ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA CONVERSIÓN ELECTROMAGNÉTICA ELECTROMAGNÉTICA
CEME GRUPO No: 2-Lunes 7:00 am y jueves 8:30 am Apellidos: Granados Cordoba Alexander
Nombres: William
TRABAJO TRABAJO N° 2 Preparación Informe Tarea Trabajo Trabajo Fecha de presentación: Jueves, 4 de Octubre de 2012.
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EFECTOS DE LA FRECUENCIA EN EL TRANSFORMADOR Los fenómenos transitorios a los cuales está expuesto el sistema eléctrico de potencia, oscilan entre 0,1 Hz y 50 MHz, por lo tanto para simular cada fenómeno se requiere modelar cada elemento de la red de acuerdo a la frecuencia involucrada. La representación matemática de cada elemento es muy compleja debido a que varía substancialmente con la frecuencia. El problema adicional es que si se tienen modelos muy detallados para cada elemento, el sector de la red que se puede simular en una computadora es muy reducido, de esta forma por las limitaciones que imponen los propios equipos se tiene el compromiso entre sección de red a simular y detallado de los modelos. La tabla 1, muestra la clasificación dada por la CIGRE de los fenómenos transitorios dependientes de la frecuencia. Entre más detallado es un modelo arroja mejores resultados, aunque este detalle no siempre se recomienda; esto se debe a que un modelo simplificado da buenos resultados para algunos estudios; por esta razón se considera impráctico tener un modelo único para todo el rango de frecuencias, que sería el modelo más complejo. La tabla 2, muestra el tipo de fenómeno transitorio de acuerdo al rango de frecuencia.
La red en estado estable se modela adecuadamente con un grupo de ecuaciones diferenciales. Como método de solución se utiliza el desacoplamiento modal a través de las componentes simétricas. Con esta transformación matemática se puede representar el sistema trifásico como tres sistemas monofásicos 2
desacoplados entre sí; de esta forma, con una sola de las componentes simétricas, la componente de secuencia positiva, se puede obtener la solución completa [2-3]. La secuencia positiva para el caso del transformador depende de la conectividad y de los devanados
MODELO DEL TRANSFORMADOR EN ESTADO ESTABLE Para todos los estudios de baja frecuencia el transformador se modela como un elemento concentrado y su representación circuital es con una inductancia, la razón de este modelo es que la frecuencia máxima involucrada está alrededor de los 3 kHz, por lo tanto la longitud de onda es de 100 km. De acuerdo a la regla adoptada para concentrar parámetros, si la longitud eléctrica de un elemento es menor a 10 veces la menor longitud de onda involucrada en un evento, entonces se puede modelar adecuadamente como un elemento concentrado. Si la frecuencia máxima en estado estable es de 3 kHz, se tiene una longitud de onda de 100 km, por lo tanto si la longitud total del devanado es menor a 10 km, el transformador se puede modelar como una inductancia concentrada. 1
MODELO DEL TRANSFORMADOR PARA EL RANGO DE FRECUENCIAS DE 50 HZ A LOS 20 KHZ Cada vuelta del transformador se puede representar por una resistencia, una inductancia y una capacitancia, como se muestra en la figura 1. Esta es una red muy detallada, pero es inadecuada para casi todos los casos prácticos dentro del rango de frecuencias hasta los 20 kHz, debido a que no es necesario modelar con tanto detalle cada vuelta del transformador.
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GRAINGER, John J.; STEVENSON., “Análisis de Sistemas de Potencia“
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El modelo de la figura 1, se puede reducir como sigue: primero las resistencias e inductancias se concentran una por vuelta con la capacitancia al inicio y final de cada sección. Así, el modelo del transformador para frecuencias hasta los 20 kHz es un circuito RLC en cascada, como se muestra en la figura 2. Para el caso específico de un transformador de dos capas, con 180 vueltas por capa, éstas se pueden concentrar en una sola.
Capacitancia Se tienen efectos capacitivos entre el tanque del transformador y los devanados; para el caso de transformadores con conductores rectangulares, todas las capacitancias se determinan como sigue
donde A es el área total del conductor (m2), d es la distancia entre conductores (m), ε0 es la permitividad del espacio libre (8,854x10-12 F/m) y εr es la permitividad relativa del medio aislante.
