Vectores en el espacio:
1) Determine el ángulo entre los vectores a y b. a= (2, 5, -4) y b=(1, -2, -3)
] [ ) (√ )()(√ √ )
ab=
ab=80.83
2) Determine los ángulos de dirección del vector PQ P(1, -1, 0); Q(3, 4, 5) PQ= (2, 5, 5)
√ √ √ √ |PQ|=
3) Determine el centro y radio de la esfera con la ecuación dada:
Resolución:
) / 3 Sabiendo que la forma general de la ecuación de la esfera es:
Podemos concluir que:
Completamos los cuadrados de las variables:
Sabiendo que la ecuación de la superficie esférica cuyo centro es el punto (h,k,l) y cuyo radio es:
Podemos concluir que: El centro de la esfera es: C= (h,k,l)=(0,0,3) y su radio es r=5
4) Determine el área del triángulo con vectores con vértices A (1,1,1), B(3,-2,3) y C(3,4,6).
Resolución: El área de un triángulo se lo puede definir como: Área ∆ ABC=
Siendo: b = AC, c= AB
∡ A = || = (3-1) + (4-1) + (6-1) =2 +3 +5
(2,3,5)
(3-1) + (-2-1) + (3-1) 2
3 +2
(2,-3,2)
|| √ || √ Resolviendo el producto escalar= c.b= 4 -9+ 10=5
∡ A = √ √ = 78.6546°
Por lo tanto:
Área ∆ ABC=
√ √ =12.46
5) Supongamos que el vector fuerza de la figura está inclinado con un ángulo de 30 ° con respecto al suelo. Si el niño ejerce una fuerza de 20 libras, ¿cuánto trabajo (en pieslibras) se realiza al jalar el trineo una distancia de 100 pies a lo largo del suelo?
F = 20 libras W = F. D D= 100 pies W = (Comp D F) W=
||
|||| = 20 lb. cos 30 °. 100 pies = 1732.05 (lb-pies)
1) Escriba las ecuaciones paramétricas de la línea recta que pasa por el punto P y es paralelo al vector v.
P(4,13,-3), v=2
–3
Resolución:
De la definición de ec. Paramétricas tenemos que: X= X0 + at; Y= Y0 +bt; Z= Z0 + ct Por lo tanto:
a= 2, b=0, c=-3
Al punto P lo consideramos como un punto fijo, de lo c ual concluimos que:
X= 4 + 2t Y= 13 + 0t= 13
Ec. paramétricas
Z= -3 -3t= -3(1+t)
2) Escriba las ecuaciones paramétricas de la línea recta que pasa por los puntos P1 y P2.
P1(0,0,0), P2(-6, 3,5)
Resolución:
̅= (-6,3,5) La recta L tiene que ser paralela al vector
̅
De la definición de ec. Paramétricas tenemos que: X= X0 + at; Y= Y0 +bt; Z= Z0 + ct Por lo tanto: a= -6, b=3, c=5
Al punto P1 lo consideramos como un punto fijo, de lo cual concluimos que:
X= -6t Y= 3t
Ec. paramétricas
Z= 5t
3) Escriba las ecuación paramétrica y simétrica para la línea indicada Pasa por P(2, 5, -7) y por Q(4, 3, 8) PQ=(2, -2, 15) Ecuación paramétrica x=2+2t; y=5-2t; z=-7+15t Ecuación simétrica
4) Escriba una ecuación del plano indicado. Pasa por P (1,0,-1) con vector normal n= <2,2,-1>
Resolución:
De la definición de la ecuación vectorial del plano P, tenemos que: n. (r,r0)=0, donde n es el vector normal al plano n=
=<2,2,-1> r= (x,y,z) r0=(x0,y0,z0)=(1,0,-1) Obteniendo la ec. Escalar: a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)=0 De donde concluimos que una ec. del plano es: (2) (x-1) + (2) (y-0) + (-1) (z+1) = 0 2(x-1)+2(y)-1(z+1)=0 2x-2+2y-z-1=0
5) Escriba una ecuación del plano indicado Pasa por P(10, 4, -3) con vector normal n=(7, 11, 0) Resolución
7(x-10)+11(y-4)+0(z+3)=0 7x+11y=114
6) Determine el ángulo entre los planos con las ecuaciones dadas. x=10 y x+y+z=0 Resolución: 1x+0y+0z=10 y 1x+1y+1z=0 Los vectores n=<1,0,0> y m=<1,1,1> son normales a los dos planos, de modo que:
= |||| √ √ De donde:
√ = 54.7356°
7) Determine el ángulo entre los planos con las ecuaciones dadas. x-y-2z =1 y x-y-2z=5
Resolución: 1x-1y-2z=1 y 1x-1y-2z=5 Los vectores n=<1,-1,-2> y m=<1,-1,-2> son normales a los dos planos, pero al ser los mismos podemos concluir que estamos hablando de dos ecuaciones que representan a dos planos paralelos, por lo tanto no existe tal ángulo entre los planos ya que estos no se llegan a intersecar.
8) Determine el ángulo entre los planos con las ecuaciones dadas.
|||| √ √
9) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos y
Para resolver este problema estableceremos puntos como referencia de la recta de intersección; para ello verificaremos que los planos se intersequen:
√
Como los planos se intersecan se reemplaza una variable por un numero arbitrario Si x=1
Sumamos los vectores obtenidos y como resultado tenemos:
Por lo tanto tenemos que el primer punto es (1, 1, 1). Para obtener el otro punto realizamos el mismo procedimiento. Si x=3
Realizando la suma de vectores tenemos que: Por lo tanto el punto dos quedaría (3, 2, -4) PP1= (2, 1, -5) La ecuación paramétrica es la siguiente: X =1+2t ;
y= 1+t ;
z=1-4t
10) Determine una ecuación del plano que pasa por P (3,3,1), perpendicular a los planos x+y=2z y 2x+z=10,
Resolución: Podemos determinar los vectores normales de un plano a través de su ecuación sabiendo que, si tenemos la ec. de un plano de la forma: ax+by+cz=d Por lo tanto: x+y-2z=0 y 2x+z-10=0 Los vectores normales (perpendiculares) al plano deseado son: n= <1,1,-2> y m=<2,1,-10> Sabemos que la ecuación escalar un plano es: a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)=0 en donde n= Por lo tanto: (1)(x-3)+(1)(y-3)+(-2)(z-1)=0 x-3+y-3-2z+2=0 x+y-2z=4
Se da el vector de posición r(t) de una partícula en movimiento en el espacio. Determine sus vectores velocidad y aceleración y su rapidez en el instante t.
5. r(t)
|| 7.
||
Se dan el vector aceleración a(t), la posición inicial r 0=r(0) y la velocidad inicial v0=v(0) de una partícula en movimiento en el espacio xyz. Determine su vector posición r(t) en el instante t 12.
∫ ∫
15.
∫
∫ Las ecuaciones paramétricas de una partícula en movimiento son
Determine su velocidad, rapidez y aceleración en el instante ∫ ∫ 27.7056
22. Una partícula se mueve con rapidez constante a lo largo de una curva en el espacio. Muestre que sus vectores velocidad y aceleración son siempre perpendiculares entre sí. Siendo que: = velocidad = v T
rapidez = cte.
=
|| = T + = T + (k
T= el vector tangente unitario = aceleración
=
= = +
v
=
v
= N= normal unitario principal N= || = ; de modo que: K= curvatura k de la curva =
T.
v
=
+ (v T).(k (ya que T y N son perpendiculares)
De donde concluimos que al ser la rapidez una constante, Luego:
v
(0)
0 y por definición sabemos que:
|||| (el cual es el ángulo comprendido entre estos dos vectores) Por lo tanto:
