Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ing. Electrónica y Eléctrica
Profesor: Castro Vidal Raúl. Curso: Ecuaciones Diferenciales Grupo: Integrantes: C!"# C$RDE%#& '#R(# )*)+,- C!E/0 &#(#1#R 2E&&IC# )*)+,3 4#%ER0 4#R#((#%0 (!I& )*)+,)-5 4IR#%D# &#(#1#R 6E%R7 )*)+,)+ %#V %#V#RR0 E&PI%01# DI#%# )*)+,)5+ P#!C#R#7((0% C6RI&/I#% )*)+,,+3 &0(8& V$&9!E1 2#I4E )*)+,,V#(E%CI# (!%# (!I& $%GE( )5)+,)* 1
,)-
8%DICE Introducción…………………………………… Introducción………………………………………………………………… ……………………………………… ………… ………………………. Antecedentes………………………………………………………………………… Antecedentes…………………………………………………… …………………… ………………………. Marco Teórico…………………………… Teórico……………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………… …………... &ucesiones en %úeros Reales •
•
•
•
•
Defnición……………………………………………………………… ……………… Clases…………………………………………………………………… ………………. Eje!los………………………………………………………………… ……………. Conver"encia de Sucesiones………………………………………………… Criterios de Conver"encia……………………………………………………..
&eries de Potencia •
•
•
•
Defnición……………………………………………………………… …………….. Eje!los………………………………………………………………… ……………. Series Nota#les………………………………………………………………… …. Suas $arciales………………………………………………………………… …. %
•
•
•
•
Conver"encia de series……………………………………………………….. Criterios de conver"encia de Cauc&y…………………………………… Criterios de conver"encia……………………………………………………. 'adio de Conver"encia………………………………………………………..
Ane(os………………………………………………………………………………… ………………………. )i#lio"ra*+a………………………………………………………………………… )i#lio"ra*+a……………………………………………… …………………………… … ………………………
I%/R0D!CCI;% El !resente tra#ajo est, dise-ado de *ora !r,ctica y sencilla !ara conocer un !oco de este "ran tea coo es Serie de neros reales y serie de sucesiones recorriendo los conce!tos teóricos y ejercicios /ue nos ayudaran a un ejor entendiiento del tea
Este tra#ajo est, dividido en oc&o !artes coo lo !odr,n ver en el +ndice donde en cada una de ellas se encontraran con ejercicios de di*erentes niveles.
0
os !ro#leas y ejercicios /ue se encuentran en este tra#ajo &an sido reco!ilados de di*erentes *uentes ya sea de li#ros o !,"inas en internet
Es!eraos /ue esta ono"ra*+a /ue tienes en tus anos sea de su a"rado y /ue a!rendas ,s acerca de series y sucesiones.
#%/ECEDE%/E& $ara !oder co!render con ayor *acilidad esta ono"ra*+a so#re series de !otencia y sucesiones de neros reales teneos /ue tener en cuenta o ya contar con al"unos conociientos !revios. Al"unos de estos teas son !ro!iedades !ro!iedades de suatoria de neros reales 2 •
!ro!iedad 312
n
n (n+1) k = ∑ 2 = k 1
4
q
•
!ro!iedad 3%2
•
!ro!iedad 302
(
)
q + p ( q− p + 1 ) k = ∑ 2 = k p
n
2 k =n ( n + 1) ∑ = k 1
•
!ro!iedad 342
n
( 2 k −1 )=n ∑ =
2
k 1
Es recoenda#le el &a#er reali5ado un estudio detallado de los si"uientes teas2 6 Sucesiones y series de neros reales. 6 Derivación e inte"ración. Asiiso ta#i7n es uy aconseja#le /ue se ten"a un conociiento +nio del !ro"raa Mat&cad. $or lo tanto8 recoendaos /ue tra#aj7is los Mat&#loc9s2 • • • •
Uso #,sico del Mat&cad en An,lisis :I;2 c,lculo si#ólico y anal+tico
4#RC0 /E;RIC0
&eries de %úeros Reales:
=
En el si"lo >?III uc&os ate,ticos #usca#an8 sin deasiado 7(ito8 el valor de la e(!resión 1 @ 1 % % @ 1 0 % @ 1 4 % @ . . . a !riera a!ortación relevante *ue &ec&a !or aco#o )ernoulli en 1B cuando deostró la conver"encia de dic&a serie. M,s tarde8 en 1%F1%8 D. )ernoulli calculó su valor con una !recisión de una cent7sia. Stirlin" auentó la !recisión &asta los oc&o !rieros deciales al a-o si"uiente. Cuatro a-os des!u7s8 Euler calculó el valor con diecioc&o ci*ras deciales y se dio cuenta de /ue coincid+an con la e(!resión de G % HB. En a-os !osteriores8 Euler no sólo deostró /ue8 e*ectivaente8 ese era el valor de dic&a sua sino /ue calculó 1 @ 1 % 9 @ 1 0 9 @ 1 4 9 @ . . . !ara 9 !ar. En este tea vaos a estudiar sucesiones de esta *ora. ?ereos /ue8 en al"unos casos concretos8 sereos ca!aces de calcular su l+ite. En el resto de ocasiones intentareos8 al enos8 decidir so#re la conver"encia o no de dic&as sucesiones.