Así la inductancia es
Resistencia La resistencia representa las pérdidas en el conductor y se calcula de manera similar a la de una línea de transmisión, su fórmula está dada por:
Donde Rfw es la parte real de la impedancia del conductor, la cual se puede determinar del los estudios de cortocircuito y circuito abierto y Rbw es la resistencia de retorno por tierra, la cual es muy difícil de calcular debido a la estructura del tanque y las laminaciones del núcleo, así la resistencia se aproxima como:
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MODELO DEL TRANSFORMADOR PARA ESTUDIOS DE ALTA FRECUENCIA Para estudios de alta frecuencia, cada vuelta del transformador se modela como una línea de transmisión, lo cual se muestra en la figura , para el caso de un transformador de dos capas.
Capacitancia La capacitancia se calcula igual que el caso anterior pero se considera también la capacitancia entre vueltas consecutivas separadas por el conductor.
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Inductancia La inductancia se obtiene de las ecuaciones generalizadas del telegrafista:
Si de derivan ambas ecuaciones respecto a x y respecto a t , manipulando algebraicamente se tiene:
Al final se obtiene
La fórmula anterior es válida solo para alta frecuencia debido a que se está despreciando la penetración del campo magnético en el devanado del transformador, así como el efecto del núcleo. La omisión de estos efectos es razonable puesto que en alta frecuencia prácticamente la penetración es cero y la inductancia total se puede representar por la inductancia geométrica.2
CIRCUITOS EN MEDIA Y ALTA FRECUENCIA Cuando se trabaja en bajas frecuencias, es decir frecuencias menores a 1 MHz, es posible considerar los elementos con los que se trabajará como elementos ideales. Lamentablemente, al aumentar la frecuencia de trabajo ya no es adecuado seguir utilizando esta simplificación, y como resultado se producen extraños efectos en el comportamiento de los circuitos diseñados. Por ejemplo, al aumentar la frecuencia, los condensadores comienzan a comportarse como inductores, mientras estos últimos se vuelven condensadores. Hasta los simples cables se comportan de formas extrañas. Para entender estos problemas y tratar de evitarlos durante el proceso de diseño es necesario comprender el origen físico de ellos y de esa forma poder modelar adecuadamente los elementos a utilizar. 2
http://rie.cujae.edu.cu/index.php/RIE/article/view/328/323
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Los cables En general, los cables de cobre utilizados en electrónica presentan una pequeña resistencia dada por:
Donde ‘l’ es el largo del cable, σ la conductividad y A el área del cable por donde circula la corriente. Como la conductividad del cobre es 5.88E7 [S/m] es posible considerar que la resistencia de un cable de cobre es nula. Al aumentar la frecuencia la corriente empieza a circular solamente por los bordes del conductor (efecto pelicular) disminuyendo el área efectiva A por donde circula la corriente. Esto se traduce en un aumento de la resistencia por unidad de largo del cable. Por otro lado, cuando circula una corriente por un cable se genera un campo magnético alrededor de éste, el cual a su vez induce un campo eléctrico y por tanto una corriente en el conductor que se opone a la corriente original. Este efecto se conoce como auto inductancia y puede ser descrito como: L
= 0.0046 l * log(
4l d
0.75 )
Donde ‘l’ es el largo del cable y ‘d’ es el diámetro del cable. Este efecto generalmente es muy pequeño, del orden de 1[nh/cm] de cable. El problema surge debido a que la impedancia del cable aumenta linealmente con la frecuencia. Es necesario destacar que el análisis realizado es para un cable dispuesto en línea recta. Claramente, el valor de la auto inductancia del cable varía con la disposición espacial de este. Finalmente, es posible modelar adecuadamente un cable como:
Donde L representa el fenómeno de auto inductancia del cable y R es la resistencia del cable. Generalmente es posible despreciar R frente a L, pero siempre es necesario recordar su existencia.
Las resistencias
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Las resistencias también presentan los dos efectos nombrados para los cables (auto inductancia y efecto pelicular). Por otra parte, las resistencias típicamente usadas en electrónica de baja frecuencia se componen de material particulado. En altas frecuencias los pequeños granos de material se comportan como miles de pequeños condensadores, que pueden ser modelados por un condensador en paralelo a la resistencia. La magnitud de este efecto es muy variable, lo que imposibilita estimarlo adecuadamente. El circuito equivalente de una resistencia sería:
Los condensadores Los condensadores presentan también el fenómeno de auto-inductancia, debido a las uniones del condensador con el circuito. Estas uniones también presentan una cierta resistencia. Todos los condensadores presentan pérdidas en el dieléctrico. Generalmente estas pérdidas son del orden de 100.000 MΩ, por lo que pueden ser despreciadas tanto en baja frecuencia como en alta frecuencia. El circuito equivalente de un condensador sería de la siguiente forma:
Donde L y R representan respectivamente la inductancia y resistencia de las uniones del condensador con el resto del circuito, C es condensador propiamente tal y R’ representa las fugas en el dieléctrico.
