EJERCICIO 1.12
A 1, 3, 5 B 2, 5, 4 C 0, 4
1. Con
c)
C A B 2 B 4 C 3A 2B
d)
2 A B 3 C B
e)
A B C A
A B C
a) b)
SOLUCIÓN: a)
A B C
i 3 j 5 k 2 i 5 j 4 k 0 i 4 j 0 k
i 3 j 5 k 2 i 9 j 4 k 1 i 2 i 3 j 9 j 5 k 4 k
2 27 20 45
b)
C A B
0 i 4 j 0 k 3 i 2 j k 0 i 3 i 4 j 2 j 0 k .1k
0 i 4 j 0 k i 3 j 5 k 2 i 5 j 4 k
0 8 0 8
c)
3 A 2 B 4 C
calcular los siguientes productos:
3 i 9 j 15 k 4 i 10 j 8 k 0 i 16 j 0 k 7 i j 7 k 0 i 16 j 0 k 7 i 0 i j16 j 7 k 0 k
3 i 3 j 5 k 2 2 i 5 j 4 k 4 0 i 4 j 0 k
0 16 0 16
d)
2 A B 3 C B
30 i 4 j 0 k 2 i 5 j 4 k 2 i 6 j 10 k 2 i 5 j 4 k 0 i 12 j 0 k 2 i 5 j 4 k 2 i 2 i 6 j 5 j 10 k 4 k 0 i 2 i 12 j 5 j 0 k 4 k
2 i 3 j 5 k 2 i 5 j 4 k
4 30 40 0 60 0 66 60 6
e)
A B C A
i 3 j 5 k 2 i 5 j 4 k 0 i 4 j 0 k i 3 j 5 k 3 i 2 j k i j 5 k 3 i 1 i 2 j1 j 1k 5 k
3 2 5 10
2. Encuentre un vector B XY b X i b Y j de 10 m de longitud perpendicular al vector A XY sabiendo que sus coordenadas son:
a) b)
A XY 3, 1
A XY 3 i 2 j
A XY 1, 4
c)
SOLUCIÓN:
3. Calcular el ángulo comprendido entre A y B :
B i k B i 2 j 5 k
a) A 7 i 20 k b) A 2 i j 4 k c) A i j k
B 4 i j 5 k
SOLUCIÓN: a)
θ cos1 θ cos1
1 1
7 i 20 k i k
7
20 7 20 2
2
θ cos 1 θ cos 1
21,191,41
θ
cos 1
θ
cos 1
θ
90
1
2
k
2
2
1 1
4 i j 5 k
4
2
2
1 5
2
4 1 5 4,58 5,48
4. Cuál es la proyección de A sobre B si: a) A 2 i 4 j b) A 5 i 5 j 2 k c) A 2, 7, 6 d) A 1, 7, 1
B 7 i j
B 6, 4, 3
B 4, 3, 2
a)
2 i 4 j 7 i j 0,99 i 0,14 j
AB
AB
72 1
14 4 7,07
0,99 i 0,14 j
A B 1,4 i 0,2 j
b)
B 11, 1
SOLUCIÓN:
2 2 12 4 2
2 2 20 4,585,48
θ 129,6
θ 115,79 i j
2 i j 4 k i 2 j 5 k
1 2
2
52
AB
AB
5 i 5 j 2 k 11 i j 112 1
55 5 11,05
0,99 i 0,09 j
0,99 i 0,09 j
A B 4,47 i 0,41 j
c)
2 i 7 j 6 k 6 i 4 j 3 k 0,76 i 0,51 j 0,38k
AB
6 2 4 2 32
AB
12 28 18
0,76 i 0,51 j 0,38k
7,81
A B 0,19 i 0,13 j 0,09 k
d)
i 7 j k 4 i 3 j 2 k 0,74 i 0,55 j 0,37 k
AB
4 2 32 2 2
AB
4 21 2 5,38
0,76 i 0,51 j 0,38k
A B 2,61 i 1,94 j 1,34 k
5. Determinar la proyección de B sobre A en el problema anterior. a)
7 i j 2 i 4 j 0,45 i 0,89 j
AB
AB
22 42
14 4 4,47
0,45 i 0,89 j
A B i 2 j
b)
11 i j 5 i 5 j 2 k 0,68 i 0,68 j 0,27 k
AB
AB
52 52 2 2
55 5 7,35
0,68 i 0,68 j 0,27 k
A B 4,62 i 4,62 j 1,84 k
c)
6 i 4 j 3 k 2 i 7 j 6 k 0,21i 0,74 j 0,63k
AB
22 72 62
AB
12 28 18 9,43
0,21i 0,74 j 0,63k
A B 0,04 i 0,16 j 0,13k
d)
