EJERCICIOS DE ANÁLISIS DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO. EJERCICIO Nº 1. Determinar si la siguiente sección es subreforzada o sobrerreforzada. sobrerreforzada. Calcular la resistencia a flexión de la sección. Determinar la deformación unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia.
Datos: ds (Nº 3) = 0,953 cm, db (Nº 7) = 2,222 cm, Ab (Nº 7) = 3,88 cm 2 As = 3·(3,88 cm 2) = 11,64 cm 2, rd = 4 + 0,953 + 2,222/2 =6,604 cm, Es = 2,1x10 6 kg/cm2 1. Dado que f’c = 250 kg/cm 2 < 280 kg/cm 2,
1 =
0,85
2. Se calcula la profundidad del bloque rectangular equivalente “a”.
, · · · = · ⟹ , · · · = , · ⟹ ·· = ⟹ = , ⟹ =
3. Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = fy
se compara a/d t con a b / dt:
= · , ,· · + = , · , ·+ ,· = , ,
dt = d = h – rd rd = 50 – 6,604 6,604 = 43,396 cm
= , , = ,,
Como 0,18 < 0,51, el acero a tracción está cedencia. Se cumple lo supuesto inicialmente y se continúa con el análisis. 4. Se verifica si la sección está controlada por tracción.
3. Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = fy
se compara a/d t con a b / dt:
= · , ,· · + = , · , ·+ ,· = , ,
dt = d = h – rd rd = 50 – 6,604 6,604 = 43,396 cm
= , , = ,,
Como 0,18 < 0,51, el acero a tracción está cedencia. Se cumple lo supuesto inicialmente y se continúa con el análisis. 4. Se verifica si la sección está controlada por tracción.
Se calcula la relación:
= , · = ,, · , = ,,
Se calcula a / dt. Como se tiene una sola capa, d t = d = 43,396 cm a / dt = 0,18 < 0,319, la sección está controlada por tracción, entonces = 0,90 5. Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño cuando As cede).
= · · = ·· ,, , = = ,, ∙ = ,, ∙ , = , = ,∙−− = ,∙∙ = , ∙ ,∙,, = ,
·Mn . (Esto es
6. Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
Como el acero cede, la sección es subreforzada. La deformación del acero es:
Se comprueba que la sección está controlada por tracción dado que 0,011 > 0,005. El valor de s obtenido es aceptable. Se debe tener cuidado que cuando es muy grande la viga puede presentar grandes deflexiones y un gran agrietamiento en la zona a tracción.
EJERCICIO Nº2 Determinar si la siguiente sección es subreforzada o sobrerreforzada. Calcular la resistencia a flexión de la sección. Determinar la deformación unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia.
Datos: ds (Nº 3) = 0,953 cm, db (Nº 7) = 2,222 cm, Ab (Nº 7) = 3,88 cm 2 As = 5·(3,88 cm 2) = 19,4 cm 2, Es = 2,1x10 6 kg/cm2
= ∙ ++ ∙ = 4+0,953+ 2,2222 = 6,604 = 4+0,953+2,222+2,5 + 2,2222 = 10,786 7 86∙7, 7 6 = 6,604∙11,64+10, = 8,28 19,4
A1 = 3·3,88 = 11,64 cm 2, A2 = 2·3,88 = 7,76 cm 2.
1. Dado que f’c = 210 kg/cm2 < 280 kg/cm 2,
1 =
0,85
2. Se calcula la profundidad del bloque rectangular equivalente “a”.
, ··· = · ⟹ ,··· = ,· ⟹ ,· = ⟹ = , ⟹ = ,
3. Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = f y
se compara a/d t con a b / dt :
= · , ,· · + = ,·, ·+ ,· = ,
d = h – rd = 40 – 8,28 = 31,72 cm, d t =h – y1 = 40 – 6,604 = 33,396 cm
= , , = ,
Como 0,547 > 0,51, el acero a tracción no cede. No se cumple lo supuesto inicialmente y se debe determinar el esfuerzo en el acero fs y una nueva profundidad de eje neutro del bloque equivalente, a: 4a. Se calcula de nuevo “a” cuando el acero no ce de.