Las inductancias El comportamiento de una inductancia en alta frecuencia es muy variable dependiendo del tipo de bobina que se esté considerando. Si consideramos una inductancia construida en base a un cable enrollado sobre un núcleo cilíndrico de aire veremos aparecer una serie de efectos. En primer lugar aparece la resistencia propia del cable que se utilizó. Además aparece una serie de capacitancias parásitas entre una espira y otra, tal como se ilustra en la figura 8
Finalmente, el circuito equivalente de este elemento quedara compuesto por condensadores, resistencias y una inductancia. Tal como se muestra en la siguiente figura
Problemas que surgen en alta frecuencia Un primer problema son las llamadas resonancias espontáneas. Todos los circuitos equivalentes antes analizados, se encuentran compuestos por resistencias, condensadores e inductancias. Los elementos parásitos, provocan la aparición de circuitos resonantes LRC no considerados en el diseño; generando comportamientos de filtro pasa banda o rechaza banda, y en casos de circuitos con componentes activos, es decir aquellos que presentan ganancias, se generan osciladores indeseados que pueden dañar el circuito. Estos comportamientos son llamados resonancias espontáneas y constituyen uno de los grandes problemas que se presentan al trabajar en Radio Frecuencias. Es absolutamente necesario ser cuidadosos en el diseño para que la frecuencia de operación no se encuentre en las cercanías de la frecuencia de resonancia de algún elemento. A modo de ejemplo veamos el caso de una resistencia. Considerando el modelo equivalente presentado anteriormente, se obtiene la siguiente impedancia equivalente para el elemento:
Se observa que para una frecuencia expresión anterior se vuelve mínimo máximo.
el denominador de la alcanzando Z su valor
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Para visualizar mejor este fenómeno se graficó el módulo de Z en decibeles, en función de la frecuencia; para distintos valores de R. Para ello se considero un condensador parásito de 1 [pF] y una inductancia de 1[nH]. En el mismo gráfico se incluyó la gráfica de una resistencia ideal de 10[Ω]
En general se aprecian tres zonas de comportamiento; en primer lugar, para bajas frecuencias el módulo de la impedancia se mantiene constante tratándose de un comportamiento tipo resistencia. En una segunda zona la impedancia crece con la frecuencia lo que corresponde a un comportamiento tipo inductivo. Pasada la frecuencia de resonancia, la impedancia decrece con la frecuencia tratándose, entonces, de un comportamiento capacitivo. Se observa que el efecto de resonancia cobra mayor importancia para resistencias pequeñas. Como se aprecia en el gráfico, la resistencia de 100[Ω] se comporta relativamente bien hasta los 300[MHz]; en cambio, la resistencia de 1[Ω] tiene un comportamiento no resistivo en todo el espectro analizado. Es posible realizar un análisis similar para los otros elementos [1]. El segundo problema que surge al trabajar en altas frecuencias tiene que ver con una de las simplificaciones que normalmente se realizan para trabajar en electrónica. Es decir, que un elemento se presuponga concentrado. Para que esta aproximación sea valida se debe cumplir que el tamaño físico del elemento en cuestión sea menor que la longitud de onda en que se esta trabajando, en al menos un orden de magnitud. Considerando que la longitud de onda en el vacío de una señal de 10[GHz] es cercana a 3 [cm] se tiene que los elementos a utilizar deben ser de un tamaño menor a 1[mm]. En caso contrario, los elementos deberán ser tratados como elementos distribuidos. 10
Esta limitación ha sido superada a través del desarrollo de elementos cada vez más pequeños para ser usados en RF (Radio Frecuencias). Esto ha sido posible gracias al desarrollo de nuevos materiales con excelentes características eléctricas. De todas formas, es claro que los cables y/o pistas de un circuito impreso deben ser considerados como elementos distribuidos y por tanto ser analizados como línea de transmisión y no como nodos.3
BIBLIOGRAFÍA Sitio web: http://rie.cujae.edu.cu/index.php/RIE/article/view/328/323 http://www.astronomos.cl/conocimientos/avanzado/Informe.pdf • •
Libro: •
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GRAINGER, John J.; STEVENSON., “Análisis de Sistemas de Potencia“
http://www.astronomos.cl/conocimientos/avanzado/Informe.pdf
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