4 i 3 j 2 k i 7 j k 0,14 i 0,98 j 0,14k
AB
AB
12 7 2 12
4 21 2 7,14
0,14 i 0,98 j 0,14 k
A B 0,37 i 2,61 j 0,37 k
6. Formando el producto escalar de dos vectores A cosa, sena y B cosb, senb demostrar la identidad trigonométrica.
cosa b cosa cosb sena senb
SOLUCIÓN:
7. A partir de la figura encuentre:
a) El ángulo entre los vectores AF y IG b) El valor de la expresión 2OE IJ 3AD c) La proyección CA sobre CG
SOLUCIÓN: a) AF F A
AF 6 i 1 j 7 k
AF 6 i 1 j 3 k 0 i ´0 j 10 k
IG G I
IG 2 i 1 j 0 k
IG 8 i 1 j 3 k 6 i 0 j 3 k
1 6 i j 7 k 2 i j 0 k cos θ 6 2 1 7 2 2 2 1
12 11 86 5 θ 51,17 θ cos1
b)
OE 6 i 5 j 10 k
IJ J I
IJ 2 i 0 j 3 k
IJ 8 i 0 j 0 k 6 i 0 j 3 k
AD D A
AD 0 i 5 j 0 k
AD 0 i 5 j 10 k 0 i 0 j 10 k
2 6 i 5 j 10 k 2 i 0 j 3 k 3 0 i 5 j 0 k
12 i 10 j 20 k 2 i 0 j 3 k 0 i 15 j 0 k 10 i 25 j 23 k
c) CA A C
CA 6 i 0 j 10 k
CA 0 i 0 j 10 k 6 i 0 j 0 k
CG G C
CG 2 i j 3 k
CG 8 i j 3 k 6 i 0 j 0 k
6 i 0 j 10 k 2 i j 3 k 2 i j 3 k 2 2 2 2 2 1 3 2 1 3
CACG
μ CG
SOLUCIÓN: a) AS S A
AS 10 i 20 j 20 k
AS 10 i 20 j 0 k 0 i 0 j 20 k
2 i j 3 k 2 2 2 1 3
8. Sobre el cubo de 20 cm de lado hemos colocado el paralelepípedo indicado. Determine:
a) El ángulo entre los vectores AS y CF b) El valor de la expresión 2IS 3LB FD c) La proyección de KB sobre EC
CF F C
CF 20 i 20 j 20 k
CF 0 i 20 j 20 k 20 i 0 j 0 k
1 10 i 20 j 20 k 20 i 20 j 20 k θ cos 10 2 20 2 20 2 202 202 20 2
200 400 400 30 1200 θ 101,1 θ cos1
b) IS OS OI IS 10 i 20 j 0 k 0 i 35 j 40 k IS 10 i 15 j 40 k
LB OB OL
LB 20 i 35 j 20 k
LB 20 i 0 j 20 k 0 i 35 j 0 k
FD OD OF
FD 20 i 0 j 20 k
FD 20 i 20 j 0 k 0 i 20 j 20 k
2IS 3LB FD
320 i 35 j 20 k 20 i 0 j 20 k 20 i 30 j 80 k 60 i 105 j 60 k 20 i 0 j 20 k 20 i 75 j 160 k
2 10 i 15 j 40 k
c) KB OB OK
KB 10 i 35 j 20 k
KB 20 i 0 j 20 k 10 i 35 j 0 k
EC OC OE
EC 0 i 20 j 20 k
EC 20 i 0 j 0 k 20 i 20 j 20 k
KB EC
KB EC EC
10 i 35 j 20 k 0 i 20 j 20 k 0 i 20 j 20 k
KB EC
μ EC
20 2 20 2
20 2 20 2