C=T
= ,∙ ∙ ∙ , ··· = ·, ∙ ∙ ∙ ,··∙ = ,·∙ , ∙, ,∙ + ∙, = = ,∙ ∙ ∙− = ∙,∙,,−, = ,
La solución es a = 16,736 cm Se determina:
5a. Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño que As no cede.
kg/cm2
·Mn, para el caso en
= · · = ,·,·, , = = ,
kg-cm
Como el acero no cede, la sección es sobrerreforzada. La sección está controlada por compresión, ϕ = 0,65 por tener refuerzo transversal de estribo. 6. Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
∙ = ,∙, = ,
Se puede concluir que la sección está mal diseñada, porque para un diseño correcto la sección debe estar controlada por tracción.
= ,∙− = ,∙∙ = ,∙,,∙, = ,
La deformación del acero es:
La deformación es prácticamente igual que la deformación del acero en la cedencia:
= =
, la sección se encuentra en el límite de sección controlada por compresión. = 0, 0 02 Prácticamente está en la falla balanceada.
EJERCICIO Nº 3 Las dimensiones de la sección transversal de una viga rectangular son de 30 cm de ancho y 50 cm de altura. La viga se refuerza co n 6 barras #6 ( ¾”) como se indica en la figura. Considerando f’c = 280 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm 2. El recubrimiento mínimo es 4 cm, estribos Nº 3 y separación libre vertical entre capas de 2,5 cm. a) Determinar el momento de agotamiento resistente que puede soportar la sección. b) Determinar el momento de agotamiento resistente que puede soportar la sección, si se refuerza a compresión con 2 barra # 5.
Parte a) 1. Se establece el valor de β1: β1 = 0,85
2. Se determina a:
0,85 f 'c a b A s f y
As = 6·2,85 = 17,1 cm 2 , a
17,1 4200 0,85 280 30
10,06 cm
3. Se verifica si el acero está cediendo:
0,003 E s 6300 0,85 1 0,51 0,003 E f d t 6300 4200 s y
ab
r d
y1 A1 y 2 A2 A1 A2
, y1 = 4 + 0,953 + 1,905 / 2 = 5,906 cm,
y2 = 4,953 + 1,905 + 2,5 + 1.905 / 2 = 10,31 cm,
A1 = 4· 2,85 = 11,4 cm 2 , A2 = 2· 2,85 = 5,7 cm 2.
r d
5,906 11,4 10,31 5,7 17,1
7,37 cm
se compara a/d t con a b / dt : d = h – r d = 50 – 7,37 = 42,63 cm, d t = h – y1 = 50 – 5,906 = 44,094 cm
= , , = ,
Como 0,228 < 0,51, el acero a tracción cede. Se cumple lo supuesto inicialmente y se continúa con el análisis. 4. Se verifica si la sección está controlada por tracción.
Se calcula la relación:
= , · = ,·, = ,
a / dt = 0,228 < 0,319, la sección está controlada por tracción, entonces = 0,90 5. Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño cuando As cede).
= · · = ,∙·, , = = ,
·Mn . (Esto es
6. Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
∙ = ,∙ = , = ,∙− = ,∙∙ = ,∙,∙,, = ,
Como el acero cede, la sección es subreforzada. La deformación del acero es:
Se comprueba que la sección está controlada por tracción dado que 0,00818 > 0,005. Parte b) Determinar el momento de agotamiento resistente de la sección que se muestra. Considere f’c = 280
kg/cm2, fy = 4200 kg/cm 2, recubrimiento mínimo de 4 cm, estribos Nº 3, y separación libre vertical entre capas de 2,5 cm.
Datos: ds (Nº 3) = 0,953 cm, db (Nº 6) = 1,905 cm, Ab (Nº 6) = 2,85 cm 2 db (Nº 5) = 1,588 cm, Ab (Nº 5) = 1,98 cm 2 d’ = 4 + 0,953 + 1,588 / 2 = 5,747 cm
As = 6·(2,85 cm 2) = 17,1 cm 2, A’s = 2·1,98 = 3,96 cm 2, Es = 2,1x10 6 kg/cm2
= ∙ ++ ∙ = 4+0,953+ 1,9205 = 5,906 = 4+0,953+1,905+2,5 + 1,9205 = 10,31 3 1∙5, 7 = 5,906∙11,17,4 +10, 1 = 7,374
A1 = 4·2,85 = 11,4 cm 2, A2 = 2·2,85 = 5,7 cm 2.
