Vibration des systèmes á un seul degré de liberté libres non amortis

Docteur Ammar HADDAD Professeur d’université

Vibration des systèmes à un seul degré de liberté libres non amortis

Recueil d’exercices de physique 3

Editions Al-Djazair

Docteur Ammar HADDAD Professeur d’université

Vibration des systèmes à un seul degré de liberté libres non amortis

Recueil d’exercices de physique 3

Editions Al-Djazair

Vibration des sy stèmes à un seul degré de liberté libres non amortis VIBRATION D’UN SYSTEME A UN SEUL DEGREDE LIBERTE SYSTEME MASSE RESSORT SANS FROTTEMENT SYSTEME MASSE – RESSOTR (m, k): I.METHODE DYNAMIQUE: Le système est constitué d’un ressort indéformable, parfaitement élastique, sa ns masse, de constante de raideur k (N/m) et une masse m(kg). Il n y a pas de frottement.

 T

 T

x0 x  P  mg

x0+x

 P  mg

1-ETUDE STATIQUE A l’équilibre, la somme des forces s’exerçant sur un système est nulle.    mg  T  0 Où :  T est La force de rappel d’un ressort proportionnelle à l’allongement du ressort, m la masse  et g l’accélération de la pesanteur En projection sur l’axe Ox orienté positivement vers le bas on obtient : mg  kx0  0  k 

mg x0

Avec: T  kx0 k est la constante de raideur qui s’exprime en N m-1 et x 0 est l’allongement. Remarque : On peut déterminer la raideur k du ressort à partir de la mesure de l’allongement x0 créé en statique par l’action d’une masse m. Dr Ammar HADDAD

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2-ETUDE EN DYNAMIQUE On écarte masse de sa position d’équilibre par une intervention extérieure. On note x l’allongement par rapport à la position d’équilibre. L’allongement total est donc x 0 + x D’après le principe fondamental de la dynamique, nous avons :       F  m  mg  T  m Où :   est l’accélération En projection sur l’axe Ox :

mg  k ( x0  x)  m mg  kx0  kx  m

d 2 ( x0  x) dt 2

d 2x car x 0 est une constante dt 2

Comme mg  kx0  0  kx  m

d 2x dt 2

D’où l’équation différentielle :

d 2x k  x0 dt 2 m Le fonctionnement du système est une équation différentielle du Second ordre linéaire à coefficients constants. Elle est identique à celle d’un circuit LC. 3-SOLUTION DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE

1°/ SOLUTION On sait que pour un système sans frottement, le ressort écarté de sa position d’équilibre va osciller indéfiniment de façon sinusoïdale. La solution de l’équation différentielle du second ordre sans frottement est sinusoïdale : x(t )  A cos(0 t   )

A et  sont des constantes déterminées par les conditions initiales

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2°/ PULSATION PROPRE

0 

k m

 0 est la pulsation propre des oscillations libres (naturelles) du système non amorti (en rad.s 1

.

La fréquence propre (en Hz) est : f 0  La période propre (en s) est : T0 

0 2

1 2  f 0 0

Remarque : On a vu au cas statique que : mg  kx0  0 

k g donc  0   m x0

k  m

g x0

Si on ne connaît pas la masse suspendue et la raideur du ressort, on peut déterminer la pulsation propre à partir de la mesure de l’allongement en statique.

II. METHDE DELAGRANGE: Le lagrangien est défini par :

L  T U Où : T est l’énergie cinétique et U est l’énergie potentielle. L’énergie cinétique de ce système est : 2

T

Et l’énergie potentielle se réduit à U 

1  dx  1 m   mx 2 2  dt  2 1 2 kx qui représente l’énergie potentielle du ressort. 2

Donc le lagrangien s’écrit : L

1 2 1 2 mx  kx 2 2

Remarque : On voit que le lagrangien est fonction d’une seule variable dynamique (un seul degré de liberté). Pour ce cas, l’équation de Lagrange s’écrit : Dr Ammar HADDAD

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Vibration des sy stèmes à un seul degré de liberté libres non amortis d  L  L 0   dt  x  x L Comme L  mx  d  L   mx et  kx alors : x x dt  x 

d 2x k  x  0  x  0 x  0 est l’équation différentielle du mouvement de la masse m dt 2 m Avec :

0 

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k m


Exercice 1 :

Le rapport

k d’un système masse-ressort est égal à 4. Si la masse est écartée de sa m

position d’équilibre de 4 cm et relâchée avec une vitesse de -4 cm/s déterminer l’expression x en fonction de t.

k o

m

x

Exercice 2 :

Déterminer la fréquence des oscillations du système ci-dessous. J est le moment d’inertie de la poulie par rapport à l’axe de rotation passant par o. J o

k

m

Exercice 3 :

Une masse de 0,453 kg attachée à un ressort allonge celui-ci de 7.787mm. Déterminer la fréquence des oscillations du système.

