UNIVE UNIVERS RSID IDAD AD ANDI ANDINA NA NEST NESTOR OR CACER CACERES ES VELA VELASQ SQUEZ UEZ FACULTAD DE INGENIERIAS Y CIENCIAS PURAS CARRERA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
TEORÍA DE COLUMNAS, ANÁLISIS DEL EFECTO PI DELTA Y ANÁLISIS DE UNA COLUMNA EN EDIFICIO RESISTENCIA DE MATERIALES II DOCENTE: Ing. Miguel Cordova Cano
INTEGRANTES: 1.- René Oswaldo Mamani Mamani 2.- Wilmer Pachauri Molleapaza 3.- Elvis Huamullo Ccapa 4.- Hubert Jonathan Quispe Mamani 5.- Carlos Juvenal Aracayo Quispe 6.- Jorge Luis Valencia Cusi 7.- Leidy Vanessa Rosas Ramos
SEMESTRE: QUINTO A
JULIACA PERU 2014
1
1
INTR INTROD ODUC UCCI CIÓN ÓN
Una columna en ingeniería estructural es un elemento estructural estructural que transmite, a través través de compresión, el peso de la estructura estructura sobre otros elementos elementos estructurales estructurales que se encuentr encuentran an debajo. Estas pueden ser diseñadas para resistir las fuerzas laterales del viento o de los movimientos sísmicos. Las columnas son frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superiores de las paredes o techos descansan. Las primeras columnas eran construidas de piedras, sacadas de una pieza simple de roca, usualmente rotándolas sobre un aparato parecido a un torno. Otras fueron creadas de múltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco. Las columnas modernas son construidas de acero, concreto vertido o prefabricado, o de ladrillo. Luego pueden ser revestidas en una cubierta arquitectónica o dejadas sin cubrir. En el presente trabajo abordaremos la clasificación y métodos para dimensionar una columna, como vimos en el párrafo anterior este elemento estructural cumple un rol fundamental en edificaciones, es por eso que este modesto trabajo va evocado para a difundir algunos conceptos y metodología de desarrollo de los mismos. Esperando que este trabajo sea del agrado del lector, así también como parte de su aprendizaje o reforzamiento de lo que a continuación se verá.
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Índice 1 INTRODUCCIÓN
2
2 MARCO TEÓRICO 2.1 COLUMNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Columnas Largas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Columnas Intermedias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Columnas cortas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 EXCENTRICIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 COMPORTAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 PANDEO Y ESTABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 CARGA CRÍTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 FÓRMULA DE EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 PARA COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE SUJECIÓN . . . . . . . . 2.7.1 Columna de Doble Empotrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Columna empotrada en un extremo y libre en el otro . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Columna empotrada - articulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 COLUMNAS INTERMEDIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 New York City Building Code: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 American Institute of Steel Construcción: AISC . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 American association of State Highway officials: AASHO . . . . . . . . . . 2.8.4 American Society of Civil Engineers: ASCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 COLUMNAS LARGAS CON CARGAS EXCENTRICAS . . . . . . . . . . . . . . 2.10 FÓRMULA DE LA SECANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 EFECTO PI-DELTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 MEMORIA DE CÁLCULO 3.1 RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 CARACTERISTICAS DE LA EDIFICACIÓN . . 3.3 PARÁMETROS UTILIZADOS EN EL ANÁLISIS 3.4 METRADO DE CARGAS . . . . . . . . . . . . . . 3.5 RESULTADOS OBTENIDOS . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Cálculo de la esbeltez . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Cálculo del Esfuerzo crítico . . . . . . . . . 3.5.3 Cálculo de la carga crítica . . . . . . . . . .
. . .. .. . . . . . . . . . .
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4 ANÁLISIS COMPARATIVO DEL MÉTODO CON ETABS
. . . . . . . .
4 4 4 4 4 5 5 6 7 8 9 9 10 10 11 12 12 12 12 12 13 14 14 14 14 14 15 17 17 17 18 19
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 21 5.1 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2 RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6 BIBLIOGRAFÍA
22
3
2
MARCO TEÓRICO
2.1
COLUMNA
Una columna es un miembro esbelto relativamnete largo cargado a compresión. Esta descripción se planea en términos relativos y no es muy útil para el análisis.
