V1=V2 1) En un gran tanque con 1000 litros de agua pura se comienza a verter una solución salina a una razón constante de 6 litros/minuto. La solución dentro del tanque se mantiene revuelta y sale del tanque a razón de 6 litros/minuto. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.1 kg/litro, determinar el momento en que la concentración de sal en el tanque llegará a 0.05 kg/litro
Solución: Podemos ver al tanque como un compartimento que contiene sal. Si x (t) es la masa de sal en el tanque en el instante t, podemos determinar la concentración de sal en el tanque dividiendo x (t) entre el volumen de fluido en el tanque en el instante t. Usaremos el modelo matemático descrito por la ecuación (1) para hallar x (t). Primero debemos determinar la razón con que la sal sale del tanque. Sabemos que la solución fluye hacia el tanque a razón de 6 litros/minuto. Como la concentración es 0.1 kg/litro, concluimos que la razón de entrada de sal al tanque es (2) Ahora debemos determinar la razón con que la sal entra al tanque. La solución salina en el tanque se mantiene bien revuelta, de modo que podemos suponer que la concentración de sal en el tanque es uniforme. Es decir, la concentración de sal en cualquier parte del tanque en el instante t es justamente x (t) entre el volumen de fluido en el tanque. Como el tanque tenía en un principio 1000 litros y la razón de flujo hacia el tanque es igual a la razón de salida, el volumen es constante e igual a 1000 litros. Por lo tanto, la razón de salida de la sal es (3) | |= En un principio, el tanque contenía agua pura, de modo que x (0) = 0. Al sustituir las razones (2) y (3) en la ecuación (1) tenemos el problema con valor inicial Ecuación 4 Como modelo matemático para el problema de mezclas. La ecuación (4) es separable (y lineal) y fácil de resolver. Al usar la condición inicial
X (0) =0 para evaluar la constante arbitraria, obtenemos (5) Así, la concentración de sal en el tanque en el instante t es (
)
Para determinar el momento en que la concentración de sal es 0.05 kg/litro, igualamos el lado derecho a 0.05 y despejamos t, con lo que tenemos
(
)
Y por tanto
En consecuencia, la concentración de sal en el tanque será igual a 0.05 kg/litro después de 115.52 minutos 2) Un tanque contiene originalmente 100 galones de agua fresca. Se vierte dentro del tanque, agua que contiene ½ libra de sal por galón a una velocidad de 2 gal/min y se permite que salga la mezcla con la misma rapidez. Después de 10 min se para el proceso y se vierte agua fresca dentro del tanque a la velocidad de 2 gal/min, dejando salir la mezcla a la misma velocidad. Encontrar la cantidad de sal en el tanque al final de los 20 min.
SOLUCIÓN: El problema debe resolverse en dos partes. Para el tiempo t 0 = 0 min la cantidad inicial de líquido en el tanque es V0 = 100 gal; como lo que contiene el tanque es agua, la concentración inicial es C0 = 0 lb/gal. Ya que, x0 = C0 V0 = 0, entonces la cantidad inicial de sal en el tanque para el tiempo t0 = 0 min es x0 = 0 lb.
