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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICATema: "Problema Resuelto de Conducción de Calor"Curso: Transferencia de CalorCiclo: VIIProfesor: Ing. Elí Guayan H.Alumno:Villarreal Núñez, CésarTrujillo, 23 de abril de 2014UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICATema: "Problema Resuelto de Conducción de Calor"Curso: Transferencia de CalorCiclo: VIIProfesor: Ing. Elí Guayan H.Alumno:Villarreal Núñez, CésarTrujillo, 23 de abril de 2014
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA
Tema: "Problema Resuelto de Conducción de Calor"
Curso: Transferencia de Calor
Ciclo: VII
Profesor: Ing. Elí Guayan H.
Alumno:
Villarreal Núñez, César
Trujillo, 23 de abril de 2014
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA
Tema: "Problema Resuelto de Conducción de Calor"
Curso: Transferencia de Calor
Ciclo: VII
Profesor: Ing. Elí Guayan H.
Alumno:
Villarreal Núñez, César
Trujillo, 23 de abril de 2014
Índice Analítico
Fundamentación …………………………………………………………………………3
Coordenadas Esféricas ……………………………………………………………..3
Elemento diferencial de volumen en Coordenadas Esféricas …………………..3
Principio de Conservación de la Energía …………………………………………4
Hipótesis de Trabajo ……………………………………………………………………5
Deducción de la Ecuación ……………………………………………………………5
Cantidad de calor neta introducida por conducción en el volumen ……………5
Cantidad de calor "generada" en el interior del volumen ……………………….7
Incremento de energía interna en el volumen ……………………………………7
Ecuación diferencial de Calor en Coordenadas Esféricas ……………………..7
Otras formas de la Ecuación ………………………………………………………….8
Ecuación de Calor de Poisson …………………………………………………….8
Ecuación de Laplace en el plano …………………………………………………8
Ecuación unidimensional de conducción de Calor ……………………………..8
Conclusiones ……………………………………………………………………………8
Bibliografía ………………………………………………………………………………8
Fundamentación
Coordenadas Esféricas
Figura 1: ubicación de un punto en el espacio con las coordenadas esféricas.Figura 1: ubicación de un punto en el espacio con las coordenadas esféricas.El sistema de coordenadas esféricas se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud φ y el azimutal θ. Las ecuaciones que relacionan estas magnitudes con el sistema de coordenadas cartesianas son las siguientes:
Figura 1: ubicación de un punto en el espacio con las coordenadas esféricas.
Figura 1: ubicación de un punto en el espacio con las coordenadas esféricas.
x=r.senθ.cosφ y=r.senθ.senφ z=r.cosθ
Elemento diferencial de volumen en Coordenadas Esféricas
Figura 2: volumen de control infinitesimal en coordenadas esféricas.Figura 2: volumen de control infinitesimal en coordenadas esféricas.Definiremos ahora un volumen de control diferencial en coordenadas esféricas, que vendría a ser una pequeñísima cuña esférica, como se muestra en la figura 2.
Figura 2: volumen de control infinitesimal en coordenadas esféricas.
Figura 2: volumen de control infinitesimal en coordenadas esféricas.
Calcularemos ahora las áreas de este elemento diferencial. Trabajamos con las áreas perpendiculares a la dirección de r:
dAr=r2.sinθ. dθ.dφ
dAr+dr=r+drdθ.(r+dr).sinθ.dφ=(r2+2r.dr).sinθ. dθ.dφ
Notamos que el término dr2 es despreciado por ser de segundo orden, es decir, muchísimo más pequeño que los otros términos en cuestión.
Ahora vemos la superficie en la dirección polar φ:
dAφ=dAφ+dφ=dr2r.dθ+r+drdθ=dr22r.dθ+dr=r.dr.dθ
Para calcular esta superficie hemos promediado las "bases" rdθ y r+drdθ, y multiplicado por la "altura" dr, emulando la fórmula de un trapecio. Nuevamente hemos despreciado el elemento dr2 de segundo orden.
Finalmente estudiaremos el caso para las áreas perpendiculares a la dirección azimutal θ.
dAθ=dr2(r.sinθ.dφ+(r+dr).sinθ.dφ)=r.sinθdr.dφ
dAθ+dθ=dr2r.sinθ+dθ.dφ+r+dr.sinθ+dθ.dφ
=r.sinθ.dr.dφ+r.cosθ.dr.dφ.dθ
Hemos utilizado para esta parte de la demostración la propiedad del seno de una suma de ángulos; una vez más hemos despreciado los términos de segundo orden por ser mucho más pequeños.