•
&eries de Potencia:
as series de !otencias8 vistas coo *unciones8 tienen un co!ortaiento #ueno8 en el sentido de /ue son *unciones continuas y deriva#les de cual/uier orden. Mas aun8 su *uncion derivada es8 otra ve58 una serie de !otencias. Desde un !unto de vista as !ractico8 las series de !otencias a!ro(ian a su *uncion sua. Es decir8 la sua !arcial de orden n8 /ue no es as /ue un !olinoio de "rado n a lo suo8 re!resenta una a!ro(iaci on a la *uncion sua en su doinio de conver"encia
&!CE&I;% DE %<4ER0& RE#(E& En el len"uaje corriente las !ala#ras JserieK y JsucesiónK son sinónias y se utili5an !ara desi"nar un conjunto de cosas o sucesos dis!uestos en un B
orden. En Mate,ticas8 estas !ala#ras tienen un si"nifcado t7cnico es!ecial. a !ala#ra JsucesiónK tiene un sentido an,lo"o al del len"uaje corriente8 !ues con ella se /uiere indicar un conjunto de o#jetos !uestos en orden8 !ero la !ala#ra JserieK se usa en un sentido co!letaente distinto. Si a cada entero !ositivo n est, asociado un nero real an 8 entonces se dice /ue el conjunto ordenado2 a1 , a2 , a3 , … , a n …
Defne una sucesión infnita. Cada t7rino de la sucesión tiene asi"nado un entero !ositivo8 de Manera /ue se !uede &a#lar del !rier t7rino a1 8 del se"undo t7rino a2
y en "eneral del t7rino nL7sio
an
. Cada t7rino
an
tiene un
si"uiente an−1 y !or tanto no &ay un Jltio t7rinoK. os eje!los ,s corrientes de sucesiones se !ueden construir dando al"una re"la o *órula /ue defna el t7rino nL7sio. As+8 !or eje!lo8 la *órula
an =
1 n Defne la sucesión cuyos cinco !rieros t7rinos son2 1 1 1 1 1, , , ; . 2 3 4 5
$odeos defnir de anera ,s *oral una sucesión de neros reales coo una a!licación & de los neros naturales N en el conjunto ' de los neros reales2 &2 N ' 8 n &:n; x n . a ia"en de n reci#e en no#re de t7rino nL7sio o t7rino "eneral de la sucesión. $odeos ta#i7n defnir una sucesión de neros reales coo a/uella *unción * cuyo doinio es el conjunto infnito de todos los enteros !ositivos 18%80848=8... El valor * :n; de la *unción se denoina el t7rino nL 7sio de la sucesión. De al"una *ora &eos reada!tado el conce!to de *unción continua8 donde &eos fjado el doinio de la *unción coo el conjunto de los naturales8 N. En lo /ue si"ue8 direos /ue dos sucesiones
{a n } y {b n }
Son i"uales si x n= y n !ara todo n ON.
&ucesión acotada
Una sucesión {a n } se dice /ue est, acotada si e(iste un nero !ositivo K tal /ue
|a n|≤ K !ara todo n. Entonces8 K es una cota de la sucesión {a n }
?eos8 coo eje!lo8 /ue la sucesión encionada anteriorente a n 1 est, acotada. )asta con fjarse /ue !ara
n ≥ 1 , 1≥
1 n
$or lo tanto8 la
sucesión est, acotada y las cotas son todos los neros reales ayores o i"uales a la unidad. Una sucesión es no acotada si !ara cual/uier valor G8 ar#itrariaente "rande8 e(iste un nero natural n tal /ue |a n|> G. 2
Coo eje!lo de sucesión no acotada8 !ro!orcionaos a/u+
n +1 an = . n
Teneos /ue !ro#ar /ue dado un valor G ar#itrariaente "rande8 entonces e(iste un valor de n tal /ue |a n|> G. $ara ello8 nos de#eos fjar en /ue !ara cual/uier G es !osi#le encontrar un n tal /ue2 2
1 n +1 an = = n + >G n n
$uesto /ue n !uede &acerse ar#itrariaente "rande.
&ucesión 4onótona Una sucesión {a n } se dice /ue es creciente si !ara todo nero natural n se verifca /ue an + 1 ≥ an Una sucesión {a n } se dice /ue es decreciente si !ara todo nero natural n se verifca /ue an +1 ≤ an . Una sucesión es onótona si es creciente o decreciente. Nos !ro!oneos a&ora deostrar /ue la sucesión con t7rino "eneral2 an =
n n+ 1
es onótona creciente. Si /uereos co!ro#ar /ue la sucesión es onótona creciente8 teneos /ue deostrar /ue an ≤ an+1 .
?e,oslo2
CRI/ERI0& DE C0%VERGE%CI#
•
Criterio de dPAle#ert 2
sea
una serie de t7rinos estrictaente !ositivosQ si
entonces el Criterio de DPAle#ert esta#lece /ue si2 R 18 la serie conver"e 8 la serie no conver"e 1 el criterio no esta#lece nada res!ecto a su conver"encia
•
Criterio de la ra+52 Si los t7rinos an son estrictaente !ositivos y si e(iste una constante CR1 tal /ue 8
entonces
•
∑a
es conver"ente.
n
Criterio de 'aa#e2 sea una serie !ositivos;. Si e(iste el l+ite
(
lim k 1 + n →∞
a k + 1 ak
)=
8 tal /ue :serie de t7rinos
ak > 0
❑
L
8
entonces8 si 1 la serie es conver"ente y si 1 la serie es diver"ente. :Nota2 el Criterio de 'aa#e es recoendado sólo en caso de *allar el Criterio de DPAle#ert;.
•
Criterio de la inte"ral de Cauc&y2 Si f : x ; es una *unción !ositiva y onótonaente decreciente defnida en el intervalo 18 ; tal /ue f :n; an !ara todo n8 entonces
∑a
n
conver"e si y
sólo si es fnita. n
M,s "eneralente8 !ero en un inte"ral •
∑ f (n ) N
y !ara el ti!o de *unción defnida antes8
intervalo N8;8 la serie conver"e si y sólo si la conver"e.
