EJERCICIOS PROGRAMACIÓN ENTERA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
INGENIERÍA INDUSTRIAL SECCIÓN 2 CARTAGENA DE INDIAS D.T Y C. 2013
Ejercicio 1 Una inmobiliaria desea promocionar una nueva urbanización mediante una campaña publicitaria. Para ello dispone de 5 tipos de anuncios: anuncios en televisión local al mediodía (tvm), anuncios en televisión local a la noche (tvn), anuncios en periódico local (per), anuncios en suplemento dominical local (sup) y anuncios en radio local por la mañana (rad). La empresa ha reunido datos sobre la cantidad de clientes potenciales a los que se destina cada tipo de anuncio y el coste de cada anuncio en euros. Además, se ha llevado a cabo una valoración de la calidad que tiene cada anuncio de acuerdo al medio en el que se expone, en una escala de 0 a 100 (0 nula, 100 excelente). Los datos se recogen en la siguiente tabla:
El número máximo de anuncios que se pueden emitir es 15, 10, 25, 4 y 30 de tvm, tvn, per, sup y rad, respectivamente. La inmobiliaria, aconsejada por una agencia de publicidad, decide utilizar al menos 10 anuncios en la televisión, alcanzar por lo menos 50000 clientes potenciales, no gastar más de 18000 euros en anuncios en televisión y si se hacen anuncios en el periódico entonces no hacer anuncios en la televisión por la noche. El presupuesto máximo para la campaña publicitaria es de 30000 euros. Modelizar, sin resolver, mediante programación lineal entera el problema de cómo debe planificar la campaña si se desea maximizar la calidad de la exposición de todos los anuncios de la campaña publicitaria. Solución: Variables
1 x = número de anuncios a emitir en tvm
2 x = número de anuncios a emitir en tvn
3 x = número de anuncios a emitir en per
4 x = número de anuncios a emitir en sup
5 x = número de anuncios a emitir en rad
y=
F.o
Max z = (65x1 + 90x2 + 40x3 + 60x4 + 20x5) S.a
X1 ≤ 15
X4 ≤4
X5≤30
X1+X2≥10
1000X1 + 2000X2 + 1500X3 + 2500X4 +300X5 ≥50000 1500X1 + 3000X2 ≤18000
1500X1+3000X2+400X3+1000X4+100X5≤30000
X3≤25y
Xj≥0 y enteras i =1,…,5
X2≤10(1-y)
y=0,1
Ejercicio 2 Stockco Considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporcionara un valor neto (VAN) de 16000 dólares; la inversión 2 un VAN de 22000 dólares, una inversión 3 un VAN de 12000 dólares; y la inversión 4 un VAN de 8000. Cada inversión requiere cierto flujo de caja en el momento actual: la inversión 1, 5000 dólares; la inversión 2, 7000 dólares: la inversión 3, 4000 dólares; y la inversión 4, 3000 dólares respectivamente. Se dispone de 14000 dólares para la inversión. Formule un PE cuya solución dirá a Stockco cómo maximizar el VAN obtenido de las inversiones 1-4. Variables
Xj (j = 1,2,3,4) =
F.o
Max z= 16X1 + 22x2 + 12x3 + 8x4
S.a
5X1 + 7X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 14 Xj = 0 O 1 (J = 1,2,3,4)
Ejercicio 3 Modifique la formulación de Stockco para considerar cada una de las siguientes restricciones: 1. Stockco puede invertir en a lo mas dos inversiones. 2. Si Stocko invierte en la inversión 2, también tendrá que invertir en la inversión 1. 3. Si Stockco invierte en la inversión 2, no podrá invertir en la inversión 4.