Principio de Conservación de la Energía
Aplicaremos el principio de la conservación de la energía para un intervalo de tiempo:
"La cantidad de energía calorífica neta (entrada menos salida) impartida por la transferencia de calor a través de todas sus superficies, más la cantidad de energía calorífica proporcionada por las fuentes internas de calor, es igual a la variación de energía interna considerada".
Eent-Esal+Eg= Ealm
En términos diferenciales tenemos:
dq1+dq2=dU…(I)
Donde dq1 es la cantidad neta de calor introducida por conducción, dq2 es la cantidad de calor "generado" por las fuentes internas y dU es la cantidad de energía interna almacenada.
Hipótesis de Trabajo
Medio homogéneo (densidad uniforme) e isotrópico (sus propiedades físicas no dependen de la dirección).
Las variaciones de volumen (dilatación) debido al cambio de temperatura son despreciables.
Las propiedades físicas (conductividad térmica k, calor específico cp) no se alteran o cambian, se suponen constantes.
Existe una fuente de calor interna uniformemente distribuida.
Deducción de la Ecuación
Cantidad de calor neta introducida por conducción en el volumen
Tenemos lo siguiente:
dq1=dq1r+dq1φ+dq1θ…(II)
De donde:
dq1r=dqr-dqr+dr…(1)
dq1φ=dqφ-dqφ+dφ…(2)
dq1θ=dqθ-dqθ+dθ…(3)
Sabemos también que la cantidad de calor por unidad de área puede expresarse como sigue:
dq=q''.dA.dt
Donde q'' es la cantidad de calor por unidad de área, dq es la cantidad de calor transferida por conducción, dA es el área de conducción, y dt es el intervalo infinitesimal de tiempo. Aplicamos esto para cada cantidad de calor en las diferentes direcciones:
Áreas perpendiculares a la dirección de r:
dqr=qr''.dAr.dt=qr''.r2.sinθ. dθ.dφ.dt
dqr+dr=qr+dr''.dAr+dr.dt=qr''+ qr'' r.dr(r2+2r.dr).sinθ. dθ.dφ.dt
dqr+dr=qr''. r2.sinθ. dθ.dφ.dt+qr''.2r.sinθ. dr.dθ.dφ.dt+ qr'' r.r2.sinθ.dr. dθ.dφ.dt
Para la cantidad de calor dqr+dr hemos aplicado Serie de Taylor al desarrollar el término qr+dr''. Reemplazamos ahora en la ecuación (1):
dq1r=dqr-dqr+dr
dq1r=qr''.r2.sinθ.dφ dθ.dt-qr''. r2.sinθ. dθ.dφ.dt-qr''.2r.sinθ. dr.dθ.dφ.dt- qr'' r.r2.sinθ.dr. dθ.dφ.dt
dq1r=-qr''.2r.sinθ+ qr'' r.r2.sinθ. dr. dθ.dφ.dt
Áreas perpendiculares a la dirección polar φ:
dqφ=qφ''.dAφ.dt=qφ''.r.dr.dθ.dt
dqφ+dφ=qφ+dφ''.dAφ+dφ.dt=qφ''+ qφ'' φ.dφr.dr.dθ.dt
dqφ+dφ=qφ''.r.dr.dθ.dt+ qφ'' φ.r.dr.dθ.dφ.dt
Para la cantidad de calor dqφ+dφ hemos aplicado Serie de Taylor al desarrollar el término qφ+dφ''. Reemplazamos ahora en la ecuación (2):
dq1φ=dqφ-dqφ+dφ
dq1φ=qφ''.r.dr.dθ.dt-qφ''.r.dr.dθ.dt- qφ'' φ.r.dr.dθ.dφ.dt
dq1φ=- qφ'' φ.r.dr.dθ.dφ.dt
Áreas perpendiculares a la dirección azimutal θ:
dqθ=qθ''.dAθ.dt=qθ''.r.sinθdr.dφ
dqθ+dθ=qθ+dθ''.dAθ+dθ.dt=qθ''+ qθ'' θ.dθr.sinθ.dr.dφ+r.cosθ.dr.dφ.dθ.dt
dqθ+dθ=qθ''. r.sinθ.dr.dφ.dt+qθ''.r.cosθ.dr.dφ.dθ.dt+ qθ'' θ. r.sinθ.dr.dφ.dθ.dt
Para la cantidad de calor dqθ+dθ hemos aplicado Serie de Taylor al desarrollar el término qθ+dθ''. Reemplazamos ahora en la ecuación (3):
dq1θ=dqθ-dqθ+dθ
dq1θ=qθ''.r.sinθdr.dφ.dt-qθ''. r.sinθ.dr.dφ.dt-qθ''.r.cosθ.dr.dφ.dθ.dt- qθ'' θ. r.sinθ.dr.dφ.dθ.dt
dq1θ=-qθ''.r.cosθ+ qθ'' θ. r.sinθ dr.dφ.dθ.dt
Reemplazamos ahora todos los términos sombreados de negro en la ecuación (II):
dq1=dq1r+dq1φ+dq1θ
dq1=-qr''.2r.sinθ+qθ''.r.cosθ- qr'' r.r2.sinθ+ qφ'' φ.r+ qθ'' θ. r.sinθ dr.dφ.dt…(III)
La Ley de Fourier nos dice lo siguiente:
q''=-k. T η
Así que ahora dividimos este término en sus componentes en cada dirección de coordenadas esféricas. En el denominador del gradiente de temperatura tomaremos la dimensión de la variación en cada dirección de coordenadas, de acuerdo al volumen infinitesimal de control (ver direcciones en figura 1).