1. Dado que f’c = 280 kg/cm2,
1 =
0,85
2. Se calcula la profundidad del bloque rectangular equivalente “a”.
De la viga 1: C c = T1 :
= ,∙ ∙∙ · = , ⟹ = ,,,∙∙ ,∙
Se calcula la relac ión (d’/a)límite =
≤ í í = , = , = ,, = , , el acero a compresión cede.
Si
Como 0,743 > 0,392, el acero a compresión no cede.
Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = fy
Si
≤
= · , ,· · + = ,·+ = ,
, el acero a tracción está
en cedencia:
d = h – r d = 50 – 7,37 = 42,63 cm, d t = h – y1 = 50 – 5,906 = 44,094 cm
= , , = ,
Como a / dt = 0,175 < 0,51, el acero a tracción está en cedencia. Pero entramos al caso 2 porque el acero a compresión no cede. La “a” calculada antes es incorrecta y hay que calcularla de nuevo:
Por equilibrio en la figura (c):
∙ ′ ∙ ∙′ = ,∙
Considerada en conjunto con las ecuaciones
∙ ′ = ′ ∙ = ,∙ ∙ = ,∙∙, ∙, ′ = ∙ , = = ,∙∙∙ = , ∙ ,∙∙, ∙ = ∙∙+ ∙ ∙ = , porque el acero a tracción está en cedencia.
La solución es a = 8,56 cm Se calcula f’s:
′ = ∙,,−, = , = ∙ ′ = , ∙, = , = ,∙ ∙ ∙ = .∙∙,∙ = , = ∙ + ∙ ′ = ,∙, ,+ ,∙ ,, = , kg/cm2
Se calculan Cc y Cs:
El momento nominal se obtiene tomando momentos a Cc y a Cs con respecto a T.
kg-cm
M n = 27,39 ton-m
Si el acero a tracción está en cedencia hay que chequear si la sección está controlada por tracción: Se determina la relación: Si
= ,∙
≤ la sección está controlada por tracción y = 0,90 ,
= , , = ,
∙ = ,∙, = ,
Como a / dt = 0,194 < 0,319 la sección está controlada por tracción y = 0,90 Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
Al comparar con la sección sin acero a compresión, la resistencia de diseño aumento de 24,3 ton-m a 24,65 ton-m, al colocar el acero a compresión. En porcentaje es un incremento de 1,44 %.
= ,∙− = ,∙∙ = ,∙,∙,, = ,
La deformación del acero es:
Se incrementa la deformación a tracción neta t se incrementa de 0,00818 a 0,0101. En porcentaje es un incremento de 23,5 %. Ejemplo Nº 4 Verificar si una viga rectangular simplemente apoyada con una luz de 4,6 m, reforzada con 4 ϕ de 7/8” resiste el momento último que produce una carga permanente de 1800 kgf/m y una carga variable de 3600 kgf/m actuando sobre la viga. Considere f’c = 280 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2,
módulo de elasticidad del acero 2.1x10 6 kgf/cm2, b = 30cm y h = 50 cm. Considere un recubrimiento mínimo normativo de 4 cm y estribos Nº 3. Datos: As = 4·3.88 = 15,52 cm 2, d b = 2,222 cm, d s = 0,953 cm. r d = 4 + 0,953 + 2,222 / 2 = 6,064 cm, u = 1,2· p + 1,6·v = 1,2·1800 + 1,6·3600 = 7920 kgf /m
El momento máximo para una viga simplemente apoyada está en el centro de la luz y su valor es:
∙ 7920 ∙ 4 , 6 = 8 = 8 = 20948,4
En la tabla se verifica que las cabillas caben en una capa en una viga con b = 30 cm y con barras Nº 7
1. Dado que f’c = 280 kg/cm 2,
1 =
0,85
2. Se calcula la profundidad del bloque recta ngular equivalente “a”.
· ,··· = · ⟹ = , , ·· = ,
3. Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = fy
se compara a/d t con a b / dt:
= · , ,· · + = , ·+ = ,
dt = d = h – rd = 50 – 6,604 = 43,396 cm
= , , = ,
Como 0,21 < 0,51, el acero a tracción está cedencia. Se cumple lo supuesto inicialmente y se continúa con el análisis.