Criterio de ei#ni52 una serie de la *ora :con ; se llaa serie alternada. Tal serie conver"e si se cu!len las si"uientes condiciones2 a; !ara n !ar y n i!ar.
#; a serie tiene /ue ser a#solutaente decreciente8 es decir /ue2 . 13
Si esto se cu!le8 la serie convergente8 de lo contrario la
es condicionalmente serie diver"e.
CRI/ERI0 DE C0%VERGE%CI# C04P#R/IV0&
Son a!lica#les en caso de dis!oner de otra serie su condición de conver"encia o noLconver"encia.
tal /ue se cono5ca
Criterio de co!aración directa
•
Si Si
conver"e
Si
diver"e
conver"e diver"e
Criterio de co!aración !or !aso al l+ite del cociente
•
Sean
y
series de t7rinos no ne"ativos. Si e(iste
entonces2 Si
y la serie
Si
y
Si isa
conver"e entonces diver"e entonces
diver"e.
entonces las series y co!arten la condición :a#as conver"en8 o #ien a#as son diver"entes;.
&erie de Potencia Es la e(!resión natural del !olinoio. Su *ora es2 ∞
c x =c + c x + c x + … + c x + … ∑ = n
n
conver"e.
n
2
0
1
2
n
n 0
11
c 0 , c1 , c 2 , … , c n , …
En donde
son coefcientes fjos y
x es una varia#le.
Esta serie de coefcientes es !ara !ro#ar si son conver"entes o diver"entes. as suas !arciales de una serie de !otencias son !olinoios en x . Eje!lo 12 Encuentre el radio de conver"encia y el intervalo de la si"uiente serie2 ∞
∑ = n 0
n
x n!
|
|
n+ 1
x n ! lim × n <1 n →∞ ( n + 1 ) ! x
lim n →∞
1
n+ 1
=0
r= 0
| x|lim n→ ∞
1
n +1
<1
−∞ < x < ∞
Eje!lo %2 Encuentre el radio de conver"encia y el intervalo de la si"uiente serie2 ∞
∑ = n 1
n
x √ n
|
|
n +1
x √ n lim × n <1 n →∞ √ n + 1 x
| x|lim n→ ∞
√
n n +1
<1
| x|< 1 r =1
−1 < x <1
1%
Eje!lo 0 ∞
Vallar el radio y el intervalo de conver"encia de la si"uiente serie2
n →∞
|
lim
nx
n
|<
n 0
1
| | ( )
n 1+
n →∞
1
n
lim ( n + 1) x ×
nx ∑ =
1
n
x
n
<1
| x|lim 1 + 1 ¿ 1 n
n→ ∞
| x|× 1 ¿ 1 | x|< 1
r =1 Intervalo −1 < x < 1
EE'CICIWS $'W$UESTWS 1; Vallar el radio y el intervalo de conver"encia de la si"uiente serie2 ∞
n
x 2 n=1 n
∑
%; X$ara /u7 valores de 5 conver"e la serieY
∑ ( = ∞
n 0
1+ 1 −
)
n
0; Calcule el radio de conver"encia de la serie de !otencias2
10
n
∞
(−2 ) ∑ = n
n3
n 0
4; Calcule el radio de conver"encia2 ∞
n ( n + 1 ) ∑ =
n
n 1
=; Calcular el radio de conver"encia ' de la serie2 ∞
∑ = n 0
n
x n ( n+ 1)
&ERIE& %0/#"(E& ∞
•
SE'IE ZEWM[T'ICA .
n
a 0 . "e c#$ple
n 0
a
n
a r =¿
ar ∑ =
1− r ∞
%& ⃓ r ⃓ < 1 la %er&e conver'e y a(e$) %
¿ ∑ = n 0
n
a r =¿
ar
k
1− r ∞
*n 'eneral
¿ ∑ = n k
%& r > 1 la %er&e (&ver'e •
SE'IE A'M\NICA ZENE'AI]ADA. ∞
1 p > 0. "e c#$ple : ∑ = p n 1
%& 0 < p ≤ 1 la %er&e (&ver'e .
14
%& p > q la %er&e(&ver'e .
