Universidad de Cantabria Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Capitulo IV IV.1 Sínte Síntesis sis dimen dimensional sional de mecani mecanismos. smos. Generación de funciones
1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Capí ítulo IV Capítulo Sííntesis Sí ntesis dimensional de mecanismos IIV.1 V.1 Sí Síntesis íntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de ón funciones. 1 Introducción ón a la sí íntesis dimensional. 1.. Introducció Introducci síntesis 2. Sí Síntesis íntesis de generaci generació ón de funciones. ón funciones. 3 Ecuación ón de Freudenstein. 3.. Ecuació Ecuaci Freudenstein. 4. Sí Síntesis íntesis con tres puntos de precisi precisió ón. ón. 5 Aumento del del n nú úmero de puntos de precisió úmero ón. 5.. Aumento precisión. 6 Derivadas de de precisi precisió precisión. pr ón. 6.. Derivadas 7 Generalización ón de la ecuaci ecuació ón de Freudenstein. ón 7.. Generalizació Generalizaci Freudenstein. IIV.2 V.2 Generació Generación ón de trayectorias. Generaci IIV.3 V.3 Guiado Guiado de de s só ólido r ólido ríígido. ígido. 2 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Capí ítulo IV Capítulo Sííntesis Sí ntesis dimensional de mecanismos IIV.1 V.1 Sí Síntesis íntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de ón funciones. 1 Introducción ón a la sí íntesis dimensional. 1.. Introducció Introducci síntesis 2. Sí Síntesis íntesis de generaci generació ón de funciones. ón funciones. 3 Ecuación ón de Freudenstein. 3.. Ecuació Ecuaci Freudenstein. 4. Sí Síntesis íntesis con tres puntos de precisi precisió ón. ón. 5 Aumento del del n nú úmero de puntos de precisió úmero ón. 5.. Aumento precisión. 6 Derivadas de de precisi precisió precisión. pr ón. 6.. Derivadas 7 Generalización ón de la ecuaci ecuació ón de Freudenstein. ón 7.. Generalizació Generalizaci Freudenstein. IIV.2 V.2 Generació Generación ón de trayectorias. Generaci IIV.3 V.3 Guiado Guiado de de s só ólido r ólido ríígido. ígido. 2 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
a p u o : ema ap Sííntesis Sí ntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de ón funciones.
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1 1.. 2. 3 3.. 4. 5 5.. 6 6.. 7 7..
Introducció Introducción ón a la sí íntesis dimensional. Introducci síntesis Sííntesis Sí ntesis de generaci generació ón de funciones. ón Ecuació Ecuación ón de Freudenstein. Ecuaci Freudenstein. Sííntesis Sí ntesis con tres puntos de precisi precisió ón. ón. Aumento Aumento del del n nú úmero de puntos de precisi úmero precisió ón. ón. Derivadas Derivadas de de precisi precisió precisión. pr ón. Generalizació Generalización ón de la ecuaci ecuació ón de Freudenstein. ón Generalizaci Freudenstein.
3 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Capí ítulo IV: Tema 1 Capítulo Sííntesis Sí ntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de ón funciones.
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1 Introducción ón a la sí íntesis dimensional. 1.. Introducció Introducci síntesis
4 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Introducció Introducción a la s sííntesis dimensional Síntesis cinem cinemá ática: Es el proceso de encontrar la mejor geometría y dimensiones del mecanismo que producirá el movimiento deseado. Aná cinemá ático Análisis cinem Datos: geometría y dimensiones del mecanismo y posición de los elementos de entrada Resultado: Posición inicial, desplazamientos finitos, velocidades y aceleraciones.
vs
.
Síntesis cinem cinemá ática Datos: Posición inicial, desplazamientos finitos, velocidades y aceleraciones. Resultados: geometría y dimensiones del mecanismo y posición de los elementos de entrada 5
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Introducció Introducción a la s sííntesis dimensional Síntesis de tipo o Reuleaux: Reuleaux: Consiste en encontrar el tipo y número de elementos y pares cinemáticos para formar un mecanismo que cumpla con las condiciones de movimiento impuestas. Síntesis dimensional: Para un mecanismo estructuralmente definido (elementos y pares cinemáticos), consiste en encontrar las dimensiones de los elementos que proporcionen las características de movimiento que cumplan con la condiciones impuestas.
6 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Introducció Introducción a la s sííntesis dimensional
Dentro de la síntesis dimensional de mecanismos existen tres tipos de problemas que dan lugar a dos clases de síntesis: •S Síntesis de generaci generació ón de funciones. •S Síntesis de generaci generació ón de trayectorias. •S Síntesis de guiado de só ríígido. s ólido r En este primer tema se estudiará la síntesis de generación de funciones, para posteriormente estudiar la generación de trayectorias.