Figure 1: Pandeo de una columna esbelta debido a una carga P de compresión axial. La medida de esbeltez de una columna debe tener en cuenta la longitud, el perfil de la sección transversal y las dimensiones de la columna, ademas de la forma de sujetar los extremos de la columna en las estructuras que generen las cargas y reacciones en la columna. La medida de esbeltez comúnmente utilizada es la relación de esbeltez , definida como ε =
L = ρ
L I /A
Donde: L = Longitud real de la columna entre los puntos de apoyo o de restrcción lateral. ρ = radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna 2.1.1
Columnas Largas
Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor de 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se mayor igual a 100. 2.1.2
Columnas Intermedias
Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se encuentre entre 30 y 100. 2.1.3
Columnas cortas
Las columnas cortas también forman parte de esta clasificación (se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal).
4
Tipos de Columna C. Largas C. Intermedias C. Cortas
Posible falla por Flexión lateral o Pandeo Pandeo + aplastamiento Aplastamiento
Table 1: Muestra los tipos de Columna
2.2 EXCENTRICIDAD Cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es excéntrica y genera un momento adicional que disminuye la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los extremos de la columna debido a varios factores, hace que la carga no actúe en el centroide de la columna (véase Figura 2). Esta relación del momento respecto a la carga axial se puede expresar en unidades de distancia según la propiedad del momento3, la distancia se denomina excentricidad. Cuando la excentricidad es pequeña la flexión es despreciable y cuando la excentricidad es grande aumenta los efectos de flexión sobre la columna. e =
M P
Donde: e = excentricidad M = Momento en el extremo P = Carga axial
Figure 2: Excentricidad de la Columna
2.3
COMPORTAMIENTO
Dentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento estructural están: equilibrio, resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación máxima permitida o el esfuerzo máximo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral, el cual es una deflexión que ocurre en la columna (véase Figura 2); cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la deflexión agranda la magnitud del momento flector, creciendo así la curvatura de la columna hasta la falla; este caso se considera inestable. Por ello la resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas cortas y el de estabilidad para columnas largas (véase Figura 1). La estabilidad es así el nuevo parámetro que define además de la resistencia y la rigidez. 5
Figure 3: Disminución del esfuerzo de trabajo a compresión según la esbeltez de la columna.
Figure 4: Pandeo de una estructura idealizada que consiste en dos barras rígidas y un resorte rotacional.
2.4
PANDEO Y ESTABILIDAD
Para ilustrar los conceptos fundamentales de pandeo y estabilidad, analizaremos una estructura idealizada, o modelo de pandeo, como se muestra en la figura 3.a. Esta estructura hipotética consiste en dos barras rígidas AB y BC, cada una con longitud L/2, unidas en B por un pasador y mantenidas en posición vertical por un resorte rotacional con rigidez β R . 1 Esta estructura idealizada es análoga a la columna de la figura 1.a, debido a que las dos tienen apoyos simples en los extremos y están comprimidas por una carga axial P. Sin embargo, la elasticidad de la estructura idealizada está “concentrada” en el resorte rotacional, en tanto que una columna real 1
La relación general para un resorte rotacional es M βR θ , donde M es el momento que actúa sobre el resorte, β R es la rigidez a la rotación del resorte y θ es el ángulo que gira el resorte. Por tanto, la rigidez a la rotación tiene unidades de momento divididas entre un ángulo, como lb-in/ rad o Nm/rad. La relación análoga para un resorte traslacional βδ , donde F es la fuerza que actúa sobre el resorte, β es la rigidez a la traslación del resorte (o constante del es F resorte) y δ es el cambio de longitud del resorte. Así, la rigidez a la traslación tiene unidades de fuerza divididas entre una longitud, como lb/in o N/m. =
=
6
puede flexionarse en toda su longitud (figura 1.b). En la estructura idealizada las dos barras están perfectamente alineadas y la carga axial P tiene su línea de acción a lo largo del eje longitudinal (figura 3.a). En consecuencia, el resorte inicialmente no está sometido a esfuerzo y las barras están en compresión directa. Ahora suponga que la estructura es perturbada por alguna fuerza externa que causa que el punto B se mueva una distancia pequeña en sentido lateral (figura 3.b). Las barras rígidas giran ángulos pequeños u y se desarrolla un momento en el resorte. El sentido de este momento tiende a regresar la estructura a su posición recta original y por tanto se denomina momento restitutivo. Sin embargo, al mismo tiempo la tendencia de la fuerza axial de compresión es aumentar el desplazamiento lateral. Por tanto, estas dos acciones tienen efectos opuestos: — el momento restitutivo tiende a disminuir el desplazamiento y la fuerza axial tiene a aumentarlo. A continuación considere qué sucede cuando se elimina la fuerza perturbadora. Si la fuerza axial P es relativamente pequeña, la acción del momento restitutivo prevalecerá sobre la acción de la fuerza axial y la estructura regresará a su posición inicial recta. En estas condiciones, se dice que la estructura es estable. No obstante, si la carga axial P es grande, el desplazamiento lateral del punto B aumentará y las barras girarán ángulos cada vez mayores hasta que la estructura se colapsa. Ante estas condiciones, la estructura es inestable y falla por pandeo lateral.