Con=ergencia de series de térinos no negati=os:
Una serie de t7rinos no ne"ativos o #ien conver"e o #ien diver"e ya /ue la sucesión de sus suas !arciales es onótoa. an +1= "n + a n+1 (no ne'at&vo) ≥ " n
Sua !arcial nLen7sia2 •
En "eneral !ara una *unción continua * decreciente y !ositiva en 1, ∞>¿ se verifca ¿
n
n
n
1
k 1
1
∫ f ( x ) (x <∑= f ( x )
$or lo tanto la sucesión
f ( k ) ∑ = k 1
verifca /ue
n
n
n
1
k 1
1
∫ f ( x ) (x <∑= f ( x )
1=
1, ∞ >¿
Si la *unción es continua8 creciente y !ositiva en n
n
n
1
k 1
1
¿
se verifca
∫ f ( x ) (x <∑= f ( k )<∫ f ( x ) (x + f (n ) Criterio inte"ral Si * es !ositiva8 continua y decreciente !ara ∞
∞
1
k 1
a ∫ f ( x ) (x y ∑ =
n =¿ f ( x ) x ≥ 1 y a¿ entonces2
n
Criterio de coparación ∞
%&
∞
a , y ∑ b %on %er& e% (eter$&no% po%&t&vo% verf&can(o ∑ = = n
n
n 1
n 1
an ≤ bn parato(o n ∈ N %alvo #n n + $erof&n&to
Entonces2 ∞
a
%&
∞
b e% conver'ente entonce% ∑ a ta$b&, n e%conver'ente . ∑ = = n
n
n 1
n 1
∞
#
%&
∞
a e% (&ver'ente entonce% ∑ b ta$b& n e% (&ver'ente. ∑ = = n
n
n 1
n 1
Criterio de co!aración !or !aso al l+ite ∞
%e con%&(eran la% %er&e%
∞
a y ∑ b . *ntonce% ∑ = = n
n 1
lim
a Si
n →∞
an
#
bn
an bn
= -
{
0
∞
n
n 1
a$ba% %er&e% t&enen el $&%$o car ) cter ∞
∞
n =1
n=1
=¿ 0 y la %er&e ∑ bn e%conver'ente entonce% ∑ a n e% conver'ente. %& lim ¿ n→∞
an
c
bn
∞
∞
n= 1
n=1
=¿ ∞ y la %er&e ∑ b n e%(&ver'ente entonce% ∑ a n e% (&ver'ente . %& lim ¿ n→∞
1B
C0%VERGE%CI# DE &ERIE& Dada una sucesión ^a 1 8 a% 8 a 0 8… 8 an 8…_ se llaa serie de t7rino "eneral n > 1 ¿ an
an 8 y /ue re!resentareos !or
∑¿ ¿
8 a la sucesión de suas !arciales
^Sn_ defnida !or S 1 a18 S% a1 @ a% 8…8 Sn a1 @ a% @ 8…@an8… " = lim "n
Decios /ue una serie es convergente si es /ue e(iste
n→
∾
8 la serie
n > 1 ¿ an
∑¿ ¿
se dice conver"ente y su sua es S8 o sea la escri#ios coo
n > 1 ¿ an ="
∑¿ ¿
Decios /ue una serie es divergentesi dic&o l+ite es infnito o no e(iste8 la n > 1 ¿ an
serie
∑¿ ¿
es diver"ente.
C'ITE'IWS ZENE'AES DE CWN?E'ZENCIA 1. Condición del resto2 n > 1 ¿ an
Si una serie
∑¿ ¿
es conver"ente8 entonces
lim n=0 n→
∾
Deducios /ue si el t7rino "eneral de una serie no conver"e a cero dic&a serie es diver"ente. %. Criterio de co!aración2 n > 1 ¿ an
Dadas dos series
∑¿ ¿
n > 1 ¿ bn
n > 1 ¿ bn
∑¿ ¿
∑¿ ¿
y
8 si an ` #n 8 $ara todo n y
n > 1 ¿ an
∑¿ ¿
conver"e8 entonces
1
conver"e.
An,lo"aente8 si una serie es diver"ente y todos sus t7rinos son ayores o i"uales /ue los de otra serie8 7sta ltia es ta#i7n diver"ente. 0. Criterio de co!aración !or !aso al l+ite.
( ) an
= L : fnito y di*. De 3;8 entonces a> Si lim bn n→ ∾
n >1 ¿ bn conver'e . n > 1 ¿ anconver'e<−¿
∑¿ ¿ ?> Si
lim n→
∾
( )= an bn
0
∑¿ ¿
8 entonces
n >1 ¿ anconver'e. n > 1 ¿ bn conver'e −¿
∑¿ ¿ c> SI
lim n→
∾
( )
an = bn
∾
∑¿ ¿
8 entonces
n >1 ¿ bnconver'e. n > 1 ¿ an conver'e −¿
∑¿ ¿
∑¿ ¿
NWTA2 •
$ara utili5ar los criterios de co!aración es conveniente conocer la conver"encia de las si"uientes series2
∑ Serie arónica2 a serie
n >1 ¿
¿
() 1
p
n
es conver"ente
¿
cuando ! 1 y diver"ente cuando ! ` 1. ∑ ¿ Serie "eo7trica 2a serie n> ¿ a . r es conver"ente ¿ p
1
cuando rR1 y diver"e cuando r ≥ 1. 1
4. Criterio del cociente :Db Ale#ert;. lim
Sea L =
n→
∾
( + ) Entonces2 an 1 an
n > 1 ¿ an
∑¿ ¿
a; Si R 18
conver"eQ
n > 1 ¿ an
∑¿ ¿
#; Si 18
diver"e.
=. Criterio de la ra+5 : CAUCV;. lim
Sea L =
n→
∾
n an √ Entonces8
n > 1 ¿ an
∑¿ ¿
a; Si R 18
conver"eQ
n > 1 ¿ an
#; Si 18
∑¿ ¿
diver"e
B. Criterio de 'aa#e.
(
an + 1 > 1 8 entonces an
(
an + 1 < 1 8 entonces an
a; Si
lim 1−
#; Si
lim 1−
n
n
)
∑ an
conver"e.
)
∑ an
diver"e.
. Criterio de la Inte"ral. Sea f : ¿ → / una *unción decreciente y * :(; 3. $ara todo (8 Entonces ∾
∫ f ( x ) (x (&ver'e.
n > 1 ¿ f ( n ) conver'e <−¿
∑¿ ¿
1
. Criterio del !roducto:$rin"s&ei; 1
38 !ara al"n ! 18 entonces
∑ an
!ara al"n ! ≤ 18 entonces
∑ an
p
lim n an= L ≥
a; Si
n→
∾
conver"e. p
lim n an= L > 0,
#; Si
n→
∾
conver"e. . Criterio lo"ar+tico. lim
Si
n→
∾
log1 / an = L 8 entonces log n
a;
∑ an
conver"e cuando 1
#;
∑ an
diver"e cuando R 1.
c; EE'CICIWS 'ESUETWS2 Analice la conver"encia de las si"uientes series 2
n%&n
()
2 ,b 0
n 5
n +1 ∞
a¿
∞
,c
∞
¿ ∑ ¿ ∑ n e− ¿ ¿ ∑ = = = 2
n 1
n 0
n
n 1
Solución2 Diver"e8 !ues
lim n%&n n →∞
() 2
n
sin
=2 lim n→∞
2
2
n
=2 0 .
n
%3
∞
Conver"e. Co!are con
1/ n ∑ = n 1
4
. Alternativaente se !uede usar el
criterio de co!aración al l+ite con la sucesión # n 1Hn4
Conver"e. A!li/ue el criterio del cociente2
lim
(n + 1 )2 e−(n +1) −n
2
n e
n →∞
=
1
e
Estudie la conver"encia de las si"uientes series 2
−n− ( −1 )n
2
√ n n+ 1 a¿
,b
,c
∞
∞
∞
n 1
n 1
n 1
¿∑ ¿∑ ∑ = = =
2
−2 n
n e ¿¿ 2 n +1
Solución2 A!licar el criterio de la ra+5. 2 1 1 /n
n n
an = lim (¿¿−n−(−1) ) n →∞
lim
¿
n→∞
(−1)n+ 1
¿ lim 2−1 2
n
n →∞
−1
¿2
lim
2
n →∞
(−1) n+1 n
%1
1 2
¿ 2−1 20= < 1
Nótese /ue
lim n→
∾
(−1 )n+1 n
3 8 el cual se deduce utili5ando el
teorea de acotaiento. $ara todo n ≥ 18 √ n ≥ 1. ue"o
√ n n +1
≥
∞
1
A&ora8 dado /ue
n +1
1 ∑ = n +1 n 1
es diver"ente8 se tiene /ue la serie en cuestión ta#i7n es diver"ente.
Utilice el criterio de co!aración al l+ite. En e*ecto8 sea a n eL%n8 entonces la si"uiente es una serie "eo7trica conver"ente.
∞
a; Deuestre /ue !ara todo nero real p8 la serie
#; Estudie la conver"encia de la serie
∞
∑ = n 1
Solución2
%%
(1 +
10
n n!
n
)
2
∑ = n 1
$
e n ! Conver"e.
np
En este !ro#lea usaos el criterio del cociente con a n
e n ! an@1
( n+1 ) p
e ( n + 1 ) ! . De este odo
p
an+1
e = → 0 Si n L ∞ an n+1
∞
En consecuencia la serie
∑ = n 1
p$
e n!
Conver"e !ara todo p real.
En este !ro#lea se utili5ar, el criterio de co!aración. En e*ecto8 es #ien conocido /ue 2 n
10 (1 + ) ≤ e 10 . n
$or lo /ue el t7rino nL7sio de la serie en cuestión es acotado 10 $
su!eriorente !or
e n!
y coo esta sucesión "enera una sucesión conver"ente8 entonces la serie es conver"ente. Deterinar si la si"uiente serie es conver"ente.
∑( ∞
n →1
co%n 2 n −1
)
2
Nótese /ue2
(
)( 2
)( 2
1 1 co%n cos n <1 ∀ n , an= < < 2 n −1 2 n −1 2 n−2 2
%0
)
2
n ≥1 n ≥ 2
$odeos esta#lecer entonces /ue2
( )
1 1 1 = 2 n −2 2 n −1 ∞
=
∞
1 1 1 1 , $=n− 1 → an < , $≥ 1 2$ 4 $2
1 a n =a 1 + an < 4 n=1 n =1
∑
∑
∑ ( = ∞
$or lo tanto
n 1
∞
∞
1
∑ $ y ∑ $1 2
1
1
2
e%#na %er&e− p cover'ente .
)
2
co%n conver'e . 2 n −1
∑a
Estudiar el car,cter de la serie
n
n
de t7rino "eneral
n an = n 3 .n!
A!licando el criterio del cociente2
n−1
n n−1 3 . ( n−1 ) ! 1 n n ¿ lim n . = lim . n− 1 ❑ 3 . n! ❑ 3 ( n−1 ) ( n−1 )n−1
n −1
( )
1 n ¿ lim 3 ❑ n −1
(
1 1 = lim 1+ 3 ❑ n −1
Estudiar el car,cter de la serie
n−1
)
e 3
= < 1.
∑a
n
de t7rino "eneral2
A!licando el criterio de Db Ale#ert2
%4
1 a an = n t' n 2 2
n+1
2 a /¿
¿
n
2 a /¿
¿ t' ¿ t' ¿ ¿ lim ❑
an +1 =lim ¿ ❑ an
n
1 1 a 2 ¿ lim n+1 . = < 1. 2 ❑ 2 a 4
Esto indica /ue la serie es conver"ente.
$'W)EMAS $'W$UESTWS2 Estudiar el car,cter de la serie
∑a
n
2 x
n
2n
de t7rino "eneral2 an = 1 + x 2 n
res!ecto a los diversos valores de (
1. Estudiar el car,cter de la serie
∑a
n
de t7rino "eneral2
∑a
n
de t7rino "eneral2
2
n +2 n +2 an =ln 2 n −2 n + 2
%. Estudiar el car,cter de la serie an =
2 n −1 n
( √ 2 )
%=
0. Estudiar el car,cter de la serie
∑a
n
de t7rino "eneral2
∑a
n
de t7rino "eneral2
n ln ¿
¿
n ln ¿
¿ ¿ ¿ ¿ 1 an = ¿ 4. Estudiar el car,cter de la serie a
n + 1 an =( ln ) n −1
=. Estudiar la conver"encia de la si"uiente serie2 n ln ¿
¿
n ln ¿
¿ ¿ ¿ ln ¿ ¿ ¿ 1
¿
∞
¿ ∑ = n 2
B. Estudiar la conver"encia de la si"uiente serie2 ∞
∑ = n 1
4
%en ( n )
4 √ n + 1
. Deostrar /ue la si"uiente serie2
%B
1 2 3 + + +… 2 ! 3! 4 !
conver"e
∞
. Deostrar /ue la si"uiente serie 2
r ∑ =
n
n 1
∞
. Estudiar la conver"encia de la si"uiente serie2
n ∑ =
n
%en
n 1
1
n
/eorea @Criterio de la RaAB o Criterio de Caucy> ∞
Si en
a ∑ =
la serie infnita
lim √ an= k
n
n 1
8 de t7rinos !ositivos8 se tiene /ue
n
n →∞
8 entonces2 ∞
i
Si 9 R18 la serie
a ∑ =
n
n 1
es conver"ente.
∞
a ∑ =
ii
Si 918 la serie
iii
Si 918 no se !uede deterinar nada.
n
n 1
es diver"ente.
EEM$WS2
∑ ( = ∞
1 Deterinar si la serie
n 1
n+1 2 n −1
)
SWUCIWN
%
n
es conver"ente o diver"ente.
(
n +1 an = 2 n−1
Coo
)
n
y de acuerdo al criterio de la ra+5 se tiene2
( ) √ = ¿
√ an=¿ lim n
n
n +1 2 n− 1
n
n→∞
k lim
lim n →∞
(
n+1 2 n− 1
)
1 2 R1
n→ ∞
∑ ( = ∞
ue"o la serie2
n 1
n +1 2 n −1
)
n
8es conver"ente de acuerdo a la !arte :i;
del teorea. ∞
% Deterinar la conver"encia o diver"encia de la serie
( n / −1 ) ∑ = 1 n
n
n 1
SWUCIWN n 1 /n ( 1 ) a n = − n Coo y de acuerdo al criterio de la ra+5 se tiene2 n 1 /n √ an=¿ lim √ ( n −1 ) n
n
n→∞
lim ( n
k = lim ¿
1 /n
− 1 ) =1− 1 = 0
n →∞
n→ ∞
ue"o !or la !arte :i; del teorea se concluye /ue la serie ∞
( n / −1 ) ∑ = 1 n
n
8 es conver"ente.
n 1
∞
0 Deterinar si la serie
∑ =
n
n ( √ 2 + 2 ) 3
n 1
3
n
es conver"ente o diver"ente.
SWUCIWN n
n ( √ 2 + 2 ) 3
Coo an =
√ an=¿ lim n
n→∞
y de acuerdo al criterio de la ra+5 se tiene2
n
3
√ n
n
n ( √ 2 + 2) 3
n
3
= lim n3 / n
(√ 2 + 2 ) √ 2 + 2 = >1
n→ ∞
k = lim ¿ n→ ∞
%
3
3
ue"o !or la !arte :ii; del teorea se concluye /ue la serie ∞
∑ =
n
n ( √ 2 + 2 ) 3
n 1
n
3
es diver"ente.
W)SE'?ACI\N El criterio de co!aración8 es un criterio de conver"encia !ara series con t7rinos !ositivos8 sin e#ar"o se !uede usar !ara !ro#ar la conver"encia de otras series. ∞
Si
a ∑ = n 1
∞
n
8 es una serie cual/uiera de neros reales8 entonces
∑|a |
n= 1
n
8 es
una serie de t7rinos !ositivos y !or tanto el criterio de co!aración !uede ∞
|a | ∑ =
a!licarse a la serie
n
n 1
.
CRI/ERI0& DE C0%VERGE%CI# P#R# &ERIE& I
Si N es fnito8 la sua : SN; ta#i7n es fnita. $ro#lea *undaental2 Xu7 !asa cuando N Y Si SN tiene un valor fnito cuando N 8 se dice /ue la serie conver"e. N
@... @ aN Serie "eo7trica
Considereos SNNanN1@a@a% n3 N N
1 fa
@1 N
1 a %
N @1
f 1a
1 fa
n N3
1 a
U
1 $ara N 2
n
SNNa N n 3
1 fa
8 a R1
$rue#a *undaental de conver"encia2 Una serie conver"e a S si2 S SNRε8!ara N>N:ε;TEW'EMA DE CWN?E'ZENCIA DE CAUCV SNsua de N t7rinos8εnero !ositivo ar#itrariaente !e/ue-o
$ara la serie "eo7trica2 N
Sf SN
1
@ 1
1 f
f f 1 a 1a aN@
a
Rε
@ 1 a
Ln:ε:1f a;;
1 N:ε;g 1
Rε M aN@1Rε :1 fa; MNN
Ln:a;
1
fa N S N :ε;N
Lnε:1f a;
Ln:a;
R1!odeos encontrar un valor 1gSie!re /ue a deN/ue satis*a"a este criterio y la serie conver"e.
Prue?as de con=ergencia.
Utiliceos la serie "en7rica dada !or2 San n1
03
Prue?a de coparación. Dada una serie conver"ente con t7rinos bn8 an conver"e si an`bn8 hn. Si la serie con t7rinos bn diver"e y anbn8 entonces an ta#i7n diver"e. Sin e#ar"o8 si bn conver"e y anbn8 esta !rue#a no deterina si anes diver"enteQ siilarente8 sibndiver"e yanRbn8an!uede o no ser diver"ente. Ejemplo 1 U
1 N11 1 1 1 1 1 1 % @ @ @ @ @ @ @ @ n N 1 n
1 B
4
D %t7r ino s
% =
4 D
0B
4 t7ri no!