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Introducció Introducción a la s sííntesis dimensional •S Síntesis de generaci generació ón de funciones: se denomina así a la parte de la síntesis de mecanismos que estudia encontrar las dimensiones de un mecanismo que genere una coordinación deseada de las posiciones de las barras de entrada y de salida. ψ f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0 c b ψ
a
ϕ
ϕ ψ
f(ϕ,ψ,a1,b1,c1) = 0 f(ϕ,ψ,a2,b2,c2) = 0 f(ϕ,ψ,a3,b3,c3) = 0
ϕ 8 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Introducció Introducción a la s sííntesis dimensional •S Síntesis de generaci generació ón de trayectorias: Se denomina así a la parte de la síntesis de mecanismos que estudia encontrar las dimensiones de un mecanismo en el que uno de sus genere una trayectoria deseada.
P(x,y) e
Trayectoria deseada d c
Trayectoria generada
b a
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Introducció Introducción a la s sííntesis dimensional •S Síntesis de guiado de ssó ólido r ríígido: Se denomina así a la parte de la síntesis de mecanismos que estudia situar un elemento de un mecanismo en diversas posicione especificadas.
y
x
10 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Capí Capítulo IV: Tema 1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de funciones.
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2. Síntesis de generaci generació ón de funciones.
11 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Síntesis de generació generación de funciones ψ ψ1
c
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0 b
ψ0 ψ
a
ϕ
ϕ
ϕ0
ϕ1
ψ ϕ
ψ
ϕ1
ψ1
ϕ2
ψ2
ϕ3
ψ3
ϕ4
ψ4
…
…
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0
ψ5 ψ4 ψ2 ψ3 ψ1
ϕ ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 12
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Síntesis de generaci generació ón de funciones ψd
ψ
ψd
ψ
ψ1
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0
ψ5
ψg
ψg
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0 ψ4 ψ3
ψ0
ψ1
ψ2
ϕ
ϕ ϕ0
ϕ1
Ψd: función deseada Ψg: función generada
ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ
ψ
ϕ1
ψ1
ϕ2
ψ2
ϕ3
ψ3
ϕ4
ψ4
ϕ5
ψ5
ϕ5
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Síntesis de generació generación de funciones Funció Función de Error Estructural E = ψd - ψg
Error Estructural máximo
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
ϕ
En mecanismos con 2 gdl esta función será una superficie y con más de 2 gdl una hipersuperficie.
14 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Capí Capítulo IV: Tema 1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de funciones.
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3. Ecuació Ecuación de Freudenstein. Freudenstein.
15 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Ecuació Ecuación de Freudenstein La ecuación de Freudenstein ofrece la relación entre los ángulos de los elementos en un cuadrilátero articulado. Para obtener esta expresión empezamos escribiendo la ecuación de cierre del mecanismo considerando como sistema de referencia el indicado en la figura de la siguiente forma, ae
iθ 2
+ ce
a cos θ 2
=
csenθ 3
c2
=
K 1
=
d 2
d a
=
d + be
+ c cos θ 3 =
asenθ 2 c cos θ 3
iθ 3
iθ 4
d + b cos θ 4
+ csenθ 3 =
d + b cos θ 4
bsenθ 4
C B
Im
c
− a cos θ 2
= bsenθ 4 − asenθ 2 2
Re
θ3
b a
2
+ a + b + 2bd cos θ 4 − 2ad cosθ 2 − 2ab cos(θ 4 − θ 2 )
; K 2
=
d c
; K 3
=
a2
2
2
2
− b + c + d
K 1 cos θ 4 − K 2 cos θ 2
A
2ac +
K 3
θ4
=
cos(θ 2
θ2
d
D
− θ 4 )
Expresión que se conoce con el nombre de “Ecuación de Freudenstein” y que resulta muy útil en síntesis de mecanismos. Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
16
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Ecuació Ecuación de Freudenstein Esta ecuación presenta una serie de características que deben ser tenidas en cuenta. Estas son las siguientes: • Si la ecuación se verifica para las coordenadas θ 2 y θ4 y unos valores cualesquiera de las constantes K también se verifica para su imagen espejo respecto de la barra fija correspondiente a sustituir las coordenadas (θ 2-2π) y (θ4-2π).