4. Se verifica si la sección está controlada por tracción.
Se calcula la relación:
= , · = ,·, = ,
a / dt = 0,21 < 0,319, la sección está controlada por tracción, entonces = 0,90 5. Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño cuando As cede).
= · · = ,∙·, , = , = , ∙ = ,∙, = ,
·Mn . (Esto es
6. Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
Dado que ϕ·Mn = 22,78 ton-m > M u = 20,95 ton-m, la sección puede resistir las cargas dadas con un grado aceptable de seguridad. Faltaría chequear las deflexiones para verificar que tiene la rigidez adecuada para que la deflexión sea menor que los valores de deflexión permisibles, chequear agrietamiento bajo cargas de servicio y las vibraciones. Ejercicio Nº 5. Determine el momento de agotamiento resistente de la viga Te siguiente:
Datos: As = 3·3.88 = 11,64 cm 2, d b = 2,222 cm, d s = 0,953 cm., b = 110 cm, b w = 30 cm, t = 15 cm. r d = 4 + 0,953 + 2,222 / 2 = 6,064 cm, d = 65 – 6,064 = 58,936 cm. 1. Dado que f ’c = 250 kg/cm2 < 280 kg/cm 2,
1 =
0,85
2. Se asume que el eje neutro está dentro del patín, es decir c t.
64·4200·110 = 2,09 0,85· · · = · ⟹ = 0, 11,85·250
c = a / 1 = 2,09 / 0,85 = 2,46 cm < 15 cm, se cumple el eje neutro está dentro del patín, entonces la viga trabaja como rectangular y se analiza como viga rectangular con ancho b = 110 cm. dt = d = 58,936 cm. Otra forma más sencilla de verificar si el acero está en cedencia es la siguiente: Calculamos c / d t = 2,46 / 58,936 = 0,0417 < 0,375, el acero está en cedencia y la sección está controlada por tracción. Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño
·Mn . Con
= · · 2 = 11,64∙4200 ·58,936 2,209 = 2830175,2 = 28,3 ∙ = 0,90∙28,3 = 25,47
Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
= 0,90
Ejercicio Nº 6 Determine el momento de agotamiento resistente de la viga Te siguiente:
Datos: As = 7·5,07 = 35,49 cm 2, d b = 2,54 cm, b = 75 cm, b w = 25 cm, t = 8 cm.
= ∙ + + ∙ + + ∙ = 5 , = 10 , = 15 1 4+15∙10, 1 4 = 5∙15,21+10∙10, = 9,29 35,49
A1 = 3·5,07 = 15,21 cm 2, A2 = A3 = 2·5,07 = 10,14 cm 2.
