Ejemplo[editar ] Por ejemplo, sea G el grupo que es la suma directa de dos copias del grupo cíclico finito cíclico finito . Simbólicamente, . Una base de este grupo es {!,"#, ",!#$. Si escribimos % , entonces podemos escribir el elemento &,'#, como , donde la multiplicación multiplicación se se define de la manera siguiente( . )on esta base no *a% otra manera de escribir &,'#, pero si elegimos como base {!,"#, !,!#$, donde % , entonces podemos escribir &,'#, como . + diferencia de lo que ocurre con los espacios ectoriales, ectoriales, no todos los grupos abelianos tienen una base de a*í el nombre especial para los que lo si la tienen#. Por ejemplo, ning-n grupo con elementos no triiales# periódicos puede ser abeliano libre, %a que dic*os elementos pueden ser epresados en un n-mero infinito de formas, simplemente mediante el establecimiento de un n-mero arbitrario de ciclos construidos a partir de la periodicidad. /l grupo abeliano triial {"$ tambi0n se considera abeliano libre, con base el conjunto acío. acío.
Terminología[editar ] 1a% que tener en cuenta que un grupo abeliano libre , libre , no no es es un grupo libre, libre, ecepto en dos casos( un grupo abeliano libre con una base acía rango de ", dando el grupo triial# triial# o tener sólo un elemento en la base rango !, dando un grupo cíclico infinito#. infinito#. )ualquier otro grupo abeliano no es un grupo libre, porque, en grupos libres, el elemento ab ab debe debe ser diferente del ba ba si si a % b son elementos diferentes de la base, mientras que deben ser id0nticos en grupos abelianos libres. Sin embargo, los grupos abelianos libres son objetos libres en la categoría de grupos abelianos.
Propiedades[editar ] !. Para Para ca cada da co conj njun unto to B, eiste un grupo abeliano libre con base B, % todos los grupos abelianos libres que tienen a B como base son isomorfos isomorfos.. Se puede construir un ejemplo con el grupo abeliano de las funciones de B, donde cada función puede tomar alores enteros enteros,, % todos, ecepto un n-mero finito de sus alores son cero. /sta es la suma directa de copias de , una copia para cada elemento de la B. !. Si F es es un grupo abeliano libre con base B, entonces tenemos la siguiente propiedad uniersal( uniersal( por cada función f de de B en cualquier grupo abeliano A abeliano A,, eiste un -nico *omomorfismo del grupo de grupo de F en A en A que que etiende a f . /sta propiedad uniersal tambi0n se puede utili2ar para definir grupos abelianos libres. !. 3ado 3ado un gr grupo upo abe abeli liano ano A A,, siempre eiste un grupo abeliano libre F % % un epimorfismo esto es, un *omomorfismo sobre%ectio sobre%ectio## del grupo
de F en A. /sto se deduce de la propiedad uniersal mencionada anteriormente. !. 4odos los grupos abelianos libres son libres de torsión, % todos los grupos abelianos finitamente generados % libres de torsión son grupos abelianos libres lo mismo se aplica a módulos planos, %a que un grupo abeliano es libre de torsión, si % sólo si, como 5módulo es plano#. /l grupo aditio de los n-meros racionales es un grupo abeliano libre de torsión no finitamente generado#, grupo que no es abeliano libre. 6a ra2ón( es diisible, pero ning-n grupo abeliano libre distinto del triial es diisible. !. 6os grupos abelianos libres son un caso especial de módulos libres, %a que los grupos abelianos no son otra cosa que módulos sobre el anillo . /s importante destacar que todo subgrupo de un grupo abeliano libre es libre abeliano er m7s abajo#. )omo consecuencia, para cada grupo abeliano A eiste una sucesión eacta corta " 8 G 8 F 8 A 8 " donde F % G grupos abelianos libres lo que significa que A es isomorfo al grupo cociente F 9G#. + esto se le llama resolución libre de A. Por otra parte, los grupos abelianos libres son, precisamente, los objetos pro%ectios en la categoría de grupos abelianos.! Puede ser sorprendentemente difícil determinar si un grupo concreto dado es abeliano libre. )onsidere por ejemplo el grupo de :aer5Spec;er , el producto directo que no debe confundirse con la suma directa, que difiere del producto directo de un n-mero infinito de sumandos# de una cantidad infinita numerable de copias de .
