Ecuación de Colebrook-White 1.1
Fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy λ Darcy λ también conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor f que f que aparece en la ecuación la ecuación de Darcy-Weisbach. Darcy-Weisbach.
Métodos Métodos iterat iterativ ivos os implíci implícitos. tos.
Existe Existen n vari varias as formas ormas de soluci solucion onar ar la ecuac ecuació ión n de Colebroo Colebrook-Whi k-White te de forma iterati iterativa va pero se present presentaa aquí aquí [4] solo el algoritmo algoritmo de Newton-Raphson.
La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939)[1][2] es la siguiente: siguiente:
1.1.1
√ 1 = −2 log10 λ
�
k/D 3,7
+
� √
2,51 Re λ
λ . La ecuación se plantea con un proceso iterativo en λ . Primero es necesario suponer un valor de λ de λ = 0.001
donde R donde Re Reynolds , k /D la rugosidad e es el número de Reynolds, relativa y λ y λ el el factor de fricción.
Calcular:
El campo de aplicación de esta fórmula se encuentra en la zona de transición de flujo laminar a flujo turbulento y flujo turbulento. Para la obtención de λ es necesario el uso de métodos iterativos. Otra forma más sencilla y directa de obtener el valor de λ de λ es es hacer uso del diagrama del diagrama de Moody. Moody.
x =
a =
Para el caso particular de tuberías lisas la rugosidad relativa, es decir la relación entre la rugosidad en las paredes de la tubería y el diámetro de la misma, es muy pequeño con lo que el término k término k /D es muy pequeño y puede despreciars preciarsee el primer primer sumando sumando situado situado dentro dentro del paréntes paréntesis is de la ecuación anterior. Quedando en este caso particular la ecuación del siguiente siguiente modo:
�
√
b =
k/ D 3.70
2.51 Re
f ′ (x) =
−2.0 · (
ln(10)
b ) a + b · x
f (x) − x ∆= ′ f (x) − 1
,
Si ∆ > 1e−8 entonces
Para números de Reynolds muy grandes el segundo sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación de Colebrook-White es despreciable. En este caso la viscosidad no influye en la práctica a la hora de determinar el coeficiente de fricción, este únicamente depende de la rugosidad relativa k relativa k /D de la tubería. Esto se manifiesta en el diagrama el diagrama de Moody en Moody en que en la curva para valores elevados de Re de Re se se hacen rectas horizontales.
x = x − ∆ Repetir hasta lograr convergencia convergencia en x en x . . Por último calcular calcular λ a partir de x de x . . λ a
λ =
1
1 λ0.5
f (x) = −2.0 · log 10 (a + b · x)
� − 0 8
√ 1 = 2 log10 Re λ λ
Solució Solución n implíci implícita ta por Iteració Iteración n de Método Método de Newton-Raphson
Aproxi Aproximac macio ione ness conoci conocidas das para para el cálculo del factor de fricción
1 x2
Donde λ Donde λ está está en función de:
• Rugosidad de la tubería, k tubería, k (mm, (mm, pulgada)
Para la solución de la ecuación implícita de ColebrookWhite White se han plant plantea eado do dive diverso rsoss técnic técnicas as divi dividi didas das en dos tipos principalmente principalmente[3]
• Diámetro, D Diámetro, D (mm, (mm, pulgada) • Número de Reynolds, Reynolds, Re (adimensional). Re (adimensional). 1
1 APROXIMACIONES CONOCIDAS PARA EL CÁLCULO DEL FACTOR DE FRICCIÓN
2
1.2
Métodos directos, explícitos.
Existen muchas ecuaciones explícitas a la ecuación de Colebrook-White como:
• Moody (1944,[5] 1947[6] ),
1.2.1
La ecuación de Goudar es una de las aproximaciones para hallar el factor de fricción λ de Darcy–Weisbach, en tuberías circulares; la cual ha sido calculada de la ecuación de Colebrook–White. Teniéndose:
• Wood (1966[7] ), a =
2 ln(10)
b =
k /D 3 .7
d =
ln(10)Re 5.02
• Eck (1973[8] ), [9]
• Churchill (1973
),
• Swamee & Jain (1976[10] ),
Solución explícita con la ecuación de Goudar– Sonnad
s = bd + ln(d)
• Chen (1979[11] ),
q = s s/(s+1)
• Round (1980[12] ), • Barr (1981[13] ),
g = bd + ln z = ln
• Zigrang and Sylvester (1982 [14]),
q g
DLA = z
• Haaland (1983[15] ), • Serghides (1984[16] ), • Manadilli (1997[17] ), • Romeo et al (2002[18] ), • Sonnad and Goudar (2006[19] ), • Buzelli (2008
[20]
),
• Avci and Karagoz (2009[21]), • Papaevangelou et al. (2010[22] ) and • Brkic (2011
[23]
).