1. Dado que f’c = 280 kg/cm
2
,
1 =
0,85
2. Se asume que el eje neutro está dentro del patín, es decir c t.
4 9·4200 0,85· · · = · ⟹ = 35, 0,85·280·75 = 8,35
c = a / 1 = 8,35 / 0,85 = 9,82 cm > 8 cm, no se cumple lo supuesto, entonces la viga trabaja como Te. Se considera la viga patín:
De las figura (c) y (d)
= 0,85∙ ∙ ∙ = 0,85∙280∙8∙ 7525 = 95200 = ∙ = 4200∙ 5200 = 22,67 = => = 94200
Se considera la viga alma:
0,85∙ ∙ ∙ = ∙ = = 35,4922,67 = 12,82 8 2∙ 4 200 = 12, 0,85∙280 ∙25 = 9,05
Ca = Ta Donde
d = h – r d = 60 – 9,29 = 50,71 cm, d t = h – y1= 60 – 5 = 60 cm, c = a / 1 = 9,05 / 0,85 = 10,65 cm Calculamos c / d t = 10,65 / 60 = 0,1775 < 0,375, el acero está en cedencia y la sección está controlada por tracción. Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño
·Mn . Con
= 0,90
= · · 2 +( )· · 2 = 22,67∙4200 ·50,71 82+12,82∙4200·50,71 9,205 = 6934231 = 69,3 ∙ = 0,90∙69,3 = 62,4
Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
Se puede determinar el porcentaje a área de acero balanceado con la expresión siguiente:
5∙280 ∙[8∙7525 0, 8 5∙ 6 300 = 0,84200 + 25 ∙50,71 6300+4200] = 0,0467 = 25∙ 35,50,4971 = 0,028
Como ρ = 0,028 < b = 0,0467, el acero está en cedencia y la sección tiene comportamiento de viga
subreforzada. Se debe hacer el chequeo de la cuantía máxima:
,, = , + = = ∙ = ∙ ,, = 0,0179, , = ,∙,∙ = 0,01808 ,, = 0,01808+0,0179 = 0,03598 = 25∙ 35,50,4971 = 0,028 < 0,03598 =
Cumple con sección controlada por tracción.
EJERCICIOS DE DISEÑO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO. Ejercicio Nº 7 1.) Calcular el área de acero de una viga simplemente armada de dimensiones 30x65 cm para que soporte un momento por carga permanente de 7500 kgf-m y un momento por carga variable de 12100 kgf-m. Considere un recubrimiento mecánico de 6,5 cm (Una capa ), f’c = 280 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2 , Es = 2100000 kgf/cm 2 . Datos: b = 30 cm, h = 65 cm, rd = 6,5 cm, d = h – rd = 65 – 6,5 = 58,5cm.
= 0,319∙ ∙ = 0,319∙0,85∙ = 0,01808 = = 0,90∙ = 0,90∙0,01808 = 0,0163 = · ∙ 10,59∙ ∙ = 0,0163∙4200 ∙10,59∙ 0,0163∙2804200 = 58,584
1. Dado que f’c = 280 kg/cm 2,
1 =
0,85
2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 = t
Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado:
3. Se determina el factor de resistencia nominal R.
4. Se determina la altura útil requerida para la sección controlada por tracción: Mu = 1,2·Mp + 1,6·Mv = 1,2·7500 + 1,6·12100 = 28360 kgf -m
1 00 = √ ∙∙ = √ 0, 928360∙ 0∙58,584∙30 = 42,34 d = 58,5 cm > 42,34 cm, se diseña como SSA. 5. Se determina para la d conocida, la cuantía mecánica específica , resolviendo la ecuación cuadrática que resulta de:
= 10,59∙ ∙′ ∙ ∙ 28360 ∙100 = 0, 5 9∙ 0,90∙280∙30∙58,5
0,59∙ +0,10962 = 0
La solución es = 0,1178,
6. Se determina la cuantía geométrica del acero :
280 = 0,007853 = ∙ = 0,1178∙ 4200
7. Se determina el área de acero As:
= ∙ ∙ = 0,007853 ∙30∙58,5 = 13,78 = 14 ∙ ∙ < 315 = 420014 ∙ 30∙58,5 = 5,85 = 13,78 > 5,85 8. Se determina el acero mínimo:
, cumple.
Se coloca 2 # 8 + 1 # 7 = 10,13 + 3,88 = 14,01 cm 2
Ejercicio Nº 8 2.) Obtener el ancho b, la altura útil y el área de acero de una viga que debe resistir un momento último negativo de 5760 kgf -m. Considere f’c = 280 kgf/cm 2 , fy = 4200 kgf/cm 2 , Es = 2100000 kgf/cm2 . Considere L = 6,50 m y rd = 6,5 cm.
