postupak koji mi je dojadio još u trećem osnovne A sada je sasvim drugačije kada znam da mogu to napraviti bez puno muke i u glavi i još si mogu izabrati postupak koji hoću. (napomena kosa crta / ne znači djeljenje nego odvaja prvi dio odgovora od drugog) Npr. !"! # $) uz pomoć baze %& ($&"%) ! '$ ! '$ (sutra vertikalno dijagonalno) !'$ / $"$ / $ "% / $ $*$ *) uz pomoć baze & ($&") ! +! ! +! !+! / !"! % / $ %" + / $ $*$ ,no-imo s jer je baza "$& i zbrajamo s jer u drugom dijelu odgovora mo-e biti samo jedna znamenka ako je baza $& odnosno $& " neki broj ) uz pomoć baze & ($&&*) ! '$$ ! '$$ !'$$ / $$"$$ * / $ *$ ** / $ *$ $% /$ *$ $*$ 0ijelimo s * jer je baza $&&* i zbrajamo $%+$ jer u drugom dijelu mo-e biti samo dvoznamenkasti broj %) uz pomoć kvadriranja brojeva 1 svima koji su proši razred poznata je 2ormula za kvadrat binoma 1 prvi na kvadrat plus dva puta prvi puta drugi plus drugi na kvadrat. (a+b)3* # a3* + *"a"b + b3* (kvadrirati broj znači pomno-iti ga sa samim sobom 1 za one naše mla4e čitatelje (na-alost 5log mi ne dopušta matematičke znakove indekse i eksponente pa ovaj znak 3 znači na kvadrat) 6a krenimo 7 svakom dijelu odgovora mo-e biti samo jedna znamenka pa onaj broj ispred prenosimo dalje ... 6a krenimo
!"!#3* / *""! / !3* ... ! / % / $ ... !+ / %+ / $ ... $% / $* / $ ... $%+$ $*$ 8 tako mo-ete izračunati bilo koji dvoznamenkasti broj na kvadrat. 9o su sve jednostavne radnje koje mo-ete obaviti mentalno. Naravno treba prvo izvje-bati par primjera pa će nam onda biti lakše ) isto kao i prethodno ali uz pomoć negativnih brojeva (viculum brojevi) 9ako npr. broj ! mo-emo napisati i kao %$ (kao da piše %& 1 $ : inače se ta crtica stavlja gore ali zbog nedostatka mogućnosti u blog 2ontu pisati ćemo je dolje) 9ako i ; # * : ada piše $< to je kao da piše $<&'.. 8li koristimo pravilo za jedan manju od prethodnog i onaj do deset ... $<'$ / do $& ... $*
Trikovi za lakše računanje - MNOŽENJE >ako izračunati troznamenkasti broj pomno-en s troznamenkastim brojem (!!;"!!) u ili $& sekundi i to bez upotrebe papira i olovke? :) Na primjer za mno-enje ovakvog zadatka !!;"!! potrebno je učiniti dva mno-enja s ! jedno s ili ; te onda sve to poslije lijepo zbrojiti tri troznamenkasta broja @ uglavnom previše toga da bi se moglo izračunati za kratko vrijeme a kamoli napamet. ,e4utim uz pomoć vedske matematike ovakav zadatak mo-emo izračunati u samo @ do $& sekundi 7pravo tako i to mo-emo napraviti bez papira i olovke !!;"!!#!<& pogledamo umno-ak i napišemo rezultat za do $& sekundi. Ne vjerujete? ,islite da je to čarolija? 9o je ustvari samo ljepota matematike a čarolija je dotle dok ne Bšku-imoB postupak. >ada ulovimo bit onda prestaje biti čarolija i postaje matematika odnosno ljepota matematike. matematike. :)
6rimjer $. !!;"!! (za zagrijavanje) !!; ' !! '$$ !< &
!"!#3* / *""! / !3* ... ! / % / $ ... !+ / %+ / $ ... $% / $* / $ ... $%+$ $*$ 8 tako mo-ete izračunati bilo koji dvoznamenkasti broj na kvadrat. 9o su sve jednostavne radnje koje mo-ete obaviti mentalno. Naravno treba prvo izvje-bati par primjera pa će nam onda biti lakše ) isto kao i prethodno ali uz pomoć negativnih brojeva (viculum brojevi) 9ako npr. broj ! mo-emo napisati i kao %$ (kao da piše %& 1 $ : inače se ta crtica stavlja gore ali zbog nedostatka mogućnosti u blog 2ontu pisati ćemo je dolje) 9ako i ; # * : ada piše $< to je kao da piše $<&'.. 8li koristimo pravilo za jedan manju od prethodnog i onaj do deset ... $<'$ / do $& ... $*
Trikovi za lakše računanje - MNOŽENJE >ako izračunati troznamenkasti broj pomno-en s troznamenkastim brojem (!!;"!!) u ili $& sekundi i to bez upotrebe papira i olovke? :) Na primjer za mno-enje ovakvog zadatka !!;"!! potrebno je učiniti dva mno-enja s ! jedno s ili ; te onda sve to poslije lijepo zbrojiti tri troznamenkasta broja @ uglavnom previše toga da bi se moglo izračunati za kratko vrijeme a kamoli napamet. ,e4utim uz pomoć vedske matematike ovakav zadatak mo-emo izračunati u samo @ do $& sekundi 7pravo tako i to mo-emo napraviti bez papira i olovke !!;"!!#!<& pogledamo umno-ak i napišemo rezultat za do $& sekundi. Ne vjerujete? ,islite da je to čarolija? 9o je ustvari samo ljepota matematike a čarolija je dotle dok ne Bšku-imoB postupak. >ada ulovimo bit onda prestaje biti čarolija i postaje matematika odnosno ljepota matematike. matematike. :)
6rimjer $. !!;"!! (za zagrijavanje) !!; ' !! '$$ !< &
7 ovom slučaju nam je baza $&&& te moramo imati tri znamenke u zadnjem dijelu odgovora. Cačunamo ' prvi dio odgovora: !!;'$$#!< ili !!'#!< ' drugi dio odgovora: (')"('$$)#: me4utim moramo imati troznamenkasti oblik broja pa pišemo & ' rješenje je 986033 ,NDEFNGF 5CDGFHA >DG8 =7 5I8J7 $& $&& $&&& $&&&& @
6rimjer * !"! ! '* ! '; !$ $% 7 ovom slučaju baza nam je $&& i rezultat opet dijelimo na dva dijela. K 6rvi dio rješenja mo-emo dobiti na dva načina !';#!$ ili !'*#!$ K zadnji dio rješenja tako što pomno-imo ('*)"(';)#$% K Gednostavno rješenje je !$$% Hidimo da sve to mo-emo lako izračunati u glavi. Ger se sve svodi na jednostavno oduzimanje i lako mno-enje. 6rimjer . !"% ! '$$ % '$< ; $;< ;% ;< 5aza nam je $&&. 8mamo dvije nule te nam drugi dio rezultata mo-e imati samo dvije znamenke. Cačunamo K prvi dio odgovora !'$<#; ili %'$$#; K drugi dio odgovora ('$$)"('$<) # $;< K jedna koji nam je viška pribrojimo prvom dijelu odgovora + $ # % te je rezultat ;%;<. 6rimjer %. !%"!! !% '<< !! '* !* $* 7 ovom slučaju baza nam je $&&&. Cačunamo K prvi dio odgovora !%'*#!* ili !!'<<#!* K drugi dio odgovora ('<<)"('*)#$* K Cješenje je !*$*. Gednostavno zar ne :)
6rimjer . !!"!!< !! '* !!< '% !!% && 7 ovom slučaju nam je baza $&&& te moramo imati tri znamenke u zadnjem dijelu odgovora. Cačunamo K prvi dio odgovora: !!'%#!!% ili !!<'*#!!% K drugi dio odgovora: ('*)"('%)#: me4utim moramo imati troznamenkasti oblik broja pa pišemo && K rješenje je !!%&& 9ako4er sličnim postupkom mo-emo mno-iti brojeve koji su malo veći od baze. 6rimjer <. $*"$% $* +* $% +% $< 5aza nam je $&. Cačunamo K 6rvi dio odgovora ćemo dobiti tako što ćemo zbrajati dijagonalno $*+%#$< ili $%+*#$< K drugi dio odgovora dobijemo isto tako što pomno-imo udaljenost brojeva od baze: *"%# K rješenje je $< 6rimjer ;. $<"$% $< +< $% +% *& *% ** % 5aza je $&. 8 zbog toga drugi dio odgovora mo-e imati samo jednu znamenku. Cačunamo K prvi dio odgovora: $<+%#*& ili $%+<#*& K drugi dio odgovora: <"%#*%: >ako drugi dio odgovora ima previše znamenaka pribrajamo broj * prvom dijelu odgovora. K rješenje je **% 6rimjer . $&"$&; $& + $&; +; $$* 5aza nam je $&&. Cačunamo K prvi dio: $&+;#$$* ili $&;+#$$* K drugi dio: ";# K rješenje je $$*
,e4utim što ako su nam neki brojevi malo veći od baze a neki malo manji od baze? 8 za to postoji rješenje. 7 ovim slučajevima je sve vrlo slično kao i u prethodnim samo što u drugom dijelu odgovora moramo računati komplement od baze koji mo-emo lako izračunati pomoću pravila svi do ! zadnji do $&. 6rimjer !. $" $ + '* $$ $& % 5aza nam je u ovom slučaju $&. Cačunamo K prvi dio odgovora: $'*#$$ ili +#$$ K drugi dio odgovora: "('*)#'<. (Negativne brojeve mo-emo to napisati i kao #'<). K rješenje je $$ to je broj koji sadr-i i negatvini i pozitivni dio i zovemo ga Hiculum broj. A pretara se u obični tako što negativnom dijelu broja na4emo komplement a onaj ispred njega smanjimo za $. K rješenje je komplement od < je % ($&'<): $$'$#$&: $&% 6rimjer $&. $&"!; $& + !; ' $& $&% ;< 5aza nam je $&&. Cačunamo K prvi dio: $&'#$& ili !;+#$& K drugi dio: "(')#'*% K rješenje je $&%;<: ($& : >omplement od *% je ;< ($&&'*%): $&'$#$&%) 6rimjer $$. $&$"!!; $&$ +$ !!; ' $&* $&*; !&; 5aza nam je $&&&. Cačunamo K prvi dio: $&$'#$&* ili !!;+$#$&* K drugi dio: $"(')#'! ili (pišemo & ispred jer nam je baza $&&& što zanči da drugi dio odgovora mora imati tri znamneke) K rješenje je $&*;!&;: ( lako izračunamo ($&&&'&!#!&;) pomoću svi do ! zadnji do $& i $&*
smanjimo za jedan: $&*'$#$&*;) ,e4utim ovaj sistem pokriva samo neke slučajeve. Lto kada imamo na primjer " ili %"! ili $&"$* ili ... 8 za sve to vedska matematika ima jednostavna rješenj
VEDS! M!TEM!T"!