θ4 θ2
θ2 θ4
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Ecuació Ecuación de Freudenstein • Para un determinado valor de las constantes K y de θ 2, existen dos valores de θ 4 que cumplen con la ecuación de Freudenstein . Estos valores se corresponden con las configuraciones abierta y cerrada del cuadrilátero articulado. Solución abierta (ABCDA) C c
B
Im
θ3
b Re
a c'
θ4
θ2
D
d
A C’
b’
Solución cruzada (ABC’DA) Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
18
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Ecuació Ecuación de Freudenstein • Si para un determinado valor de los ángulos θ 2 y θ4 los valores resultantes de K son negativos debe de modificarse la ecuación ya que dichos valores negativos carecen de sentido físico (son módulos). Esta modificación puede consistir en sumar π radianes a los ángulos. Como están afectados por la función coseno, cambiará su signo pero no su valor absoluto.
(−K 1 ) cosθ 4
− ( − K 2 ) cosθ 2 +
− K 1 cosθ 4 +
K 1 cos(θ 4
+ π ) −
K 2 cosθ 2
K 2 cos(θ 2
+
K 3
K 3
+ π ) +
K 1 cos θ ' 4 −K 2 cos θ ' 2 + K 3
=
=
cos(θ 2
K 3 =
cos(θ 2
=
− θ 4 )
− θ 4 )
cos(θ 2
+ π − θ 4 − π )
cos(θ ' 2 −θ ' 4 )
19 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Ecuació Ecuación de Freudenstein La ecuación de Freudenstein obtenida ofrece la coordinación existente entre los ángulos θ2 y θ4 del mecanismo. Se puede obtener una relación similar entre los ángulos θ2 y θ3 ó θ3 y θ4. Las ecuaciones en este caso son las siguientes:
P 1 cos θ 2 + P 2 cos θ 3
P 1 =
d c
; P 2
=
d a
; P 3
− P 3 =
=
a
2
cos(θ 2 2
2
− θ 3 )
+ c + d − b
2ac
2
R1 cos θ 4 − R2 cos θ 3
R1
=
d c
; R2
=
d b
; R3
+
=
R3 d 2
=
cos(θ 4 2
2
− θ 3 )
+b +c −a
2
2cb
20 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Ecuació Ecuación de Freudenstein La ecuación de Freudenstein se puede obtener para otros mecanismos distintos al cuadrilátero articulado como por ejemplo el mecanismo biela-manivela. Así, la ecuación de cierre generada por este mecanismo puede expresarse como sigue, ae
iθ 2
+ be
iθ 3
=
d + ce
iθ 4
a cos θ 2
+ b cos θ 3 = s
asenθ 2
+ bsenθ 3 =
b cos θ 3
θ3
b
A
c
r rs
= s − a cos θ 2
a
bsenθ 3 = c − asenθ 2
2
c θ4
θ2
Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumándolas posteriormente, se obtiene, b2
B
2
− a − c + 2as cos θ 2 + 2acsenθ 2 =
O
s
s2
Agrupando los términos constantes se obtiene, K 1 s cos θ 2 + K 2 senθ 2 − K 3 K 1
=
2a; K 2
=
2ac; K 3
=
=
a2
s2 2
+c −b
2
;
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
21
Capí Capítulo IV: Tema 1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de funciones.
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4. Síntesis con tres puntos de precisi precisió ón.
22 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Síntesis de generació generación de funciones con 3 puntos de precisi precisió ón Procedimiento: Definició Definición del problema: obtener las longitudes de los elementos a, b, c y d de un cuadrilátero articulado para tres posiciones dadas: ϕ
ϕ1 ϕ2 ϕ3
ψ
ψ1 ψ2 ψ3
Solució Solución: Sustituyendo en la ecuación de Freudenstein los 6 valores conocidos se plantea el siguientes sistema de ecuaciones: K 1 cosψ 1 − K 2 cosφ 1 + K 3
=
cos(φ 1 − ψ 2 )
K 1 cosψ 2
− K 2 cosφ 2 +
K 3
=
K 1 cosψ 3
− K 2 cos φ 3 +
K 3
=
cos(φ 2
− ψ 2 )
cos(φ 3 − ψ 3 )
23 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Síntesis de generaci generació ón de funciones con 3 puntos de precisi precisió ón cosψ 1 cosψ 2 cosψ 3
− cos φ 1 − cos φ 2 − cos φ 3
1 K 1
cos(φ 1 − ψ 1 ) 1 K 2 = cos(φ 2 − ψ 2 ) 1 K 3 cos(φ 3 − ψ 3 )
[S]{K i } = {cos(φ i − ψ i }
{K i } = [S ]−1{cos(φ i − ψ i }
24 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Síntesis de generaci generació ón de funciones con 3 puntos de precisi precisió ón a d K 2 = c 2 2 2 2 a − b + c + d K 3 = 2ac K 1
=
d
Sistema con tres ecuaciones y cuatro incógnitas
Para resolver este último sistema es necesario dar un valor arbitrario a una de las dimensiones. Esto significa que el problema puede tener infinitas soluciones. Evidentemente, el tamaño del mecanismo dependerá del valor arbitrario dado a uno de los elementos. Se pueden especificar como máximo 3 puntos de precisión. Si se desea 2 puntos de precisión se fija uno arbitrariamente.