Sin embargo debe recordarse que estas ecuaciones corresponden a aproximaciones y regresiones de valores calculados a partir de métodos implícitos como el de Newton-Raphson. Tan sólo la ecuación de Avci and Karagoz (2009) ha sido desarrollada a partir de datos de laboratorio recientes conocidos como “Princeton University super-pipe data”.[24]
d q
g g + 1
DCF A = D LA
1
√
λ
z /2 1+ 2 (g + 1) + (z /3)(2g − 1)
�
���
= a ln
d q
+ DCF A
�
�
Donde λ está en función de:
• Rugosidad de la tubería, k (mm, pulgada) • Diámetro, D (mm, pulgada) • Número de Reynolds, Re (adimensional). 1.2.2
Discusión acerca del error de las aproximaciones
Brkic,[25] encontró que las aproximaciones con menor error máximo (<0.14%) son las de Romeo-RoyoMonzon, Buzelli, Serghides, Zigrang-Silvester. Mientras que del otro lado de la balanza, las aproximaciones con mayor error relativo (>8.0%) fueron las de Eck, Round, Moody, Wood, Rao-Kumar. Un resultado interesante de este trabajo radica en que la aproximación más usada para aproximar la ecuación de Colebrook suele ser la de Swamee y Jain, pero esta presenta un error máximo relativo superior al 2.0%.
3
2
Referencias
[1] Colebrook, C.F. (febrero de 1939). «Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws». Journal of the Institution of Civil Engineers (Londres). [2] Colebrook, C. F. and White, C. M. (1937). «Experiments with Fluid Friction in Roughened Pipes».
Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 161 (906): 367-381. Bibcode:1937RSPSA.161..367C. doi:10.1098/rspa.1937.0150.
[18] Romeo E, Royo C, Monzon A. (2002)Improved explicit equations for estimation of the friction factor in rough and smooth pipes. Chem Eng J 2002;86(3):369–374 [19] Goudar, C.T., Sonnad, J.R. (2008). “Comparison of the iterative approximations of the Colebrook–White equation”. Hydrocarbon Processing Fluid Flow and Rotating Equipment Special Report2008: 79–83. [20] Buzelli D. Calculating friction in one step. Mach Des 2008;80(12):54–55. [21] Avci, A., Karagoz, I. (2009). “A novel explicit equation for friction factor in smooth and rough pipes”. Journal of Fluid Engineering ASME 131(6),1-4 061203
[3] Brkic, D. (2011). «Review of explicit approximations to the colebrook relation for flow friction». Journal [22] Papaevangelou, G., Evangelides, C., Tzimopoulos, C., of Petroleum Science and engineering (77): 34 - 48. 2010. A new explicit equation for the friction coeffidoi:10.1016/j.petrol.2011.02.006. cient in the Darcy–Weisbach equation, Proceedings of the Tenth Conference on Protection and Restoration of the [4] Saldarriaga, J.G. (2001). “Hidraulica de Tuberias”.: 85– Environment: PRE10, July 6–9, 2010. Greece Corfu 166, 90. 1–7. [5] Moody, L.F., (1944). Friction factors for pipe flow. Trans. ASME 66 (8), 671–684. |http://www.chem.mtu. edu/~{}fmorriso/cm310/MoodyLFpaper1944.pdf
[23] Brkić, D. (2011a). An explicit approximation of the Colebrook equation for fluid flow friction factor. Petrol. Sci. Tech. 29(xx), xxx–xxx. accepted, in press.
[6] Moody, L.F., (1947). An approximate formula for pipe friction factors. Trans. ASME 69(12), 1005–1011.
[24] http://www.princeton.edu/mae/people/faculty/smits/ homepage/data-1/
[7] Wood, D.J., (1966). An explicit friction factor relationship. Civil. Eng. 36 (12), 60–61
[25] Brkic, D. (2011). «Review of explicit approximations to the colebrook relation for flow friction». Journal of Petroleum Science and engineering (77): 34 - 48. doi:10.1016/j.petrol.2011.02.006.
[8] Eck, B., (1973). Technische Stromungslehre. Springer, New York [9] Churchill, S.W., (1973). Empirical expressions for the shear stress in turbulentflow in commercial pipe. AIChE J. 19 (2), 375–376 [10] Swamee, P.K., Jain, A.K., (1976). Explicit equations for pipeflow problems. J. Hydraul. Div. ASCE 102 (HY5), 657–664 [11] Chen NH. (1979) An explicit equation for friction factor in pipe. Ind Eng Chem Fund 1979; 18(3):296‐297. [12] Round, G.F., (1980). An explicit approximation for the friction factor-Reynolds number relation for rough and smooth pipes. Can. J. Chem. Eng. 58 (1), 122–123. [13] Barr DIH. Solutions of the Colebrook‐White function for resistance to uniform turbulent flow. Proc Inst Civil Eng 1981;2(71):529. [14] Zigrang D.J, Sylvester N.D. (1982). Explicit approximations to the solution of the Colebrook’s friction factor equation. AIChE J 1982;28:514–515. [15] Haaland S.E. (1983) Simple and explicit formulas for the friction factor in turbulent pipe flow. Journ Fluids Eng 1983:105. [16] Serghides, T.K., (1984). Estimate friction factor accurately. Chem. Eng. 91 (5), 63–64 [17] Manadilli G. (1997) Replace implicit equations with signomial functions. Chem Eng J 1997; 104(8):129.
3 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS
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Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
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Texto Ecuación de Colebrook-White Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Colebrook-White?oldid=96423858 Colaboradores: Bermiego, Ceancata, CEM-bot, Ninovolador, Urdangaray, Juan Mayordomo, Mariocastrogama, TiriBOT, EmausBot, Grillitus, John PC, MerlIwBot, Invadibot, Addbot y Anónimos: 7
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