Datos: rd = 6,5 cm 1. Dado que f’c = 280 kg/cm
2
,
1 =
0,85
2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 = t
= 0,319∙ ∙ = 0,319∙0,85∙ = 0,01808 = = 0,90∙ = 0,90∙0,01808 = 0,0163 = · ∙ 10,59∙ ∙ = 0,0163∙4200 ∙10,59∙ 0,0163∙2804200 = 58,584 ∙ ∙ 1 00 ∙ = ∙ = 5760 = 10924, 5 0,90∙58,584
Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado:
3. Se determina el factor de resistencia nominal R.
4. Se determina el valor de
b (cm) 25 20 30
d (cm) 20,9 23,4 19,1
5. Se determina el valor de h: Se escoge b = 25 cm
ℎ = + = 20,9+6,5 = 27,4
6. Se compara la h calculada con la altura mínima de vigas dadas en la tabla 9.6.1 de la Norma Venezolana 1753-2006.
ℎ ≥
Si , la sección cumple y se continúa con el diseño. Si = h – rd.
ℎ <
, se hace h = L/ y se recalcula d
Considerando viga simplemente apoyada: = 16
= 65016 = 40,63
Como h = 27,4 cm < 40,63 cm, se elige una viga con h = 45 cm, 25 cm x 45 cm d = 45 – 6,5 = 38,5 cm 7. Se determina para la d conocida, la cuantía mecánica específica , resolviendo la ecuación cuadrática que resulta de:
La solución es = 0,0641,
= 10,59∙ ∙′ ∙ ∙ ∙ 5760 ∙100 = 0, 5 9∙ 0,90∙280∙25∙38,5 0,59∙ +0,06168 = 0
8. Se determina la cuantía geométrica del acero :
280 = 0,00427 = ∙ = 0,0641∙ 4200
9. Se determina el área de acero As:
= ∙ ∙ = 0,00427 ∙25∙38,5 = 4,11 = 14 ∙ ∙ < 315 = 420014 ∙ 25∙38,5 = 3,21 = 4,11 > 3,21
8. Se determina el acero mínimo:
, cumple.
Se coloca 2 # 6 = 5,70 cm 2
Ejercicio Nº 9 4.) Calcular el área de acero a tensión y a compresión de una viga con b = 30 cm y h = 70 cm, para que soporte un momento mayorado en la sección Mu = 80000 kg-m. Considere rd = 9 cm (2 capas) d’ = 6 cm, f’c = 250 kgf/cm 2 , fy = 4200 kgf/cm 2 , L = 6 m.
= 0,319∙ ∙ = 0,319∙0,85∙ = 0,01614 = = 0,90∙ = 0,90∙0,01614 = 0,0145
1. Se establece el valor de 1: Dado que f’c = 250 kg/cm 2 < 280 kg/cm 2,
1 =
0,85
2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 = t
Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado:
3. Se determina el As1, a y c. d = 70 – 9 = 61 cm
= ∙ ∙ = 0,0145∙30∙61 = 26,54 = ,··· = ,,∙∙∙ = 17,5 = = ,, = 20,57 = · · 2 = 26,54∙4200 ∙610,5∙17,5 = 5824203 = 58,24 = 0,8090 = 88,89 = = 88,8958,24 = 30,65 30,65∙100000 = 13,27 ′ = ∙ ′ = 4200∙616 ,
4. Se determina la capacidad máxima como sección simplemente armada:
Como Mn1 = 58,24 ton-m < M u /
=88,89 ton-m, se continua el diseño como SDA.
5. Se determina el momento M n2 y el área A’s
6. Se determina la relación (d’/c)límite , para determinar si el acero a compresión está cediendo.
′í = 1 0,003∙ = 1 0,0 03∙4200 2100000 = 0,3333
d’ / c =6 /
20,57 =0,292 < (d’/c)límite=0,3333
Como (d’/c) (d’/c)límite , el acero en compresión está en cedencia. Se sigue según el caso 1. 7. Caso 1: El acero en compresión está en cedencia:
= ′ = 13,27 = + = 26,54+13,27 = 39,81
8. Se selecciona el tamaño y número de barras para As y pa ra A’s. Los cálculos siguientes se realizan con estos valores nuevos de As y A’s (colocados).