25 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Síntesis de generaci generació ón de funciones con 3 puntos de precisi precisió ón x3
φ =
x
=
a +e
ψ =
y
=
b + f
K φ x K ψ y
K φ
1
=
y3
e
a+e
K ψ =
x1
c
1
y2
f
y1
b + f a
K 1 cos(K ψ y − K 2 cos K φ x + K 3
x2
=
b
ϕ
cos(K φ x − K ψ y)
ψ
d
∆x = R ∆φ
∆y = R ∆
∆φ = ∆ψ =
∆x
=
a+e ∆y b + f
=
K φ ∆x K ψ ∆y
xf
xi e
K φ
=
∆x
K ψ =
∆ψ ∆y
yi
Δψ c a ϕf
∆φ
yf
f
Δϕ
Δψ b
ϕi
ψf
ψi
d
Factores de escala 26 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Síntesis de generaci generació ón de funciones con 3 puntos de precisi precisió ón Procedimiento: Definició Definición del problema: obtener las longitudes de los elementos a, b, c y d de un cuadrilátero articulado para cumplir con la función: y = f d(x) Solució Solución: 1. Se establecen 3 puntos de precisión: x
x1 x2
x3
y
y1
y2
y3
2. Se establecen los valores de los factores de escala. Esto puede hacerse de dos formas: • Fijando arbitrariamente las longitudes de las barras. • En función del rango de movimiento. K φ
=
∆φ ∆x
=
1 a+e
K ψ =
∆ψ ∆y
=
1 b + f 27
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Síntesis de generaci generació ón de funciones con 3 puntos de precisi precisió ón 3. Se plantean las ecuaciones (sistema de 3 incógnitas con 3 ecuaciones) y se resuelve: K 1 cos(K ψ y1 ) − K 2 cos(K φ x1 ) + K 3
=
cos(K φ x1 − K ψ y1 )
− K ψ y 2 )
K 1 cos(K ψ y 2 ) − K 2 cos(K φ x 2 ) + K 3
=
cos(K φ x 2
K 1 cos(K ψ y 3 ) − K 2 cos(K φ x 3 ) + K 3
=
cos(K φ x 3 − K ψ y 3 )
4. Se obtienen las dimensiones: a, b, c y d, exactamente igual que en el procedimiento anterior. 5. Finalmente se obtienen los valores de e y f. e=
1 K φ
−a
f =
1 K ψ
− b
28 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Capí Capítulo IV: Tema 1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de funciones.
5. Aumento del n nú úmero de puntos de precisi precisió ón.
29 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Aumento del nú número de puntos de precisió precisión
El número de puntos de precisión puede aumentarse incluyendo más incógnitas en las ecuaciones planteadas. Sin embargo, el aumento del número de incógnitas aumenta también la dificultad del sistema de ecuaciones, conduciendo a sistemas fuertemente no lineales, difíciles de resolver incluso con la ayuda de un ordenador. A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo puede aumentarse el número de incógnitas (puntos de precisión), aunque los ejemplos presentados aquí no son los únicos procedimientos.
30 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Aumento del nú número de puntos de precisió precisión x3
x4
x2
4 puntos de precisi precisió ón
a
y
d
x
cos( ) − cos( ) + b b a
a 2 − b 2
2
+c +d
y3
y2
x1
Se eliminan las barras e y f. d
y4
c
a
2
=
2ac
cos(
x a
−
y b
y1
b
ϕ
ψ
)
d
Incógnitas: a, b, c y d.
f
5 puntos de precisi precisió ón K 1 cos(ψ + ψ 0 ) − K 2 cos(φ + φ 0 ) + K 3 cos(ψ + ψ 0
− φ − φ 0 )
Incógnitas: K1, K2, K3, ϕ0, ψ0.
e
c
b
= a
ψ
ϕ ϕ0
Ψ0
0
31 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Aumento del nú número de puntos de precisió precisión
6 puntos de precisi precisió ón Se eliminan las barras e y f. d
y cos( a b
+
y0 b
)−
d b
cos(
x a
+
x0 a
)+
a 2 − b 2
2
+c +d
2ac
2
=
cos(
x a
−
x0 a
−
y b
−
y0 b
)
Incógnitas: a, b, c, d, x 0 y y0.