S.a 5X1 + 7X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 14 X2 + X4 ≤ 1
X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 2 Xj = 0 O 1 (J = 1,2,3,4)
X2 – X1 ≤ 0
Ejercicio 4
Gandhi Cloth Company puede fabricar tres tipos de ropa; camisas, calzoncillos y pantalones. Para poder fabricar cada tipo de ropa, Gandhi tiene que disponer de la maquinaria adecuada. Hay que rentar la maquinaria requerida para fabricar cada tipo de ropa, a la siguiente tarifa: maquinaria para camisas, 200 dólares por semana; maquinaria para calzoncillos, 150 dólares por semana; maquinaria para pantalones, 100 dólares por semana. La fabricación de cada tipo de ropa también requiere las cantidades de tela y de trabajo que se dan en la tabla 2. Cada semana se disponen de 150 horas de trabajo y de 160 yardas cuadradas de tela. En la tabla 3 se dan los costos unitarios variables y los precios de venta para cada tipo de ropa. Formule un PE cuya solución maximizará las ganancias semanales de Gandhi. _________________________________________________________________________ Tabla 2
Requerimientos de
TRABAJO
TELA
(Horas)
(Yardas Cuadradas)
Recursos para el
Camisa
3
4
Ejemplo de Gandhi
Calzoncillo
2
3
Pantalón
6
4
Tabla 3
PRECIO DE
Información
VENTA
Acerca del ingreso
(dólares)
__
COSTO VARIABLE
(dólares) ______________
Y del costo para el
Camisa
12
6
Ejemplo Gandhi
Calzoncillo
8
4
Pantalón
15
8
Variables
X1= Número de camisas fabricadas cada semana X2= Número de calzoncillos fabricados X3= Número de pantalones fabricados cada semana
y1 =
y3 =
y2 =
Ganancia Semanal = (12x1 + 8x2 + 15x3) – (6x1 + 4x2 + 8x3) – (200y1 + 150y2 + 100y3) F.o
Max z= 6x1 + 4x2 + 7x3 – 200y1 – 150y2 – 100y3 S.a
3x1 + 2x2 + 6x3 ≤ 150
4x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 160
X1,x2,x3 ≥ 0; x1,x2,x3 enteros
y1,y2,y3 = 0 o 1
Ejercicio 5 Una universidad se encuentra en un proceso de formar una comisión. Diez personas han sido nominadas: A, B, C, D, E, F, G, H, I y J. El reglamento obliga a que sean incluidos en dicha comisión al menos una mujer, un hombre, un estudiante, un administrativo y un profesor. Además, el número de mujeres debe ser igual que el de hombres y el número de profesores no debe de ser inferior al de administrativos. La mezcla de los nominados en las siguientes categorías es como sigue:
Modelizar sin resolver como un problema de programación lineal entera, si se trata de que la comisión sea lo más reducida posible. Variable:
Xi =
i= A,B,C,D,E,F,G,H,I,J
F.o Min z= XA,XB,XC,XD,XE,XF,XG,XH,XI,XJ S.a
XA+XB+XC+XD+XE ≥ 1 XE+XF ≥ 1 XD+XG+XH+XI≥XE+XF
XF+XG+XH+XI+XJ ≥ 1 XD+XG+XH+XI≥1 Xi=0,1
XA+XB+XC+XJ ≥ 1
XA+XB+XC+XD+XE= XF+XG+XH+XI+XJ i= A,B,C,D,E,F,G,H,I,J
Ejercicio 6 Una empresa de juguetes está considerando la puesta en marcha de tres nuevos modelos de juguetes (1, 2 y 3) para su posible inclusión en la próxima campaña de navidad. La preparación de instalaciones para la fabricación de estos modelos costaría 25000 €, 35000 € y 30000 € respectivamente, y la ganancia unitaria sería de 10 €, 15 € y 13 € respectivamente. La empresa dispone de tres plantas de
producción para la elaboración de estos modelos, pero para evitar gastos sólo en una de ellas se producirían los juguetes, dependiendo la elección de la maximización de las ganancias. El número de horas que se precisa para producir cada juguete en cada planta es:
Las plantas disponen al día 500, 600 y 630 horas de producción respectivamente. La gerencia ha decidido desarrollar al menos uno de los tres juguetes. a) Modelar el problema utilizando programación lineal entera para maximizar el beneficio total.