Como a los 10 min de iniciado el proceso de mezclado este se detiene, debe entonces determinarse la concentración de sal en el tanque para t = 10 min La ecuación diferencial asociada a los problemas de mezcla es (1) Sustituyendo los datos en la ecuación (1) ( ) Simplificando
Despejando (2) Ya que la diferencial de la cantidad x de sal es ( ) sustituyendo dada por la ecuación (2) ( ) (3) La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuación (3) por el factor (
)
Integrando = ∫ (4) ∫ Ambas integrales son inmediatas ∫
∫
|
|
∫ Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4) | | (5) Para determinar el valor de la constante C de integración, se utiliza la condición inicial, t0 = 0 min, x0 = 0 lb; estos valores se sustituyen en la ecuación (5), | |. El valor obtenido para C se sustituye en la ecuación obteniéndose (5) | | | | Multiplicando por (
) agrupando los logaritmos a un solo lado de la igualdad
| | | | Aplicando propiedades de logaritmo | | Aplicando
⁄
Multiplicando por 50 ⁄
Despejando x ⁄
Sacando factor común 50 ⁄ ( ) (6) La ecuación (6) representa la ley de variación de la cantidad de sal en el tanque, para el intervalo de tiempo 0 < t < 10
De aquí que, la cantidad de sal en el tanque a los 10 min, se obtiene sustituyendo t =10 min en la ecuación (5) ⁄ ⁄ ( ) ( ) Por lo tanto, la cantidad de sal en el tanque al cabo de 10 min es . Justo a los 10 min se para el proceso de mezclado. A partir de ese momento se comienza un nuevo proceso de mezclado, por lo tanto, las condiciones iniciales del problema cambian. Ahora, se vierte al tanque agua fresca, es decir la concentración del líquido que se inyecta al tanque es C1 = 0 lb/gal y se inyecta a una razón Q1 = 2 gal/min. Como se deja salir a la misma razón, Q2 = 2 gal/min, el volumen de líquido en el tanque no varía, V0 = 100 gal y la cantidad de sal que hay en este momento en el tanque, es la cantidad de sal que se obtuvo para el tiempo t = 10 min en el primer proceso de mezclado; así x0 = 9 lb. Este nuevo proceso se muestra en la siguiente figura
Sustituyendo los datos en la ecuación (1)
Simplificando
Despejando (7) Ya que la diferencial de la cantidad x de sal es ( ) sustituyendo dada por la ecuación (7) (8) La ecuación (8) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuación (8) por el factor
Integrando ∫ ∫ (9) Ambas integrales son inmediatas | |
∫ ∫
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9) | | (10) Para determinar el valor de la constante K de integración, se utiliza la condición que para el tiempo en que se inicia el nuevo proceso de mezclado t = 0 min, la cantidad de sal en el tanque es x = 9 lb. Sustituyendo en la ecuación (10) resulta . Este valor de K, se sustituye en la ecuación (10) | | | | Agrupando los logaritmos a un solo lado de la igualdad | |
| |
Aplicando propiedades de logaritmo ( ) Aplicando ⁄
Despejando x ⁄
(11) La ecuación (11) representa la ley de variación de la cantidad de sal en el tanque una vez reiniciado el proceso (luego de haberse detenido a los primeros 10 min). Para determinar la cantidad de sal en el tanque al final de los 20 min, como ya habían transcurrido 10 min de la primera parte del proceso entonces para completar los 20 minutos, transcurren 10 minutos más. Por lo tanto, sustituyendo t = 10 min en la ecuación (11) ⁄
V1≠V2 3) Un tanque con capacidad de 500 galones contiene inicialmente 200 galones de agua con 100 lb de sal en solución. Se inyecta al tanque agua que cuya concentración de sal es de 1 lb/gal, a razón de 3 gal/min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razón de 2 gal/min. Encuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanque para cualquier tiempo
SOLUCIÓN: El volumen total del tanque es Vt = 500 gal; sin embargo, antes de iniciar el proceso de mezclado, el tanque no está totalmente lleno, el volumen inicial de líquido en el tanque es V0 = 200 gal y hay disueltos x0 = 100 lb de sal. El líquido que se inyecta al tanque tiene una concentración C1 = 1 lb/gal, y se inyecta a razón de Q1= 3 gal /min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razón de Q2 = 2 gal /min La ecuación diferencial asociada a los problemas de mezcla es (1) Sustituyendo los datos en la ecuación (1) (2) La ecuación (3) es una ecuación diferencial lineal, de la forma x’ (t) + F (t) x =G (t). Para resolverla debe determinarse un factor integrante ∫ ∫
|
|
Multiplicando la ecuación (2) por el factor integrante
Despejando
tenemos (3) ( )
Ya que la diferencial de la cantidad x de sal es
sustituyendo
dada
por la ecuación (3) [ Multiplicando por
]
y reordenando los términos de la ecuación (4)
Puesto que [
]
Sustituyendo en la ecuación (4) [
]
Integrando ∫ [
]
∫
(5)
Ambas integrales son inmediatas ∫ [
]
∫ Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
(6) Para determinar el valor de la constante de integración k, se utiliza la condición inicial para el tiempo t = 0 min, la cantidad de sal en el tanque es x = 100 lb. Sustituyendo estos valores en la ecuación (6)
Despejando k
Este valor de k se sustituye en la ecuación (6)
Multiplicando por (
) (7)
La ecuación (7) representa la ley de variación de la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo
