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Maritza de Franco
A Francisco José, Sheryl, Marión, Paola, Constance, Luis Miguel y Miguel.
2
A Francisco José, Sheryl, Marión, Paola, Constance, Luis Miguel y Miguel.
2
AGRADECIMIENTOS Al Ing. Pedro Rangel por su comprensión, confianza y apoyo, a los bachilleres Daniel Ruiz, Pascual De Ruvo y Priscilla Mendoza sin cuyo esfuerzo y dedicación no hubiese podido realizar este texto y a todos los profesionales y bachilleres que laboran en el Centro de Tecnologías de la Universidad Nueva Esparta, Sede los Naranjos, por estar siempre dispuestos a colaborar.
3
PREFACIO Este trabajo esta diseñado para facilitar el estudio de las “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y Primer Grado” a los estudiantes de matemáticas en las escuelas de computación e ingeniería de la Universidad Nueva Esparta.
A los efectos de lograr el objetivo, se ha tratado de presentar cada uno de los casos en forma sencilla, evitando el uso riguroso del cálculo, introduciendo artificios sencillos, fáciles de comprender y aplicar sin menoscabar la profundidad del tema.
A la presentación teórico práctica del objeto de estudio le sucede un problemario que presenta los ejercicios resueltos en tres partes de manera que el estudiante vaya logrando etapas en la medida que avanza en la resolución del ejercicio.
Este trabajo constituye una recopilación de información que pretende orientar y estimular a todo estudiante del tercer curso de matemática a fin de permitirle adquirir la destreza necesaria en el manejo de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y Primer Grado.
4
ÍNDICE
Pág. Ecuaciones Diferenciales
6
Ecuaciones Diferenciales Separables
8
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
12
Ecuaciones Diferenciales Con Coeficientes Lineales
21
Ecuaciones Diferenciales Exactas
25
Ecuaciones Diferenciales Transformables a Exactas
31
Ecuaciones Diferenciales Lineales
35
Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
40
Ecuaciones Diferenciales de Ricatti
45
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales
50
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Separables
51
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
58
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Con Coeficientes Lineales
67
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Exactas
71
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Transformables a Exactas
81
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Lineales
97
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
105
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Ricatti
117
Bibliografía
126
5
ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación se llama diferencial porque contiene una o más derivadas ó diferenciales. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. En este trabajo se estudiarán las Ecuaciones diferenciales Ordinarias, que son aquellas que contienen una o más derivadas de una función de una sola variable independiente.
Las ecuaciones diferenciales también se pueden clasificar por el orden y el grado.
El
orden
de
una ecuación
diferencial
es
el
de
la
mayor
derivada involucrada en la expresión y el grado el de la potencia de la derivada de mayor orden.
Este estudio se centrará en las ecuaciones diferenciales ordinarias de Primer Orden y Primer Grado, es decir ecuaciones que contienen funciones que se han derivado una sola vez, con respecto a una variable independiente y dicha derivada está elevada a la potencia uno.
Ejemplos:
a)
∂ y ∂ x
b) x
=
∂ y ∂ x
x − y x + y
− y − xsen
y x
=0
En las funciones de ambos ejercicios se derivó la variable " y " con respecto a la variable " " una sola vez
∂ y ∂ x
y esa derivada está elevada a la potencia
unidad.
6
Si en el ejercicio " b " se despeja
b)
∂ y ∂
=
y x
+ sen
∂ y ∂
, la ecuación queda como sigue:
y x
En general suele expresarse una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado de la siguiente manera:
1)
∂ y ∂
= f ( x. y ) ⇒ y`= f ( x. y )
2) M ( x. y )dx + N ( x. y )dy = 0
La primera ecuación está dada en forma explícita, es decir se expresa claramente
que la función " y "
fue derivada con
respecto a la variable
independiente " x ", y la solución debe expresarse de la misma forma.
La segunda ecuación está dada en forma implícita, es decir no señala cual es la variable independiente, por lo tanto dicha variable puede elegirse a conveniencia y la solución debe darse también en forma implícita.
Existen diferentes métodos para resolver este tipo de ecuaciones, en este trabajo se presentarán los métodos de solución de
las ecuaciones
diferenciales: Separables, Homogéneas, Con Coeficientes Lineales, exactas, Lineales, de Bernoulli y de Riccati.
7
ECUACIONES DIFERECIALES SEPARABLES
También llamadas de variables separables, si la ecuación está expresada de la siguiente forma: ∂ y ∂ x
= f ( x. y )
f ( x. y ) es una constante o una función sólo de " x ", entonces dicha ecuación sería
equivalente a
∂ y ∂
= f ( x ) ,
puede resolverse integrando directamente ambos lados
de la ecuación, usando los métodos ordinarios de integración.
Si en la ecuación M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0 , se puede escribir " M " como una función solo de " " y " N " como una función solo de " y ", se obtendría de manera
equivalente
M ( x)dx + N ( y)dy = 0 , la cual se llama ecuación de
variables separables ya que puede escribirse también así:
M ( x)dx = − N ( y)dy
y su solución se obtiene integrando directamente ambos miembros de la ecuación así:
∫ M ( x )dx = − ∫ N ( y)dy + C ó ∫ M ( x)dx + ∫ N ( y)dy = C
Está solución se llama " Solución General de la Ecuación Diferencial"
La constante de integración se escribe de la forma más conveniente, así en muchos ejercicios, múltiplos de constantes o combinaciones de constantes suelen sustituirse por una sola constante.
8
Ejemplo 1: x 2 dx + 3 ydy = 0
La
estructura
de
M ( x) dx + N ( y ) dy = 0 ;
esta
por lo
ecuación
tanto la
encaja
solución
dentro puede
de
la
fórmula:
obtenerse aplicando
directamente los métodos de integración ya conocidos.
∫ x 2 dx + ∫ 3 ydy = 0 3
x
+
3 y 2
3
2
= C
Ejemplo 2:
∂ y ∂ x
=
5 x2 + 3 2 y
Haciendo transposición de términos la ecuación puede escribirse como: 2 ydy = (5 x 2 + 3) dx
Integrando miembro a miembro queda:
∫ 2 ydy = ∫ (5 x 2
+ 3) dx
2 ∫ ydy = 5 ∫ x 2 dx + 3 ∫ dx 2 y 2 2
=
5 x 3 3
+ 3 x + C
5 y 2 = x 3 + 3 x + C 3
Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden comprobarse, si se deriva la función obtenida, debe encontrarse la ecuación original, así procediendo a derivar la solución anterior, se tiene:
9
5 2 2 ydy = 3 x + 3 dx 3 2 ydy = (5 x + 3)dx → 2
dy dx
=
5 x 2 + 3 2 y
Solución Particular de una Ecuación Diferencial
Si se suministran condiciones iniciales en el ejercicio propuesto, entonces será posible encontrar la solución particular de la ecuación diferencial.
Ejemplo 3:
Hallar la solución particular de la ecuación diferencial:
y
dy dx
x
−e = 0
Sujeta a la condición inicial:
y (0) = 4 , es decir y = 4 cuando x = 0 y
dy dx
x
=e
ydy = e x dx
Integrando miembro a miembro, se obtiene la solución general.
y 2 2
x
= e + C
10
Para obtener la solución particular se sustituyen los valores de " x " y de " y " de la siguiente manera:
42 2
0
= e + C → 8 = 1 + C → 8 − 1 = C
7 = C
Luego la solución particular es:
y 2 2
x
=e +7 →
y 2 2
x
−e = 7
y 2 − 2e x = 14
11
ECUACIONES DIFERECIALES HOMOGÉNEAS
La ecuación diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 es homogénea sí M y N son funciones homogéneas del mismo grado, o también si la ecuación puede escribirse como:
dy dx
= f ( y / x )
ó en su forma equivalente
dx dy
= f ( x / y )
Definición de función Homogénea:
Sea la función Z = f ( x, y) , se dice que es homogénea de grado " n " si se verifica que f (tx, ty ) = t n f ( x, y ) ; siendo " n " un número real. En muchos casos se puede identificar el grado de homogeneidad de la función, analizando el grado de cada término:
Ejemplo: f ( x, y ) = x 2 y 2 + 5 x 3 y + 4 y 4
f ( x, y ) consta de tres términos, el grado de cada término se obtiene
sumando los exponentes de las variables, así: x 2 y 2 → 2 + 2 = 4 ; 5 x 3 y → 3 + 1 = 4 ; 4 y 4 → 4 = 4 . Todos los términos tienen grado cuatro por lo tanto f ( x, y) es
homogénea de grado cuatro.
Ejemplos:
a)
f ( x, y ) = x 2 y 2 + 5 x 3 y − y 4 , aplicando la definición se tiene: 2
2
3
4
f (tx, ty ) = (tx ) (ty ) + 5(tx ) (ty ) − (ty )
f (tx, ty ) = t 4 x 2 y 2 + 5t 4 x 3 y − t 4 y 4
12
f (tx, ty ) = t 4 ( x 2 y 2 + 5 x 3 y − y 4 ) f (tx, ty ) = t 4 f ( x, y)
Por lo tanto la función es homogénea de grado 4.
b)
f ( x. y ) =
3 x 2 5 y
f (tx.ty ) =
2
3(tx )
2
5(ty )
2
=
3t 2 x 2 5t 2 y 2
=
3t 0 x 2 5 y 2
3 x 2 f (tx.ty ) = t 2 5 y 0
f (tx, ty ) = t 0 f ( x, y )
Entonces la ƒ(x ,y) es Homogénea de grado 0.
c)
f ( x, y ) = 5 xy + 3 x , No es una función homogénea ya que: f (tx, ty ) = 5(txty ) + 3tx f (tx, ty ) = 5t 2 xy + 3tx f (tx, ty ) = t (5txy + 3 x ) ≠ t n (5 xy + 3 x ) f (tx, ty ) ≠ t n f ( x, y )
Si se determina que en la ecuación M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 ; M y N son funciones homogéneas del mismo grado, o si la ecuación puede escribirse como:
dy dx
= f ( y / x )
ó en su forma equivalente
dx dy
= f ( x / y )
13
El cambio de variable
y = v.
ó
= v. y
transforma la Ecuación
Homogénea en Ecuación Separable
Ejemplo 1: xy 2 y´= x 3 + y 3
Rescribiendo la ecuación se tiene: xy 2
dy dx
3
= x + y
3
xy 2 dy = ( x 3 + y 3 )dx
Transponiendo los términos se tiene:
( x
3
3
)
2
+ y dx − xy dy = 0 ,
donde M = ( x 3 + y 3 ) y N = − xy 2
M y N son funciones homogéneas de grado 3.
Probando: Sea M = f ( x, y ) entonces: f (tx, ty) = (tx) 3 + (ty ) 3 f (tx, ty) = t 3 x 3 + t 3 y 3 f (tx, ty) = t 3 ( x 3 + y 3 ) f (tx, ty) = t 3 f ( x, y )
Visto de otra manera f ( x, y ) = x 3 + y 3 , ambos términos de la ecuación son de grado 3 por lo tanto f ( x, y ) es homogénea de grado 3.
Sea N = − xy 2 = g ( x, y ) ; entonces: g (tx, ty ) = −(tx)(ty ) 2 g (tx, ty) = −txt 2 y 2 g (tx, ty) = −t 3 xy 2
14
g (tx, ty) = t 3 (− xy 2 ) g (tx, ty) = t 3 g ( x, y )
Por lo tanto "N" es homogénea de grado 3
Se puede enfocar también de la siguiente manera: xy 2 y´= x 3 + y 3 dy
xy 2
dx
dy
x 3
=
dx
3
= x + y
xy
2
+
x = dx y dy
3
y 3 xy
2
2
y x
+
Luego el cambio de variable: y
=v
x
ó
y = v.
