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Transformée de Laplace Définitions et notations Soit f : [0, +∞[→ R continue par morceaux sur [0, +∞[. On appelle transformée de Laplace de f l’application (lorsque Z +∞ l’intégrale converge), L f (x) = e−xt f (t)dt. 0
Pour tout ensemble A, l’application 1A désigne la fonction caractéristique de A (i.e 1A (x) = 1 si x ∈ A et 0 sinon).
Première partie Transformée de Laplace Soit f : [0, +∞[→ R continue par morceaux sur [0, +∞[ telle que ∃M > 0, ∃a ∈ R, ∀t ≥ 0, |f (t)| ≤ M eat . 1: Montrer que L f est définie et continue sur ]a, +∞[. 2: Montrer que L f est de classe C 1 sur ]a, +∞[ et déterminer (L f )0 . 3: Montrer que L f est de classe C ∞ sur ]a, +∞[ et déterminer (L f )(k) pour tout k ∈ N.
Deuxième partie Injectivité de l’application f 7→ L (f ) Soit f : [0, +∞[→ Rcontinue et bornée sur [0, +∞[ et soit x > 0 et (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires telle que ∀n ∈ N∗ , Xn ,→ E x1 . n X 1: Donner, pour tout n ∈ N, la loi de la variable aléatoire Sn = Xk . k=1
2: Donner, pour tout n ∈ N, la loi de la variable aléatoire Snn . 3: Montrer que Snn n∈N∗ converge en probabilité vers x. 4: En déduire que f Snn n∈N∗ converge en probabilité vers f (x). 5: Soit ε > 0 et on pose ∀n ∈ N∗ , An = f Snn − f (x) ≤ ε . f Sn − f (x) ≤ ε1An + kf k∞ (1 − 1An ). 5 - 1: Montrer que ∀n ∈ N∗ , Anestun événement et n Sn = f (x). 5 - 2: En déduire que lim E f n→+∞ n nn (−1)n−1 n−1 n 6: Montrer que f (x) = lim (L f ) . n n→+∞ (n − 1)!x x 7: Conclure que si h et g sont deux fonctions réelles continues et bornées sur [0, +∞[ telles que L g = L h alors h = g.
Troisième partie Comportement au voisinage de 0 Soit f : [0, +∞[→ R continue par morceaux sur [0, +∞[. Z +∞ Z x 1: On suppose que l’intégrale f (t)dt converge et on pose F : x ∈ [0, +∞[7→ f (t)dt. 0 Z +∞ 0 t −t 1 - 1: Montrer que L f est bien définie sur [0, +∞[ et que ∀x > 0, L f (x) = e F dt. x 0 1 - 2: Montrer que F est bornée sur [0, +∞[. 1 - 3: En déduire que L f est continue sur [0, +∞[. Z +∞ sin t 2: Application : Soit g(x) = e−xt dt. t 0 2 - 1: Montrer que g est de classe C 1 sur ]0, +∞[ et calculer g 0 . 2 - 2: Calculer lim g(x) et conclure une expression sans intégrale de g sur ]0, +∞[. x→+∞
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+∞
sin t π dt = (Intégrale de Dirichlet). t 2 0 3: On suppose que f (x) = x1 et que L f est définie sur ]0, +∞[. +∞ Z x Z Z +∞ − t t 1 1 x 1 − e− x e x f (t)dt − L f ≤ 3 - 1: Montrer que ∀x > 0, |tf (t)|dt + |tf (t)|dt. t x x 0 t 0 x Z +∞ Z +∞ x f (t)dt = lim+ L f (x). f (t)dt converge et on a 3 - 2: En déduire que si L f admet une limite en 0+ alors x→0 0 0 1 3 - 3: Montrer que ce résultat est faux si on ne suppose pas que f (x) = x (considérer le cas f (x) = sin x).
2 - 3: Déduire que
+∞
Quatrième partie Comportement au voisinage de +∞ Soit f : [0, +∞[→ R continue par morceaux sur [0, +∞[. On suppose que f est continue en 0, f (0) 6= 0 et ∃x0 ∈ [0, +∞[ tel que t 7→ e−x0 t f (t) soit intégrable sur [0, +∞[. Z Z +∞ 1 1 −t t e f e−xt f (t)dt. 1: Montrer que ∀x ≥ x0 , L f (x) = 1[0, x0 ] (t)dt + x x 0 x x0 Z 1 t −t e f 1[0, x0 ] (t)dt = f (0). 2: Montrer que lim x x→+∞ 0 x Z +∞ e−xt f (t)dt = 0. 3: Montrer que lim x→+∞
x0
4: En déduire que L f (x) ∼ f (0) . +∞ x Z +∞ 1 sin t 5: Application : Montrer que e−xt dt ∼ . +∞ t x 0
Cinquième partie Holomorphie de la transformée de Laplace Soit f : [0, +∞[→ R continue par morceaux sur [0, +∞[ et telle que ∃M > 0, ∃λ ∈ R, ∃a ∈ R, ∀t ≥ a, |f (t)| ≤ M eλt . Z +∞ On considère l’application g(x, y) = e−x−iy f (t)dt et U = {(x, y) ∈ R2 /x > λ}. 0
1: Soit x > λ. Montrer que la fonction u(y) = g(x, y) est dérivable sur R. En déduire que
∂g ∂y
existe sur U .
∂g existe sur U . 2: Soit y ∈ R. Montrer que la fonction v(x) = g(x, y) est dérivable sur ]0, +∞[. En déduire que ∂x 1 3: Montrer que g est de classe C sur U . Z +∞ 4: En déduire que Lf (z) = e−zt f (t)dt est holomorphe sur le demi-plan {z ∈ C/
λ} et déterminer (L f )0 . 0
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