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Vibration des sy stèmes à un seul degré de liberté libres non amortis Exercice 4 :

Déterminer la période des oscillations du système ci-dessous. Le cylindre roule sans glisser. k

m, J G

r

Exercice 5 :

Déterminer la fréquence des oscillations du système suivant :

k o

m k

y

Exercice 6 :

Un pendule simple de longueur L et de masse M est fixé à une extrémité fixe. 1- Ecrire le Lagrangien du système. 2- Déduire l’équation du mouvement de la masse 3-Trouver la fréquence des oscillations du système. o θ h

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Exercice 7 :

Soit le système mécanique suivant : 1- Ecrire le Lagrangien du système. 2- Déduire l’équation du mouvement de la masse 3-Trouver la fréquence des oscillations du système.

k m

o x

Exercice 8 :

Déterminer la fréquence des oscillations du système suivant : Le cylindre roule sans glisser sur un plan horizontal. m,J k

k

G o

Exercice 9:

1)-Déterminer la constant de raideur équivalente des systèmes suivants : 2)-Donner les circuits électriques équivalents.

k1

k2

k3

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m

k4

k1

k2 (b)

(a)

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m k3

Vibration des sy stèmes à un seul degré de liberté libres non amortis Exercice 10: a) - déterminer l’équation du mouvement des petites oscillations d’un pendule simple de masse m et de longueur l. b) - trouver l’élongation angulaire du pendule pour les conditions initiales :



 12

rad et   0 à t=0.

o



m h

Exercice 11: Calculer la pulsation des petites oscillations d’un cylindre de poids P, de section S qui flotte dans un liquide de densité  .

Exercice 12: Calculer la période des petites oscillations d’un demi disque homogène de rayon r, de masse m, suspendue au centre de son cercle. Le centre de gravité G se trouve à une distance de du point o.

o

r G

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4r 3


Exercice 13 :

On considère une boule de masse m fixée à une corde comme montrée sur la figure cidessous. On l’écarte légèrement de sa position d’équilibre. Calculer la période des petites oscillations transversales de m si on suppose que la corde exerce une tension constante T.

a

T

T x

(l-a)

Exercice 14 :

Une boule de masse m est suspendue à une barre OB=l de masse négligeable, au point A(Am= l1 ) est fixé un ressort de constante de raideur k. Calculer la pulsation  du mouvement. o

k

 A B

Exercice 15 : Etudier le mouvement des faibles oscillations d’un cylindre plein de masse m et de rayon r qui roule sans frottement sur un plan horizontal et fixé à son axe à un ressort de constante de raideur k dont l’autre extrémité est fixée au point A.

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k

m

A

o

Exercice 16: Une masse m est fixée à l’extrémité d’une barre de masse négligeable qui repose en o 1 2 (Ao= l ) dont l’autre extrémité est fixée à un ressort de constante de raideur k ( oB  l ). 3 3

Calculer la période des faibles oscillations de m autour de sa position d’équilibre.

A

o B ▲

m

k

Exercice 17 :

Une masse m sur un plan incliné est fixée à un ressort de constante de raideur k. Etudier le mouvement de la masse si on l’écarte légèrement de sa position d’équilibre.

k m



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Exercice 18: Calculer la période des faibles oscillations d’une tige mince homogène de masse m, de longueur l fixée au centre A à deux ressorts de constante de raideur k 1 et k2. k1

k2

A

l 2

o

Exercice 19 :

Un cylindre plein de masse m et de rayon r est fixé en o 1 et o2 à deux fils de torsions c1 et c2 dont les autres extrémités sont fixées en A et B . -Calculer la période des petites oscillations de m 1 . -Calculer la période si on remplace le cylindre par une sphère de même rayon et de masse m 2. Etablir la relation entre m 1 et m 2 pour que les deux systèmes oscillent avec la première période. A

c2

m1

B

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c1

Vibration des sy stèmes à un seul degré de liberté libres non amortis Exercice 20 :

Déterminer la fréquence des oscillations du système montré sur la figure suivante :

k

r2

J

r1 ▲

m2

Exercice 21:

Un cylindre de masse m et de rayon r roule sans glisser sur une surface cylindrique de rayon R. Déterminer l’équation différentielle du mouvement pour des petites oscillations autour du point le plus bas.

 R r

Exercice 22:

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


Une masse m inconnue attachée à l’extrémité d’un ressort de constante de raideur k inconnue a une fréquence égale à 94Hz. Quand une masse de 0,453kg est ajoutée à m,la fréquence de vibration est égale 736,7Hz. Déterminer m et k.

Exercice 23 :

Une masse m 1 repose sur un ressort de constante de raideur k. Une masse m 2 située à une hauteur h au –dessus de m 1 tombe sur m1 et colle dessus. On supposera que les masses ne se déplaceront que suivant la direction verticale. Déterminer l’équation donnant la position de m 1 en fonction du temps par rapport à sa position d’équilibre.

m2 h

x o

m1 k

Exercice 24: Une barre homogène de masse M et de longueur oB=L pivote autour de o. L’extrémité B est accroché à un ressort de constante de raideur k. Déterminer la période des petites oscillations du système.

k B

 o

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Exercice 25:

Déterminer la pulsation des vibrations du système suivant :

k

▲

r M

m

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Autres titres du même auteur: Optique Physique Optique géométrique Vibration des systèmes à un N degrè de liberté Vibration des systèmes à un seul degrès de liberté amortis forcé

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