Su derivada es: dy = vdx + xdv
Transforma la ecuación en separable xy 2 dy = ( x 3 + y 3 )dx ( xv 2 x 2 )(vdx + xdv) = ( x 3 + (vx ) 3 )dx
x 3 v 2 (vdx + xdv) = ( x 3 + v 3 x 3 )dx x 3 v 3 dx + x 4 v 2 dv = x 3 dx + x 3 v 3 dx
Reduciendo términos semejantes se tiene: x 4 v 2 dv = x 3 dx x 3 4
v 2 dv = dx
15
v 2 dv =
1 x
dx
Integrando se obtiene: 1
∫ v 2 dv = ∫ dx v3
= Inx + C
3
Devolviendo el cambio de variable se tiene:
Si y = v. x entonces: v=
y
y x 3
y 3 3
3
3
= ln x + C
= ln x + C
y 3 = 3 x 3 (ln x + C )
Ejemplo 2:
( xy´− y )arctg
y x
=x
Rescribiendo la ecuación se tiene:
y dy x − y arctg = x x dx
16
Despéjese: dy dx
x x dy dy ⇒ x = x − y = dx arctg y dx arctg y x
dy
1
=
dx
arctg
y
+
+ y
x
y x
x
Se aprecia que: dy dx
y x
= f
El cambio de variable y = v. x ; dy = vdx + xdv Transformará la ecuación en separable:
vdx + xdv
1
=
dx
arctgv
+v
Transponiendo dx : vdx + xdv =
dx arctgv
+ vdx
Simplificando: xdv =
dx arctgv
Transponiendo términos de nuevo:
17
arctgvdv =
dx
Integrando:
a) ∫ arctgvdv = ∫
dx x
Intégrese arctg (v) usando método de integración por partes, comenzando con el cambio de variable se tiene:
Cambio de variable: arctgv = u
Derivando: 1 1+ v2
dv = du
dv = dt
∫ dv = ∫ dt ⇒ v = t
Resulta
∫ arctgvdv = v.arctgv − ∫
v
1+ v2
dv
La integral
∫
v
1+ v2
dv
Se resuelve por: Cambio de variables: 1 + v 2 = z 2v.dv = dz
18
v.dv =
dz 2
Sustituyendo en la integral se obtiene: v
∫
1+ v2
dv =
1 dz
∫
2 z
=
1 2
ln z
Regresando el cambio de variable v
∫
1+ v
2
dv =
1 2
ln 1 + v 2
Por lo tanto la integral 1
∫ arctgv.dv = v.arctgv − ln 1 + v 2 2
Sustituyendo este resultado en la integral (a) se concluye que v.arctgv −
1 2
ln 1 + v 2 = ln x + C
Simplificando y devolviendo el cambio v=
y
Se obtiene: y x
arctg
y x
y x
= ln x + ln 1 +
1 2 2
+ ln C
1
y 2 arctg = ln x1 + 2 C x x x y
y
2
19
x 2 + y 2 arctg = ln x C 2 x x x y
y
y
y
x
y x
arctg
arctg
x
y
2
= ln x
x + y
2
x
2
C
2
= ln x + y C
Buscando la inversa de la función logarítmica resulta: e
y y arctg x x
=
x 2 + y 2 C
20
ECUACIONES DIFERECIALES CON COEFICIENTES LINEALES
Estas ecuaciones diferenciales tienen la siguiente estructura:
( ax + by + c )dx + ( dx + ey + f ) dy = 0
También suelen llamarse ecuaciones diferenciales transformables a homogéneas.
Para resolver estas ecuaciones diferenciales se deben realizar algunos cambios de variables
que permitan eliminar el término independiente del
coeficiente lineal (" c " y " f ") conseguido esto, la ecuación se transforma en homogénea.
Ejemplo 1: dy
=
dx
3 x − y − 9 x + y + 1
Pasos a seguir:
1.
Hacer transposición de términos, de manera de darle la estructura
adecuada. ( x + y + 1) dy = (3 x − y − 9) dx (3 x − y − 9) dx − ( x + y + 1) dy = 0 (3 x − y − 9) dx + ( − x − y − 1) dy = 0
2.
Escribir un sistema de ecuaciones en “h”y “k” con los coeficientes
lineales y encontrar los valores de “h”y “k”.
3h − k = 9 − h − k = 1
21
Al resolver el sistema resulta: h=2 k = −3
3.
Hacer el cambio de variables:
x = u + h y = v + k
4.
es decir,
x = u + 2 → dx = du y = v − 3 → dy = dv
Sustituir los cambios de variables en la ecuación. (3 x − y − 9) dx − ( x + y + 1) dy = 0
Resultando:
[3(u + 2 ) − (v − 3) − 9]du − [u + 2 + v − 3 + 1]dv = 0 Efectuar operaciones y reducir términos semejantes
[3u + 6 − v + 3 − 9]du − [u + v ]dv = 0 (3u − v )du − (u + v)dv = 0 Esta es una ecuación diferencial homogénea; proceder en consecuencia.
5.
Efectuar un nuevo cambio de variable v = u. z dv = u.dz + .du
6.
Hacer la sustitución en la última ecuación obtenida (3u − uz ) du − (u + uz )(udz + zdu ) = 0
7.
Efectuar operaciones hasta transformarla en separable u (3 − z )du = u (1 + z )(udz + zdu )
Al simplificar y reducir términos semejantes resulta: 3du − zdu = udz + zdu + uzdz + z 2 du (3 − 2 z − z 2 ) du = u (1 + z ) dz
Al separar las variables e integrar miembro a miembro se obtiene:
22
du
∫ u
=−
∫
z + 1 2
dz
+ 2 z − 3
(*)
La integral del lado izquierdo es inmediata; la del lado derecho se resuelve por cambio de variables así:
z + 1
∫
2
dz
+2 −3
Por lo tanto; 2
z + 2 z − 3 = t ( 2 z + 2) dz = dt 2( z + 1) dz = dt z + 1 =
dt 2
Al sustituir los cambios en la integral resulta:
dt 1 dt 1 1 2 ∫ 2t = 2 ∫ t = 2 ln t = 2 ln z Sustituyendo este resultado en
+ 2 z − 3
e integrando el lado izquierdo de esa
ecuación se obtiene:
1 ln u = − ln z 2 + 2 z − 3 + ln C 2
8.
Aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión ln u +
1 2
2
ln z + 2 z − 3 = ln C 1
2
ln u( z + 2 z − 3) 2 = ln C 1 2
u( z + 2 z − 3) 2 = C
23
Elevar al cuadrado ambos miembros u 2 ( z 2 + 2 z − 3) = C
Donde C 2 ≈ C luego: u 2 ( z 2 + 2 z − 3) = C
9.
Revertir todos los cambios de variables y simplificar
v 2 ( x − 2) 2 u 2
+2
v u
( y + 3) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2
( y + 3) 2 ( x − 2) 2
− 3 = C
+
2( y + 3) x − 2
− 3 = C
+ 2( x − 2)( y + 3) − 3( x − 2) 2 ( x − 2)
2
= C
2 2 ( y + 3) + 2( x − 2)( y + 3) − 3( x − 2) = C
Solución General.
24
ECUACIONES DIFERECIALES EXACTAS
Se dice que una ecuación diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 es exacta si se verifica que:
∂
dy
M ( x. y) =
∂
dx
N ( x. y )
Para resolver este tipo de ecuaciones se procede de la siguiente manera:
1.
Se integra M ( x, y ) con respecto a “x” (cuando se integra con
respecto a “x”, entonces “y” es constante) se reemplaza la constante de integración por una función de “y” (G(y)).
∫
f ( x, y ) = M ( x, y )dy = f ( x, y ) + G( y)
2.
Se deriva la función ƒ(x ,y) + G (y) con respecto a “y”, se iguala con N
(x, y)
∂
dy
f ( x. y ) +
∂
dy
G ( y ) =
∂
dy
N ( x. y )
Al despejar ∂
dy
G( y)
Resulta: ∂
dy
G( y) =
∂
dy
N ( x. y ) −
∂
dy
f ( x. y )
25
3.
Se integra ambos lados de la ecuación anterior con respecto a “y” ,
para obtener el valor de G (y) y se sustituye este resultado en el paso "1".
El ejercicio también puede resolverse comenzando el proceso de integración en el paso " 1 " con respecto a "x".
Ejemplo 1:
( x 2 + y 2 + 2 x ) dx + 2 xydy = 0 M ( x, y ) = x 2 + y 2 + 2 x N ( x, y ) = 2 xy
Es una ecuación diferencial exacta ya que:
∂
dy
∂
M ( x, y) = 2 y
dx
N ( x, y ) = 2 y
Luego
∂
dy
M ( x, y) =
∂
dx
N ( x, y )
Se procede a seguir los pasos de "1" a "3".
1.
Se integra M ( x, y) con respecto a “ x ”
∫
∫
∫
∫
∫
f ( x, y ) = M ( x, y)dx = ( x2 + y 2 + 2 x)dx = x 2 dx + y 2 dx + 2 xdx
f ( x, y ) =
x 3 3
2
+ xy +
2 x 2 2
+ G ( y )
26
2.
Se deriva con respecto a "y" ∂
dy
f ( x, y ) = 2 xy +
∂
dy
G( y)
Se iguala a N ( x, y)
∂
dy
f ( x, y ) =
2 xy +
∂
dy
∂
dy
N ( x, y )
G ( y ) = 2 xy
Despejando se obtiene:
∂
dy ∂
dy
3.
G ( y ) = 2 xy − 2 xy
G ( y ) = 0
Se integra el resultado anterior con respecto a “y” para obtener:
∂
∫ dyG( y) = ∫ 0dy → G( y) = C Se sustituye G(y) en " 1" obteniéndose
f ( x, y ) =
x 3 3
2
2
+ xy + x + C = 0
27
Ejemplo 2:
2 x
dx +
y 3
y 2 − 3 x 2 y 4
M ( x, y ) = ∂M
dy ∂ N
dx
= 2 x
=
∂
dy = 0
2 x
N ( x, y ) =
y 3 ∂
dy 1
dx y 2
y 2 − 3 x 2 y
y −3 = 2 x(−3 y − 4 ) = −
3 ∂
−
y 4 dx
x 2 = 0 −
3
y 4
4
=
y 2 y
4
−
3 x 2
y
4
6 x
y 4
2 x = −
6 x
y 4
Es una ecuación diferencial exacta ya que
∂
dy
1.
M ( x, y) =
∂
dx
N ( x, y )
Integrar con respecto a "y"
∫
f ( x, y ) = N ( x, y ) dy
1 f ( x, y ) = ∫ 2 y
f ( x, y ) = −
2.
1
+
y
3 x 2 − 4 dy y x 2 y
3
+ G ( x) *
Derivando F ( x, y) con respecto a "x" se tiene:
∂
dx
f ( x, y) =
1 1 ∂ 2 ∂ − + 3 x + G( x ) dx y y dx dx ∂
28
∂
dx
f ( x, y) = 0 +
Igualando
2 x
y 3
+
∂
dx
∂
dx
2 x
y 3
∂
+
dx
G ( x)
f ( x, y ) con M ( x, y) se tiene
G ( x) =
2 x
y 3
Despejando
∂
dx ∂
dx
3.
G ( x) =
2 x y
3
−
2 x y
3
G ( x) = 0
Integrando el resultado anterior con respecto a "x" se obtiene:
∂
∫ G ( x) dx = ∫ 0dx + C G ( x) = 0 + C
Sustituyendo el resultado obtenido en " * " se tiene:
f ( x, y ) = −
1
y
+
x 2 y 3
+ C = 0
ó en su forma equivalente 2
x f ( x, y ) = − + 3 = C y y 1
29
2
f ( x, y ) =
− y + x
y
3
2
=
y 3C y
3
f ( x, y ) = x 2 − y 2 = y 3C
30
ECUACIONES DIFERECIALES TRANSFORMABLES EXACTAS
Algunas ecuaciones diferenciales M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0 pueden resultar no ser exactas, es decir no se cumple que:
∂
dy
M ( x, y) =
∂
dx
N ( x, y )
Pero si se da el caso de que:
d d M ( x, y ) − N ( x, y ) = h( x) N ( x. y) dy dx 1
es una función solamente de “x”, entonces e ∫
h ( x ) dx
es un factor integrante; es decir,
si se multiplica M ( x, y )dx + N ( x, y)dy por dicho factor, la ecuación se transforma en una ecuación diferencial exacta.
De la misma manera sí:
d d N x y M x y ( , ) ( , ) − = k ( y) M ( x, y) dx dy 1
es una función solamente de " y" entonces e ∫
k ( y ) dy
es un Factor
Integrante de la ecuación diferencial.
Ejemplo 1:
y x
dx + ( y 3 − ln x )dy = 0
31
d dy
M ( x, y) =
1
d
x
dx
N ( x, y ) = −
1
No resulta ser una ecuación diferencial exacta; probando a conseguir un factor integrante: k ( y ) =
d d N ( x, y ) − M ( x, y ) M ( x, y ) dx dy
k ( y ) =
x 1 1 x 2 − − = − y x x y x
1
k ( y ) = −
2 y
−2
Por lo tanto e
−2
e
dy
∫ y
, es un factor integrante
dy
∫ y
=e
− 2 ln y
=e
ln y − 2
1
=
y
2
Multiplicando la ecuación por el factor obtenido resulta:
y 3 dx + 2 2 y x y 1 y
1 xy
dx + y −
−
ln x
dy = 0 2 y
ln x
dy = 0
y 2
Probando el criterio de exactitud: d dy
M ( x, y ) = −
1
d
xy 2
dx
N ( x, y ) = −
1 xy 2
Por lo tanto se obtuvo una ecuación diferencial exacta, Procediendo según este caso: 1.
1
1
dx
∫ xy dx = y ∫ x
=
1 y
ln x + G ( y ) *
32
2.
Derivando ( 1) con respecto a " y" e igualando con "N " −
1 y 2
ln x + G`( y ) = y −
ln x y 2
Simplificando se obtiene: G `( y ) = y
Integrando miembro a miembro
∫ G`( y)dy = ∫ y.dy G( y) =
y 2 2
+ C
Sustituyendo este resultado en " * " resulta: f ( x, y ) =
1
y
ln x +
y 2 2
+ C = 0
Ejemplo 2: (e y + e− x ) dx + (e y + 2 ye− x )dy = 0)
d dy d dy
d
M ( x, y ) = e y
M ( x, y) ≠
d dx
dx
N ( x, y ) = −2 ye− x
N ( x, y )
Entonces f ( x, y) no es una ecuación diferencial exacta, probando a conseguir un factor integrante: h( x) =
h( x) =
d d M ( x, y ) − N ( x, y ) N ( x, y ) dy dx 1
e y + 2 ye − x e y + 2 ye − x
=1
33
Luego h( x) en función de solo " x", por lo tanto
e ∫
h ( x ) dx
es un factor
integrante f . I = e ∫ = e x dx
Multiplicando la ecuación por el factor integrante e x se obtiene:
(e y e x + e − x .e x ) dx + (e y e x + 2 ye − x e x ) dy = 0 (e y e x + 1) dx + (e y e x + 2 y )dy = 0
d dy
d
M ( x, y ) = e y e x
dx
N ( x, y ) = e y e x
Resulta una ecuación diferencial exacta, procediendo en consecuencia: 1.
∫ (e e
y x
y
x
+ 1)dx = e e + x + G ( y ) *
2. Derivando el resultado con respecto a " y " e igualando " N " resulta: e y e x + G `( y) = e y e x + 2 y
Reduciendo términos semejantes se obtiene: G`( y ) = 2 y
Integrando miembro a miembro
∫ G`( y) = ∫ 2 ydy G( y) = y 2 + C
Sustituyendo en " * " se obtiene: f ( x, y ) = e y e x + x + y 2 + C = 0
34
ECUACIONES DIFERECIALES LINEALES
Si una ecuación diferencial M ( x, y)dx + N ( x, y) = 0 , puede escribirse de la dy forma
+ P ( x) y = Q( x) ó en forma equivalente y`+ P ( x) y = Q( x) entonces
dx
recibe el nombre de " Ecuación Diferencial Lineal”.
Si se multiplica ambos lados de la ecuación por un factor integrante de la forma e ∫
p ( x ) dx
y se integra miembro a miembro la solución es inmediata, es decir
y +` P ( x) y = Q( x)
1.
Multiplíquese ambos lados por e ∫
p ( x ) dx
ye ∫
p ( x ) dx
+ P ( x) ye
∫ p ( x ) dx
=e
:
∫ p ( x )dx Q( x)dx
El primer miembro de la ecuación no es otra cosa que la derivada con respecto a " x" del producto y e ∫
p ( x ) dx
2.
3.
∂
dx
ye ∫
P ( x ) dx
= Q( x )e
∫ P ( x ) dx
Integrando miembro a miembro se obtiene: ye ∫
P ( x ) dx
=
Q ( x) e ∫
∫
P ( x ) dx
dx + C
Solución de la Ecuación Diferencial
De la misma manera la ecuación puede escribirse como:
35
x`+ P ( y ) x = Q( y )
El factor integrante tendría la forma
e ∫
p ( y ) dy
y la solución vendría dada
como: xe ∫
P ( y ) dy
=
Q( y )e ∫
P ( y )dy
∫
dy + C
Ejemplo 1: dy dx
+2
y x
=x
3
ó en su forma equivalente
2 y `+ y = x 3 x
1.
Identificar P (x) y Q ( x ) P ( x) =
2.
2
Q( x) = x 3
Encontrar el factor integrante 2
F . I = e
3.
∫ P ( x ) dx
=e
∫ x dx
=e
2 ∫
dx x
=e
2 ln x
=e
ln x 2
=x
2
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el factor integrante
se obtiene: 2 y ` x 2 + x 2 y = x 3 x 2 x y ` x 2 + 2 xy = x 5
El primer miembro de la igualdad no es otra cosa que la derivada con respecto a " x" del producto y x², por lo tanto integrando miembro a miembro se tiene:
36
d
∫ dx ( y` x 2
yx =
x
2
) ∫
5
+ 2 xy = x dx
6
6
+ C
Solución de la ecuación diferencial.
Haciendo el procedimiento más simple, se puede trabajar de la siguiente manera:
2 y `+ . y = x 3 x
1.
Identificar P ( x ) y Q ( x )
2.
Encontrar el factor integrante, en este caso x²(como se obtuvo en el
paso dos).
3.
Aplicar directamente la fórmula ye ∫
P ( x )dx
=
∫
e ∫
P ( x ) dx
Q( x) dx + C , obteniendo:
∫
yx 2 = x 2 x 3 dx + C
∫
yx 2 = x 5 dx + C
2
yx =
x
6
6
+ C
37
Ejemplo 2: xy`+2 y = 3 x
Recuérdese que para que la ecuación sea lineal debe tener la siguiente estructura: y ` P ( x ) y = Q ( x) , donde y ' denota la derivada de " y" con respecto a "x", por lo tanto, la ecuación dada no lleva esa estructura pero si se dividen ambos lados de dicha ecuación por la variable "x" se obtiene: y `+
2
y=3
Siguiendo los pasos: 2
1.
P ( x) =
2.
Buscando el Factor Integrante. 2
e
3.
∫ x dx
Q ( x ) = 3
2
=e
dx
∫ x
=e
2 Inx
=e
Inx 2
= x
2
Aplicando la fórmula: ye ∫
P ( x ) dx
=
e ∫
∫
P ( x ) dx
Q ( x )dx + C
∫
yx 2 = x 2 (3)dx + C
∫
yx 2 = 3 x 2 dx + C
2
yx =
y =
x 3 x 2
3 x 3 3
+
+ C
C x 2
y = x + Cx − 2
38
Ejemplo 3: yx`− x = y
x' denota la derivada de "x" con respecto a "y", dividiendo ambos lados de la ecuación entre "y" se obtiene:
x`−
y
1
Q( y ) = 1
y
Obteniendo el Factor Integrante: P ( y ) dy e ∫
3.
x =1
P ( y ) = −
1.
2.
1
−
=e
1
∫ y dy
=e
− Iny
=e
ln y −1
= y
−1
=
1 y
Aplicando la fórmula: xe ∫
P ( y ) dy
x
x
1 y 1 y
=
=
∫ e
P ( y ) dy
Q( y ) dy + C
1
∫ y (1)dy + C
= ln y + C
Despejando " x" se obtiene: x = y ln y + Cy
39
ECUACIONES DIFERECIALES DE BERNOULLI
Una ecuación diferencial de Bernoulli tiene la siguiente estructura:
∂ y ∂
+ P ( x ) y = Q ( x ) y
n
También puede escribirse como y `+ P ( x) y = Q( x ) y n
Esta ecuación diferencial puede transformarse en lineal si se divide miembro a miembro
entre y n , y haciendo luego un cambio de variable.
Procediendo como se indica, se obtiene:
y ` y n
+ P ( x)
y y n
= Q ( x )
y n y n
1) y − n y + P ( x) y 1− n = Q( x) ι
Haciendo el cambio de variable
y 1−n = w ,
y derivando parcialmente con
respecto a " x" resulta:
(1 − n) y 1− n−1 y`= w` , es decir (1 − n) y − n y`= w`
Multiplicando miembro a miembro la ecuación (1) por (1- n) se obtiene: (1 − n) y − n y`+(1 − n) P ( x) y 1− n = (1 − n)Q ( x)
Sustituyendo en esta expresión el cambio de variable, puede escribirse como:
w`+ (1 − n) P ( x ) w = (1 − n)Q ( x )
40
Que es una ecuación lineal en " w ", ya que (1 - n) es una constante.
Ejemplo 1: y `− y = e 2 x y 3 , dividiendo entre y 3
1 y 3
y `−
y y 3
=e
2 x
y 3 y 3
y −3 y `− y −2 = e 2 x (1)
Hágase el cambio de variable y 1− n = w , y derívese parcialmente con respecto a "x”. En este caso n = 3 (exponente de " y " en el ejemplo dado) quedando:
Cambio de Variable: y 1−3 = w , es decir y −2 = w
Derivando con respecto a " x" −3
− 2 y y`= w`
Multiplicando la ecuación (1) por -2 resulta: −3
− 2 y y`+2 y
−2
= −2e
2 x
Sustitúyase el cambio de variable: w`+2w = −2e 2 x
Se obtuvo una ecuación lineal en " w ", procediendo en consecuencia se tiene:
41
Q ( x) = −2e 2 x
P ( x) = 2
Buscando el factor integrante
e ∫
2 dx
=e
2 x
por lo tanto la solución
es: we 2 x = e 2 x (− 2e 2 x )dx + C
∫
we
∫
2 x
= −2 e
w=−
e 2 x
4 x
dx + C
C
+
e 2 x
2
Revirtiendo el cambio de variable y
−2
=−
e 2 x
C
+
2
e
2 x
Este resultado puede expresarse también como: 1
y
=
2
−e
4 x
+ 2C
2e
2 x
Donde 2 C es equivalente a “C”. Obteniéndose mediante el inverso: 2e 2 x
2
y =
C − e 4 x
Ejemplo 2: xy`+6 y = 3xy
1.
4
3
, pasos a seguir:
Dividir entre xy xy` xy
4
3
+
6 y x y 4 3
=
4
3
3 xy xy
4
4
3
3
42
2.
Simplificar y
3.
−4
3
6 −1 y `+ y 3 = 3
Hacer el cambio de variable w= y w`= −
4.
1 3
3
, y calcular
y
−4
3
Sustituir el cambio de variable y multiplicar toda la expresión por − w`−
5.
−1
2
1 3
w = −1
Resolver la ecuación diferencial lineal donde: P ( x ) = −
2
Q ( x) = −1
Factor integrante: e
−2
dx
∫ x
=e
− 2 In x
=e
Inx − 2
=
1
x 2
Resultando: w
6.
2
1 2
1
∫ x
2
dx + C
=
1 x
+ C
Despejar " w " w=
8.
=−
Resolver la integral w
7.
1
x 2
+ Cx
2
Revertir el cambio de variable: y
−1
3
= x + Cx
2
43
9.
Buscar el inverso 1
y y
10.
1
1
= x + Cx
2
3
3
1
=
+ Cx
2
Todavía se puede elevar ambos miembros a la potencia “3” para
obtener: y =
1
( x + Cx )
2 3
44
ECUACIONES DIFERECIALES DE RICCATI
Este tipo de ecuación diferencial tiene la estructura:
∂ y ∂
2
= P ( x) y + Q ( x ) y + R ( x )
o en su forma equivalente y `= P ( x ) y 2 + Q( x) y + R( x)
En la cual si se conoce alguna raíz
S ( x) del polinomio de segundo grado
en “y”, el cambio de variable:
y = S ( x ) +
1
La transforma en una " Ecuación Diferencial Lineal".
Ejemplo 1: y `= y 2 − 2 xy + 1 + x 2
S ( x) = x
Pasos a seguir:
1.
Hacer el cambio de variable y = x +
1 z
Calcular; y´= 1 −
1 z 2
z `
y sustituir en la ecuación diferencial
1 1 − 2 z `= x + z z 1
2
− 2 x x +
1
+1+ x z
2
45
2.
Operar y reducir términos semejantes: 1−
1−
−
1 2
z
z `=
1 z 2
+1
1 z ` = +1−1 z 2 z 2
−
3.
x 1 x 2 2 2 z ` x 2 2 x 2 = + + − − + 1 + x 2 2 z z z z 1
1
1 2
z `=
1 2
z
Despejar z', lo cual se obtiene multiplicando miembro a miembro por 2
− z
z `= −
z 2
z 2 z `= −1
4.
Resolver la ecuación separable :
∫ z ´ = −∫ ∂x 5.
= − x + c
Revertir el cambio de variable despejando " z " de la ecuación: y = x +
1 z
Obteniéndose: y − x = 1
y − x
6.
1
z
= z
Sustituyendo en " 4 " resulta: 1
y − x
= − x + C
46
1
= y − x
− x + C
1
+ x = y
− x + C
Ejemplo 2: dy
4
=−
−
2
dx
1 x
y + y 2
S ( x ) =
2
Pasos a seguir:
1.
Realizar el cambio de variable, y = S ( x ) +
1
es decir, y =
2.
2
Derivar ambos lados de la expresión anterior con respecto a “x” y `= −
3.
1
+
2 x
2
−
1 2
z `
Sustituir los valores de: y e y' en el ejemplo
2 1 − 2 − 2 z `= − 2 − + + + x x z x z x z x 2
4.
1
4
1 2
1
2
Realizar operaciones y reducir términos semejantes 4 2 1 4 4 1 ` = − − − + + + z x 2 z 2 x 2 x 2 xz x 2 xz z 2 1 3 1 − 2 z `= + 2 xz −
2
−
1
47
5.
Multiplicar ambos lados de la ecuación por −
(− z ) z `= − 3 z − 2
2
2
z `= −
6.
3
z 2 2
z − 1
Transponer términos para obtener una ecuación diferencial lineal z `+
7.
−
z
3 x
z = −1
Resolver la ecuación diferencial P ( x) =
3
Q( x) = −1
3
Factor Integrante e
8.
2
∫ x dx
=e
3
dx
∫ x
=e
3 Inx
=e
Inx 3
= x
3
Solución de la ecuación diferencial lineal
∫
zx 3 = − x 3 dx + C 3
zx = − z = − z = −
9.
Si y =
x 4 4
x 4
+ C +
C
3 x 3 4 x x C
+
4
x 3
Revertir el cambio de variable y sustituir en el paso anterior
2
+
1
48
Entonces: y −
2
1
=
x
z
xy − 2 x x
1
=
z
xy − 2 x
= z
=−
xy − 2
10.
x
+
4
C x3
Solución general de la ecuación diferencial:
Despejar "y" en función de "x" x −
x
+
4
C x 3
1 −
x
C
+
4
x
x
C
+
4
x
−
4
+
xy
2
−
x
x
= y −
2 x
3
1 x
=
3
1 −
= xy − 2
C
+
2 x
= y
x 3
49
EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
50
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Separables Ejercicio 1: xy∂ x + (1 + x 2 )∂y = 0
Paso 1: Separar variables x 1 + x
2
∂ x = −
∂ y
y
Paso 2: Integrar el lado izquierdo de la igualdad por cambio de variables y el lado derecho por tablas. 1 2
ln 1 + x 2 = − ln y + c
Paso 3: Transponer términos y aplicar propiedades de los logaritmos
ln 1 + x
(1 +
1 2 2
x
2
+ ln y = ln c
) y
2
= c
Ejercicio 2: xy∂ y = ( y + 1)(1 − x )∂x
Paso 1: Separar variables y y + 1
∂ y =
1 − x x
∂ x
51
Paso 2: integrar ambos lados después de dividir los polinomios
1 1 y 1 − ∂ = ∫ y + 1 ∫ x − 1 ∂x y − ln y + 1 = ln x − x + c
Paso 3: transponer términos y aplicar propiedades de los logaritmos
( y + x ) = ln y + 1 xc e y + x = ( y + 1) xc
Ejercicio 3: ∂ y ∂ x
=
x x 2 + 1 ye y
Paso 1: transponer términos 1
ye y ∂ y = x ( x 2 + 1)2 dx
Paso 2: integrar el lado izquierdo de la ecuación usando métodos de integración por partes y el lado derecho por cambios de variable
e y
( x ( y − 1) =
2
)
+1
3
3 2
+c
Paso 3: transponer términos 3
3( y − 1)e = ( x + 1)2 + c y
2
52
Ejercicio 4:
y ' =
ln x
xy + xy 3
Paso 1: escribir y' como dy
dx
sacar “x” como factor común en el
denominador de la fracción del lado derecho. Separar variables
( y + y )∂ y = ln x ∂x 3
x
Paso 2: integrar el lado izquierdo de la ecuación por tablas y el lado por cambio de variable y 2
+
2
y 4
=
ln 2 x
4
2
+c
Paso 3: sacar mínimo común denominador de ambos lados de la ecuación y aplicar propiedades de los logaritmos 2 y 2 + y 4 = ln 4 x + c
Ejercicio 5: ∂ y ∂t
=
ty + 3t
y(2 ) = 2
t 2 + 1
Paso 1: sacar factor común "t" en el numerador de la fracción del lado derecho y transponer términos para separar variables ∂ y
y + 3
=
t 2
t + 1
∂t
53
Paso 2: integrar el lado izquierdo de la ecuación por tablas y el lado derecho por cambio de variable 1 2
ln y + 3 = ln t + 1 2 + ln c
y + 3
=c
1
(t
)
2
+1
2
Paso 3: aplicar la condición inicial y (2 ) = 2 y + 3
(t
2
1
=
)
+1
2
5 5
Ejercicio 6: ∂ y ∂t
+ y ⋅ Cos (t ) = 0
Paso 1: transponer términos y separar variables ∂ y
y
= −Cos (t )∂t
Paso 2: integrar por tablas ambos lados de la ecuación ln y = − Sen(t ) + c
Paso 3: buscar la inversa de la función logarítmica ce − Sen(t ) = y
54
Ejercicio 7: ∂ y ∂ x
=e
2 x + y +1
Paso 1: rescribir la ecuación ∂ y ∂ x
y +1
2 x
=e e
Paso 2: separar variables e − ( y +1) ∂ y = e 2 x ∂ x
Paso 3: integrar por tablas − 2e
−( y +1)
=e
2x
+c
Ejercicio 8:
2 x
∂ y ∂
=
1− y2
Paso 1: separar variables ∂ y
1 − y 2
=
∂ x
2 x
Paso 2: Integrar lado izquierdo por sustitución trigonométrica (o directamente por tablas); lado derecho por tablas arcseny = x + c
Paso 3: despejar "y"
55
(
y = Sen x + c
)
Ejercicio 9: x 2 y' = 1 − x 2 + y 2 − x 2 y 2
Paso 1: rescribir la ecuación
x 2
x 2
∂ y ∂
∂ y ∂
(
2
) + y (1 − x )
(
2
) + (1 + y )
= 1 − x
= 1 − x
2
2
2
Paso 2: Separar variables ∂ y
1 + y 2
1 − 1∂ x 2 x
=
Paso 3: integrar por tablas ambos lados de la ecuación
Arc tan ( y ) = −
1
− x + c
1 − x + c x
y = tan −
Ejercicio 10: x 2 ⋅ tan ( y )∂ x − sec( x )∂y = 0
Paso 1: Separar variables x 2 ⋅ Cos ( x )∂ x = Cotg ( y)∂y
56
Paso 2: Integrar lado izquierdo de la ecuación usando el método de integración por partes y el lado derecho por tablas. x 2 Sen( x ) + 2 x ⋅ Cos( x ) + 2 ⋅ Sen( x ) = ln sen( y ) + c
Paso 3: Calcular la inversa x 2 Sen( x ) + 2 x ⋅Cos ( x )+ 2 ⋅ Sen( x )+ c
e
= Sen( y )
57
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Ejercicio 1:
x
∂ y ∂
− y =
x 2 + y 2
Paso 1: Hacer transposición de términos x∂ y =
)
x 2 + y 2 + y ∂x
Paso 2: Aplicar el cambio de variable y = vx ∂ y = v∂ x + x∂v
Para obtener: ∂v
1+ v2
=
∂ x
x
Paso 3: Integrar lado izquierdo por sustitución trigonométrica y lado derecho por tablas para obtener, después de revertir el cambio de variable y 2 + x 2 + y = cx 2
58
Ejercicio 2:
( x + y )
∂ y ∂ x
= y
Paso 1: Hacer transposición de términos
( x + y )∂ y = y∂x Paso 2: Aplicar el cambio de variable. y = vx ∂ y = u∂ x + x∂u
Para obtener:
−
∂ x
=
u +1 u2
∂u
Paso 3: Integrar lado izquierdo y derecho por tablas, después dividir ambos términos del numerador de la fracción entre u 2, luego revertir el cambio de variable.
ln y −
x y
=c
Equivalente a: c+
e
x y
= y
59
Ejercicio 3:
x 3
∂ y ∂
2
= x y − y
3
Paso 1: Hacer transposición de términos x 3 dy = ( x 2 y − y 3 )dx
Paso 2: Aplicar el cambio de variable. x = uy
dx = udy + ydu
Para obtener:
u 2 − 1 ∂u = y u
∂ y
Paso 3: Integrar ambos lados de la ecuación por tablas, después de dividir ambos términos del numerador de la función del lado derecho entre "u" para obtener luego de revertir el cambio de variable.
ln y + ln
x y
+ ln c =
x 2 2 y 2
Equivalente a: x 2 2
e 2 y = xc
Ejercicio 4:
x 3 − 2 y 3 + 3 xy 2
∂y ∂
=0
60
Paso 1: Hacer transposición de términos para obtener: 3 xy 2 dy = (2 y 3 − x 3 )dx
Paso 2: Aplicar el cambio de variable y = vx ∂ y = u∂ x + x∂u
Para obtener:
3u 2 ∂u = − 3 x u 1 +
∂ x
Paso 3: Integrar lado izquierdo por tablas y lado derecho por cambio de variable (u 3 + 1 = t ) para obtener, después de revertir el cambio de variable
ln x = − ln
y 3 + x 3 x 3
+ ln c
Equivalente a:
ln x + ln
x
y 3 + x 3
y 3 + x 3 x 3
x 3
= ln c
=c
Equivalente a: y 3 + x 3 = cx 2
61
Ejercicio 5:
( y
2
− x
2
)dx + xydy = 0
Paso 1: Transponer términos y aplicar el cambio de variable y = vx ∂ y = u∂ x + x∂u
Para obtener: ∂ x
=−
u 2u 2 − 1
∂u
Paso 2: Integrar lado izquierdo por tablas y lado derecho por cambio de variable para obtener. 1 ln x = − ln 2u 2 − 1 + ln c 4
Paso 3: Aplicar en propiedades de los logaritmos y revertir el cambio de variable para obtener.
2 y 2 x 2 x 4
− 1 = c
Equivalente a: 2 x 2 y 2 − x 4 = c
Ejercicio 6: t e ( y − t )∂ y + y1 + e y ∂t = 0 t
y
62
Paso 1: Hacer transposición de términos y aplicar el cambio de variable t = uy → dt = udy + ydu para obtener. ∂ y
=−
y
eu + 1 eu + u
Paso 2: Integrar lado izquierdo por tablas y lado derecho mediante el cambio de variables e u + u = z para obtener después de revertir el cambio de variable. ln y = − ln e u + u + ln c
Paso 3: Transponer términos, resolver la ecuación y revertir el cambio de variable para obtener. t y
ye + t = c
Ejercicio 7:
( xy'− y )arctg
y x
=x
Con la condición inicial y (1) = 0
Paso 1: Hacer transposición de términos y el cambio de variable y = ux → dy = udx + xdu para obtener.
arctg u∂u =
∂ x
x
Paso 2: Integrar lado izquierdo aplicando el método de integración por partes y lado derecho por tablas para obtener
u (arctgu ) −
1 2
ln 1 + u 2 = ln x + ln c
63
Equivalente a:
u (arctgu ) =
1 2
ln 1 + u 2 + ln x + ln c
u (arctgu ) = ln 1 + u 2
e
u arctg u
= 1+ u
1 2 2
1
2
xc
xc
Paso 3: Revertir el cambio de variable y considerar la condición inicial para obtener. y
e
x
y arctg x
=
x 2 + y 2
Ejercicio 8: y y y x sen - y cos ∂ x + x cos ∂ y = 0 x x x
Paso 1: Transponer términos y hacer el cambio de variable y = ux → dy = udx + xdu para obtener: ∂ x
=−
cos u sen u
∂u
Paso 2: Integrar por tablas ambos lados de la ecuación para obtener ln x = − ln senu + ln c
64
Paso 3: Transponer términos y revertir el cambio de variable:
xsen
y
=c
Ejercicio 9:
x
∂ y ∂
= y ln
y
Paso 1: Hacer transposición de términos y el cambio de variable y = ux → dy = udx + xdu para obtener; ∂u
u (ln u − 1)
=
∂ x
x
Paso 2: Integrar lado izquierdo haciendo el cambio de variable ln u = t
y
lado derecho por tablas para obtener; ln t − 1 = ln x + ln c
Paso 3: Revertir el cambio de variable en "t" y el cambio de variable en "u" para obtener;
ln
y x
= xc + 1
Equivalente a:
e xc +1 =
y
xe cx +1 = y
65
Ejercicio 10: ∂ y ∂ x
y
= e x +
y
Paso 1: Hacer transposición de términos y el cambio de variable y = ux → dy = udx + xdu udx + xdu = (e u + u )dx
Equivalente a:
e −u ∂u =
dx
Paso 2: Integrar miembro a miembro por tablas: −e
−u
= ln x + ln c
Paso 3: Aplicar propiedades de los logaritmos y revertir el cambio de variable: −
−e
y x
= ln xc
66
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales
Ejercicio 1:
y' =
2 y − x − 5 2 x − y + 4
Paso 1: Hacer transposición de términos para obtener la estructura M ( x, y )dx + N ( x,`y ) = 0
(− x + 2 y − 5)dx + (− 2 x + y − 4 )dy = 0 Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones − h + 2k = 5 − 2h + k = 4
Donde h = −1
k = 2
Efectuar el cambio de variable x = u + h → x = u − 1 → dx = du
y = v + k → y = v + 2 → dy = dv
Sustituir estos valores en la ecuación del paso "1" para obtener la ecuación homogénea.
(− u + 2v )du + (− 2u + v )dv = 0 Paso 3: Resolver dicha ecuación homogénea mediante el cambio de variable.
67
u= v du = zdv + vdz
Se obtiene la ecuación separable z − 2 1 − z 2
∂ z =
∂v
v
Integrando ambos lados de la ecuación y revirtiendo los cambios de variable se obtiene:
( x + y − 1)3
= c ( y − 2)
2
Sugerencia: resuelva
z − 2
∫ 1 −
2
∂ z
usando el método de integración por
fracciones parciales (fracciones simples). Ejercicio 2:
(2 x − y + 1)dx + (− x + 2 y + 1)dy = 0 Paso 1: Resolver el sistema de ecuaciones 2h − k = −1 − h + 2k = −1
Donde h = −1 ; k = −1 Efectuar el cambio de variable; x = u + h
y = v + k
68
es decir, x = u − 1 → dx = du
y = v − 1 → dy = dv
Sustituir estos valores en la ecuación original para obtener la ecuación homogénea.
(2u − v )du + (− u + 2v )dv = 0 Paso 2: Resolver dicha ecuación homogénea mediante el cambio de variable. v = uz dv = udz + zdu
Se obtiene la ecuación separable ∂u
2 z − 1
=−
2
2 z − 2 + 2
u
∂ z
Equivalente a: ∂u
u
=−
1 2 z − 1 2 z 2 − z + 1
Paso 3: Integrar ambos lados de la ecuación separable y revertir los cambios de variable para obtener; x 2 + y 2 + x − y − xy = c
Sugerencia: resuelva la integral
69
∫
2 z − 1 2
− z + 1
∂ z
Efectuando el cambio de variable z 2 − z + 1 = t
(2 z − 1)dz = dt
70
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Exactas
Ejercicio 1: x(6 xy + 5)dx + (2 x 3 + 3 y )dy = 0
Probar el criterio de exactitud ∂M ∂ y
2
= 6 x =
∂ N ∂ x
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x" 5 2 x 3 y + x 2 + G( y ) 2
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo con "N" 2 x 3 + G ' ( y ) = 2 x 3 + 3 y
Paso 3: Despejar G´(y) e integrar con respecto a "y" G ' ( y ) = 3 y
∫
G( y ) = 3 ydy
G( y ) =
3 y 2 2
+c
Sustituir G(y) en el paso "1" Solución general:
71
5 3 2 x 3 y + x 2 + y 2 = c 2 2
Ejercicio 2:
( ye
xy
)
(
+ 2 xy dx + xe
xy
+ x
2
)dy = 0
Probar el criterio de exactitud ∂M
xy
=e
∂ y
+ xye
xy
+ 2 x =
∂ N ∂ x
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
∫ ( ye
xy
)
+ 2 xy dx = e
xy
2
+ x y + G( y )
Paso 2: Derivar con respecto a "y" e igualarlo a "N" xe xy + x 2 + G '( y ) = xe xy + x 2
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar con respecto a "y" G ' ( y ) = 0
∫
G( y ) = 0dy = c
Sustituir G( y ) en el paso "1" Solución general e xy + x 2 y = c
72
Ejercicio 3:
(3 y + e )dx + (3 x + cos y )dy = 0 x
Probar el criterio de exactitud ∂M ∂ y
=3=
∂ N ∂ x
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
∫ (3 y + e )dx = 3 xy + e x
x
+ G( y )
Paso 2: Derivar este resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N" 3 x + G ' ( y ) = 3 x + cos y
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar con respecto a "y" G ' ( y ) = cos y
∫
G( y ) = cos ydy = seny + c
Sustituir el resultado en el paso "1" Solución General 3 xy + e x + seny = c
Ejercicio 4:
(4 x e
3 x + y
4 x + y
+ x e
)
(
4 x + y
+ 2 x dx + x e
)
+ 2 x dy = 0
Sujete a la condición inicial y (0 ) = 1
73
Probar el criterio de exactitud ∂M
4 x 3 e x + y + x 4 e x + y =
∂ y
∂ N ∂ x
Paso 1: Integrar "N" con respecto a "y"
∫ ( x e e 4 x
y
)
4 x
y
2
+ 2 y dy = x e e + y + G( x )
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "x" e igualarlo con "M" 4 x 3 e x e y + x 4 e x e y + G '( x ) = 4 x 3e x e y + x 4 e x e y + 2 x
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar con respecto a "x", luego sustituir la condición inicial y ( 0 ) = 1 . G( y ) = x 2 + c
Solución general x 4 e x e y + y 2 + x 2 = c
Si y (0 ) = 1 entonces la solución particular es: x 4 e x e y + y 2 + x 2 = 1
Ejercicio 5:
(2 xseny + y
e )dx + ( x 2 cos y + 3 y 2 e x )dy = 0
3 x
Probar el criterio de exactitud ∂M ∂ y
2
x
= 2 x cos y + 3 y e =
∂ N ∂ x
74
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
∫
∫
2 seny xdx + y 3 e x dx = x 2 seny + y 3 e x + G( y )
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo con "N" x 2 cos y + 3 y 2 e x + G '( y ) = x 2 cos y + 3 y 2 e x
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar con respecto a "y" G ' ( y ) = 0 G( y ) = c
Sustituir G( y ) en el paso "1" Solución general x 2 seny + y 3 e x = c
Ejercicio 6:
( x
2
cos y + 4 y )
∂ y ∂
+ 2 xseny = −5
Rescribir la ecuación y probar el criterio de exactitud
(2 xseny + 5)dx + ( x 2 cos y + 4 y )dy = 0 ∂M ∂ y
= 2 x cos y =
∂ N ∂ x
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x" 75
∫
∫
2
2 seny xdx + 5 dx = x seny + 5 x + G( y )
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N" x 2 cos y + G ' ( y ) = x 2 cos y + 4 y
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar con respecto a "y" G ' ( y ) = 4 y G( y ) = 2 y 2 + c
Sustituir G( y ) en el paso "1" Solución general x 2 seny + 5 x + 2 y 2 = c
Ejercicio 7:
2 x ye
+
y (0 ) = 1
∂ y + ( y 2 e 2 x − 1)∂x = 0 1 + 4 y y
2
2
Probar el criterio de exactitud ∂M ∂ y
= 2 ye
2x
=
∂ N ∂ x
Paso 1: Integrar M con respecto a "x"
y
2
∫ e
2 x
∫
∂ x − ∂ x =
y 2 e 2 x 2
− x + G( y )
76
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N"
ye 2 x + G '( y ) = ye 2 x +
y 1 + 4 y 2
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar con respecto a "y"
G' ( y ) =
G( y ) =
y 1 + 4 y 1 8
ln 1 + 4 y 2 + c
Sustituir G( y ) en el paso "1" Solución general:
4 y 2 e 2 x − 8 x + ln 1 + 4 y 2 = c
Solución particular: 4 y 2 e 2 x − 8 x + ln 1 + 4 y 2 = 1 + ln 2 Ejercicio 8: 2 ysenxydx + (2 xsenxy + y 3 )dy = 0
Probar el criterio de exactitud ∂M ∂ y
= 2sen xy + 2 xy cos xy =
∂ N ∂ x
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
∫
2 y senxydx = −2 cos xy + G( y )
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N"
77
2 xsenxy + G '( y ) = 2 xsenxy + y 3
Paso 3: Despejar G ' ( y ) e integrarlo con respecto a "y" G ' ( y ) = y 3
G( y ) =
y 4 4
+c
Sustituir G( y ) en el paso "1" Solución general
− 2cos xy +
y 4 4
=c
Ejercicio 9. cos ydx − ( xseny − y 2 )dy = 0
Probar el criterio de exactitud ∂M ∂ y
= − sen y =
∂ N ∂ x
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "y" e igualarlo a "N"
∫ cos ydx = x cos y + G( ) y
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N" − xseny + G ' ( y ) = − xseny + y
2
Paso 3: Despejar G ' ( y ) e integrar con respecto a "y"
78
G ' ( y ) = y 2
G( y ) =
y 3
+c
3
Sustituir G( y ) en el paso 1 Solución General
x cos y +
y 3 3
=c
Ejercicio 10:
(2 x + 3 y + 4)dx + (3 x + 4 y + 5)dy = 0 Probar el criterio de exactitud ∂M ∂Y
=3=
∂ N ∂
Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"
∫ (2 x + 3 y + 4)dx = x
2
+ 3 xy + 4 x + G( y )
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N" 3 x + G ' ( y ) = 3 x + 4 y + 5
Paso 3: Despejar G ' ( y ) e integrar con respecto a "y" G ' ( y ) = 4 y + 5 G( y ) = 2 y 2 + 5 y + c
79
Sustituir G( y ) en el paso "1" Solución General x 2 + 3 xy + 4 x + 2 y 2 + 5 y = c
80
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Transformables a Exactas
Ejercicio 1: xdx + ydy = ( x 2 + y 2 )dx
Rescribir la ecuación y probar el criterio de exactitud
( x
2
)
2
+ y − x dx − ydy = 0
∂M ∂n
= 2 y ≠
∂N ∂
=0
Paso 1: Buscar un factor integrante M '− N '
=
2 y − 0 − y
N
= −2
− 2 ∂ x FI = e ∫ = e − 2 x
Multiplicar la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud.
( x
2
2
∂M ∂ y
)
+ y − x e
= 2 ye
−2x
−2 x
=
dx − ye −2 x dy = 0 ∂ N ∂ x
Paso 2: Integrar "N" con respecto a "y"
−e
2 x
∫ y∂ y = −
e −2 x y 2 2
+ G( x )
Derivar el resultado con respecto a "x" e igualarla a "M" 81
y 2 e −2 x + G ' ( x ) = x 2 e −2 x + y 2 e −2 x − xe −2 x
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar método de integración por partes). G ' ( y ) = x 2 e −2 x − xe −2 x
Cambios de variables sugeridos para cada una de las integrales: x 2 = u
=u
2 xdx = du −e
dx = du
−2 x
2
−e
=v
G( x ) = −
−2 x
2
x 2 e −2 x 2
=v
+c
Sustituir G( y ) en el paso "2" y simplificar Solución general: −e
−2 x
y 2
2
−
x 2 e −2 x 2
=c
Equivalente a: x 2 + y 2 = ce 2 x
Ejercicio 2. ydx − xdy + ln x dx = 0
Rescribir la ecuación y probar el criterio de exactitud. 82
( y + ln x )dx − xdy = 0 ∂M
=1≠
∂ y
∂ N
dx
= −1
Paso 1: Buscar un factor integrante M '− N '
=
N
1+1 −
=−
2
−2 ∂x 1 FI = e ∫ = 2
Multiplicar la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud.
y 2 x
+
∂M ∂ y
=
ln x
1
∂ x − ∂y = 0 x x 2
1
x 2
=
∂ N ∂ x
Paso 2: Integrar "N" con respecto a "y"
−
1
∫ ∂ y = −
1
y + G( x )
Derivar el resultado con respecto a "x" e igualar a "M" y 2
+ G ' ( x ) =
y 2
+
ln x 2
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar método de integración por partes).
83
G' ( x ) =
ln x
x 2
Cambio de variable sugerido ln x = u
1
∂ x = ∂u
∫
x − 2 dx = v ≈ −
1
=v
Por lo tanto;
G( x ) = −
1 x
ln x −
1 x
+c
Sustituir G( y ) el resultado en el paso "2" Solución general:
−
y x
−
1
ln x −
1
=c
Equivalente a: y + ln x + 1 = cx
Ejercicio 3:
(3 xy + y )dx + ( x 2
2
)
+ xy dy = 0
Sujeta a la condición inicial y (2 ) = 1 Probar el criterio de exactitud 84
∂M ∂ y
= 3 x + 2 y ≠
∂ N
= 2 x + y
∂ X
Paso 1: Buscar un factor integrante M '− N '
3 x + 2 y − 2 x − y
=
=
x( x + y)
N
1
x
1
FI = e
∫ x dx
= x
Multiplicar la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud
(3 x y + xy )dx + ( x
3
∂M
∂ N
2
∂ y
2
2
= 3 x + 2 xy =
2
)
+ x y dy = 0
∂ x
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x"
∫ (3 x y + xy )∂ x = x y + 2
2
3
x 2 y 2 2
+ G( y )
Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N" x 3 + x 2 y + G '( y ) = x 3 + x 2 y
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar el resultado con respecto a "y" G ' ( y ) = 0 G( y ) = c
Solución general:
85
3
x y +
x 2 y 2 2
=c
Solución particular
3
x y +
x 2 y 2 2
= 10
Equivalente a: 2 x 3 y + x 2 y 2 = 20
Ejercicio 4: 1 2
y 4 ∂ x + xy 3 ∂y = 0
Probar el criterio de exactitud ∂M ∂ y
3
= 2 y ≠
∂ N ∂ x
= y
3
Paso 1: Buscar el factor integrante M '− N '
=
N
2 y 3 − y 3
xy 3
=
1
x
1
FI = e
∫ x ∂ x
= x
Multiplicar todos los términos de la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud: 1 2
xy 4 ∂ x + x 2 y 3 ∂y = 0
86
∂M ∂ y
3
= 2 xy =
∂ N ∂ x
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x" 1
1 y 4 x∂ x = x 2 y 4 + G( y ) 2 4
∫
Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N" x 2 y 3 + G ' ( y ) = x 2 y 3
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar el resultado con respecto a "y" G ' ( y ) = 0 G( y ) = c
Sustituir G( y ) en el paso 2 Solución general 1 4
x 2 y 4 = c
Equivalente a: x 2 y 4 = c
Ejercicio 5:
( x + y )dx + tgxdy = 0 Probar criterio de exactitud
87
∂M ∂ y
∂ N
=1
∂ x
2
= sec x
Paso 1: Buscar el factor integrante M '− N ' N
=
1 − sec 2 x tg x
= − tg x
− tgxdx −(ln cos x ) =e = cos x FI = e ∫
Multiplicar todos los términos de la ecuación por el factor integrante y probar el criterio de exactitud
( x cos x + y cos x )dx + senxdy = 0 dM dy
= cos x =
dN dx
Paso 2: Integrar "N" con respecto a "y"
∫
senx dy = ysenx + G( x )
Derivar el resultado con respecto a "x" e igualar a "M" y cos x + G '( x ) = x cos x + y cos x
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar método de integración por partes) G ' ( y ) = x cos x G( y ) = xsenx + cos x + c
Sustituir G( y ) en el paso 2
88
Solución general: ysenx + xsenx + cos x = c
Ejercicio 6.
(2 xy + 3 x y + 3 y )dx + ( x 2
2
2
)
+ 2 y dy = 0
Probar criterio de exactitud ∂M ∂ y
2
= 2 x + 3 x + 6 y ≠
∂ N ∂ x
= 2 x
Paso 1: Buscar el factor integrante M '− N '
=
3( x 2 + 2 y )
x 2 + 2 y
N
=3
3 dx FI = e ∫ = e 3 x
Multiplicar todos los términos de la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud.
(2 xy + 3 x y + 3 y )e 2
∂M ∂ y
=e
3 x
2
3 x
dx + ( x 2 + 2 y )e 3 x dy = 0
(2 x + 3 y 2 + G( y ) ) =
∂ N ∂ x
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x" (usar el método de integración por partes); x 2 ye 3 x + y 2 e 3 x + G( y )
Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N"
89
x 2 e 3 x + 2 ye 3 x + G ' ( y ) = x 2 e 3 x + 2 ye 3 x
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar el resultado con respecto a "y" G ' ( y ) = 0 G( y ) = c
Sustituir G( y ) en el paso 2 y reducir términos semejantes Solución general: x 2 ye 3 x + y 2 e 3 x = c
Equivalente a: e 3 x ( x 2 y + y 2 ) = c
Ejercicio 7: y x
(
)
3
∂ x + y − ln x ∂y = 0
Probar el criterio de exactitud ∂M ∂ y
=
1
≠
x
∂ N ∂ x
=−
1
x
Paso 1: Buscar el factor integrante
N '−M ' M
− =
1
−
1
x x = − 2 y y x
90
−2
FI = e
∂ y
∫ y
=
1 y 2
Multiplicar todos los términos de la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud.
1 xy
∂ x + y −
ln x
∂y = 0
y 2
∂M
=−
∂ y
1
xy 2
=
∂ N ∂ x
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x" 1
1
1
∂ x = ln x + G y ∫ x y
( y )
Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N"
−
ln x
y
+ G '( y ) = y −
2
ln x
y 2
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar el resultado con respecto a "y" G ' ( y ) = y
G( y ) =
y 2 2
+c
Sustituir G( y ) en el paso 2 Solución general: ln x
y
+
y 2 2
=c
91
Ejercicio 8. ysenx + y ' cos x = 1
Rescribir la ecuación
( ysenx − 1)dx + cos xdy = 0 Probar criterio de exactitud ∂M ∂ y
= sen x ≠
∂ N ∂ x
= −sen x
Paso 1: Buscar el factor integrante M '− N ' N
= 2tg x
2 tgx∂x 2 = sec x FI = e ∫
Multiplicar todos los términos de la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud.
( y sec xtgx − sec x )dx + sec xdy = 0 2
∂M ∂ y
= sec x tg x =
∂ N ∂ x
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x"
∫
∫
y sec xtgxdx − sec 2 xdx = y sec x − tgx + G( y )
Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N" sec x + G '( y ) = sec x
92
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar el resultado con respecto a "y" G ' ( y ) = 0 G( y ) = c
Sustituir G( y ) en el paso 2 Solución general y sec − tgx = c
Equivalente a: y = senx + c cos
Ejercicio 9.
(3 xy + 2 y )dx + ( x 2
2
)
+ 2 xy dy = 0
Probar criterio de exactitud ∂M ∂ y
= 3 x + 4 y ≠
∂ N ∂ x
= 2 x + 2 y
Paso 1: Buscar factor integrante M '− N '
=
1
N 1
FI = e
∫ x ∂ x
= x
Multiplicar todos los términos de la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud
93
(3 x y + 2 xy )dx + ( x 2
∂M ∂ y
2
2
= 3 x + 4 xy =
3
2
)
+ 2 x y dy = 0
∂ N ∂ x
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x"
∫
∫
3 y x 2 dx + 2 y 2 xdx = x 3 y + x 2 y 2 + G( y )
Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N" x 3 + 2 x 2 y + G ' ( y ) = x 3 + 2 x 2 y
Paso 3: Despejar G' ( y ) e integrar el resultado con respecto a "x" G ' ( y ) = 0 G( y ) = c
Sustituir G( y ) en el paso 2 Solución general. x 3 y + x 2 y 2 = c
Ejercicio 10: 2 xdx + x 2 ctgydy = 0 2
Probar el criterio de exactitud ∂M ∂ y
=0≠
∂ N ∂ x
= 2 xcotg y
94
Paso 1: Buscar factor integrante M '− N '
=−
2
N
FI = e
−2
∂ x
∫ x
=
1
x 2
Multiplicar todos los términos de la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud. 2
∂ x + cotg y∂y = 0
∂M ∂ y
=0=
∂ N ∂ x
Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x"
2
∂ x
∫
= 2 ln x + G( y )
Derivar el resultado con respecto a “y” e igualarlo a “N” G ' ( y ) = ctgy
Paso 3: Integrar el resultado con respecto a “y” G( y ) = ln seny + c
Sustituir G( y ) en el paso 2 Solución general 2 ln x + ln seny = ln c c
95
Equivalente a: x 2 seny = c
96
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales lineales
Ejercicio 1. y '+ y cos x = senx cos x
Paso 1: Identificar P (x) y Q(x) y calcular el factor integrante P ( x ) = cos x
FI = e ∫
cos xdx
Q( x ) = senx cos x
senx
=e
Paso 2: Aplicar la formula ye ∫
P ( x ) ∂ x
ye ∫
senx
=
∫ e
=
∫ e ∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
senx
senx cos xdx + c
Resolver la integral usando primero el método de integración por cambio de variable y luego el método de integración por partes senx = t → cos xdx = dt
Resultado CV 1.
∫ e dt + c t
CV 2. Método de integración por partes u = t → du = dt
e t = u
Por lo tanto
∫ e dt = te t
t
t
−e +c
97
Paso 3: Revertir los cambios de variable y despejar la variable "y" ye senx = senxe senx − e senx + c y = senx − 1 + ce − senx
Ejercicio 2: y '+e x y = e 2 x
Paso 1. Identificar P(x) y Q(x) y calcular el F.I. P ( x ) = e x
Q( x ) = e 2 x
e ∂ x FI = e ∫ x
=e
e x
Paso 2: Aplicar la formula ye ∫
P ( x ) ∂ x
x
∫
=
e ∫
∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
x
ye e = e e e 2 x ∂ x + c
Sugerencia: Usar método de integración por cambio de variable y método de integración por partes.
ye e
x
x
=e e
e x
−e
e
x
+c
Paso 3: Despejar la variable "y" x
y = e x − 1 + ce − e
98
Ejercicio 3: y '−5 y = x
Paso 1: Identificar P (x) y Q(x) y calcular el factor integrante P ( x ) = −5
FI = e ∫
p ( x )dx
Q( x ) = x
=e
−5 x
Paso 2: Aplicar la formula
ye ∫
P ( x ) ∂ x
=
e ∫
∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
∫
ye −5 x = e −5 x xdx + c
Resolver la integral usando el método de integración por partes 1 1 −5 x ye −5 x = − xe −5 x − e +c 5 25
Paso 3: Despejar la variable “y” 1 1 5 x y = − x − + ce 5 25
Ejercicio 4. xy' y − e x = 0
Paso 1: Multiplicar toda la ecuación por el factor
1
para darle la estructura
de la ecuación diferencial lineal. 1 1 y '+ y = e x x
99
Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante P ( x ) =
1
Q( x ) =
P FI = e ∫
( x ) ∂ x
1
e x
1
=e
∫ x ∂ x
= x
Paso 2: Aplicar la formula ye ∫
P ( x ) ∂ x
∫
yx = xe x
1 x
=
e ∫
∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
∂ x + c
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y" yx = e x + c
y =
e x x
+
c x
Ejercicio 5:
y '− ytgx =
1 cos
Paso 1: Identificar P (x) y Q(x) y calcular el factor integrante.
P ( x ) = −tgx
Q( x ) =
1 cos
− tgxdx ln cos x =e = cos x FI = e ∫
Paso 2: Aplicar la formula; ye ∫
P ( x ) ∂ x
=
∫ e ∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
100
∫
y cos x = cos x
1 cos
dx + c
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y" y cos x = x + c
y = sec x( x + c )
Ejercicio 6: y '−3 y = 2
Paso 1: Identificar P (x) y Q(x) y calcular el factor integrante P ( x ) = −3
Q( x ) = 2
−3 p ( x ) dx −3 dx ∫ = e −3 x FI = e ∫ =e
Paso 2: Aplicar la formula ye ∫
P ( x ) ∂ x
=
e ∫
∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
∫
ye −3 x = 2 e −3 x ∂ x + c
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y" 2 ye −3 x = − e −3 x + c 3
y = −
2 3
+ ce
3 x
Ejercicio 7. xy'−3 y = x 5
101
Paso 1: Multiplicar por el factor
1
toda la ecuación para obtener la
estructura de la ecuación diferencial lineal. 3 y '− y = x 4
Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante.
P ( x ) = −
FI = e
3
Q( x ) = x 4
x
−3
∂ x
∫ x
=e
−3 ln x
=
1 3
Paso 2: Aplicar en la formula ye ∫
P ( x ) ∂ x
y
1 3
=
∫
1 3
=
e ∫
∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
x 4 ∂ x + c
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"
y
1 3
y =
=
x 2 2
x 5 2
+c
+ cx
3
Ejercicio 8: y '+2 y = e 2 x
Paso 1: Identificar P (x) y Q(x) y calcular el factor integrante P ( x ) = 2
Q( x ) = e 2 x
102
2 dx FI = e ∫ = e 2 x
Paso 2: Aplicar en la formula ye ∫
P ( x ) ∂ x
=
∫ e ∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
∫
ye 2 x = e 2 x e 2 x dx + c
∫
ye 2 x = e 4 x dx + c
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"
ye
2 x
y =
=
e 4 x 4
1 4
+c
e 2 x + ce − 2 x
Ejercicio 9: y '+ yctgx = 4 x 2 csc x
Paso 1: Identificar P (x) y Q(x) y calcular el factor integrante Q( x ) = 4 x 2 csc x
P ( x ) = ctgx
FI = e ∫
p ( x )dx
=e
∫ cot gxdx
=e
Paso 2: Aplicar la formula ye ∫
ln senx
P ( x ) ∂ x
=
= senx
e ∫
∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
ysenx = 4 senx( x 2 cos ecx)dx + c
∫
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable “y”
103
4 x 3
y sen x =
3
+c
4 y = x 3 cos c x + c cos c x 3
Ejercicio 10: xy'+(2 + 3 x ) y = xe −3 x
Paso 1: Multiplicar la ecuación por el factor
1 x
para darle la estructura de la
ecuación diferencial lineal.
2 −3 x + 3 y = e x
y'+
Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante
P ( x ) =
2 x
2
FI = e
Q( x ) = e −3 x
+3
∫ x +3 ∂ x
=e
ln x 2 + 3 x
=e
Paso 2: Aplicar la formula ye ∫
ln x 2
P ( x ) ∂ x
e 3 x = x 2 e 3 x
=
e ∫
∫
P ( x ) ∂ x
Q( X ) ∂ x + c
∫
yx 2 e 3 x = x 2 e 3 x e −3 x dx + c
Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"
2 3x
yx e
x 3
y =
=
x 3 3
+
+c
c − 3 x e x 2
104
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
Ejercicio 1. xy'− y = x 3 y 4
Paso 1: Multiplicar la ecuación por el factor
1 x
para darle la estructura de la
ecuación diferencial de Bernoulli; 1 y '− y = x 2 y 4
Multiplicar por
1
y 4
para transformar la ecuación de Bernoulli en
ecuación lineal 1 y − 4 y '− y −3 = x 2 x
Paso 2: Efectuar el cambio de variable y −3 = w −4
− 3 y y' = w'
Multiplicar la ecuación por -3 y sustituir el cambio de variable
−4
− 3 y y '+
w'+
3
3
y −3 = −3x 2
w = −3 x 2
105
Resolver la ecuación diferencial lineal, identificando P (x), Q(x) y calcular el factor integrante P ( x ) =
3
FI = e
3
Q( x ) = −3 x 2
∂ x
∫ x
= x
3
Paso 3: Aplicar la formula we ∫
p ( x )dx
=
e ∫
∫
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
wx 3 = x 3 (− 3 x 2 )dx + c
∫
Resolver la integral y despejar la variable "w"
3
wx = −
w=−
3 x 6
x 3
+c
6
+
2
c x3
Revertir el cambio de variable
y
−3
=
− x
3
+
2
c 3
Ejercicio 2: xy'+ y = − xy 2
Paso 1: Multiplicar la ecuación por el factor
1
xy 2
1 y − 2 y '+ y −1 = −1
106
Paso 2: Hacer el cambio de variable y −1 = w −2
− y y´= w'
Multiplicar la ecuación por "-1" y sustituir
−2
− y y '−
w'−
1
1
y −1 = 1
w =1
Paso 3: Resolver la ecuación diferencial lineal Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante P ( x ) = −
−
FI = e
1 Q( x ) = 1
1
∫ x ∂ x
=
1
Aplicar la formula we ∫
p ( x )dx
w
w
1
1
=
=
∫ e ∫
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
1
∫ dx + c
= ln x + c
Despejar w y revertir el cambio de variable w = x ln x + cx
107
y −1 = x ln x + cx
Ejercicio 3. y3
2
y '+ y =
2
Paso 1: Dividir la ecuación entre y 3 2 1 y −3 y '+ y − 2 = 2 x
Realizar el cambio de variable y −2 = w −1
− 2 y y ' = w'
Multiplicar la ecuación por "-2" y escribir la ecuación lineal
w'−
4
w=−
2 2
Paso 2: Resolver la ecuación lineal: Calcular el factor integrante
FI = e
−4
∂ x
∫ x
=x
−4
Aplicar en la formula we ∫
p ( x )dx
∫
=
e ∫
∫
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
2 ∂ x + c 2 x
wx − 4 = x − 4 −
Paso 3: Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable 108
w=
− 2 x
−1
−5
y − 2 =
2 5 x
+ cx
+ cx
4
4
Ejercicio 4: 1
2 2 y 2 y '+ y = cos 2 x 1
Paso 1: Dividir la ecuación entre y 2 1
2
1
2 y y '+ y 2 = x cos 2 −
2
Realizar el cambio de variable 1
y 2 = w
1 2
−
1
y 2 y ' = w'
Multiplicar la ecuación por "
w'+
1 x
1 2
" y escribir la ecuación lineal
w = sec 2 x
Paso 2: Resolver la ecuación lineal. Calcular el factor integrante 1
FI = e
∫ x ∂ x
= x
109
Aplicar la formula we ∫
p ( x )dx
=
∫ e ∫
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
∫
wx = x sec 2 xdx + c
Paso 3: Resolver la integral aplicando el método de integración por partes y revertir el cambio de variable.