Piše: Jelena
Posle dugog perioda mirovanja pod ključem sanskrita vedska matematika je početkom prošlog veka pronašla put do radoznalih umova: Sri Bharati Krsna Tirthaji (188!"1#$%!& je u periodu od 1#11! do 1#18! ponovo otkrio matematički sistem u 'edama i predstavio ga svetu! a sanskritu )'eda* znači +znanje+! asuprot dogmatskom verovanju i špekulativnoj nau,iova reč označava ono znanje- koje ima univerzalan karakter- koje nije ograničeno ni vremenski- ni geogra.ski ni kon.esionalno- niti je podlo/no stalno promenljivim ideologijama! 0ndijske 'ede ouhvataju znanja iz svih olasti- kako nematerijalnog (meta.izičkog i duhovnog&- tako i materijalnog područja /ivota i ojedinjuju ove nauke u harmoničnu i u sei zaokru/enu Celinu! 2atematika je ila deo Sthāpatya-Vede- 3nauke o gra4evinarstvu)- koja se avila čovekovim arhitektonskim i prirodnim okru/enjem i koja je pored matematike ouhvatala i arhitekturu- izgradnju hramova- svetu geometrijugeomantiju (sposonost opa/anja suptilnih energetskih stanja i delovanje u skladu sa potreama prostora i nas samih&! 'e5 i ovlašan pogled 5e pru/iti uvid u prave rizni,e znanja- čije je otkrivanje tek započelo! Koliko 5e nas se dojmiti gra4evinsko ume5epotreno da postavi 8% tona teški monolitni granit na 6%m visoku vimanu hramova Tanjorepodjednako zadivljuje i matematički sistem- koji je omogu5avao mentalno proračunavanje najslo/enijih odnosa- za čije je rešavanje danas neophodan računar!
Sistem počiva na šesnaest Sutri na sanskritu- koje praktično predstavljaju jezičke .ormule! Sutre se mogu primeniti na gotovo sve grane matematike i na jedinstven način skra5uju i najkomplikovanije matematičke postupke algere- geometrije- trigonometrije- !!! 7ve direktne i lepe metode vedske matematike nisu izolovani delovi- ve5 su deo jednog sistemaharmonične- koherentne i u sei potpune ,eline! 'edski sistem Sutri se mo/e uporediti sa prirodnim računarom- koji koristi putanje našeg uma- mentalni prostor za oavljanje i najslo/enijih opera,ija! o- čemu neka egzotična pradavna pravila- kada digitron imamo na svakom moilnom tele.onu Koji stalno nosimo sa soom !!! 9ato što je mozak mentalni miši5- koji- kao i svaki miši5- zahteva ve/u! suprotnom- ako njegovu ulogu svedemo na pasivnu apsorp,iju T'"sadr/aja- čitavo naše mentalno telo atro.ira! ;ešavanje zadataka i tra/enje novih mentalnih puteva pospešuje uspostavljanje novih neuronskih veza izme4u stani,a < mo/da nas rzo iznenadi sasvim drugačiji i sve/i pogled na stvari! Tako4e- istra/ivanja su pokazala da visoko inteligentni i kreativni pristup vedske matematike anga/uje oe hemis.ere mozga i podstiče harmoničniji razvitak našeg intelekta- uz oslanjanje kako na analitičke sposonosti- tako i n a intui,iju!
GLAVNE SUTRE: 1! >! @! ! C! $! 6! 8! #! 1%! 11! 1>! 1@! 1! 1C! 1$!
9a jedan više od prethodnog (B= one more than the one e.ore& Sve od # i zadnji od 1% (?ll .rom # and the last .rom 1%& 'ertikalno i dijagonalno ('erti,all= and Aross"ise& Preneti i upotreiti (Transpose and ?ppl=& ?ko je Samu,,a=a jednaka- onda je nula (0. the Samu,,a=a is the Same it is 9ero& ?ko je Dedan u količniku- Erugi je nula (0. 7ne is in ;atio the 7ther is 9ero& Pomo5u sairanja i pomo5u oduzimanja (B= ?ddition and = Sutra,tion& Pomo5u dovršenja i pomo5u ne"dovršenja (B= the Aompletion or on"Aompletion& Ei.eren,ijalni račun (Ei..erential Aal,ulus& Pomo5u nedostatka (B= the Ee.i,ien,=& Spe,i.ično i opšte (Spe,i.i, and Feneral& 7sta,i pomo5u posljednje ,i.re (The ;emainders = the Gast Eigit& 9adnji i dvaput predzadnji (The ltimate and Ti,e the Penultimate& 9a jedan manje od prethodnog (B= 7ne Gess than the 7ne Be.ore& Proizvod zira (The Produ,t o. the Sum& Svi mno/itelji (?ll the 2ultipliers&
POMOĆNE SUTRE 1! >!
Propor,ionalno (Proportionatel=& 7statak ostaje konstantan (The ;emainder ;emains Aonstant&
@! Prvi sa prvim i zadnji sa zadnjim (The Hirst = the Hirst and the Gast = the Gast& ! 9a 6 mno/enik je 1@ (Hor 6 the 2ultipli,and is 1@& C! Pomo5u dodira u više točaka (B= 7s,ulation& $! Smanjivanje pomo5u nedostatka (Gessen = the Ee.i,ien,=& 6! Kako god se nedostatak smanjuje tom veličinom i postavlja kvadrat nedostatka (Ihatever the Ee.i,ien,= lessen = that amount and set up the SJuare o. the Ee.i,ien,=& 8! Posljednji sumira 1% (Gast Totalling 1%& #! Samo posljednji pojmovi (7nl= the Gast Terms& 1%! 9or proizvoda (The Sum o. the Produ,ts& 11! Pomo5u promene elimina,ije i zadr/avanja (B= ?lternative limination and ;etention& 1>! 1@! 1!
Pomo5u pukog promatranja (B= 2ere 7servation& Proizvod zira je zor proizvoda (The Produ,t o. the Sum is the Sum o. the Produ,ts& a zastavi (7n the Hlag&
a zadivljuju5e jednostavan način- sutre mogu svesti nekoliko desetina redova računa na nekoliko koraka! nastavku teksta 5e kao ilustra,ija iti predstavljeno nekoliko lakših primera- uz doru veru da- kada jednom shvatimo odnose koji postoje izme4u rojeva- to shvatanje mo/emo preneti na rešavanje i najslo/enijih prolema!