B 4
@.... 1 .
1 t7rin os
$odeos acotar cada sua !arcial notando /ue2 1
1
1
1
1
@ R @ 4 1
D 1
4 %
4
1
4
1
n
1 1
U
1
1
1
@ .....
@
0 B @
1 @ %= B
1 1 B4 1
@ ... @
@
@
1
1B 4 DR
1 1=
R
%
4
1
B4
% @4 g % n R1 n 1
n 3
SE'IE ZEWMET'ICA
%
C
1 %
Ejemplo N " 1 1
@
1
R
1 1 1 @ @ @ ....Co!arada 1 @ @ con2 % 0 4 =
n
%
g n N 1
%
1
1
es conver"ente
n
1
@ ... . Serie diver"ente
@ %
01
1 %
n 1n 1
n 1
1
%
1
@ 0
%
1
N
1
1
U 1
%
4
4
@ ...
1 @ @
g
n N 1
n
=
@
@
B
1
1 @1S 4N 1
1
1
E
n
%
%
la serie diver"e
%
%
Prue?a de la raBón.
an@1 a serie "en7rica conver"e si2 nr li R1
an
Si r 1 la serie diver"e8 y si r 1 el criterio no es sufciente !ara decidirQ sin e#ar"o8 si !ara r 1 !odeos deostrar /ue2 a n @
1
an
r
1 2
r 1
g r R1 n r 1
=B
0%
conver"ente diver"ente la !rue#a no decide
Ejemplo!
n @1 0n
n
n @
k
1 n@1 li 0 n
1
R1
a; n r li 1 n n1 MU 0 0 nn la serie es conver"ente U 1
n
r li
0
el criterio no decide
1
#;
nN 1 n
n @1
n
1
c; SerieL p2 p # : p;
N1n a @ n1 r Nli n M U
1 p
n p
li
p li
annMU:n@1;
1
1 no &ay decisión.
@
n
n
E(!andiendo en una serie de Taylor en x $= $
:1 @ x ;f p
x % x % f :3; @ f :3; x @ f % @ .... N 1 f px @ p: p % f1; :3; @ .... p: p 1;
1 :1 @ x ; p 1
p
1%
@ .... m1 n
@
%n
n p S1M p R1M
p 1 U d;
serie conver"ente
serie diver"ente no &ay decisión
cosn%
n N1 %n
p
1 00
1 cos%nR 1
hn ganR
%
1 N x %
%n1 la serie es conver"ente !or co!aración con una serie p : p=";.
1
an %
%
g
n
Prue?a de la integral.
L
con f disinuyendo onotónicaente conver"e o diver"e si : ; conver"e o diver"e cuando L . f x dx
f :n;
1
L
dx
f #;
d 1
% conver"e !ues LliMU x %
n
1 % 0 f
1 % 0 Ejemplo!2
1 a;
1
n
diver"e !ues LliMULdx x N
04
rea de rect,n"ulos U
L
p f :n;RLli f : x ;dx % 1 U 1
f : x ;dx conver"e
si conver"e U U f :n;dx f : x ;dx n& x
1
1
Si 1f : x ;dx no conver"e g la serie no conver"e
n& x
Nótese /ue es irrelevante el l+ite in*erior de la inte"ral8 lo /ue i!orta es el l+ite cuando
lin:L; L
0=
1
li f
M3
L L %tro! ejemplo!
Ucosn %
. Nótese /ue2
Considereos la serie n N%nf 11
cos n %
%
n
c os R1hn8an
1 % R
1 % R
% nf 1
% n
%n 1 % n
q1
$odeos esta#lecer entonces /ue2 11
1 N
U a a n 1@ anR n
1
m
1
n q%
Nn m 1 1 8 m f1gan R 1 1 8 q1 4 m%
% %nf m %n1 % U 1 U 1 1
es una serieL p conver"ente .
4 % y %
1m
1 m
cos
n%
conver" e.
n
N %n 1 1
0B
SeriesL p. U 1 a *ora "eneral de la serie p . Anali5ando la conver"encia ediante la es2 p !rue#a 1 n
de la inte"ral o#teneos2 L
dx
li
1f p
L
li
L
x p L1 p
8 p 1. En este caso23si p 1y diver"e si p R1.
L
dx
li
N lin:L;8
p 1
L
x p L 1 conver"e p 18 y diver"e si p`1. p si n
$odeos ta#i7n anali5ar el orden de los t7rinos de la serie. $or eje!lo8 si consideraos2 0n%@ 4 n@ B 0 cuando nM f :n; n @ %n0 @ 4n @ p U 4
n%
%
Con la !rue#a de la inte"ral li LL x 0%dx 8 !odeos ver /ue la serie es conver"ente. Siilarente2 % L dx 1 1 en nq1. En este caso !odeos
f :n;N
1 1 % @n R @n% Rn% considerar2LliMU
es conver"ente.
Serie! con !igno! alternante!.
Si2 :i; an 3 cuando n :ii; os si"nos de an alternan entre @ L @ L ... :iii; an@1`an la serie conver"e. Con esto !odeos ver /ue2 1
anN1f
1
1
@ @ ...es una serie conver"ente. % 0 4
y la
x % serie
x % x 0 x 4 es % @ 0 4 conver"ente.
Siilarente8 se !uede ver n:1@ x ; /ue N x f 1
1 f
1
1
@ 4 @.... ln % m 3.B % 0
CONVERGENCIA ABSOLUTA/ CONDICIONADA.