∫
wx = xtgx − tgxdx + c
w = tgx +
ln cos x + c
1
y 2 = tg x +
ln cos x + c
Ejercicio 5. y '− ytgx = − y 2 cos x
Paso 1: Dividir la ecuación por y 2 y −2 y '− y −1tgx = − cos x
Realizar el cambio de variable y −1 = w 2
− y y' = w'
Multiplicar la ecuación por "-1" y escribir la ecuación lineal w'+ wtgx = cos x
Paso 2. Resolver la ecuación lineal:
110
Calcular el factor integrante FI = e ∫
tgxdx
=e
ln sec x
Aplicar la formula we ∫
= sec x
p ( x )dx
=
e ∫
∫
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
∫
w sec x = sec x cos xdx + c
Paso 3: Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable w = sec =
y −1 =
y =
+c
x + c sec
sec x +c
Ejercicio 6: 2 1 y '− y = x xy
Paso 1: Multiplicar la ecuación por “y” 2 1 yy'− y 2 = x
Realizar el cambio de variable y 2 = w 2 yy' = w'
Multiplicar la ecuación por "2" y escribir la ecuación lineal
111
w'−
4
2
w=
x
Paso 2: Resolver la ecuación lineal: Calcular el factor integrante FI = e
−4
∂
∫ x
=e
ln x − 4
Aplicar la formula we ∫
= x
p ( x )dx
wx
−4
=2
x −4
∫
−4
=
e ∫
∫
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
∂ x + c
Paso 3: Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable
wx
−4
2 x −4
=
w=−
−4
1 2
y 2 = −
+ cx
1 2
+c
4
+ cx
4
Ejercicio 7:
y '−
y x
=
x y
Paso 1: Multiplicar la ecuación por “y” 1 yy'− y 2 = x
Realizar el cambio de variable 112
y 2 = w 2 yy' = w'
Multiplicar la ecuación por "2" y escribir la ecuación lineal
w'−
2 x
w = 2 x
Paso 2: Calcular el factor integrante
e
−2
∂ x
∫ x
=e
− 2 ln x
= x
−2
Aplicar la formula we ∫
p ( x )dx
=
e ∫
∫
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
∫
wx −2 = 2 x −2 xdx + c
Paso 3: Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable
(
w = x 2 ln x 2 + c
)
(
y 2 = x 2 ln x 2 + c
)
Ejercicio 8: 1 2 x 2 y '+ y = y −3
Paso 1: Multiplicar la ecuación por
y 3 y '+
1
y 4 = 3
y 3 2
2 x 3
113
Realizar el cambio de variable y 4 = w 4 y 3 y ' = w'
Quedando 4
w'+
3
w=
8 x 3
Paso 2: Calcular el factor integrante FI = e ∫
−⋅
4 x − 3∂ x
=e
2
x 2
Aplicar la formula we ∫
p ( x )dx
−
we
2
x 2
∫
−
=8 e
2
x2
1
x3
=
∫ e ∫
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
∂ x + c
Paso 3: Calcular la integral y revertir el cambio de variable 2 4
y = 2 + ce
x2
Ejercicio 9: y'+3 xy = xy 2 1 Paso 1: Multiplicar la ecuación por 2 y
y ' y −2 + 3 xy −1 = x
Realizar el cambio de variable 114
y −1 = w −2
− y y' = w'
w'−3 xw = − x
Paso 2: Calcular el factor integrante p ( x )dx FI = e ∫
∫ =e
−3 xdx
Aplicar la formula we ∫
p ( x )dx
−3 x
we
2
=
2
∫
−3 x
=e
=
2
e ∫
∫
2
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
−3 2
e
2
x ∂ x
( − x)∂ x + c
Paso 3: Calcular la integral y revertir el cambio de variable −3 x
we
y
−1
2
2
=
1 3
=
1 3
−3 2
e2
3
+ ce
2
x ∂ x
+c
x2
Ejercicio 10: 4 1 y '+ y = e x y − 2 x
Paso 1: Multiplicar la ecuación por y 2 4 1 y ' y 2 + y 3 = e x
Realizar el cambio de variables
115
y 3 = w 3 y 2 y ' = w'
w'+
3
w = 3e x
4
Paso 2: Calcular el factor integrante p ( x ) dx e ∫
=e
3
∂ x
∫ x
= x
Aplicar la formula we ∫
3
p ( x )dx
∫
=
e ∫
∫
p ( x ) dx
Q ( x )dx + c
4
wx 3 = x 3e x dx + c
Paso 3: Resolver la integral (sugerencia cv x 4 = t) y revertir el cambio de variable
wx 3 =
w=
3
3 4
3e x
y =
4
ex + c
4
+
4 x 3 3e x 4
4
3
+
c 3
c x 3
116
Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Ricatti Ejercicio 1. y ' = y 2 + 2 y − 15
S ( x ) = 3
Paso 1: Realizar el cambio de variable
y = 3 +
y ' = −
1 z
1 z 2
z =
→
1
y − 3
z '
Hacer las sustituciones correspondientes
1 − 2 z ' = 3 + z z 1
2
+ 2 3 +
1
− 15
z
Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes para obtener la ecuación ecuación lineal. z '+8 z = −1
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante P ( x ) = 8
Q( x ) = −1
FI = e8 x
Resolver la ecuación lineal en "z" y revertir el cambio de variable
z = −
1 8
+ ce
−8 x
117
1
y − 3
=−
1 8
+ ce
−8 x
1
y =
→
−
1 8
+3
+ ce
−8 x
Ejercicio 2. y ' = y 2 + 6 xy + 9 x 2 − 3
S ( x ) = −3 x
Paso 1: Realizar el cambio de variable 1
y = −3 x +
y ' = −3 −
1 2
z '
Hacer las sustituciones correspondientes
1 − 3 − 2 z ' = − 3 x z z 1
2
+ 6 x − 3 x +
1
+ 9x z
2
−3
Paso 2: Resolver las operaciones y reducir términos semejantes para obtener la ecuación separable, z ' = −1
Paso 3: Integrar miembro a miembro para obtener: z = − + c
Revertir el cambio de variable 1
y + 3 x
= − x + c
→
y =
1 − x + c
− 3 x
118
Ejercicio 3. y ' = y 2 − 5 xy + 5
S ( x ) = 5 x
Paso 1: Realizar el cambio de variable 1
y = 5 x +
y ' = 5 −
1
z =
→
1
y − 5 x
z '
2
Hacer las sustituciones correspondientes: 1 5 − 2 z ' = 5 x + z z 1
2
− 5 x 5 x +
1
+5
z
Paso 2: Resolver las operaciones y reducir términos semejantes para obtener la ecuación lineal: z '+5 xz = −1
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante P ( x ) = 5 x
Q( x ) = −1
5 x∂ x FI = e ∫
5
= e2
x2
Resolver la ecuación lineal en "z" y revertir el cambio de variable
z =
∫
− e
5 2 x 2 5
e
∂ x + c
x 2
2
119
∫ e
5 2 x 2
∂ x
no es una integral elemental.
1
y − 5 x
NOTA:
=
∫
− e
5 2 x 2 5
e2
∂ x + c
x 2
∫
∫ f (t )∂t donde x x0
0
5
x 2
+ 5 x
− e 2 ∂ x + c
se acostumbra, cuando la integral
x
e
y =
→
5 2 x 2
∫ f ( x)∂ x no es elemental, escribir como
es una constante así:
e
u= −
5 2 x 2
x
∫ e
5 2 x 2
x0
+c
y = u + 5 x
Ejercicio 4: y' = y 2 + 4 y − 5
S ( x ) = −5
Paso 1: Realizar el cambio de variable
y = −5 +
y ' = −
1 z 2
1
→
z =
1
y + 5
z '
Hacer las sustituciones correspondientes:
1 − 2 z ' = − 5 z z 1
2
1 − 5 − 5 z
+ 4
120
Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes z '−6 z = −1
Paso 3: Identificar P ( x ), Q( x ) y calcular el factor integrante P ( x ) = −6
Q( x ) = −1
FI = e −6 x
Resolver la ecuación lineal en " z " y revertir el cambio de variable
z =
y =
1 6
+ ce
6 x
1 1 6
−5
+ ce
6 x
Ejercicio 5:
y ' = y 2 −
1
y−
25
S ( x ) =
2
5
Paso 1: Realizar el cambio de variable
y =
5
y ' = −
1
+
5 x
2
−
→
1 z 2
z =
x xy − 5
z '
Hacer las sustituciones correspondientes:
5 1 − 2 − 2 z ' = + x z x z 5
1
2
−
1 5
1 25 + − 2 x x z x
121
Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes para obtener la ecuación lineal;
z '+
9
z = −1
x
Paso 3: Identificar P ( x ) , Q( x ) y calcular el factor integrante 9
P ( x ) =
Q( x ) = -1
FI = e
9
∂ x
∫ x
= x
9
Resolver la ecuación lineal en "z" y revertir el cambio de variable
z = −
x 10
x xy − 5
+ cx
=−
−9
x 10
+ cx
1
y = −
x 10
−9
5
+
+ cx
−9
x
Ejercicio 6: y' = csc 2 x + yctgx + y 2
S ( x ) = −ctgx
Paso 1: Realizar el cambio de variable
y = -cotgx +
y ' = cosc 2 x −
1 z 1 2
z '
Hacer las sustituciones correspondientes:
122
1 1 cosc x − 2 z ' = cosc x + cotg x − cotg x + + − cotg x z z z 1
2
2
2
Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes para obtener la ecuación lineal; z '−(ctgx )z = −1
Paso 3: Identificar P ( x ), Q( x ) y calcular el factor integrante P ( x ) = −ctgx
Q( x ) = −1
FI = csc x
Resolver la ecuación lineal "z" y revertir el cambio de variable: Variable:
z =
y =
− ln cosc x − cotg x + c
cosc cosc x − ln cosc x − cotg x + c
− cotg x
Ejercicio 7:
y ' = y 2 +
2
y +
2
S ( x ) = −
x 2
2
Paso 1: Realizar el cambio de variable
y = −
2
+
1
→
z =
x xy + 2
123
2
y ' =
−
x 2
1
z '
2
Hacer las sustituciones correspondientes
2 1 − 2 z ' = − + 2 x z x z 2
1
2
+
2 2
1 2 − + + 2 x x z x
Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes para obtener la ecuación lineal: z '−
2 x
z = −1
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
P ( x ) = −
2
Q( x ) = −1
FI = x −2
Resolver la ecuación lineal en “z” y revertir el cambio de variable z = x + cx 2 x xy + 2
y =
= x + cx
1 + cx
2
−
2
2
Ejercicio 8: y ' = y 2 + 8 xy + 16 x 2 − 4
S ( x ) = −4 x
Paso 1: Realizar el cambio de variable
124
1
y = −4 x +
y ' = −4 −
z 1
z 2
z =
→
1
y + 4 x
z '
Hacer las sustituciones correspondientes 1 − 4 − 2 z ' = − 4 x + z z 1
2
+ 8 x − 4 x +
1
+ 16 x z
2
−4
Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes para obtener la ecuación separable: z ' = −1
Paso 3: Integrar miembro a miembro.
∫ z ' = ∫ − 1∂x z = − + c
Al revertir el cambio de variables se obtiene:
y = −4 x +
1 − x + c
125