ISPROBAJMO SUTRE: 1. Za jedan veći od prethodnog Brzo podizanje na kvadrat rojeva- koji se završavaju na C: 6C na > L C$>C 7dgovor se sastoji od dva dela: C$ i >C! Poslednje dve ,i.re su uvek >C! a prethodne dve primenjujemo pravilo za jedan ve5i od prethodnog: Prvo roj pomno/en za jedan ve5im rojem- odnosno sa 8 " 6 M (6N1& L 6 M 8 L C$
Proajte: C na > L >%>C O (N1& L >% >C @C na > L 8C na > L 2. Sve od 9 i zadnji od 10 7duzimanje od 1!%%%: 1!%%% < @6 L #<@L$ #<LC 1% "6L @
L $C@ 9apanjuju5e- ali radi: 1!%%% < >C L 1!%%% < 6$C L 1%!%%% < 8C# L !!! 3. Vertikalno i dijagonalno 2no/enje rojeva koji su lizu deseti,ama •
8M6L
7d 8 do 1% je potreno >- od 6 do 1% je potreno @: 8 > 6 @ C$ 8 < @ ili 6 < > L C @O>L $ L C$ Pokušajmo sa ve5im rojevima: •
#8 M 6>
7d #8 do 1%% je >- od 6> do 1%% je >8: #8 > "M 6> >8 6% C$ #8 < >8 ili 6> < > L 6% >8 O > L C$ L 6!%C$ •
#81 M ##%
#81
1# "M ##% 1% #61 1#% •
#8> O ###
#8> 18 ##@ 6 #6C 1>$ 3a. Vertikalno i dijagonalno legantan način mno/enja rojeva
@1 O >> L $8> 9amislimo (ili napišimo ova dva roja jedan ospod drugo& @ 1 > > $8> 0mamo tri koraka: a& 2no/enje vertikalno sa leve strane @ O > L $ & 2no/enje dijagonalno i sairanje @ M > N > M 1 L 8 ,& 2no/enje vertikalno sa desen strane 1 M > L > @> O > L 6$8 9amislimo (ili napišimo ova dva roja jedan ospod drugo& @ > > $ 1$ 8 L 6$8 0mamo tri koraka: d& 2no/enje vertikalno @ O > L $ e& 2no/enje dijagonalno i sairanje @ M N > M > L 1$ jedini,a se pridru/uje prethodnom roju .& 2no/enje vertikalno > O L 8
= vedskom matematikom imao sam prvi zapanjujući susret prije tri godine u Amsterdamu na kon2erenciji Ne"us kada je Australac imenom Gain pred mojim očima iz glave vadio treći korijen iz šesteroznamenkastih brojeva. 9o doista nalikuje čaroliji ali prava čarolija krije se i u tome što tu vještinu svatko mo-e naučiti za samo nekoliko minuta. Ciječ je drevnom indijskom jednorednom matematičkom sustavu. Hedska matematika je ime dano drevnom sustavu matematike koji je izme4u $!$$. i $!$. =ri 5harati >rsna 9irthaji ($%1$!<&) ponovno otkrio u Hedama. 6rema njegovu istra-ivanju sva matematika temelji se na $< sutri ili 2ormula izra-enih riječima. Gednostavnost vedske matematike znači da se računanja mogu obavljati mentalno što stvara kreativnije zainteresirane i inteligentne učenike. 6očetkom *&. stoljeća dok je u Furopi vladalo veliko zanimanje za sanskrtske tekstove neki znanstvenici odbacili su odre4ene tekstove pod nazivom Manita sutre 1 što znači matematikaO 1 jer u prijevodu nisu mogli pronaći nikakvu matematiku. ,e4utim 5harati >rsna koji se bavio sanskrtom matematikom poviješću i 2ilozo2ijom proučio je ove tekstove i nakon dugog i pa-ljivog istra-ivanja uspio rekonstruirati matematiku Heda. 6rema njegovu istra-ivanju sva matematika temelji se na $< sutri ili 2ormula izra-enih riječima. =voja istra-ivanja objavio je u knjizi Hedic ,athematicsO objavljenoj $!<. pet godina nakon njegove smrti. 9ih $< sutri ili jednostavnih sanskrtskih 2ormula izra-enih riječima rješavaju sve poznate matematičke probleme u granama
aritmetike algebre geometrije i di2erencijalnog računa. Dne su lako razumljive lako primjenjive i lako pamtljive. Mraditelj hrama nije imao olovku ni papir: jednostavno je računao u glavi. 0akle nalazite se na terenu i trebati popločiti pod koji ima ! jedinica na kvadrat. >ako ćete to izračunati s takvom mentalnom lakoćom? Fvo nekih praktičnih primjera. >HA0C8CANGF 5CDGFHA >DG8 =7 5I8J7 5AJF 0a bismo dobili kvadrat broja ! (! " ! ili !*) moramo prvo utvrditi u kojoj smo bazi. 5roj je blizu $&& pa ka-emo da je baza $&&. =ada moramo izabrati jednu od šesnaest glavnih sutri kako bismo riješili problem. Dna koju ovdje treba primijeniti zove se 6o nedostatku 1 koliki je nedostatak umanji ga za još toliko i dopiši kvadrat od togaO. Jvuči kriptično i besmisleno pa ipak brzo rješava problem. Ddgovor ćemo dobiti jednostavno utvrdivši koliko je $&& minus !. Jnajući da je nedostatak * samo umanjimo ! za * i dopišemo kvadriranje te dvojke. >ao jednoredan odgovor to bi izgledalo ovako ! na kvadrat # ! 1 * / * " * 8li pojednostavnjeno # !< / P% =koro imamo naš odgovor. ,oramo znati da budući da je naša baza $&& ona ima dvije nule. =toga ! na kvadrat # !< / &% # !<&% 6ogledajmo slične primjere !; na kvadrat # !; 1 / " # !% / &! # !%&! !< na kvadrat # !< 1 % / % " % # !* / $< # !*$< >ada je broj koji se kvadrira veći od baze 1 u ovom slučaju od $&& 1 dodajemo višak i kvadriramo višak $&% " $&% # $&% + % / % " % # $& / $< # $&$< $&% " $& # $&% + / % " # $&! / *& # $&!*& Lto ako povećamo naše brojeve do !! na kvadrat? 9o je blizu $&&& pa ka-emo da je baza $&&& i znamo da moramo imati tri mjesta (za nule ili znamenke) na desnoj strani od (/). !! na kvadrat # !! 1 * / * " * # !!< / P P % # !!< / &&% # !!<.&&% =hvativši to mo-emo računati s milijunima !!! na kvadrat # !!! 1 * / * " * # !!!< / P P P % 0akle !!!< / &&&% to jest !!!<&.&&%. >HA0C8CANGF 5CDGFHA >DG8 JAHCLAHAG7 NA Fvo još jednog primjera koji ilustrira jednostavnost vedskog matematičkog sustava. Ako bismo htjeli kvadrirati broj * tj. pomno-iti * sa * konvencionalno bi nam trebala tri reda računanja. Hedskom matematikom primjenom jedne od šesnaest sutri rješava ga se mentalno u jednom redu. 7 ovom slučaju sutra koju treba upotrijebiti je = jedan više od prethodnogO tj. od prethodne znamenke. 6rimjećujemo da je * dvoznamenkasti broj i da je posljednja znamenka ali najviše nas zanima prethodna znamenkaO koja je *. ,entalno ka-emo >oliko je jedan više od dva? 9o je triO. Ciječ sO u sutrama zapravo znači pomno-itiO. 6rva polovica odgovora na papiru izgleda ovako * na kvadrat # * saO / ... # * " / ... 9ome dopišemo posljednju znamenku O kvadriranu # * " / " # < / * # <* =lično tome kvadrat svih drugih brojeva koji završavaju na mo-e se izračunati trenutačno $ na kvadrat # $ " * / " # * / * # ** na kvadrat # " % / " # $* / * # $** % na kvadrat # % " / " # *& / * # *&* ! na kvadrat # ! " $& / " # !& / * # !&* Ako i ne namjeravate na terenu graditi hramove ili pak imate sa sobom d-epno računalo koja za vas rješava sve postoje druge koristi od vedske matematike. Gain koji me upoznao s njom smatra da ona kod učenika (zbog toga što se izvodi mentalno) vje-ba vizualizaciju i mišićO koji zovemo mozak za razliku od elektroni čkih pomagala koja ga pasiviziraju. 6ročitajte više na https//QQQ.vecernji.hr/vijesti/vedska'matematika'carolija'brojeva'za'nekoliko' minuta'&! ' QQQ.vecernji.hr
F pošto odavno nije stavljano ništa novo evo sad ovo. $/; je isto beskonačno periodičan broj kao i $/$! ali Rajde da vidimo jedan drugi način da izračunamo koliko je $/;. >renemo sa $; a to je & i ostatak je $. 7 sledećem koraku $ postaje $& koje delimo sa ; i to ide iza decimalnog zareza. 6ri deljenju $& sa ; ostatak je . 7 sledećem koraku to postaje & što kad podelimo sa ; daje ostatak * (&#%";+*). 0alje ide ovako *& pri deljenju sa ; daje ostatak < <& daje ostatak % %& daje ostatak & daje ostatak $ $& daje... evo nas na početku odavde se ponavlja. =ad svaki od tih ostataka pomno-imo sa ; i uzmemo samo 6D=IF0NG7 S8TC7'''";#*$ (uzmemo $) *";# $% uzmemo % <";#%* uzmemo * %";#* uzmemo ";# uzmemo i $";#; (naravno uzmemo ;). Cezultat je &$%*;$%*;$%*;... F sad ove ostatke (*<% i $) mo-emo i lakše da na4emo. >ako? 6rvi ostatak je i dalje mno-imo