Variables:
xi = número de juguetes producidos diariamente del tipo i yi = Zj =
(i=1,2,3) (i=1,2,3). (j = 1,2,3)
F.o Max z = 10x1 – 25000y1 + 15x2 – 35000y2 + 13x2 – 30000y3 S.a
Y1 + y2 +y3 ≥ 1
xi ≤ Myi
4x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 600 + M(1-z2) Z1 + z2 +z3 =1
5x1 + 4x2 + 6x3 ≤ 500 + M(1-z1) 3x1 + 3x2 + 2x3 ≤630 +M(1 – z3)
x j ≥ 0 y enteras i = 1,2,3
y j = 0.1
z j = 0.1
Ejercicio 7 Un fabricante puede vender el producto 1 y obtener una utilidad de 2 dólares por unidad y el producto 2 una utilidad de 5 dólares por unidad. Se necesitan 3 unidades de materia prima para elaborar una unidad del producto 1 y 6 unidades de materia prima para una unidad del producto 2. Se dispone de un total de 120 unidades de materia prima. si se elabora cualquier cantidad del producto 1 se incurre en un costo de preparación de 20 dólares. Plantee un M.P.E para maximizar las utilidades.
Variables:
X1= unidades del producto 1 fabricado X2= unidades del producto 2 fabricado
Yi=
F.O:
MAX Z: 2X1+5X2-10Y1-20Y2
S.A:
3X1+6X2 ≤ 120 X1 ≤ 40 Y1 X2 ≤ 20 Y2 X1, X2 ≥ 0; Y1, Y2 = 0 o 1
Ejercicio 8 La directora de un centro educativo debe asignar la docencia de 5 asignaturas; A1, A2, A3, A4 y A5 a 4 profesores, P1, P2, P3 y P4 teniendo en cuenta las valoraciones de las encuestas hechas por los alumnos y unas restricciones impuestas por un nuevo reglamento. En base a las encuestas de años anteriores, se tienen las siguientes valoraciones promedios (escala: 0 mala, 5 excelente):
El nuevo reglamento dice que el profesor P3 no puede impartir las asignaturas A1 y A2. Las asignaturas no se pueden compartir y se han de impartir todas. Ningún profesor puede quedar sin asignaturas. Al profesor P1 solamente se le debe asignar una asignatura. Modelizar como un problema de programación lineal entera con el objetivo de obtener la asignación que maximice la valoración media total. Variables:
{ }
I =1,2,3,4
j =1,2,3,4,5
F.O:
Max (2.7X11+2.2X12+3.4X13+2.8X14+3.6X15+2X21+3.6X22+3.4X23+2.8X24+3.6X25 +3.2X31+3.8X32+ 2.3X33+1.9X34+2.6X35+2.6X41+2.5X42+1.8X43+4.2X44+3.5X45)
S.A: X11+X12+X13+X14+X15=1
X
Xi1+Xi2+Xi3+Xi4+Xi5 2 i=2,3,4
X1j+X2j+X3j+X4j=1 X31=0
,
X32=0
j=1,2,3,4,5 ,
Xij= 0, 1 ,
i= 1,2,3,4 j=1,2,3,4,5
Ejercicio 9 Usted ha sido designado por el gerente de su empresa para decidir cómo distribuirá su tráfico telefónico en el próximo mes, seleccionando entre 3 proveedores posibles y asignando la cantidad de tráfico (minutos) que desee en cada caso, es decir, puede repartir el tráfico en 1, 2 o 3 proveedores a su antojo y su decisión sólo dependerá de los costos de cada alternativa. El proveedor 1 cobra un cargo fijo mensual de US$50 y el costo por minuto a red fija es de US$0,02 y a celular de US$0,12. El proveedor 2 tiene un cargo fijo mensual de US$60, con un costo por minuto de US$0,015 y US$0,15 a red fija y celular respectivamente. Finalmente el proveedor 3 tiene un cargo fijo mensual de US$40 con un costo por minuto a red fija de US$0,03 y a celular de US$0,14. Si usted llama por uno de estos proveedores (aunque hable sólo un minuto) deberá pagar el cargo fijo. Asuma que la cantidad de minutos que la empresa consume mensualmente es de 30.000 para red fija y 18.000 para celular. Formule y
resuelva un modelo de Programación Entera que permita decidir cómo distribuir el tráfico telefónico mensual de la forma más económica para la empresa. Variables: Xi: minutos a red fija que se llaman a través del proveedor i Yi: minutos a celular que se llaman a través del proveedor i i= 1,2,3 (proveedores) Zi=
