1.-Prueba de hipótesis para una media muestra grande. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en estados unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años. Queremos probar si la vida media hoy en día es mayor a 70 años con base a esa muestra. La muestra parecería indicar que si es así pero ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra no refleje la verdadera muestra de la población? Utilizar el nivel de significancia de 0.05. Planteamiento: Ho; = 70 años H1; > 70 años Si z ≤ 1.645 no se rechaza Ho Si z > 1.645se rechaza Ho. S= 8.9 años n= 100
Formula:
Tabla Z inf
0.05 1.645
Sustitución: Z = 71.8 – 70 = 2.02 8.9/ √100 Conclusiones: como 2.02 > 1.645 se rechazo Ho y se concluye que un nivel de significancia de 0.05 que la vida media hoy en dia es mayor que 70 años. Bibliografia: www.slideshare.net/eraperez/pruebas-de-hipotesis-2560976. Grafica.
µ=70
0
2.02
2.-Prueba de hipótesis para dos medias muestras grandes. El propietario de un negocio observa que hay diferencia entre el monto de las ventas realizadas por los vendedores hombres y mujeres que laboran en su establecimiento. En una muestra de 40 días encuentra que los hombres vendieron en promedio $1,400 (usd) por día con desviación estándar $250, en una muestra de 50 días encuentra que las mujeres vendieron un promedio de 1500 por día con desviación estándar de $250, en el nivel de significancia de .05. ¿Puede concluirse que el monto de las ventas realizadas por las mujeres es superior? Planteamiento: Formula: Tabla: Z 1.6
Ho; M≤ H H1; M > H Hombre n1= 40
0.05 .4550
Mujer n2=50
= 1400 = 1500 s1= 200 s2= 250 Sustitucion: Z = 2.10 50
Z=
1500 – 1400 √(250)² +(200)²
40
Grafica:
0.05 .5000
0.4505
Conclusiones: 2.10 > 1.65 rechazamos la hipotesis nula y aceptamos la hipotesis alternativa. Esto quiere decir que el monto de las ventas realizadas por las mujeres es superior al de los hombres. Bibliografía: www.youtube.com/watch?v=aPaZU5Z0Go.
3.-prueba de hipótesis para una media muestra pequeña. Una empresa que se dedica a hacer encuestas se queja de que un agente realiza en promedio 53 encuestas por semana.se ha introducido una formas mas moderna de realizar las encuestas y la empresa quiere evaluar la efectividad. Los números de encuestas realizados en una semana por una muestra aleatoria de agentes son: 53.57.50.55.58.54.60.52.59.62.60.60.51.59.56. El nivel de significancia 0.05 puede concluir que la cantidad media de entrevistas realizadas por agentes es mayor a 53 por semana. Planteamiento: Ho= µ ≤ 53
Formula
tabla: ∞/ v 14
H1= µ > 53 N=15
0.05 1.761
= 846/15= 56.4 S= ? µ = 53 Sustitución: S= √1956 = √13971 = 3.73 15-1
t = 56.4 – 53 = 3.4 3.73/√15 .963
= 3.53
Grafica
-∞
∞ 3.53
1.761
Conclusiones: como t > 1.761 se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1 y se concluye que la cantidad media de entrevistas realizadas por los agentes es mayor a 53 por semana. Bibliografía: www.stadcenrecuador.com/ejercicios/17/25-ejercicios-resueltos-prueba-hipotesis-para-unay-dos-muetras.html
4.- prueba de hipótesis para dos medias muestra pequeña(varianzas diferentes) Lisa Monnin es director de presupuesto en la empresa New Preces Company, desea comprar los gastos diarios de transporte del equipo de ventas y del personal de cobranza. Recopiló la siguiente información muestral (importe en dólares). VENTAS($) 131,135,146,165,136,142. COBRANZAS($) 130,102,129,143,149,120,139. A nivel de significancia de 0.10, puede concluirse que los gastos medios diarios del equipo Planteamiento: Ho: µ1 ≤ µ2 Ventas cobranzas: H1: µ1 > µ2 N1=6 n2= 7 X= 142.5 X= 130.3 S1=? S2= ? Formulas. S1= √n(∑X1²) – (∑X2)² S2= √n((∑X2²) – (∑X2)² S2² = (n1-1)S1²+(n2-1)S2² n(n-1) n(n-1) n1 + n2 - 2 Sustitucion: S1= √6(122,587)-(731,025) √4497 = √149.9= 12.24 6(6-1) 30 S2= √7(120,316)-(831,744) √10,468 = √249.2= 15.8 7(7-1) 41 S²p = (6-1)148.84 + (7-1) 249.64 = 744.2 + 1497.84 = 203.82 6+7–2 11 t = 142.5 – 130.3 = 12.2 = -1.56 √203.82(1/6 + 1/7) 7.819
TABLA: v
0.10
11
1.363
Grafica:
1.363
-1.56
Conclusiones: se rechaza Ho por lo tanto concluyo que los gastos medios diarios de las ventas realizadas son mayores. Bibliografía: libro de Ronald E. Walpole
5.- prueba de hipótesis para 2 medias muestras pequeñas. (varianzas iguales) se llevo acabo un experimento para comprobar el deterioro abasivo de 2 materiales laminados diferentes. Se probaron 12 piezas de materia 1 exponiendo cada una a una maquina para medir el deterioro de la misma manera se probaron 10 piezas de material 2. En cada caso se observo la profundidad del deterioro. La muestras del material 1 dieron un deterioro promedio (registrado) de 85 unidades con una desviación estándar muestra de 4, mientras que las muestras del material 2 dieron un promedio de 81 y una desviación estándar de 5. Puede concluirse en el nivel de significancia de 0.05 que el deterioro abrasivo del material 1 excede al material 2 por mas de 2 unidades. Planteamiento: Tabla: Ho: µ1 - µ2 = 2 v 0.05 H1: µ1 - µ2 > 2 20 1.725 Región critica t >1.725 Formulas: t=(x1 – X2) – do Sp = √(n1-1)(S²1) + (n2-1) (S²2) Sp√1/n1 + 1/n2 n1 + n2 – 2 Sustitucion: Sp = √(11) (16) + (9) (25) = 4.478 12 + 10 – 2 t= (85-81) - 2 = 1.04 4.478√(1/12) + (1/10) P = P(t > 1.04) ≈ 0.16 Grafica:
1.04
1.725
Conclusión: se acepta Ho. Ho esta en condiciones de concluir que el deterioro abrasivo del material 1 excede al del material 2 por mas de dos unidades. Bibliografía: Libro de Ronald E. Walpole
6.- prueba de hipótesis para 2 muestras pequeñas (varianzas diferentes método W) Lisa Monnin es director de presupuesto en la empresa New Preces Company, desea comprar los gastos diarios de transporte del equipo de ventas y del personal de cobranza. Recopiló la siguiente información muestral (importe en dólares). VENTAS($) 131,135,146,165,136,142. COBRANZAS($) 130,102,129,143,149,120,139. A nivel de significancia de 0.10, puede concluirse que los gastos medios diarios del equipo de ventas son mayores. Planteamiento: ventas cobranzas: tablas. Ho; µ1 ≤ µ2 n1=6 n2= H1; µ1 > µ2 X1= 142.5 x2= 130.3 v/ ∞ .10 S1= ? S2=? 5 1.476 Formulas: S² = n∑x² - (∑x)² t= w1t1 + w2t2 w1= S1² w2= S2² v/∞ .10 n(n-1) w1 +w2 n1 n2 6 1.440 solucion: S1² = 6(122,587)- (731,025) = 4497 = 148.9 6(6-1) 30 S2² = 7(120,316)- (831,744) = 10,408 = 248.2 7 (7-1) 42 w1= 149.9 = 24.9 w2= 249.2 = 35.6 6 7 t= (24.9)(1.476) + (35.6)(1.440) = 88.0164 = 1.454 24.9 + 35.6 60.5 Grafica:
1.363
4.454
Conclusiones: se rechazo Ho, por lo tanto se concluyo que los gastos medios diarios de las ventas realizadas son mayores. Bibliografía: Libro de Ronald E. Walpole.
7.- prueba de hipótesis para una proporción.
En un estudio se afirma que 3 de 10 estudiantes universitarios trabajan, puede esta aseveración, a un nivel de significancia de 0.025, respecto a ala alternativa de que lo que se afirma, si una muestra aleatoria de 600 estudiantes universitarios revela de 200 de ellos trabajan, la muestra fue tomada de 10,000 estudiantes. Planteamiento: Tabla: Ho: p=po Z 0.025 H1; P > Po Inf 1.96 Significancia del 0.025 X= 200 n = 600 N = 10,000 Formulas y sustitucion n * 100% > 5% Po = 3 = 0.333 N 10 600 10,000 * 100 % = 6% Zprueba = x/n – Po √Po(1-Po) * √N-n n n-1 Grafica:
= 200/600 -0.333 = 1.84 √ 0.333(1-0.333) * √10,000-600 600 10,000 – 1
Ztabla= 1.96
Zprueba
Conclusiones: Se acepta Ho. Por lo tanto es cierto que 3 de cada 10 estudiantes universitarios trabajan. Bibliografía: http://www.monografias.com/trabajos91/prueba-hipotesis-proporciones-z-y-ji-cuadradoempleando-excel-y-winstats/prueba-hipotesis-proporciones-z-y-ji-cuadrado-empleandoexcel-y-winstats.shtml
8.- prueba de hipótesis para dos proporciones.
Se realiza un estudio para determinar si hay una diferencia significativa entre los miembros de un sindicato, con base en el sexo, se tomo una muestra aleatoria de 5,000 empleados de una fabrica y de este grupo 785 eran miembros del sindicato. Se toma una muestra aleatoria de 3,000 empleados y de este grupo 327 eran miembros del sindicato. Prueba de hipótesis de que la porción de los hombres que pertenecen al sindicato no difieren de la proporción de las mujeres que pertenecen al mismo. Planteamiento: Tabla: Ho; P1 = P2 ∂ z 0.06 H1; P1 ≠ P2 -1.9 0.025 X1= 785 n1 = 5000 X2= 327 n2= 3000 Formulas: Sustitución. P1 = X1/n1 P1= 785/ 5000 = 0.157 P2 = X2/n2 P2= 327/ 3000 = 0.109 P = X1 + X2 / n1n2 P= 785 + 327 = 0.139 5000+3000 Z = P1 - P2 Z = 0.157 – 0.109 = 0.048 = 0.5375 √p(1-p)(1/n1 +1/n2) √0.139(1 - .139)(1/5000 + 1/3000) 0.0893 Grafica:
1.96
0.53
0.53
1.96
Conclusiones: Se acepta Ho debido a que es mayor que H1 efectivamente no hay una diferencia constante. Bibliografía: Libro de Ronald E. Walpole.
9.- prueba de hipótesis para la varianza.
El seños Hugo es propietario de una empresa dedicada a la producción de bolis, su ayudante en la producción afirma que existe una varianza de 8 considerando los bolis defectuosos, el señor Hugo desea saber si la afirmación del ayudante es cierta, y realiza un proceso de muestreo diario por 30 días, del cual se obtiene una varianza de 6.44 ¿ hay suficientes elementos para asegurar que la varianza es menor a la que asegura el ayudante. Nivel de significancia de 5%. Planteamiento: Tabla: Ho; ð < ð z .05 H1; ð > ð 30 1.645 ð² = 8 S²= 6.44 n= 30 Formula: x²= ( n-1) S² = (30 – 1) (6.44) = (29)(6.44) = 23.345 ð² 8 8 zona de rechazo: x1= -∂,v² x1= -0.05 , 29 = 17.7084 Grafica:
-17.7084
Conclusión: Aceptamos Ho. El ayudante de don Hugo estaba en lo cierto. Bibliografía: Libro de Ronald E. Walpole.
10.- prueba de hipótesis para la razón de la varianza.
Al probar la diferencia en el desgaste abrasivo de los dos materiales en el ejemplo del problema #5 se asumió que las de varianzas poblacionales desconocidas eran iguales ¿ esta suposición se justifica? Utilice un nivel de significancia de .10. Solución: sean ð1 y ð2 las varianzas poblacionales para el desgaste abrasivo de los materiales 1 y 2 respectivamente. La seguir el procedimiento de los 6 pasos se tiene: Planteamiento: Ho: ð² = ð² H1: ð² ≠ ð² n1=12 S1= 4 S²=16 n2= 10 S2= 5 S²=25 Formula: Sustitución: F = S1² 16 = 0.64 S2² 25 F0.05, F0.01, F0.25, F0.40 Tabla (valores críticos de distribución f) tabla (valores de distribución f) ∞/2= 010/2 0.05 F= .05 V2 9 v 10 11 12 11 2.90 F 1 - ∞ (v1 v2)) 1 9 3.14 X 3.02 2.90 = 0.34 X= 11- 12 = ≈3.11 10-12 Grafica:
∞ 0
0.34
0.64
3.11
Conclusiones: No se rechaza Ho. Se concluye que no hay evidencias suficientes de que las varianzas difieran. Bibliografía: Libro de Ronald E. Walpole.
INDICE.
1.-Prueba de hipótesis para una media muestra grande. 2.-Prueba de hipótesis para dos medias muestras grandes. 3.-prueba de hipótesis para una media muestra pequeña. 4.- prueba de hipótesis para dos medias muestra pequeña(varianzas diferentes) 5.- prueba de hipótesis para 2 medias muestras pequeñas. (varianzas iguales) 6.- prueba de hipótesis para 2 muestras pequeñas (varianzas diferentes método W) 7.- prueba de hipótesis para una proporción. 8.- prueba de hipótesis para dos proporciones. 9.- prueba de hipótesis para la varianza. 10.- prueba de hipótesis para la razón de la varianza.