njim "#! kad oduzmemo ; ostaje * kao sledeći ostatak. *"#< i to je sledeći ostatak. Dnda imamo <"#$ oduzmemo $% (umno-ak sedmice) i dobijemo % pa %"#$* kad oduzmemo ; dobićemo i "# $ kad oduzmemo $% ostaje $. Dsim toga dovoljno je da na4emo prva tri ostatka ostali su njihove dopune do ; (+%#; *+#; i <+$#;). 9o znači da je dovoljno da na4emo prva ostatka. Ali kako da znamo gde je sredina koliko ima ostataka? 6olazni razlomak je $/; i kad me4u ostacima do4emo do ;'$ a to je < znamo da smo došli do pola i onda samo dopunjujemo do ;. Janimljivo i jednostavno zar ne? A kako ispitati deljivost drugim brojevima (bilo kojim brojem)? 8 to mo-e ali se uvodi poseban postupak koji ne postoji u današnjoj matematici kako je učimo u školama. 9aj postupak je opisan u sutri BHeṣṭanamB što ćemo na srpskom zvati B6riljubljivanjeB. Ja primer ćemo ispitati da li je < deljivo sa $!. 9u ćemo se opet pojaviti naš stari prijatelj FkUdhika. >ao što znamo FkUdhika (za $ veći od prethodnog) za $! je * pa ćemo krenuti sa desna u levo tako što ćemo (krajnju desnu ci2ru) pomno-iti sa * i priljubiti uz sledeću u levo to će biti * " + < # $<. Dnda tih $< priljubimo uz sledeću ci2ru ulevo a to je pa dobijemo * " $< + # . 6ošto smo stigli do poslednje ci2re sa leve strane tu je kraj. nije deljivo sa $! pa znači da nije ni početni broj <. Ako nismo sigurni da li je deljivo sa $! mo-emo i tu da primenimo priljubljivanje i dobićemo * " + # $ a to očigledno nije deljivo sa $!. 0eljivost sa $$ mo-emo proveriti tako što saberemo ci2re na parnim mestima gledano sa desna ulevo i taj zbir oduzmemo od zbira ci2ara na neparnim mestima gledano sa desna u levo. Ako na primer hoćemo da proverimo da li je broj * <%; deljiv sa $$ sabraćemo ci2re na parnim mestima (*. %. i <.) sR desna u levo a to su % i i dobićemo $*. 9o treba da oduzmemo od zbira ci2ara na neparnim mestima (prva treća i peta ci2ra sR desna u levo) a to su ; < i * i njihov zbir je $. >ad oduzmemo $* od $ dobićemo . 6ošto nije deljivo sa $$ onda znamo da ni polazni broj (* <%;) nije deljiv sa $$ >ako mo-emo ispitati deljivost? Herovatno svi znamo da li je neki broj deljiv sa * (ako je poslednja ci2ra deljiva sa *'parna) sa (ako je zbir ci2ara deljiv sa ) sa (ako je poslednja ci2ra & ili ) sa < (ako je deljiv i sa * i sa odnosno ako je zbir ci2ara deljiv sa a poslednja ci2ra parna) i sa ! (ako je zbir ci2ara deljiv sa !). =ada ćemo videti lak način za ispitivanje deljivosti sa % pomoću sutre B6oslednja i dvostruka pretposlednjaB. Gednostavno uzmemo bilo koji broj i kao što sutra ka-e saberemo poslednju ci2ru sa udvostručenom pretposlednjom. Cecimo da hoćemo da ispitamo da li je %$%* deljiv sa %. 6oslednja ci2ra je * a pretposlednja je %. * + * " % # $&. 6ošto $& nije deljivo sa % to znači da ni %$%* nije. Ako nismo sigurni da li je $& deljivo sa % mo-emo da ponovimo postupak i dobićemo & + * " $ # * a znamo da * nije deljivo sa % 0a vidimo kako da izračunamo $/$! naravno da ne bude teško. Ako bismo to radili onako kako smo učili u školi... u2 ,i ćemo da primenimo sutru BJa jedan većim od prethodnogB. 7 broju $! BprethodniB je $ pa je za $ veći od njega *. Selu stvar ćemo svesti na deljenje sa *. 0a bismo dobili rezultat odgovarajućeg reda veličine počećemo sa &$/*. 9o znači da počinjemo tako što ćemo rezultat $/* pisati iza decimalnog zareza. Cezultat je & i ostatak $. Dstatak ćemo dopisati u donjem redu (na slici je to crveno) ispred ci2re koju pišemo u rezultat. 6ošto je sad $ ispred & to gledamo kao $& i kad $& podelimo sa * dobićemo i ostatak &. Jatim podelimo sa * i dobijemo * i ostatak $. * pišemo u rezultat a $ u donji red ispred *. =ad imamo $* i kad podelimo sa * biće < ostatak &. 7 sledećem koraku < podelimo sa * dobijemo onda podelimo sa * i dobijemo $ i ostatak $. 0alje delimo $$ sa * i to je
sa ostatkom $. $/*#; ostatak $. $;/*# ostatak $. $/*#! !/*#% ostatak $ $%/*#;. ;/*# ostatak $ $/*#< ostatak $ $
>ako pomno-iti neki broj sa brojem koji ima isti broj ci2ara a sastoji se samo od devetki? Cecimo $* " !!!. Ievi deo rezultata ćemo dobiti tako što broj umanjimo za $ (primenimo sutru BJa jedan manjim od prethodnogB) a to je $**. Na to dopišemo desni deo koji dobijemo tako što na početni broj ($*) primenimo sutru B=ve do ! poslednja do $&B (BposlednjaB u ovom kontekstu znači krajnja desna ci2ra) od $ do ! je od * do ! je ; i od (poslednja) do $& je ; pa smo dobili ;;. Seo rezultat je $**;;. Iako zar ne? 8li recimo %; " !! # %<. 6robajte sami ** " !!! ili recimo *%;< " !!!!!! (nije ništa te-e kad su brojevi sa više ci2ara kao što bi bilo ako to uradimo na način koji smo učili u školi zar ne?). 0a li je broj ;% **$ deljiv sa ;? 0a li se to lakše vidi ako ga napišemo ovako ; %* *$ (ili V;V %*V*$)? 8 dalje je to isti broj tri miliona petsto sedamdeset četiri hiljade dvesto dvadeset jedan). Ali ovako se lakše uoči da je deljiv sa ; zar ne?
Fvo još jednog primera kako da kvadriramo brojeve blizu & razliku od datog broja do & dodamo na * i dopišemo kvadrat te razlike dvoci2reno (ako je razlika manja od % kvadrat je jednoci2ren pa ispred njega pišemo &). Na primer da na4emo kvadrat broja . Cazlika od & je tih dodamo na * i dobijemo *. 0opišemo 3* to je ! ali pošto treba dopisati dvoci2reni broj onda dopišemo &! pa je rezultat *&!. 8li ;3* ''' od & do ; je ; to dodamo na * i dobijemo * i dopišemo ;3* a to je %! i rezultat je *%!. ,o-e i sa brojevima manjim od &. 0a vidimo %3*. Cazlika je '* i kad dodamo na * dobićemo *. 8za * dopišemo ('*)3* odnosno &% i dobijemo *&%. Goš jedan mali primer kako radi Hedska matematika. Fvo kako lako i brzo mo-emo pomno-iti broj sa $$ =vi znamo da pomno-imo jednoci2ren broj sa $$' samo dopišemo još jednu istu ci2ru. >ad je broj dvoci2ren onda ci2re BrazmaknemoB a izme4u njih
upišemo njihov zbir. Cecimo * " $$. 8zme4u * i upišemo njihov zbir a to je tako da je rešenje *. 8li recimo % " $$. 8zme4u % i upišemo ! (to je %+) i dobijemo %! Fvo malo da vidimo i na primeru kako se to lakše računa sa Hedskom matematikom 0a bismo kvadrirali broj kome je poslednja ci2ra petica upotrebićemo sutru ($ od $< 2ormula na kojima se zasniva Hedska matematika) koja glasi BJa $ većim od prethodnog.B 7 ovom kontekstu BprethodniB je broj ispred petice. 6omno-ićemo broj ispred petice Bza $ većimB i dopisati na kvadrat a to je *. Cecimo da hoćemo da izračunamo kvadrat broja . 9u je BprethodniB i njega pomno-imo sa za $ većim to je " % # $* iza toga dopišemo * i dobijemo rezultat $**. 8li ; na kvadrat ' ; " # < znači rezultat je <*. 6robajte sami sa drugim brojevima kojima je poslednja ci2ra .
$. 9A5I8SA ,NDJFNGA 6rije mnozenja potrebno je objasniti pojam baze i komplementa nekog broja.
Najbolje je krenuti s primjerom >omplement broja (u bazi $&) je broj * (jer je +*#$&) komplement broja !* je broj (jer je !*+#$&&) komplement broja !;$ je broj *! (jer je !;$+*!#$&&&) itd. 0akle baza je broj koji se nalazi blizu zadanog broja ($& $&& $&&&@ ali moze biti i & %& & *&@ && @ sve po potrebi a kakvoj @ najbolje je vidjeti na primjeru). >omplement od baze $& $&& $&&& $&&&&@ racuna se vrlo jednostavno po jednoj od $< sutri ili pravila Wsvi do ! zadnji do $&W. (rijec je o ci2rama) >ako savladati tablicu mnozenja preko " uz pomoc prstiju?
$. >oliko je <" Na jednoj ruci prikazimo broj < kao +$ jedan prst je dignut a cetiri spustena. Na drugoj ruci prikazimo broj (+) s tri dignuta prsta a dva spustena. 0ignute prste s obe ruke saberimo ($+#%) i dobivamo prvu ci2ru (%) a spustene prste pomnozimo (%"*#) te tako dobivamo i drugu ci2ru (). <"#% 6ogledajmo i primjer gdje cemo mnozenjem spustenih prstiju dobiti broj veci od ! sto onda uciniti? Naravno postoji sutra i za taj slucaj Wako je jedan visak dopuni onog prijeW. *.
>oliko je <";
Na jednoj ruci prikazimo < (+$) s jednim uzdignutim i % spustena prsta a na drugoj ruci broj ; (+*) s dva podignuta i s spustena prsta. 6odignute prste saberimo ($+*#) a spustene pomnozimo (%"#$*). 0ruga ci2ra ce sada biti * a $ dodajemo prvoj ci2ri koja sada postaje broj %. $+*# (+$#%) %"#$* tj <";#%* 8sto se moze izracunati napamet bez pomoci prstiju.
