana gane el súper tazón es 0.45, 0.55 o 0.35, dependiendo de si los Potros, los cargadores o algún otro equipo gane el campeonato a) ¿Cuál es la probabilidad de que un equipo de la conferencia americana gane el súper tazón? b) Si un equipo de la conferencia americana gana el súper tazón, ¿cuál seria la probabilidad de que los Potros de Baltimore ganen el titulo de su conferencia? 30. Una forma de incrementar la posibilidad de operación de un sistema, es mediante la
introducción de una copia de los componentes en la configuración paralela como se indica en la segunda parte de figura anterior. Supóngase que la nasa desea una probabilidad no menor de 0.99999, de que el transbordador espacian entre en orbita alrededor d ela tierra con éxito. ¿Cuántos motores cohete deben configurarse en paralelo paraalcanzar esa confiabilidad de operación si se sabe que la probabilidad de que uno, cualquiera de los motores funcione adecuadamente es de 0.95?Supongase que los motores funcionan independiente entre si.