F.O:
Min (50X1+60X2+40X3+0,02X1+0,015X2+0,03X3+0,12Y1+0,15Y2+0,14Y3
S.A: X1+X2+X3=30.000 Y1+Y2+Y3=18.000
Xi 30.000Zi para todo i Yi 18.000Zi para todo i
Xi 0
Ejercicio 10 Un problema que afronta todos los días un electricista consiste en decidir que generador conectar. El electricista en cuestión tiene 3 generadores con las características que se muestran en la tabla. Hay 2 periodos en el día, en el primero se necesitan 2900 mega watts, en el segundo 3900 mega watts. Un generador que se conecte para el primer periodo puede ser usado en el segundo sin causar un nuevo gasto de conexión. Todos los generadores principales (como lo son A, B y C de la figura) son apagados al término del día. Si se usa el generador A también puede usarse el generador C, no se usa generador B si se usa generador A. formule este problema como un MPE
Variables: Xij= Numero de mega watts a usar del generador i=(A,B,C) en el periodo j=(1,2)
Yi=
i= A,B,C
F.O: Min 5000(X11+X12)+4000(X21+X22)+7000(X31+X32)+3000(Y2)+1000(Y3)
S.A: Demanda en el periodo 1 XA1+XB1+XC1=2900 Demanda en el periodo 2 XA2+XB2+XC2=3900 Capacidad del generador A
XA1=2100Y1 XA2=2100Y1
Capacidad del generador B XB1=1800Y2 XB2=1800Y2 Capacidad de generador C XC1=3000Y3 XC2=3000Y3
Yi 0 YA+YB=1
Indicadores Los indicadores son necesarios para poder mejorar. Lo que no se mide no se puede controlar, y lo que no se controla no se puede gestionar. ndicadores de cumplimiento: teniendo en cuenta que cumplir tiene que ver con la conclusión de una tarea. Los indicadores de cumplimiento están relacionados con los ratios que nos indican el grado de consecución de tareas y/o trabajos. Ejemplo: cumplimiento del programa de pedidos, cumplimiento del cuello de botella, etc..
Indicadores de evaluación: Teniendo en cuenta que evaluación tiene que ver con el rendimiento que obtenemos de una tarea, trabajo o proceso. Los indicadores de evaluación están relacionados con los ratios y/o los metodos que nos ayudan a identificar nuestras fortalezas, debilidades y oportunidades de mejora. Ejemplo: evaluación del proceso de Gestión de pedidos siguiendo las directrices del modelo Reder de EFQM .
Indicadores de eficiencia: teniendo en cuenta que eficiencia tiene que ver con la actitud y la capacidad para llevar a cabo un trabajo o una tarea con el mínimo gasto de tiempo. Los indicadores de eficiencia están relacionados con los ratios que nos indican el tiempo invertido en la consecución de tareas y/o trabajos. Ejemplo: Tiempo fabricación de un producto, Periodo de maduración de un producto, ratio de piezas / hora, rotación del material, etc .
Indicadores de eficacia: Teniendo en cuenta que eficaz tiene que ver con hacer efectivo un intento o propósito. Los indicadores de eficacia están relacionados con los ratios que nos indican capacidad o acierto en la consecución de tareas y/o trabajos. Ejemplo: grado de satisfacción de los clientes con relación a los pedidos.
Indicadores de gestión: teniendo en cuenta que gestión tiene que ver con administrar y/o establecer acciones concretas para hacer realidad las tareas y/o trabajos programados y planificados. Los indicadores de gestión están relacionados con los ratios que nos permiten administrar realmente un proceso. Ejemplo: administración y/o gestión de los "buffer" de fabricación y de los cuellos de botella (Ver teoría de las limitaciones TOC).