Para As, se coloca 3 # 11 (en capa inferior) + 2 # 8 (en la 2da capa) = 30,22 + 10,13 = 40,35 cm Para A’s, se colocan 2 # 8 + 1 # 7 = 10,13 + 3.88 =14,01 cm 2.
9. Se calcula la cuantía geométrica colocada:
= ∙ = 40,30∙6135 = 0,022 = ∙ = 14,30∙6101 = 0,00766
10. Se calcula la cuantía geométrica a compresión ’ con As2 = A’s = 14,01 cm 2
11. Se determina max :
= + = 0,01614+0,00766 = 0,0238
2
Como ρ = 0,022 < ρ max = 0,0238, la
sección está controlada por tracción.
12. Se dibuja el detalle de la sección indicando dimensiones, ubicación de las barras, diámetro de las barras, recubrimiento, diámetro y detalle de los estribos.
Ejercicio Nº 10 Determine el acero de refuerzo longitudinal de la sección transversal en forma de T de una viga de concreto reforzado de luz libre igual a 9 m. La geometría del sistema losa y viga se muestra en la figura anexa. Se supone rd = 9 cm. La sección está sometida a un momento mayorado Mu = 55 tonm, en el tramo. Los materiales están dados por f’c = 210 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2. Dibuje el
detalle del acero longitudinal y acero transversal en la sección transversal de la viga (ubicación y distribución). Para Asmín utilice barras #6 y para As utilice barras #8 y #11. (Nota: En el procedimiento de diseño considere ρselecc = 0,90·ρt).
Datos: L = 9 m, rd = 9 cm, bw = 30 cm, h = 55 cm, hf = t = 8 cm, f’c = 210 kg/cm 2,
Sc.a.c = 100 cm, Mu = 55 ton-m. Altura efectiva d = 55 – 9 = 46 cm.
fy = 4200 kg/cm 2,
= 0,319∙ ∙ = 0,319∙0,85∙ = 0,01356 = = 0,90∙ = 0,90∙0,01356 = 0,0122
1. Se establece el valor de 1: Dado que f’c = 210 kg/cm 2 < 280 kg/cm 2,
1 =
0,85
2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 = t
Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado:
3. Se calcula el ancho efectivo b:
b11 = 9 / 4 = 2,25 m, b12 = 16·8 + 30 = 158 cm, b3 = Sc.a.c = 100 cm => b = 100 cm 4. Se determina el factor de resistencia nominal R.
= · ∙ 10,59∙ ∙ = 0,0122∙4200 ∙10,59∙ 0,0122∙2104200 = 43,863
5. Se determina la altura útil requerida para la sección controlada por tracción:
= √ ∙∙ = √ 0, 955∙0∙413,00000 863∙100 = 37,33 d = 46 cm > 37,33 cm, se diseña como SSA. 6. Se determina para la d conocida, la cuantía mecánica específica , resolviendo la ecuación cuadrática que resulta de:
= 10,59∙ ∙′ ∙ ∙ 55∙ 1 00000 = 0, 5 9∙ 0,90∙210 ∙100 ∙46 0,59∙ +0,13753 = 0
La solución es = 0,151, 7. Se determina la cuantía geométrica del acero :
210 = 0,00755 = ∙ = 0,151∙ 4200
8. Se determina el área de acero As:
= ∙ ∙ = 0,00755∙100 ∙46 = 34,73 = ,··· = ,,∙∙∙ = 8,17 = = ,, = 9,61 9. Se calcula “a” como rectangular:
,
Como c > hf, trabaja como Te. 10. Se calcula Asf y Mnf.
= 0,85∙210∙10030∙8 4200 = 23,8 8 0 , 8 5∙210∙ 10030 ∙8∙46 2 = = 41983,2 100
11. Se calcula Mnw:
= 50,500090 41983,2 = 19127,9 = 0,85∙210∙ ∙ 30∙46 2 = 19127,9 ∙100 2677,5∙ 246330∙ +1912790 = 0 Se resuelve el sistema para a w y resulta: aw = 8,562 cm 12. Se calcula c, Asw y As.
= 80,,58625 = 10,07 19127908,562 = 10,92 = 4200∙ 46 2 = 23,8 +10,92 = 34,72