. >oliko je <" 5aza je $&. Cazmisljamo na sljedeci nacin imam < a do $& mi treba %: imam a do $& mi treba *. Cezultat opet dijelimo na dva dijela. 6otrebno je na neki nacin pokusati vizualizirati sljedecu tablicu. 7 prvom stupcu se nalaze 2aktori koje mnozimo a u drugom stupcu komplementi zadanih brojeva (u ovom slucaju u bazi $&). ,inusi se pisu zato sto je 2aktor koji se mnozi manji od baze. 6rvi dio odgovora (lijevi dio) izracunavamo tako da dijagonalno izracunamo <'*#% ili '%#% a drugi dio (desni) tako da pomnozimo brojeve u *. stupcu ('%)('*)# tj <"#%
,NDJFNGF 5CDGFHA >DG8 =7 5I8J7 $& $&& $&&& $& &&& $&& &&&@ %.9reba naci proizvod brojeva !< i !* ovdje je baza $&&. $&&'!<#'% $&&'!*#' 6rvi dio rjesenja dobivamo sabiranjem !<'# ili !*'%# a drugi dio mnozenjem 2aktora '% i ' tj ' %)(')#*. !<"!*#* . >oliko je <"! $&&'<#'$% $&&'!#'$$ Cacunamo u bazi $&& pa je jedna ci2ra viska u drugom dijelu <'$$#; !'$%#; ('$%)('$$)#$% ($ %) ;+$#;< 9j <"!#;<% <. !!"!!; $&&&'!!#'* $&&&'!!;#' !!;'*#!! ('*)(')#< 0rugi dio je &&< jer je baza $&&&. 9j
!!"!!;#!!&&<
;. $%"; $&'$%#% $;'$&&#; $%+;#*$ %X;#* (* baza $&) $%";#** . (jedan 2aktor veci a jedan manji od baze) $&<" $&&'$&<#< $&&'!#'* $&<'*#$&%
!.
8zracunaj <"*
7 ovom slucaju najbolje je za bazu uzeti broj &. 8majmo na umu da je $&&*#& pa cemo prvi dio rjesenja podijeliti s *. Ddnosno <+*# *#*! <"*#$* 9j <"*# *!$* $&. >oliko je %"%;
7 ovom primjeru za bazu mozemo uzeti broj %& ali isto tako baza bi mogla biti i broj &. 8majmo na umu da je %&#$&"% %#%&+ %;#%&+; %+;#& &"% ";#*$(*$) $%+*#$< 9j. %;";#$<$ 7 drugom dijelu je jedna ci2ra zbog baze %& (%&"$&)
,NDJFNGF =A $$ $$. >oliko je *"$$. 6rvu i trecu ci2ru prepisemo a srednju ci2ru dobijemo tako da saberemo okolne. *(*+) 9j *"$$#*; $*. >oliko je oristimo sutru ako je jedan visak dopuni onog prije. $. >oliko je *;"$$ (+*)(*+;); ()(!); 9j *;"$$#!;
,NDJFNGF >A0A JA0NGF S8TCF D5A TA>9DCA =A5CANF 0AG7 $& Napomena Dvo pravilo vrijedi samo za mnozenje brojeva koji se nalaze unutar iste desetice $ >oliko je ;" 6rvi dio rjesenja mnozimo prvu ci2ru s vecom za jedan @"%#$* 0rugi dio rjesenja mnozimo zadnje ci2re ;"#*$ ;"#$**$ $%. >oliko je $$"$$* >ada imamo troci2reni broj uzimamo prve dvije ci2re jednog broja i mnozimo s brojem vecim za jedan. 0rugi dio rjesenja je kao i u prethodnom primjeru proizvod posljednjih ci2ri brojeva. $$"$*#$* "*#$< $$"$$*#$*$<
,NDJFNGF HFC98>AIND 8 08GAMDNAIND =ljedeca pravila vrijede opcenito za sve brojeve. $. >oliko je $*"$% 6rvo mnozimo zadnje ci2re 2aktora (vertikalno) *"%# i to je posljednja ci2ra rjesenja. Jatim mnozimo dijagonalno i Qsabiremo umnoske $"%#% $"*#* %+*#< 9o je upravo srednji dio odgovora. ,nozenjem prvih ci2ri 2aktora (vertikalno) dobivamo prvu ci2ru ukupnog rjesenja. $*"$%#$< $<. >oliko je *"$! *"$ (*"!+$") "! * ($+) ;* * (*<) ;* *()*
* ()* ()* *"$!#*
>HA0C8CANGF $<. >oliko je ! * !'*#!< *"*#% !*#!<&% Ja bazu uzimamo broj $&&. 6rvi dio proizvoda racunamo tako da od broja koji kvadriramo oduzmemo njegov komplement u pripadnoj bazi. (!'($&&'!)). 0rugi dio odgovora dobit cemo ako dobiveni komplement kvadriramo ali moramo voditi racuna o broju ci2ri. 7 ovom primjeru baza je $&& sto znaci da se drugi dio odgovora mora sastojati od * ci2re. >HA0C8CANGF 5CDGFHA >DG8,A GF 6D=IGF0NGA S8TCA $;. 8zracunati $ * 6rvi dio odgovora nalazimo tako da prvu ci2ru pomnozimo s brojem koji je za jedan veci od nje. 0rugi dio odgovora je jednostavno . $"*#* "#* $*#** $. >oliko je ! * !"$&#!& "#* !*#!&*
,NDJFNGF = ! ,nozenje s ! je vrlo jednostavno. $$"!#!!: $*"!#$&: $"!#$$;: $"!#$<*: *$"!#$!: **"!#$!: %"!#%* >oje je pravilo? 6rimjer $. *<"!#@ 6rvo izracunamo prva ci2ra + $ (*+$#) Sijeli dvoci2reni broj ' (*<'#*) Ddnosno 6rvi dio rjesenja dobijamo tako sto izracunamo cijeli dvoci2reni broj 1 (prva ci2ra + $) #YZ*<'*'$#*[ drugi dio rjesenja je komplement broja < a to je %. 9j. *<"!#*% *. >oliko je %;"! %;'(%+$)#%;'#%* >omplement od ; je %;"!#%* . >oliko je $%"! 6rvi dio rjesenja dobijamo tako sto izracunamo cijeli troci2reni beoj 1 (prva ci2ra + $) $%'($%+$)#$%'$#$ $&'#* (komplement od) tj. $%X!#$*
#$učno% izračunavanje kva&ra'no( korena od Daniel \ 7torak *$. ,aj *&$ $%% Irazred ali Dvo je nekada (i u vreme kad sam ja bio osnovac) bilo obavezno gradivo matematike za VI kako čuh od prijatelja pre neki dan u me4uvremenu je izbačeno iz nastavnog plana za škole u =rbiji što je po meni velika greška.
Ja sve one koji su zbog toga ostali uskraćeni da saznaju za ovaj zanimljiv algoritam evo ga prilo-enog
ovde. 7zmimo
da
-elimo
da
na4emo
kvadratni
koren
broja
2 7 54 , 1 5 04
2 7 54 , 1 5 04 ]]]]]]]]^
5roj izdelimo na klase od po dve ci2re od decimalnog zareza nalevo isto tako i od decimalnog zareza nadesno 2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 ]]]]]]]]]]^=
6rvo posmatramo par ci2ara krajnje leve klase 27. 6ostavljamo pitanje 1 koji je najveći prirodan broj koji dignut na kvadrat daje broj koji je manji ili jednak 27? 9o je broj 5 jer on dignut na kvadrat daje 25 koji je manji od 27(jer već sledeći prirodan broj 6 dignut na kvadrat bi dao 36 što je veće od 27). 0esno od znaka jednakosti pišemo taj broj tj. 5 a ispod para ci2ara 27pišemo kvadrat dobijenog broja 25 tj. . 2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 ]]]]]]]]]]^=5 25
=ada od 27oduzimamo 25i rezultat 2 zapisujemo ispod: u produ-etku dopisujemo dve ci2re iz sledeće 54 klase u ovom slučaju 2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 ]]]]]]]]]]^=5 25]] 254
zatim dopisujemo znak jednako a desno od njega dosadašnji rezultat 5 pomno-en sa 2 a to je 10 2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 ]]]]]]]]]]^=5 25]] 25 4=10 __ ⋅
i postavljamo pitanje koja je najveća ci2ra koja mo-e biti dopisana broju 10 pa da tako dobijeni broj pomno-en tom ci2rom daje rezultat koji je manji ili jednak broju 254? Ddgovor je 2 jer va-i da je 1022=204_254 dok već za prvu sledeću ci2ru 3 to ne bi va-ilo 1033=309 254 a to ne bi bilo manje ili jednako . 6rema tome u prazna polja upisujemo ci2ru 2: tako4e u rezultat desno od ci2re 5 dopisujemo 2i pošto smo `obradili sve klase od po dve ci2re levo od decimalnog zareza sada posle ove dvojke u rezultatu pišemo decimalni zarez ⋅
⋅
2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 ]]]]]]]]]]^=52, 25]] 25 4=10 2 ] 2] ⋅
=ada izvršimo mno-enje 1022i rezultat 204 zapišemo ispod 254: zatim izvršimo oduzimanje tih brojeva ⋅
2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 ]]]]]]]]]]^=52, 25]] 25 4=10 2 ] 2] 204 ]]]] 50 ⋅
0opisujemo par ci2ara iz sledeće klase (zanemarujući decimalni zarez) a to je
15
2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 ]]]]]]]]]]^=52, 25]] 25 4=10 2 ] 2] 204 ]]]] 5015 ⋅
zatim dopisujemo znak jednako a desno od njega dosadašnji rezultat 52 pomno-en sa 2 a to je 104 2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 ]]]]]]]]]]^=52, 25]] 25 4=10 2 ] 2] 204 ]]]] 501 5=104 __ ⋅
⋅
i postavljamo slično pitanje kao malopre koja je najveća ci2ra koja mo-e biti dopisana broju 104 pa da tako dobijeni broj pomno-en tom ci2rom daje rezultat koji je manji ili jednak broju 5015? 76 Ddgovor je 4 jer va-i da je 10444=41 _5015 dok već za prvu sledeću ci2ru 5 to ne bi va-ilo 10455=52 25 5015. a to ne bi bilo manje ili jednako 6rema tome u prazna polja upisujemo ci2ru 4: tako4e u rezultat desno od ci2ara 52i decimalnog 4 zareza dopisujemo ⋅
⋅
2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 4 ]]]]]]]]]]^=52, 25]]
25 4=10 2 ] 2] 204 ]]]] 501 5=104 4 ] 4] ⋅
⋅
=ada izvršimo mno-enje 10444i rezultat 4176 zapišemo ispod 5015: zatim izvršimo oduzimanje tih brojeva ⋅
2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 4 ]]]]]]]]]]^=52, 25]] 25 4=10 2 ] 2] 204 ]]]] 501 5=104 4 ] 4] 4176]]]]] 839 ⋅
⋅
0opisujemo
par
ci2ara
iz
sledeće
klase
a
to
je
04
2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 4 ]]]]]]]]]]^=52, 25]] 25 4=10 2 ] 2] 204 ]]]] 501 5=104 4 ] 4] 4176]]]]] 83904 ⋅
⋅
zatim dopisujemo znak jednako a desno od njega dosadašnji rezultat (zanemarujući decimalni zarez) 524 2 1048 pomno-en sa a to je 2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 4 ]]]]]]]]]]^=52, 25]] 25 4=10 2 ] 2] 204 ]]]] 501 5=104 4 ] 4] 4176]]]]] 839 04 =10 48__ ⋅
⋅
⋅
i opet postavljamo pitanje koja je najveća ci2ra koja mo-e biti dopisana broju 1048 pa da tako dobijeni broj pomno-en tom ci2rom daje rezultat koji je manji ili jednak broju 83904? Ddgovor je 8 pri čemu broj 10488 pomno-en ci2rom 8 daje tačno broj 83904.
2 , 4 6rema tome u prazna polja upisujemo ci2ru 8: tako4e u rezultat desno od 5 dopisujemo 8 2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 48 ]]]]]]]]]]^=52, 25]] 25 4=10 2 ] 2] 204 ]]]] 501 5=104 4 ] 4] 4176]]]]] 839 04 =10 488 ] 8] ⋅
⋅
⋅
=ada izvršimo mno-enje 104888i rezultat 83904 zapišemo ispod 83904: zatim izvršimo oduzimanje tih brojeva čime kao rezulat dobijamo naravno nulu ⋅
2 7 | 5 4 , | 1 5 | 0 4 48 ]]]]]]]]]]^=52, 25]] 25 4=10 2 ] 2] 204 ]]]] 501 5=104 4 ] 4] 4176]]]]] 839 04 =10 488 ] 8] 83904 ]]]]]]] 0 ⋅
⋅
⋅
6ošto smo oduzimanjem dobili nulu postupak je završen. 9ra-eni rezultat je
5 2 , 4 8 .
7 slučaju da posle iskorišćenja svih ci2ara potkorene veličine ne dobijemo nulu prilikom oduzimanja postupak ponavljamo tako što na broj čiji koren tra-imo dopisujemo decimalne nule koje tako4e delimo u klase od po dve. 6ostupak ponavljamo ili dok kao rezultat oduzimanja ne dobijemo nulu ili do neke zadovoljavajuće tačnosti. Na primer koren broja 3(za koji znamo da će biti iracionalan) dobićemo tako što iza decimalnog zareza dopišemo niz nula i izdelimo ga u klase od po dve nule 3 , | 0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0 | ⋯]]]]]]]]]]]]]]^=
8 algoritam ponavljamo dok ne dobijemo rezultat s onolikim brojem decimalnih ci2ara koji će zadovoljiti tačnost koju tra-imo.
Fvo pogledao sam ovu temu i koliko vidim 0aniele preskočio si dokazsamo si objasnio postupak korijenovanja.8ma jedna stvar koja me malo zbunjuje. 9o je oko dijeljenja broja na klase po dvije ci2re sa desna na lijevo.8mam ja svoj neki zaključak koji sam donio preko ovoga dokazivanja mada ni za njega nisam siguran da je najbolji.,o-da postoji još bolje objašnjenje.Jnači 5roj ci2ara broja iz kojega vadimo korijen mora bili duplo manji ili još manji za jedan od broja ci2ara broja koji ćemo dobiti kao rezultat.8sto tako kada oduzimam nekako nelogično je da ostane $ ci2ra na kraju koja se spušta jer bi tada ostatak bio uvijek negativan. >vadrat dvoci2renog broja ( 10 ) 2=10 0 +20 +y 2=10 0 210 ) x+y x2 xy x2+( x+y y ⋅
6ostoji % vede' Cigveda Gadzurveda =amaveda i Atarvaveda.
Ga sam pronašao na internetu 8ndo2ilozo2iju i tu se spominju < udova veda i to Naa pisac je Mautama a opisuje process logike i mentalnih 2aktora Haišešika ' pisac je >anda ona analizira kosmos i nauku atoma mani2estovanog sveta . ,imansa pisac je Gaimini Dna diskutuje o autoritetu Heda preko pravilne akcije u saglasnosti sa prirodom ličnosti kroz zakone prirode.( 0harma ). Hedanta pisac je Hasa ' Analiza vedskih tekstova na nivou ujedinjene svesti ukazuje da mnoštvo mani2estacija nastaje iz jednog. Sank)*a je anpisao >apila ( analizira psihološku strukturu duha 1 duše ) +o(a pisac je 6atan4ali 9o je studija praktične i mistične discipline psihologije koja nas vodi stabilizaciji u čistoj svesti. DHF poslednje dve sam našao u pd2 2ormatu i imam ih pa mogu d apošaljem onome ko ih hoće a nisam našao ostalih četiri. 9ako4e sam saznao da postoji još spisa o Hedskom znanju i sve to postoji prevedeno na engleski i ponešto i na srpski. 9o je što se tiče indo2ilozo2ije a inače celokupno Hedsko znanje deli se na dve osnovne grupe tzv =ruti i =mrti. ( =ruti je razotkrivena apsolutna istina gde svaka reč zauvek ostaje nepromenjena ) i deli se na osnovne Hede i to: ($. Hede Cg ajur =ama Atharva ) (*. 7pavede 0hanurveda i Aurveda itd... ) . Hedange. 0alje se prva grupa deli na četiri a treća na < znanja a =mrti ( =akupljeno znanje mudraca gde 2ormulacija mo-e da varira zavisno od perioda.) Dna se deli na osnovne < grupe pa se prva od njih deli na četiri tzv =utre druga na tri grupe treća 6ancaratre proizvodi Haisnavsko obo-avanje a četvrta 6urane ima $ velikih i $ malih 6urana. A šest 0arhsana sam pomenuo na početku tj. 8ndo2ilozo2iju.
"n&ij,ka a'ea'ika •
•
6očetna Jnanost
•
8ndijska matematika
•
•
8ndija nam je dala prirodan način prikazivanja bilo kojeg broja pomoću samo deset znakova@ Dvo je dubokoumna i va-na ideja koja nam se danas čini tako jednostavnom da često zaboravljamo njenu pravu vrijednost. Heličinu ovog otkrića moramo cijeniti tim više kad se uzme u obzir da je ono promaklo takvim umovima kao što su Arhimed i Apolonije. Pierre-Simon Laplace, francuski matematičar i astronom
8ndija je od drevnih vremena pa sve do danas domovina vrsnih matematičara. 7 dalekim vedskim
vremenima matematika je bila tijesno povezana s religijom jer je prvenstveno slu-ila u ceremonijalne svrhe 1 za točno odre4ivanje početaka ceremonija kroz astronomske proračune te za izradu -rtvenika. =taroindijski matematičari bili su prvenstveno astronomi (astrolozi) i svećenici a svoja su znanja iznosili u stihovima u tzv. sutrama. Dsnovna razlika izme4u indijske i grčke matematike jest u tome što su Mrci bili više orijentirani na geometriju a 8ndijci na aritmetiku. Ja 8ndijce je geometrija imala isključivo uporabnu vrijednost dok su Mrci geometriju razvijali kao teoretsku disciplinu koju su koristili za dokazivanje svojih poučaka. = druge strane 8ndijci su razvili besprijekoran numerički sustav te utemeljili i razvili algebru koju će od njih preuzeti Arapi i prenijeti dalje Furopi te tako otvoriti put modernoj matematici. 6ovijesno se indijska matematika mo-e podijeliti na pet velikih cjelina upitnog vremenskog datiranja $. drevna vremena (vedski period) a) rani vedski period (barem <&&&. pr.>r. 1 $&&&. pr.>r.) b) kasni vedski period ($&&&. pr.>r. 1 &&. pr.>r.) *. pretklasični period (&&. pr.>r. 1 %&&.) . klasični period ili Jlatno doba (%&&. 1 $*&&.) %. kasni klasični period ($*&&. 1 $&&.) . moderno doba (nakon $&&.) Hede su najstariji indijski sveti tekstovi u kojima su sačuvana znanja iz različitih područja religije medicine astronomije matematike itd. ,etode računanja kojima se slu-ila vedska matematika bile su jednostavne i praktične tako da su upotrebljive i za računanje napamet. 7 kasnim vedskim ulba sutrama matematika se razvija zbog potreba rješavanja praktičnih geometrijskih problema (uglavnom vezanih uz konstrukciju ceremonijalnih -rtvenika). 8z tih vremena poznat je cijeli niz tzv. 6itagorinih trojki brojeva tj. prirodnih brojeva koji zadovoljavaju 6itagorin poučak a* + b* # c* a to je dovelo do uvo4enja iracionalnih brojeva. Cazvili su metodu va4enja drugog korijena preko rekurzivnih 2ormula. ainistički matematičari pretklasičnog perioda najviše se spominju kao va-na spona izme4u matematičara vedskog perioda i onih iz klasičnog perioda. Njihov je povijesni značaj u tome što su indijsku matematiku odvojili od njene religijske i obredne primjene. Dni u matematiku uvode i pojam beskonačnosti. =matra se da su prvi upotrijebili riječ shuna (praznina) kao izraz za nulu. Ja razliku od Mrčke 8ndija je prazninu (nulu) i beskonačnost prihvatila bez straha.
>ip Arabathe postavljen ispred =veučilišnog centra za astronomiju i astro2iziku 6une ,aharaštra 8ndija.
.la'no &o/a =voj vrhunac indijska matematika dose-e u klasičnom periodu. 7 vrijeme kad Furopa sve više tone u mrak a Arapi još nisu preuzeli baklju matematičkog znanja u 8ndiji cvjeta znanost. 9ijekom ovog perioda pojavila se čitava plejada genijalnih matematičara koji su proširili znanja iz geometrije i trigonometrije postavili temelje današnjeg brojevnog sustava i utemeljili algebru. =pomenimo samo najpoznatije Arabhata 8. Harahamihira 5rahmagupta 5haskara 8. ,ahavira 5haskara 88. Njihov se utjecaj s vremenom proširio i izvan granica 8ndije te konačno stigao i do Furope.
!r*a/)a'a " 6rvi u nizu i jedan od najvećih svakako je Arabhata 8. iz >usumapure (%;<.1&.). Njemu se pri' pisuje zasluga da je matematiku ustanovio kao samostalnu disciplinu odvajajući je od njene religijske 2unkcije. Njegovo je najpoznatije djelo Arabhatia matematičko'astronomska rasprava u kojoj je sakupio astronomska i matematička znanja starih 8ndijaca i Mrka dodajući tome i cijeli niz vlastitih otkrića. 7z
astronomiju planarnu i s2ernu trigonometriju te aritmetiku u ovoj raspravi nalazimo i prve početke algebre. Casprava je napisana u stihovima u izuzetno sa-etom obliku tako da je često teško shvatiti njihov pravi smisao. =rećom Arabhatin učenik 5haskara 8. kasnije je dodao detaljne komentare. 7 drevnoj 8ndiji sve do otprilike &&. g. pr.>r. svi su se tekstovi prenosili isključivo usmeno pa su radi lakšeg pamćenja sva znanja pa tako i matematička bila iznesena u stihovima. 7čenici su najprije napamet učili matematičke probleme i pravila sa-eto zapisane u stihovima a nakon toga su prelazili na proučavanje proznih komentara koji su s puno više detalja objašnjavali probleme. 8pak prozni dio je bio manje cijenjen od onog u stihu u kojem se iznosila sama ideja. Arabhatia se sastoji od sto osam stro2a podijeljenih u četiri poglavlja ili pade $. Mitikapada 1 sadr-i astronomske tablice velike vremenske jedinice te u jednoj stro2i tablice za trigonometrijsku 2unkciju sinus. *. Manitapada (matematika) 1 objašnjava različite geometrijske i aritmetičke 2ormule te linearne kvadratne i dio2antske jednad-be. . >alakriapada (vremenski izračuni) 1 stihovi o astronomskim pojmovima i veličinama %. Molapada (san. gola 1 kugla s2era) 1 govori o geometrijskim i trigonometrijskim aspektima nebeske s2ere o različitim pravilima vezanim uz trigonometrijske probleme te o obliku Jemlje i pojavama u =unčevom sustavu i zvije-4ima zodijaka. 8ako su tvrdnje u Arabhatii navedene bez dokaza odnosno izvoda suvremeni matematičari smatraju da to ne znači da ih autor nije znao dokazati nego da je tada to bila uobičajena 2orma izlaganja. Dd vremena 5haskare 8. (H88. st.) prozni su komentari sve češće sadr-avali i upapatti 1 neku vrstu dokaza. 5haskarini komentari Arabhatie su imali sljedeći oblik Najprije bi u stihu naveo neko pravilo ili problem a zatim ga komentirao u nekoliko koraka •
•
•
•
•
pojašnjenje pravila (izvodi su u to doba još rijetki ali se kasnije sve češće koriste) primjer (uddesaka) najčešće u stihovima postavka (nasa/sthapana) numeričkih podataka izrada (karana) rješenja provjera veri2ikacija (prataakarana) odgovora. Dvaj je dio u X888. st. izbačen jer su izvodi postali uobičajeni.
7tjecaj Arabhatie na indijske matematičare usporediv je s utjecajem Fuklidovih Flemenata na zapadnu matematiku. >ao i većina matematičara drevne 8ndije Arabhata je u prvom redu bio astronom. Mlavnina njegovih matematičkih otkrića proizlazi iz astronomskih proučavanja. >ompleksni proračuni u kojima se pojavljuje više varijabli prisilili su Arabhatu da potra-i način kako pojednostavniti astronomske
proračune. 9ako je prvi put zaista upotrijebljena algebra umjesto uobičajene aritmetike. ,atematika se na sanskrtu naziva ganita. Algebarske 2orme računanja dobile su ime bijaganita što znači druga matematikaO zato što je ovaj način računanja smatran paralelnim onom uobičajenom i dotad jedinom načinu. >ao primjer Arabhatinog pravila navest ćemo njegov postupak za računanje površine trokuta. 7 <. sutri Manitapade piše 6romatramo li trokut umno'-ak okomice i polovine stranice daje površinu. 7 našem sustavu označavanja to bi značilo 6 # va a/* 8zuzetno je zanimljivo da je vrijednost broja f poznavao točno na četiri decimale (f $%$<) što je najbolja aproksimacija do pojave moderne matematike (f # $%$!*<!;!@ ) 0odaj četiri stotini pomno-i s osam i dodaj šezdeset dvije tisuće. Cezultat je pribli-no jednak opsegu kru-nice promjera dvadeset tisuća. Na ovaj je način dat odnos opsega i promjera. 0rugim riječima f ((%+$&&)+<*&&&)/*&&&& # <**/*&&&& # $%$<
1z naziv 2)a,karino( &jela ilava'i 4o,'oji je&na le(en&a5 >ad se 5haskari rodila kći Iilavati astrolozi su prorekli da joj nije su4en brak. 5haskara se s time nije htio pomiriti te je upotrijebio sve svoje znanje astrologije i izračunao da postoji samo jedan jedini dan i jedan jedini trenutak u tom danu kad se ona mo-e sretno udati. =amo tada i nikada više. 8 kad je došao taj sretan dan mlado-enja i uzvanici okupili su se na obredu vjenčanja a 5haskara i njegova obitelj pomno su gledali na vodeni sat koji je trebao pokazati kad će nastupiti taj jedini povoljan trenutak za udaju. ,e4utim dok se naginjala nad satom uzbu4ena mladenka nije primijetila da je s njene ogrlice otpao biser i pao u vodeni sat. 5iser je usporio protjecanje vode a da to nitko nije opazio. 8 premda je vjenčanje dalje teklo prema planu nitko nije bio svjestan da je onaj jedini povoljan trenutak nepovratno prošao. Iilavati nije mogla izbjeći prorečenu sudbinu 1 njen mu- je umro ubrzo nakon vjenčanja. >ako bi utješio kći koja je ostala udovica do kraja -ivota 5haskara je obećao da će prema njoj nazvati svoju knjigu koja će trajati za sva vremena i rekao joj je 0obro ime je drugi -ivot i temelj vječnog postojanja. 9ako je djelo Iilavati dobilo ime. 8 štoviše naglasio je da se radi o aproksimaciji a ne točnoj vrijednosti. 5io je svjestan da je broj f iracionalan broj (tj. da se ne mo-e zapisati u obliku razlomka).
Hjerojatno najveći doprinos matematici Arabhata je dao u rješavanju dio2antskih jednad-bi (jednad-bi s cjelobrojnim rješenjima). Dve su jednad-be va-ne za izračunavanje različitih astronomskih ciklusa. Ja te je potrebe izmislio tzv. kuttaka algoritam tj. algoritam usitnjavanja pretvaranja u prašinu. ,etoda se sastoji u postupnom smanjivanju koe2icijenta u jednad-bi. 8 danas se ovaj algoritam često spominje kao Arabhatin algoritam.
5haskarin dokaz 6itagorinog poučka
5haskarin dokaz 6itagorinog poučka Arabhata prvi daje i de2iniciju trigonometrijske 2unkcije sinus. Ne de2inira je na naš način kao omjer nasuprotne katete i hipotenuze nego kao duljinu polutetive. >ru-nicu je podijelio na *$<&& dijelova tj. onoliko dijelova koliko iznosi puni kut izra-en u minutama (<& <& # *$<&&) i taj dio koristi kao mjeru. Janimljiv je put kojim je nastao naziv sinus. =anskrtska riječ ja'ardha koju je Arabhata koristio za sinus znači polutetivaO a često se skraćeno izgovarala ja. 7 arapski je svijet ova riječ ušla kao jiba a kako se u arapskom samoglasnici ne pišu nego dodaju prilikom čitanja ovo se pisalo kao jb a s vremenom čitalo jiab što znači zaljev uvala ili nabor na odjeći jer jiba na arapskom nije imalo značenja. Merard >remonski je prevodeći ove tekstove na latinski ovu riječ preveo sa sinus tj. zavoj ili nabor.
2ra)a(u4'a 7 H88. stoljeću u 7jjainu djeluje drugi velikan indijske matematike 5rahmagupta. Dn je napisao četiri astronomsko'matematička teksta od kojih je najpoznatiji 5rUhmasphutasiddhUnta (8spravno zasnovano učenje 5rahme).
Dva se knjiga sastoji od dvadeset pet poglavlja u kojima se uz astronomiju pojavljuju teoremi iz algebre aritmetike i geometrije. 7 dvanaestom poglavlju postavio je svoj poznati teorem o dijagonalama tetivnog četverokuta (četverokuta upisanog u kru-nicu) i 2ormulu za njegovu površinu kad su poznate duljine stranica. 9a 2ormula je poopćenje poznate eronove 2ormule za površinu trokuta. 7 osamnaestom je poglavlju dao i 2ormulu za jedno rješenje kvadratne jednad-be zapisane u obliku a"* + b" # c. 5rahmaguptino poimanje brojevnog sustava bilo je ispred njegova vremena. Cazvio je pozicijski sustav zapisivanja brojeva. 7veo je moderni koncept nule tako što ju je de2inirao kao rezultat oduzimanja broja od sebe samog. 9ime je ona stekla ravnopravan status s drugim brojevima status koji će u Furopi steći tek u XH88. st. 9ako4er je uveo računske operacije s negativnim brojevima.
2)a,kara "" 5haskara ili 5hasakrachara (san. achara 1 učeni) je posljednji veliki matematičar Jlatnog doba i mo-da najveći indijski matematičar svih vremena. Njegovo je glavno djelo =iddhUntairomati (>runski dragulj ispravnosti) napisano oko $$&. g. a sastoji se od četiri dijela $. Iilavati (aritmetika) *. 5ijaganita (algebra) . Moladhaa (s2erna geometrija) %. Mrahaganita (astronomski proračuni) 6isao je u stihovima ali je dodavao i objašnjenja u prozi. 7 njima je sistematizirao znanja svojih prethodnika iznio dokaze mnogih teorema koje su oni izrekli te dao vlastiti nemjerljiv doprinos u svim područjima. 6opunio je mnoge praznine u 5rahmaguptinom djelu. =ustavno je izlo-io decimalni
(pozicijski) način zapisivanja brojeva. 8zme4u ostalog otkrio je da kvadratna jednad-ba ima dva rješenja dokazao je da broj podijeljen s nulom daje beskonačnost dao je geometrijski dokaz 6itagorinog poučka a postavio je i temelje di2erencijalnog i integralnog računa davno prije NeQtona i Ieibnitza. 7 današnje vrijeme indijski matematičari nastavljaju stopama svojih slavnih prethodnika. 8ndiji se odaje sve veće priznanje za velika postignuća na području ove znanosti. Najpoznatiji je predstavnik modernog doba svakako bio =rinivasa Camanujan ($;.1$!*&.) ali ne treba zaboraviti ni arish' Shandru ($!*.1$!.) te ,anjula 5hargavu ($!;%.). 6riznanje 8ndiji za njen doprinos iskazano je i time što je ,e4unarodni kongres matematičara *&$&. godine odr-an u derabadu u 8ndiji. Autor Ve,na er)a'
S1T$!5 .2$!J!NJE .N!MEN" .! MNOŽENJE S JED!N!EST >ompresija znamenki\ (ili Ako je =amuccaa jednaka onda je nula\) je sutra koja vrlo brzo rješava mno-enje s jedanaest. Ako -elimo pomno-iti * sa $$ jednostavno zbrojimo dvije znamenke broja * i ka-emo * + \ što daje ; i ubacimo tu znamenku izme4u ostale dvije znamenke. Ddgovor je tako *;. 0rugi način da se to prika-e je da se dvije znamenke razdvoje i ubaci njihov zbroj znamenki * " $$ # * (* + ) #*; # *; 7 ovom primjeru $\ iz $*\ prebacuje se na lijevu stranu ! " $$ # ( + !) ! # $* ! # %*!
Hedska matematika je ime dano drevnom sustavu matematike koji je izme4u $!$$. i $!$. Sri 2)ara'i r,na Tir')aji ($%1$!<&) ponovno otkrio u Hedama. 6rema njegovom istra-ivanju sva matematika temelji se na $< sutri ili 2ormula izra-enih riječima. Gednostavnost vedske matematike znači da se računanja mogu obavljati mentalno što stvara kreativnije zainteresirane i inteligentne učenike.
,atematika je jedan univerzalan jezik koji vrijedi u različitim nivoima svijesti/postojanja... =koro sve u -ivotu mo-emo nekako izraziti i matematički. Dbično mnogi u školi već ne vole matematiku jer im se čini komplicirana ali imaju i potpuno pravo kod toga. 7če nas matematiku nekim BkonvencionalnimB metodama koje jako kompliciraju ovaj prekrasan univerzalni jezik. 6očetkom *&. stoljeća dok je u Furopi vladalo veliko zanimanje za sanskrtske tekstove neki znanstvenici odbacili su odre4ene tekstove pod nazivom 7ani'a ,u're 1 što znači matematika\ ' jer u prijevodu nisu mogli pronaći nikakvu matematiku. ,e4utim 2)ara'i r,na koji se bavio sanskrtom matematikom poviješću i 2ilozo2ijom proučio je ove tekstove i nakon dugog i pa-ljivog istra-ivanja uspio rekonstruirati matematiku Heda. 6rema njegovom istra-ivanju sva matematika temelji se na $< sutri ili 2ormula izra-enih riječima. =voja istra-ivanja objavio je u knjizi Hedic ,athematics\ objavljenoj !< pet godina nakon njegove smrti.
9ih $< sutri ili jednostavnih sanskrtskih 2ormula izra-enih riječima rješavaju sve poznate matematičke probleme u granama aritmetike algebre geometrije i di2erencijalnog računa. Dne su lako razumljive lako primjenjive i lako pamtljive. Mraditelj hrama nije imao olovku ni papir: jednostavno je računao u glavi. 0akle nalazite se na terenu i trebati popločati pod koji ima ! jedinica na kvadrat. >ako ćete to izračunati s takvom mentalnom lakoćom? Fvo nekih praktičnih primjera.
V!D$"$!NJE 2$OJEV! OJ" S1 2".1 2!.E 0a bismo dobili kvadrat broja ! (! " ! ili !*) moramo prvo utvrditi u kojoj smo bazi. 5roj je blizu $&& pa ka-emo da je baza $&&. =ada moramo izabrati jednu od $< glavnih sutri kako bismo
riješili problem. Dna koju ovdje treba primijeniti zove se 6o nedostatku 1 koliki je nedostatak umanji ga za još toliko i dopiši kvadrat od toga.\ Jvuči kriptično i besmisleno pa ipak brzo rješava problem. Ddgovor ćemo dobiti jednostavno utvrdivši koliko je $&& minus !. Jnajući da je nedostatak * samo umanjimo ! za * i dopišemo kvadriranje te dvojke. >ao jednoredan odgovor to bi izgledalo ovako ! na kvadrat # ! 1 * / * " * 8li pojednostavljeno !< / P% =koro imamo naš odgovor. ,oramo znati da budući da je naša baza $&& ona ima dvije nule. =toga ! na kvadrat # !< / &% # !<&% 6ogledajmo slične primjere !; na kvadrat # !; 1 / " # !% / &! # !%&! !< na kvadrat # !< 1 % / % " % # !* / $< # !*$< >ada je broj koji se kvadrira veći od baze 1 u ovom slučaju od $&& 1 dodajemo višak i kvadriramo višak $&% " $&% # $&% + % / % " % # $& / $< # $& $< $&% " $& # $&% + / % " # $&! / *& # $& !*& Lto ako povećamo naše brojeve do !! na kvadrat? 9o je blizu $&& pa ka-emo da je baza $ &&& i znamo da moramo imati tri mjesta (za nule ili znamenke) na desnoj strani od (/). !! na kvadrat # !! 1 * / * " * # !!< / P P % # !!< / &&% # !!< &&% =hvativši ovo mo-emo računati s milijunima !!! na kvadrat # !!! 1 * / * " * # !!!< / P P P %