qr''=-k. T rqφ''=-k. Tr.sinθ. φqθ''=-k. Tr. θ
Reemplazando estas ecuaciones en la ecuación (III):
dq1=--k. T r.2r.sinθ-k. Tr. θ.r.cosθ--r2.sinθ. rk. T r-r. φk. Tr.sinθ. φ-r.sinθ. θk. Tr. θ dr.dφ.dθ.dt
dq1= T r.2r.sinθ+ Tr. θ.r.cosθ+r2.sinθ. r T r+r. φ Tr.sinθ. φ+r.sinθ. θ Tr. θk. dr.dφ.dθ.dt
dq1=sinθ. rr2. T r+1sinθ. φ T φ+ θsinθ. T θk. dr.dφ.dθ.dt
Cantidad de calor "generada" en el interior del volumen:
dq2=qf.dV.dt
Dónde qf es la cantidad de energía "generada" por unidad de volumen, y dV=r2.sinθ.dr.dφ.dθ es el diferencial de volumen.
Por lo tanto,
dq2=qf.r2.sinθ.dr.dφ.dθ.dt
Incremento de energía interna en el volumen
dU=dm.cp.dT
dU=ρ.dV.cp. T t.dt
dU=ρ.r2.sinθ.dr.dφ.dθ.cp. T t.dt
Hemos aplicado la definición de densidad ρ=dmdV.
Ecuación diferencial de Calor en Coordenadas Esféricas
Para finalizar reemplazamos todo lo sombreado de rojo en la ecuación (I):
dq1+dq2=dU
sinθ. rr2. T r+1sinθ. φ T φ+ θsinθ. T θk. dr.dφ.dθ.dt+qf.r2.sinθ.dr.dφ.dθ.dt=ρ.r2.sinθ.dr.dφ.dθ.dt.cp. T t
k.1r2. rr2. T r+1r2.sin2θ. φ T φ+1r2.sinθ. θsinθ. T θ+qf=ρ.cp. T t
kρ.cp.1r2. rr2. T r+1r2.sin2θ. φ T φ+1r2.sinθ. θsinθ. T θ+qfρ.cp= T t
a.1r2. rr2. T r+1r2.sin2θ. φ T φ+1r2.sinθ. θsinθ. T θ+qfρ.cp= T t
Donde a=kρ.cp es la difusividad térmica.
Otras formas de la Ecuación
Ecuación De Calor de Poisson:
Si T t=0, T θ=0 1r2. rr2. T r+1r2.sin2θ. φ T φ=-qfk
Ecuación de Laplace en el plano:
Si T t=0, T θ=0, qf=0 1r2. rr2. T r+1r2.sin2θ. φ T φ=0
Ecuación unidimensional de conducción de Calor:
Si T φ=0, T θ=0, qf=0 1r2. rr2. T r=1a T t
Conclusiones
La ecuación de Calor en Coordenadas esféricas ha sido demostrada con la misma rigurosidad matemática con la que demostramos la ecuación en Coordenadas Cartesianas.
Esta ecuación también puede acomodarse para que tome la forma de la ecuación de Poisson, Laplace y unidimensional.
Con esta ecuación se amplía nuestro conocimiento sobre la distribución de temperatura en un sólido, ya que podemos trabajar objetos de la realidad con más facilidad, si es que suponemos que tienen una forma muy cercana a la de una esfera.
Bibliografía
INCROPERA, F.P.; DE WITT, D.P "Fundamentos de transferencia de Calor", 4ta. Ed. Edit. Mc GrawHill, Mexico 1999.
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esfericas