2.5
CARGA CRÍTICA
La transición entre las condiciones estable e inestable ocurre para un valor especial de la fuerza axial conocido como carga crítica (identificada con el símbolo P ct ). Podemos determinar la carga crítica de nuestro modelo de pandeo al considerar la estructura en la posición perturbada (figura 3.b) e investigar su equilibrio. Primero se considera toda la estructura como un cuerpo libre y se suma momentos con respecto al apoyo A. Este paso conduce a la conclusión de que no hay reacción horizontal en el apoyo C. Segundo, consideramos la barra BC como un cuerpo libre (figura 3.c) y se observa que está sometida a la acción de las fuerzas axiales P y al momento M B en el resorte. El momento M B es igual a la rigidez a la rotación β R por el ángulo de rotación 2θ del resorte; por tanto M B = 2β R θ
Como el ángulo es muy pequeño, el desplazamiento lateral del punto, se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio al sumar momentos con respecto al punto B para la barra BC (figura 3c): M B − P
θL 2
=0
θ = 0
si se sustituye en M B = 2β R θ se tiene:
2β R −
PL 2
esta ecuación tiene dos soluciones triviales, donde de una solución se despeja P, que es la carga crítica
P cr =
4β R L
Si la carga axial es menor que P cr , el efecto del momento en el resorte predomina y la estructura regresa a la posición vertical después de una perturbación pequeña; si la carga axial es mayor que P cr , el efecto de la fuerza axial predomina y la estructura se pandea: Si P < P cr , la estructura es estable. Si P > P cr , la estructura es inestable. 7
De la ecuación de carga crítica observamos que la estabilidad de la estructura se incrementa al aumentar su rigidez o disminuir su longitud . Más adelante en este capítulo, cuando determinemos las cargas críticas para varios tipos de columnas, veremos que estas mismas observaciones también son válidas.
2.6 FÓRMULA DE EULER En el año 1757, el matemático Suizo Leonard Euler hizo un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basada en la ecuación diferencial de la elástica.
Figure 5: Diagrama de la columna esbelta La figura muestra la línea media de la columna en equilibrio bajo la acción de la carga crítica P. Se supone supone que la columna tiene sus extremos articulados. La flecha máxima δ es lo suficientemente mequeña para que no exista diferencia apresiable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre su eje vertical. En estas condiciones la pendiente dy/dx es pequeña y puede aplicarse: d2 y EI 2 = M = P ( −y) = dx
−P y
Podemos escribir la ecuación: d EI dx
dy dx
= −P y
Multiplicando por 2dy
dy EI dx
2
= −P y 2 + C 1
De acuerdo ala figura para dy/dx = 0, y = δ sustituyendo en la ecuación anterior entonces: C 1 = P δ 2 : EI
2
dy dx
= P δ 2 − y 2
8
dy = dx
P 2 (δ − y2 ) −→ EI
Integrando:
dy
− δ 2
y2
=
P dx EI
y = x δ
P + C 2 EI
Por condición de inicial y = 0 para x = 0 entonces C 2 = 0
y = δ x
P EI
Si y = 0 para x = L entonces se tiene:
0 = δ L
nπ = L
P =
P EI
P EI
n2 EI π 2 para n = 1, 2, 3...... L2
Luego la carga critica para columnas en bi-articuladas sin arriostramiento sería P K =
2.7 2.7.1
π 2 EI L2
PARA COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE SUJECIÓN Columna de Doble Empotrado
Por simetría, los puntos de inflexión están en los cuartos de luz:
9
Figure 6: Diagrama de una viga doble empotrada Como el momento flector es nulo en estos diagramas de sólidos aislado de la figura indican que la mitad central de la columna doblemente empotrada equivale a una columna articulada en sus extremos de longitud L E = L/2, lo cual reemplazando en la ecuación P K = πLEI se tiene: 2
2
P K =
2.7.2
4π2 EI L2
Columna empotrada en un extremo y libre en el otro
La carga critica es igual que en caso de la doblemente empotrado, pero teniendo en cuenta que es cuatro veces más larga, luego L E = 4L P K =
4EI π 2 4π2 EI = L2E (4L)2
Entonces se tiene: P K =
2.7.3
π 2 EI 4L2
Columna empotrada - articulada
Para este caso se demuestra que el punto de inflexión se presenta a 0.7L del extremo articulado, lo cual se hace comparables nuevamente al caso fundamental. P K =
EI π 2 π 2 EI = L2E (0.7L)2
Entonces se tiene: P K =
2π2 EI L2
10
Para que la fórmula de Euler sea aplicable, la carga que produce en pandeo produce esfuerzos internos, los cuales no deben exceder el límite de proporcionalidad. Para determinar ese esfuerzo reemplazamos en una ecuación genérica de Euler: ρ = radio de giro, luego como ρ = I /A entonces:
I = Aρ 2
Si P =
Kπ 2 EI L2
reemplazando en la ecuación anterior: P Kπ 2 E = 2 A (L/ρ) 2
Kπ E Se sabe que ε = L/ρ entonces P A = ε Sea P = Limte de proporcionalidad= σ entonces L 2
Kπ 2 E −→ ε = π σ = ε2
KE σ
Por debajo del valor obtenido mediante esta expresión la tensión que daría la carga de Euler excedería el límite de proporcionalidad, por lo que la ecuación de Euler no es aplicable.
Figure 7: Diagrama de Euler CONDICIONES DE SUJECIÓN (APOYOS) Extremos Empotrados Empotrado articulado Bi - Articulado Empotrado Libre
K, COEFICIENTES A MULTIPLICAR CASO FUNDAMENTAL 4 9/4 1 1/4
LE = LONG EFECTIVA 1/2 L 0.7 L L 2L
ε LIMITE
(fv = 2 100) 200 150 100 50
2.8 COLUMNAS INTERMEDIAS En el caso de columnas Bi-articuladas de acero (2100) el limite de esbeltez por proporcionalidad es de 100. las columnas que sobrepasan este valor llamadas largas cumplen con la fórmula de Euler. Son columnas cortas si ε < 30. Para las columnas intermedias se han desarrollado una serie de ecuaciones parabólicas empíricas. Las mas conocidas son:
11
2.8.1
New York City Building Code: 60 < ε < 120
ε < 60
2.8.2
2
2
−→ σT = 1055 kg/cm
2
American Institute of Steel Construcción: AISC 120 < ε < 200
ε < 120
2.8.3
kg/cm −→ σT = 1 +1265 ε /18000
kg/cm −→ σT = 1 +1265 ε /18000
2
2
−→ σT = 1955-0.034 ε 2 kg/cm
2
American association of State Highway officials: AASHO
Extremos Remachados σT = 1050 − 0.0175ε2 Extremos Articulados σT = 1050 − 0.0233 ε2 kg/cm
2
2.8.4
American Society of Civil Engineers: ASCE
Para aceros de Alta resistencia σ T =
2.9
1687 1+ε /9000 2
kg/cm2
COLUMNAS LARGAS CON CARGAS EXCENTRICAS P σ Efecto de Esbeltez: = A 1+ε /18000 2
ε2 → σ = P 1+ A 18000
Efecto de Excentricidad: σ =
M V P eV = I Aρ2
P ε2 eV ∴ σ = 1+ + 2 A 18000 ρ
Donde: ε = Esbeltez e = Distancia Excentrica ρ = Radio de Giro Se debe tomar el radio de giro (ρ) según donde se encuentre la excentricidad, para tomar asi el
radio de giro que soporta el momento de flexión.
12
2.10
FÓRMULA DE LA SECANTE
La fórmula de Euler fue deducida suponiendo que la carga P siempre seaplica pasando por el centroide del área transversal de la columna, y que iacolumna es perfectamente recta. En realidad esto no es realista, ya quelas columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicación de la carga se conoce con gran exactitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean de repente; más bien comienza a doblarse, aunque siempre en forma muy insignificante, inmediatamente después de aplicarla carga. El resultado es que el criterio real para aplicación de la carga se limita ya sea a una deflexión especificada de la columna, o no permitiendo que el esfuerzo máximo en la columna rebase un valor admisible. Para estudiar este efecto aplicaremos la carga P a la columna, a una corta distancia excéntrica e del centroide de la sección transversal. Esta carga en la columna es equivalente. Estáticamente a la carga axial P y a un momento de flexión M’= Pe. Como se ve, en ambos casos los extremos A y B están soportados de modo que son libres de girar (están articulados). Como antes, sólo se considerarán pendientes y deflexiones pequeñas, y que el comportamiento del material es elástico lineal. Además, que el plano x-v es plano de simetría para el área transversal. De acuerdo con el diagrama de cuerpo Libre de la sección arbitraria, el momento interno en la columna es M = −P (e+y)
Figure 8: esquema de columna excentrica Se puede considerar que estas columnas de madera están articuladas en su base y empotradas en las vigas en sus extremos superiores. La flexión de las vigas hará que las columnas estén cargadas excéntricamente En consecuencia la deflexión es d2 y EI 2 = M = −P (e + y) dx
Resolviendo: 13
P e.c σmax = 1 + 2 sec A r
L 2
P /EA
2.11 EFECTO PI-DELTA En ingeniería estructural , el efecto P − ∆ o P-Delta se refiere a los cambios bruscos en la planta de cizalla , volcando momento , y / o el axial fuerza de distribución en la base de una estructura lo suficientemente alto o componente estructural cuando está sujeto a una crítica lateral de desplazamiento . El efecto P-Delta es un momento desestabilizador igual a la fuerza de la gravedad multiplicada por el desplazamiento horizontal de una estructura sufre cuando se carga lateralmente. En cierto sentido, el efecto P-Delta es similar a la carga de pandeo de una columna de sólido elástico, a pequeña escala, dadas las condiciones de contorno de un extremo libre en la parte superior y un extremo abstiene por completo en la parte inferior, con la excepción de que pueden existir una carga vertical invariante en la parte superior de la columna.Una varilla firmemente plantados en el suelo, dada una sección transversal constante, sólo se puede extender hasta el momento antes de que las hebillas por su propio peso; en este caso el desplazamiento lateral para el sólido es una cantidad infinitesimal gobernado por pandeo de Euler.
3
MEMORIA DE CÁLCULO
3.1
RESUMEN
El primer paso que se hizo fue eligir la columna a analizar, luego se procedió a metrar las vigas,la loza chata, muro y la loza. En segundo lugar se procedió a elaborar un esquema de la columna a analizar, posteriormente se realizarón los cálculos como: Calculo de Excentricidad •
Por último se hizo un análisis de la columna haciendo uso del programa de estructuras (ETABS)
3.2
CARACTERISTICAS DE LA EDIFICACIÓN
Las caracteristicas de la edificación son la siguientes: Vivienda multifamiliar •
•
El área construida es de 108 m 2
•
La frentera es de 8 m
•
Es de tres niveles
3.3
PARÁMETROS UTILIZADOS EN EL ANÁLISIS
Los parámeros para el análisis de la columna se cosideró lo siguiente: •
La altura de la columna es de 2.40 metrso.
•
La dimensión de la columna es de 0.25 x 0.25 metros.
•
Se cosideró que las columnas no estan aderidas a la pared.
•
En el metrado se tomo en cuenta soló el peso específico de la loza general y no por partes (300 kg/m ) 2
14
3.4 METRADO DE CARGAS
Figure 9: Detalle de aligerados
15
Figure 10: Faracmento de análisis Peso de la viga (Peso específico = 2400 kg/m ) Largo Base Altura P.E. 2400 kg/m kg/m M 0.25 0.35 210 3
3
Peso de la viga chata (Peso específico = 2400 kg/m ) kg/m Largo Base Altura P.E. 2400 kg/m M 0.25 0.20 120 3
3
Peso de los Muros (Peso específico = 1800 kg/m ) kg/m Largo Base Altura P.E. 1800 kg/m M 0.25 2.40 1080 3
3
Peso de la losa (Peso específico = 300 kg/m ) Largo Area considerado P.E. 300 kg/m M Lado izquierdo 10.89 3267 kg 2
2
16
3.5
RESULTADOS OBTENIDOS
3.5.1
Si ε =
Cálculo de la esbeltez L ρ
=
√ L/
I A
Entonces
(0.25)(0.25 ) I = b.h = 0.0003255m4 12 = 12 A = L2 = 0.252 = 0.0625m2 I ρ = A = 0.07216878 3
3
Por lo tanto ε =
2.40 0.07216878
3.5.2
= 33.2554
Cálculo del Esfuerzo crítico
Figure 11: Corte transversal de la columna ( ) Si I x = I y = bh = 0.0003255m4 12 = 12 Entoces el radio de giro es: 3
ρx =
I x A
(0.25) 0.253
= 0.07216878m
Figure 12: Esquema de la columna para tres niveles 17
σcrx =
•
Cálculo del esfuerzo crítico tramo “A”
π 2 E
Le ρx
2
Para una columna empotrada-articulada L e = 0.7L Módulo de elasticidad E = 217000kg/cm Reemplazando datos: 2
σcrx =
•
π 2 (217 000)
0.7(2.4) 0.07216878
Cálculo del esfuerzo crítico tramo “B y C”
2 =
3952.21kg/cm
2
1936.58kg/cm
2
Para la columna bi-articulada L e = L Módulo de elasticidad E = 217000kg/cm Reemplazando datos:
2
σcrx =
π 2 (217 000)
(2.4) 0.07216878
2 =
Esfuerzo crítico total en “X” para la columna entera σcrx = 3 952.21kg/cm + 1 936.58kg/cm + 1 936.58kg/cm 2
2
2
σcrx = 7 825.37kg/cm
2
y obiamente el esfuerzo crítico total en “Y” es el mismo valor pues I x = I y σcry = 7 825.37kg/cm
2
3.5.3
Cálculo de la carga crítica
Si P cr = σcr .A
Entonces: P cr = (7 825.37kg/cm ) . 625cm2 2
P cr = 4 890 856.25kg
18
4
ANÁLISIS COMPARATIVO DEL MÉTODO CON ETABS
Figure 13: Diseño en ETABS
Figure 14: deformación debido a una carga de gravedad
19
Figure 15: efecto pi-delta
20
5
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1 CONCLUSIONES •
Se concluye que los programas como el ETABS ayudan a diseñar columnas con mayor eficiencia.
•
Los cálculos realizados difieren del un poco con los del ETABS.
•
5.2 •
Se concluye que el análisis de una columna es compleja y amplia.
RECOMENDACIONES Se recomienda primero tener conocimiento de los programas de ingenieria como son: ETABS, SAP entre otros para un mejor entendimiento del análisis estructural.
21
6
BIBLIOGRAFÍA
[1] A. Arteaga, P. Iberico: 1988,Resistencia de Materiales Teoria y Problemas Resueltos [2] James M. Gere: 2008, Resistencia de Materiales [3] Robert L. Mott: 1998, Resistencia de Materiales Aplicada [4]Timoshenko: 2006,Mecánica de Materiales
22
