SOLUCIÓN INCISO a)
Universidad de San San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Centro de Investigaciones de Ingeniería Técnicas de Estudio e Investigación Ing. Yanuario Laj
Numero de Intervalos La fórmula de Sturgess propone como número k de intervalos, para agrupar un conjunto de N observaciones en intervalos.
Ejemplo: Un fabricante de neumáticos ha recabado, de los diferentes concesionarios, información sobre la cantidad de miles de kilómetros recorridos por un modelo concreto de esos neumáticos hasta que se ha producido un pinchazo o un reventón del neumático. Los concesionarios la han proporcionado los siguientes datos:
Donde N es el número de datos. En este caso N=100, luego k = 7.6 ≈ 8 (tomaremos 8 intervalos)
52,452
50,432
37,748
51,831
73,808
61,065
35,807
57,277
Rango
48,698
65,854
75,850
36,949
75,548
69,010
61,477
65,585
Es el intervalo el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo.
44,411
41,886
34,754
59,888
59,449
67,632
89,116
69,483
63,692
70,003
65,996
55,989
49,677
46,502
67,467
64,398
84,588
40,709
50,238
61,390
85,720
45,313
46,724
61,752
55,643
55,912
46,681
66,519
59,168
66,313
35,884
28,625
47,012
71,360
78,635
41,715
72,635
41,463
48,996
48,172
79,426
67,662
53,324
49,011
29,480
41,128
30,252
33,412
Amplitud o Intervalo de Clase
48,240
57,884
55,257
84,656
48,662
10,504
60,951
38,420
Es la razón del rango entre el número de intervalos.
74,239
60,727
56,155
86,070
90,565
53,751
76,580
68,629
51,179
74,582
58,708
48,035
67,124
41,830
61,030
58,267
61,979
43,068
41,539
62,215
51,269
82,919
34,182
37,654
80,502
35,342
44,719
37,402
a) b) c) d) e) f) g)
Construir una taba de frecuencias para esos datos (número de intervalos el que proporciona la fórmula de Sturgess). Construir las tablas de frecuencias acumuladas ascendente y descendente. Dibujar el histograma de frecuencias relativas sin acumular y acumulado. Calcular las principales medidas de tendencia central e interpretarlas. Obtener las medidas de dispersión más importantes e interpretarlas. Analizar la asimetría y el apuntamiento de la distribución de frecuencias resultante. Si el fabricante quiere proponer un kilometraje para realizar el cambio de neumáticos, ¿qué valor propondría para que solo 3 de cada 10 coches hayan tenido un pinchazo o reventón antes de ese kilometraje?
Rango = | 90,565 ‒ 10,504 | = 80,061
Amplitud = 80,061 / 8 = 10,007.625 ≈ 10,008
Tabla Vamos a crear la tabla, en donde se tabularán los datos y frecuencias, para ello tomamos el criterio:
Para K=1. Definimos el límite inferior del primer intervalo como el dato menor dado y su límite superior como la suma del dato menor más la amplitud.
De esta manera podemos tener en nuestra tabla la frecuencia de la siguiente manera:
Para K=2. Para el siguiente intervalo, el límite inferior será el valor del “límite superior del intervalo anterior” y el límite superior de éste, incrementará el valor de la amplitud.
Limites Reales
Para los demás intervalos, se realizará bajo el mismo criterio de K=2. Limites Intervalos
Inferior
Superior
1
10504
20512
2
20512
30520
3
30520
40528
4
40528
50536
5
50536
60544
6
60544
70552
7
70552
80560
8
80560
90568
Frecuencia
Intervalos
Inferior
Superior
f
1
10503.5
20512.5
1
2
20511.5
30520.5
3
3
30519.5
40528.5
11
4
40527.5
50536.5
25
5
50535.5
60544.5
18
6
60543.5
70552.5
24
7
70551.5
80560.5
11
8
80559.5
90568.5
7 100
(Ver tabla del anexo para identificar las frecuencias absolutas)
Ahora realizamos nuestra tabla de frecuencias.
Tomando en cuenta que nuestra variable es continua, se calculan los límites reales quedando definidos de la siguiente manera:
Recordemos:
Limites Reales
Limites Intervalos
Inferior
Superior
Inferior
Superior
1
10504
20512
10503.5
20512.5
2
20512
30520
20511.5
30520.5 40528.5
3
30520
40528
30519.5
4
40528
50536
40527.5
50536.5
5
50536
60544
50535.5
60544.5
6
60544
70552
60543.5
70552.5
7
70552
80560
70551.5
80560.5
8
80560
90568
80559.5
90568.5
En esta tabla aparecen por filas los intervalos, junto con la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa, frecuencia relativa porcentual y frecuencia acumulada porcentual.
Limites Reales
Frecuencia
Frecuencia Acumulada
Frecuencia Relativa
Frecuencia %
Frecuencia Acumulada %
Intervalos
Inferior
Superior
f
Fa
Fr
Fr %
Fa %
1
10503.5
20512.5
1
1
0.01
1
1
2
20511.5
30520.5
3
4
0.03
3
4
3
30519.5
40528.5
11
15
0.11
11
15
4
40527.5
50536.5
25
40
0.25
25
40
5
50535.5
60544.5
18
58
0.18
18
58
6
60543.5
70552.5
24
82
0.24
24
82
7
70551.5
80560.5
11
93
0.11
11
93
8
80559.5
90568.5
7
100
0.07
7
100
1.00
100 %
100
Intervalo
Fr
10503-20512
0.01
20511-30520
0.03
30519-40528
0.11
40527-50536
0.25
50535-60544
0.18
60543-70552
0.24
70551-80560
0.11
80559-90568
0.07
Frecuencias Relativas 0.30 0.25
Por ejemplo la cuarta fila se puede interpretar diciendo que el 25% de estos neumáticos han recorrido entre 40,528 y 50,536 Km hasta que se ha producido un pinchazo o reventón.
s a 0.20 i c n e 0.15 u c e r 0.10 F
0.05
SOLUCIÓN INCISO b)
0.00
Limites Reales
Frecuencia
Fa Ascendente
Fa Descendente
Intervalos
Inferior
Superior
f
Fa
Fa
1
10503.5
20512.5
1
1
100
2
20511.5
30520.5
3
4
99
3
30519.5
40528.5
11
15
96
Intervalo
Fr a
4
40527.5
50536.5
25
40
85
10503-20512
0.01
5
50535.5
60544.5
18
58
60
20511-30520
0.04
6
60543.5
70552.5
24
82
42
30519-40528
0.15
7
70551.5
80560.5
11
93
18
40527-50536
0.40
8
80559.5
90568.5
7
100
7
50535-60544
0.58
60543-70552
0.82
70551-80560
0.93
80559-90568
1.00
100
SOLUCIÓN INCISO c) El histograma de frecuencias relativas sin acumular y acumuladas:
Intervalo
Frecuencias Relativas Acumuladas 1.20
s a d 1.00 a l u 0.80 m u c 0.60 A s a i 0.40 c n 0.20 e u c 0.00 e r F
X = 5624056 / 100 = 56240.56 ≈ 56241 Resulta que la media aritmética es 56,241 Km. Se interpreta diciendo que de los 100 neumáticos analizados se han recorrido 56,241 Km antes de un pinchazo o reventón.
Mediana:
Intervalo
SOLUCIÓN INCISO d) Media Aritmética:
Para calcular la media aritmética o promedio, trabajamos con la tabla encontrando la Marca de clase o Punto Medio y se calcula a través de la ecuación:
Inferior
Superior
Marca de Clase o Punto Medio Xi
10504
20512
20512
30520
30520
Limites
Frecuencia f
f * Xi
15508
1
15508
25516
3
76548
40528
35524
11
390764
40528
50536
45532
25
1138300
50536
60544
55540
18
999720
60544
70552
65548
24
1573152
70552
80560
75556
11
831116
80560
90568
85564
7
598948 5624056
N / 2 = 50 Me = 50536 + [ (100/2 – 40 ) / 18 ] * 10,008 = 56096 Significa que la mitad de los neumáticos han recorrido a lo sumo 56,096 Km antes de un pinchazo o reventón.
Limites
Frecuencia
Frecuencia Acumulada
Inferior
Superior
f
Fa
10504
20512
1
1
20512
30520
3
4
30520
40528
11
15
40528
50536
25
40
50536
60544
18
58
60544
70552
24
82
70552
80560
11
93
80560
90568
7
100
Moda:
Limites
Frecuencia
Mo = 40528 + [ ( 25 –11 ) / ( 25 –18 ) + (25 –11) ] * 10,008 = 47,200 Significa que la cantidad más frecuente, de kilómetros recorridos antes de un pinchazo, ha sido 47,200 Km.
ANEXO Datos ordenados en forma ascendente e indicación del intervalo al cual pertenece según problema dado. K
Dato
K
Dato
K
Dato
K
Dato
1
10,504
4
45,313
5
56,155
6
67,467
2
28,625
4
46,502
5
57,277
6
67,632
2
29,480
4
46,681
5
57,884
6
67,662
2
30,252
4
46,724
5
58,267
6
68,629
3
33,412
4
47,012
5
58,708
6
69,010
3
34,182
4
48,035
5
59,168
6
69,483
3
34,754
4
48,172
5
59,449
6
70,003
3
35,342
4
48,240
5
59,888
7
71,360
3
35,807
4
48,662
6
60,727
7
72,635
3
35,884
4
48,698
6
60,951
7
73,808
3
36,949
4
48,996
6
61,030
7
74,239
3
37,402
4
49,011
6
61,065
7
74,582
3
37,654
4
49,677
6
61,390
7
75,548
3
37,748
4
50,238
6
61,477
7
75,850
3
38,420
4
50,432
6
61,752
7
76,580
4
40,709
5
51,179
6
61,979
7
78,635
4
41,128
5
51,269
6
62,215
7
79,426
4
41,463
5
51,831
6
63,692
7
80,502
4
41,539
5
52,452
6
64,398
8
82,919
Intervalos
Inferior
Superior
f
1
10504
20512
1
4
41,715
5
53,324
6
65,585
8
84,588
2
20512
30520
3
4
41,830
5
53,751
6
65,854
8
84,656
4
41,886
5
55,257
6
65,996
8
85,720
4
43,068
5
55,643
6
66,313
8
86,070
3
30520
40528
11
4
40528
50536
25
4
44,411
5
55,912
6
66,519
8
89,116
5
50536
60544
18
4
44,719
5
55,989
6
67,124
8
90,565
6
60544
70552
24
7
70552
80560
11
8
80560
90568
7