Una serie con t7rinos alternantes conver"e ab!ol'tamente si2 a serie con valores a#solutos conver"eQ si la serie no conver"e a#solutaente !ero la serie co t7rinos alternantes conver"e8 entonces conver"e condicionalmente. Ejemplo
n
@ :f1 1 U 1 ; conver"e condicionalente
a; 1
!ues 1
n
n diver"e.
n
n
@ 1
@ 1
:1 ; conver"e a#solutaente #; % !ues 1 n
U
U 1
:1; conver" % % e. 1 n 1n
Nótese /ue si una serie conver"e a#solutaente g serie alternante es conver"ente. 1 N 1 f x % @ x 4 f conver"e !ara ...
x
%
R1g x R1!olos en i
%
1 @ x
U senn x
Series coo f : x ; % no conver"en uni*oreente 1 n N ie
!Nan
conver"e a S ! hN N :ε; si f!N Rε N:ε;&ayconver"encia uni*ore. SiN en el caso de series de !otencias si N N:ε8 x ; no &ay conver"encia uni*ore. Se !uede senn decir /ue `1y entonces2 x
1 f : x ;` % 1
n
f : x ;conver"e !ues
1 % conver"e n
$ero conver"encia no es uni*ore y no se !uede derivar t7rino a t7rino. Series de2 sen x&cos x&sen& x 8 cos& x 8 conver"en !ara toda x R :de#ido al *actorial en el denoinador;. Ig'aldad de !erie!. U
Consideraos f : x ;an x n 1 Si f : x ; g: x ; ganbn Contradictoria a a(b =
U g: x ;bn x n
c(d
1 a=c& b=d )(* = +(,
En el caso de las series teneos un nero infnito de suandos !ero !or otro lado si '3 !odeos "enerar un nero infnito de i"ualdades f : x 1; g: x 1; Qf : x "; g: x "; ..... !ues una l+nea contiene un nero infnito de !untos. Con el nero infnito de ecuaciones g an= bn -anes el coefciente "enerado de la serie de Taylor f :n;:3;
an n
RADIO DE CONVERGENCIA
ara cada !erie de potencia! de la forma ∞
∑ n
a
( x − x0 ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ...; n
n
=0
a
n
/onde x e! 'na variable 0 la!
!on con!tante!& exi!te 'n nmero
ρ (0 ≤ ρ ≤ ∞ ) & llamado radio de convergencia de la !erie de potencia!& tal 2'e
∞
∑ n
a
( x − x0 ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ...; n
n
=0 3 x
− x0 < ρ
onverge ab!ol'tamente para
x − x
0 >
0 diverge para
ρ .
Ejemplo!
Mostrareos el radio de conver"encia de al"unos desarrollos en series de !otencias con sus res!ectivos radios de conver"encia sin justifcar !or /u7 el radio de conver"encia es el dado. 'adio de conver"encia fnito a *unción
1
1 − x en su desarrollo con centro 38 o sea8 en series de
!otencias x − x 0= x −0 =0 8 tiene el si"uiente as!ecto2 1
∞
=∑ x n=1 + x1 + x 2 + x 3+ … . 1 − x n=0 :$ara el c,lculo de la serie vea serie de Taylor;. Su radio de conver"encia es r1. Eso si"nifca /ue !ara calcular si too cual/uier valor cuya distancia al >o 3 es enor /ue r18 !or eje!lo el > 3.%=8 entonces al re!la5arlo en la serie el resultado de calcular la serie ser, el iso /ue re!la5arlo en la *unción8 de &ec&o ∞
0.25 = 1 + 0.25 + 0.25 + 0.25 + …= 4 / 3 ∑ = n
n 0
1
2
.
:a cuenta se !uede &acer !or serie de !otencia;. !or otro lado 1 1 = =4 / 3 1 −0.25 1−1 / 4
$ero si toaos un eleento *uera del radio de conver"encia8 !or eje!lo el ( %8 al re!la5arlo en la serie8 7sta ser, diver"ente :!or eso el no#re de radio de conver"encia;. E*ectivaente2
∞
2 =1+ 2 + 2 + 2 + … =∞ ∑ = n
1
2
3
n 0
.
Distancia a la sin"ularidad El c,lculo del radio de conver"encia no es si!le. ?eaos una *unción con dos desarrollos en serie con distintos centros y analiceos sus radios de conver"encia. a isa *unción 1H1L( en su desarrollo con centro >o 0 tiene la *ora2 2
−1 x −3 ( x −3 ) = + − −… . 1 − x 2 8 16 1
$ero en este caso su radio de conver"encia es r %. Noteos /ue la *unción 1H1L( tiene una sin"ularidad en el 1Q y /ue en los dos caso anteriores el radio de conver"encia coincide con la distancia del centro a la sin"ularidad2 3L 1 1 y 0L1 % . Esto ser, sie!re verdadero !ara 7sta *unción8 !ero8 no !uede "enerali5arse8 coo vereos en el si"uiente eje!lo2 2
1 x −1 ( x −1 ) = − + 2 2 2 4 1 + x 1
( x −1 )4 ( x −1 )5 − + −… 8
8
Coo no &ay sin"ularidades reales !odr+a su!onerse /ue el radio es infnito8 r=
sin e#ar"o su radio de conver"encia es
√ 2 2
. Este radio !arece
ca!ric&oso !ero tiene /ue ver con el &ec&o de /ue !asando la *unción a doinio co!lejo8 e(iste una sin"ularidad en el denoinador. 'adio de conver"encia infnito x $or eje!lo8 la *unción e(!onencial e !uede desarrollarse en series de ∞
!otencia de ( F 3 (8 de &ec&o y esto vale !ara todo real .
"I"(I0GR#FI#
n
2
3
x x x e = =1 + x + + + … . 2! 3 ! n=0 n ! x
∑
!or eso el radio de conver"encia ser, infnito.