32 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Capí Capítulo IV: Tema 1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de funciones. 6. Derivadas de precisi precisió ón.
33 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Derivadas de precisi precisió ón Si se desea obtener mayor precisión en el problema de síntesis de generación de funciones se puede añadir como condición el tener en uno o varios puntos derivadas de precisión. A este criterio se le denomina síntesis de derivadas de precisión. Cada imposición de derivada de precisión supone el planteamiento de una nueva ecuación. Como el número de parámetros de diseño (longitudes de las barras) permanece inalterado se debe reducir el número de puntos de precisión por cada una de las derivadas que se añadan al problema.
ψ
f(ϕ,ψ,a,b,c) = 0
ψ3 ψ2 ψ1
ϕ ϕ1
ϕ2
ϕ3
E = ψ d - ψg ϕ ϕ1
ϕ2
ϕ3
34 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Derivadas de precisi precisió ón ψ = ψ (φ ) K 1 cosψ − K 2 cos φ + K 3 K 1
dψ dφ
=
cos(ψ − φ )
dψ
sen ψ − K 2sen φ =
dφ
Puntos de precisión
− 1 sen (ψ − φ )
2
Derivadas 1ª de precisión 2
2 dψ dψ d ψ + K 1 − K 2 cos φ = − 1 cos(ψ − φ ) ψ ψ K 1 sen cos sen (ψ − φ ) + 2 2 dφ dφ dφ dφ 2 d ψ
Reordenando 2 2 d 2ψ dψ dψ d 2ψ cosψ − K 2 cos φ = 2 sen (ψ − φ ) + K 1 2 senψ + − 1 cos(ψ − φ ) dφ dφ dφ dφ
Derivadas 2ª de precisión
35 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Derivadas de precisi precisió ón Las derivadas presentes en la formulación se pueden relacionar fácilmente con las magnitudes cinemáticas que intervienen en el problema. A continuación se expresan estas magnitudes en un mecanismo cuadrilátero articulado. ω 1
=
2
dφ
α 1
dt
ω 2
=
d
α 2
dt
=
=
d φ dt 2
ω2
d 2ψ
ω1
dt 2
α1
dψ dψ
=
dφ
dψ dt dt dφ
=
dt dφ
α2
=
ω 2
=
ω 1
A
dt d 2ψ 2
dφ
=
dA dφ
=
dA dt dt dφ
=
dA
1 ω 1
ω 2 ω 1
d =
ω 1
=
α 2ω 1 − ω 2α 1 ω 13
=
α 2
− Aα 1
ω 12
=
B
36 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Derivadas de precisi precisió ón Procedimiento: Se desean obtener: • n puntos de precisión. • m puntos de derivadas 1ª de precisión. • p puntos de derivadas 2ª de precisión. • etc. 1. Se plantean: n ecuaciones: m ecuaciones:
K 1 cosψ − K 2 cos φ + K 3 K 1
dψ
=
cos(ψ − φ )
dψ
senψ − K 2senφ =
− 1sen (ψ − φ )
dφ 2 2 d 2ψ dψ dψ d 2ψ p ecuaciones: K 1 2 senψ + cosψ − K 2 cos φ = 2 sen(ψ − φ ) + − 1 cos(ψ − φ ) dφ dφ dφ dφ dφ
… 37 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
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Derivadas de precisi precisió ón 2. Se resuelve el sistema de ecuaciones teniendo en cuenta que el número de incógnitas (parámetros de diseño) debe ser igual al número de ecuaciones planteadas en el sistema anterior. Esto es: n + m + p +…
Ejemplo: 2 puntos de precisión y 1 derivada 1ª de precisión en el punto 1: ψ
K 1 cosψ 1 − K 2 cos φ 1 + K 3 K 1 cosψ 2 K 1
dψ dφ φ
1
− K 2
cos φ 2
=
cos(φ 1 −ψ 2 )
+ K 3 =
senψ 1 − K 2senφ 1
=
cos(φ 2 −ψ 2 )
dψ − 1sen (ψ 1 − φ 1 ) dφ φ 1
ψ2
ψg
ψ1 ψd ϕ ϕ1
ϕ2 38
Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones
Universidad de Cantabria Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
Capí Capítulo IV: Tema 1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generaci Generació ón de funciones. 7. Generalizació ecuació ón de Freudenstein. Generalización de la ecuaci Freudenstein.
39 Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones