TOPOGRAFIA MINERA.
1
PRIMERA PARTE LA TOPOGRAFIA EN MINERIA CAPITULO I 1. TOPOGRAFÍA TOPO GRAFÍA EN MINAS A TAJO TAJO ABIERTO ABIERTO CANTERAS Y PLACERES 1.1 TOPOGRAFIA TOPOGRAFIA EN MINAS A TA TAJO ABIERT ABIERTO O Es la aplicación de los métodos y cálculos de la topoga!"a supe!icial a las necesidades de las minas a ta#o a$ieto% incluida la adecuación del di$u#o de los planos. El ta$a#o de campo se eali&a con instumentos topogá!icos automati&ados% aun'ue toda("a no se descata totalmente los inst instu um men ento toss co con( n(en enci cion onal ales es.. Asimi simism smoo los los cálc cálcul ulos os y planos se e#ecutan mediante so!t)ad topogá!icos topogá!icos y plote. plote. *" los ta$a#os se +acen con instumentos instumentos ópticos mecánicos% el cálculo y el di$u#o se +acen manualmente. manualmente.
a. LEVA LEVANTA NTAMIENTO MIENTOS S TOPOG TOPOGRÁF RÁFICO ICOS S ,Mallas de pe!oación pe!oación paa dispaos dispaos pimaios pimaios ,Puntos de pe!oación diamantina ,Tendido de l"neas de cou(ille ,Rampas de acceso ente $ancos ,-ontol del mo(imiento de mateial
TOPOGRAFIA MINERA.
2
,-ontol del mo(imiento de palas y pe!oadoas pe!oadoas de gan capacidad.
b. REPL REPLAN ANTE TEOS OS TOPOG OPOGRÁ RÁFI FICO COS S ,Mallas de pe!oación pe!oación paa dispaos pimaios ,Puntos de pe!oación diamantina ,Tendido de l"neas de cau(ille ,Rampas de acceso ente $ancos ,-ontol de las áeas estéiles y mineali&adas ,-ontol del l"mite !inal del ta#o ,-ontol del ni(el de los $ancos
1.2 TOPOG TOPOGRAF RAFIA IA EN CANTE CANTERAS RAS Es la aplicación de los pocedimientos topogá!icos a los ta$a#os de canteas en sus di!eentes etapas. os ta$a#os más impotantes son los le(antamientos paa o$tene planos topogá!icos% topogá!icos% pe!iles y secciones% de acuedo a las las ne nece cesi sida dade des/ s/ tale taless co como mo el cálc cálcul uloo de (ol0m (ol0men enes es%% estu estudi dios os ge geol ológ ógic icos os%% de decl cla aac acio ione ness #ua #uada das% s% pod poduc ucci ción ón m"nima/ deteminación de áeas mineali&adas% puntos de contol% toc+as y ampas de acceso.
1.3 TOPOGRAFIA TOPOGRAFIA EN EXPLOT EXPLOTACIÓN DE PLACERES PLACERES Es la aplicación de la topoga!"a a !in de o$tene los planos topogá!icos% pe!iles y sec secciones 'ue e'uiean las
TOPOGRAFIA MINERA.
2
,-ontol del mo(imiento de palas y pe!oadoas pe!oadoas de gan capacidad.
b. REPL REPLAN ANTE TEOS OS TOPOG OPOGRÁ RÁFI FICO COS S ,Mallas de pe!oación pe!oación paa dispaos pimaios ,Puntos de pe!oación diamantina ,Tendido de l"neas de cau(ille ,Rampas de acceso ente $ancos ,-ontol de las áeas estéiles y mineali&adas ,-ontol del l"mite !inal del ta#o ,-ontol del ni(el de los $ancos
1.2 TOPOG TOPOGRAF RAFIA IA EN CANTE CANTERAS RAS Es la aplicación de los pocedimientos topogá!icos a los ta$a#os de canteas en sus di!eentes etapas. os ta$a#os más impotantes son los le(antamientos paa o$tene planos topogá!icos% topogá!icos% pe!iles y secciones% de acuedo a las las ne nece cesi sida dade des/ s/ tale taless co como mo el cálc cálcul uloo de (ol0m (ol0men enes es%% estu estudi dios os ge geol ológ ógic icos os%% de decl cla aac acio ione ness #ua #uada das% s% pod poduc ucci ción ón m"nima/ deteminación de áeas mineali&adas% puntos de contol% toc+as y ampas de acceso.
1.3 TOPOGRAFIA TOPOGRAFIA EN EXPLOT EXPLOTACIÓN DE PLACERES PLACERES Es la aplicación de la topoga!"a a !in de o$tene los planos topogá!icos% pe!iles y sec secciones 'ue e'uiean las
3
TOPOGRAFIA MINERA.
di!eentes etapas de los poyectos de los yacimientos de placees.
CAPITULO II INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS 2.1. CONCEPTO *on a'uellos instumentos cuya !a$icación +a tenido en cuenta las condiciones de ta$a#o en las minas su$teáneas% como po e#emplo la estec+e& y sinuosidad de las las la$o la$oe es/ s/ igua igualm lmen ente te la pes pesen enci ciaa de +u +um med edad ad%% goteas agua% pol(o% gases% oscuidad ente otos. as compa1"as mineas usan los e'uipos electónicos en geneal paa sus le(antamientos y eplanteos topogá!icos. En algunos casos se utili&an los e'uipos con(encionales.
2.2. INSTRUMENTOS CONVENCIONALES *on los mismo smos con(encionales utili&ados po la topoga!"a
supe!icial
peo
acondicionados
y
com co mplem lemen enta taddos con dispo isposi sitti(os i(os paa aa opea ea en el am$iente y caacte"sticas de las la$oes inteioes. Ente
TOPOGRAFIA MINERA.
!
estos% se menciona el teodolito y ni(el óptico mecánicos% la $0#ula colgante% la ta#eta de punte"a y el clinómeto. clinómeto.
2.3. INSTRUMENTOS ELECTRÓNICOS En los 0ltimos a1os la ingenie"a +a logado e2celentes adelantos tecnológicos tecnológicos $asados en los a(ances de la automati&ación automati&ación de las !unciones de cálculo y di$u#o. Ente estos instumentos se cuentan los teodolitos electónicos% electónicos% distanciómetos% estaciones totales y los posicionadoes posicionadoes satelitales.
2.!. INSTRUMENTOS COMPLEMENTARIOS COMPLEMENTARIOS *on los accesoios e instumentos instumentos menoes peo 'ue son necesaios en los ta$a#os topogá!icos topogá!icos en geneal. As" As" se mencionan los siguientes. a.-o a.-on(e (enc ncio ionnales ales., ., 30 30#ula #ula tip tipo
$un untun% tun% )in )inc+ c+aas%
!le2ómetos% !le2ómetos% plomadas% codeles% #alones% etc. $. Electónicos., Electónicos., i$etas electónicas% electónicas% #uego de pismas% )inc+as electónicas% etc.
TOPOGRAFIA MINERA.
$
CAPITULO III LEVA LEVANTAMIENTO NTAMIENTO DE LABORES "ORI#ONTA "ORI#ON TALES. LES. 3.1. CONCEPTO. Paa eali&a le(antamiento de la$oes +oi&ontales se de$e tene nociones elementales de Topoga!"a Geneal% además de sa$e sa$e 'u 'ue% e% en ta$ ta$a# a#os os su$t su$te eá áne neos os las las co cond ndic icio ione ness am$ient iental ales es son son alg algo de des! s!aa(o (oa$ a$le less pa paa a de desa sa oolla lla opeac eacio ionnes top opoogá! gá!ic icaas% teni tenien enddo de dennto to de ello llos la oscuidad% pol(os% +umedad% gases tó2icos% tá!ico de los e'uipos mineos mineos ente otos. El o$#eti(o !undamental !undamental de los le(antamientos le(antamientos topogá!icos de la$oes +oi&ontales es lle(a el contol contol +oi&ont +oi&ontal al y (etical (etical con la !inalid !inalidad ad de eali&a eali&a estudios de e(aluación y eali&a di(esos poyectos. poyectos.
TOPOGRAFIA MINERA.
%
os le(antamientos +oi&ontales se eali&an mediante teodolitos% 30#ula colgante ó e'uipos de medición electónica 4Estación Total5%
3.2. METODOS DE LEVANTAMIENTOS
Paa o$tene los planos de las la$oes +oi&ontales genealmente se utili&a6
,
El método de la plomada
,
Método de la 30#ula -olgante.
3.3. METODO DE LA PLOMADA -onsiste en u$ica un sistema de plomadas suspendidas desde las alcayatas 'ue se encuentan en el tec+o de la la$o de acuedo a un plan de ta$a#o% las mismas 'ue si(en paa !i#a los puntos topogá!icos y con!iguación de planos.
'
TOPOGRAFIA MINERA.
ES&UEMA DE UN LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO
9I*TA EN P.ANTA
A.7. 8 3
8 .I
A -
TOPE TEO8O.ITO P.OMA8A*
PTO TOPOGRAFI-O
9I*TA .ONGIT:8INA. A
A*
-
3
AI
8
A*
TEO8O.ITO
a in!omación de campo es el ángulo +oi&ontal% (etical% distancia inclinada% teniendo en consideación los siguientes aspectos6 , Altua del instumento 4AI5% desde el tec+o 4,5 y 4;5 desde el piso. , Altua de la se1al 4A*5% desde el tec+o 4,5 y 4;5 desde el piso. , Angulo de ele(ación 4;5% depesión 4,5 , as distancias es ecomenda$le toma con )inc+a po se distancias cotas% ó e'uipos de medición electónica.
(
TOPOGRAFIA MINERA.
, A pati de la in!omación de campo se aplica las !ómulas siguientes6 8istancia 7oi&ontal % 87 < 8=-osα. 8i!eencia 9etical% Altua A$s. 8onde6
89 < 8=*en α
-ot 3 < -otA ; 4± AI5 ; 4± 895 , 4 ±A*5 -ot3 < -ota !inal -otA < -ota inicial AI < Altua de instumento 89 < 8i!eencia (etical. A* < Altua de se1al.
os signos deteminaan la u$icación de los puntos% tec+o o piso. Paa toma de ángulos +oi&ontales% (eticales y distancias se pocede de la siguiente manea6 Paa empe&a un le(antamiento topogá!ico se tiene 'ue amaa a un punto topogá!ico conocido 4coodenadas y cota5% el pocedimiento es6
TOPOGRAFIA MINERA.
3 ,A.*
7
I. 8.
A ,A.I.
8.9.
α
8.7.
E*>:EMA PARA E -A-:O 8E -OTA*.
E)*a+,-a/,0*- 0 T0--,*a técnica paa estaciona el teodolito depende muc+o de la e2peiencia del topóga!o no +a$iendo una egla !i#a paa este !in% en el pesente daemos algunas pautas paa posiciona el teodolito con punto en tec+o6 , :$icado el punto topogá!ico% suspendemos la plomada en la alcayata. , Instalamos el teodolito so$e el t"pode teniendo en cuenta 'ue los tonillos ni(elantes de$en esta a media caea% el anteo#o en ?@ 4+oi&ontal5
TOPOGRAFIA MINERA.
19
, Toda esta opeación se +ace apo2imadamente en la poyección de la plomada% tatando de coloca el teodolito +oi&ontal% contolando con el ni(el de $u$u#a. , *eguidamente se +ace la ni(elación !inal con el ni(el tu$ula con el #uego de los tonillos ni(elantes. , -omo pime paso el ni(el tu$ula se alinea en la poyección de dos tonillos% ni(elando en esa posición% se gia el teodolito en ?@ y se ni(ela con el tonillo estante% se epite la opeación +asta ni(ela% como compo$ación se gia el teodolito BC@. , El e'uipo 'ueda ni(elado% paa estaciona en la poyección de la plomada y el punto de conta#e del anteo#o% se a!lo#a el tonillo de su#eción y mo(iendo todo el sistema centamos en la misma poyección de la plomada% 'uedando de esta manea listo paa empe&a a ta$a#a.
M0,+,4 0 Á56-) "-7,8-*a0). Paa +ace las mediciones especti(as% pe(iamente tenemos% 'ue (ei!ica los puntos topogá!icos% uno paa estaciona el teodolito y los puntos adyacentes paa suspende la plomada.
11
TOPOGRAFIA MINERA.
9I*TA EN PANTA A.7.
8 .I
D B TOPE
TEO8OITO POMA8A*
PTO TOPOGRAFI-O
Estacionado el teodolito en el punto el lim$o +oi&ontal se pone en @@@@H% (isamos al punto D% luego soltamos el $lo'ueado de ángulos y giamos al punto B en esta posición +acemos la lectua del ángulo +oi&ontal 4deec+a5 y (etical% esta opeación puede se po epetición o eiteación.
M0,+,4 0 D,)*a+,a). Medido los ángulos pocedemos a medi la distancia con )inc+a metálica de punto a punto% el ceo de la cinta de$e esta en el punto de centa#e del teodolito y tensa en el
12
TOPOGRAFIA MINERA.
siguiente punto y +ace la lectua en la poyección de la plomada. Paa el contol (etical se pesenta cuato casos6
CASO I. C6a- 0 :6*- 0 0)*a+,4 ; 0 :6*- 0 )0
C6a- 0 ?56- @07*,+a 0) 0 0:70),4. -ot3 < -ot A ; AI 89 , A*.
8.7. α
A.I.4;5
8.9
8 .I .
A
A.*.4;5
3
b> C6a- 0 ?56- @07*,+a 0) 0 00@a+,4. -ot3< -otA ; AI ; 89 , A*
13
TOPOGRAFIA MINERA.
A.*.4;5
3
I. 8.
8.9.
α
8.7. A.I.4;5
A
CASO II.C6a- 0 :6*- 0 0)*a+,4 ; 0 :6*- 0 )0 C6a- 0 ?56- @07*,+a 0) 0 0:70),4. -ot3< -otA AI 89 ; A*.
1!
TOPOGRAFIA MINERA.
A
A.I.4,5 8.7. α
3 8.9
8 .I .
A.*.4,5
b> C6a- 0 ?56- @07*,+a 0) 0 00@a+,4. -ot3< -otA AI ; 89 ; A*. 3
A.*.4,5
I. 8.
A
A.I.4,5
8.9.
α
8.7.
1$
TOPOGRAFIA MINERA.
CASO III. C6a- 0 :6*- 0 0)*a+,4 )0 0+60*7a 0 0 :,)- ; 0 :6*- 0 )0 C6a- 0 ?56- @07*,+a 0) 0 0:70),4. -ot3<-otA ; AI 89 ; A*.
8.7. α
A.I.4;5
3 8.9
8 .I .
A
A.*.4,5
b> +6a- 0 ?56- @07*,+a 0) 0 00@a+,4. -ot3 < -otA ; AI ; 89 ; A*. 3 A.*.4,5
I. 8.
8.9.
α
8.7. A.I.4;5
A
1%
TOPOGRAFIA MINERA.
CASO IV. C6a- 0 :6*- 0 0)*a+,4 )0 0+60*7a 0 0 *0+- ; 0 :6*- 0 )0 C6a- 0 ?56- @07*,+a 0) 0 0:70),4. -ot3 < -otA AI 89 , A*. A
A.I.4,5 8.7. α
8.9
8 .I .
A.*.4;5
3
b> C6a- 0 ?56- @07*,+a 0) 0 00@a+,4. -ot3 < -otA AI ; 89 , A*.
A.*.4;5
I. 8.
A
A.I.4,5
3 8.9.
α
8.7.
1'
TOPOGRAFIA MINERA.
EJEMPLO Enconta la di!eencias de cotas ente los puntos A y 3. 8atos de campo6 A.I < ,D.@BJ mts. A.* < ,D.@D mts. 8.I < K.B mts. ∠ α <
;DL@@H 3 D.@Dm.
m. B F F . E K
A D.@BJm.
8.9.
DL@@ 8.7.
S-6+,4= Patimos de la !ómula geneal. -ot 3 < cot A ; 4± A.I5 ; 4± 8.95 4± A.*5 Paa nuesto caso tenemos una la$o con puntos en el tec+o. -ot. 3 < cot A A.I ; 8.9 ; A.* -ot 3 , -ot. A < ,A.I ; 8.9 ; A.* Rempla&ando (aloes. -ot A , -ot 3 < ,D.@BJ ; 8I senα ; D.@D < ,D.@BJ ; K.CJ ; D.@D
1(
TOPOGRAFIA MINERA.
< ?.@DD mts. desni(el ente A y 3.
3.3.1. RED DE ENLACE a ed de tiángulos es un sistema de apoyo paa le(antamientos topogá!icos de teenos elati(amente e2tensos% además es uno de los me#oes sistemas paa inicia un le(antamiento su$teáneo% la tiangulación compende una seie de pocesos% ente ello tenemos el econocimiento del teeno u$icación de +itos% medición de $ase% ángulos% compensación% cálculo de coodenadas y cotas% la disposición de los tiángulos en la mayo"a de los casos !oma !iguas geométicas en las 'ue se conocen po pincipio geomético de la suma de sus ángulos intenos. As" en un tiángulo la suma de sus ángulos intenos de$e se DK@ y los ángulos alededo de un punto BC@% al eali&a una tiangulación la longitud de sus lados esta en !unción al seno de su ángulo opuesto% paa calcula los lados de una ed de tiangulación solamente se mide la $ase% o sea un solo lado y los siguientes
se
calcula
mediante
!ómulas
tigonométicas% con el a(ance tecnológico y los e'uipos electónicos 48istanciómeto y Estación total5 se miden diectamente sus lados y a este método se denomina tilateación.
1
TOPOGRAFIA MINERA.
E 8
F
O
3 G
E * A 3
Puntos de tiangulación.
A
3.3.2. POLIGONACIÓN DE APOYO. Paa le(antamientos su$teáneos tam$ién se tiene el sistema poligonal% 'ue es una sucesión de ectas 'ue$adas unidas $a#o un ángulo +oi&ontal cual'uiea% las uniones de las ectas son los (étices% se distinguen dos clases de pol"gonos% ceadas y a$ietas% dento de las
poligonales
a$ietas
de$emos
tene
en
consideación si los e2temos están ligados a un punto de tiangulación o están li$es% en !unción a estos citeios podemos deci 'ue una poligonal a$ieta es suelta o enla&ada% si está enla&ada a un punto de tiangulación nos pemitiá eali&a los cálculos con
29
TOPOGRAFIA MINERA.
mayo !acilidad% en caso de poligonales sueltos la in!omación y los esultados seán independientes y no guadaán elación alguna con los planos o!iciales de una &ona.
3.3.3. DETALLES. E!ectuando las lectuas de ángulos y distancias% +acemos la toma de detalles po odenadas y distancias o po coodenadas polaes.
D0*a0) :-7 -70aa) ; ,)*a+,a). *on aplicados a la$oes angostas% como gale"as% c+imeneas% ta#os% etc. a medición se +ace con una )inc+a metálica de punto a punto el detalle empie&a a pati del punto inicial 4D5% la pimea lectua se +ace en
el
mismo
punto
en
!oma
pependicula
+oi&ontalmente a la )inc+a 4deec+a% i&'uieda5 y (eticalmente 4tec+o% piso5.
21
TOPOGRAFIA MINERA.
9I*TA EN PANTA
8.7.
8
8
D8
I
I
I
I
8 B
TOPE
8.7.
8 < 8ERE-7A I < I>:IER8A T < TE-7O P < PI*O
T 8
I
*E--ION TRAN*9ER*A P D
T
T
P
P
B
TOMA 8E 8ETAE* *eguidamente se toma distancias de D.J% mt. 4de acuedo a la con!iguación de las ca#as5 y se mide en !oma pependicula +oi&ontal 48% I5 y (eticalmente 4T% P5 y as" sucesi(amente +asta temina.
3.3.!. PLANOS.
22
TOPOGRAFIA MINERA.
PTO* 8E TRIANG:A-ION 4ENA-E5 E @ @ @ J
-
8 ANG. 8E ENA-E
A 3 PTO* TOPOGRAFI-O
J ? @ @ N
:NI9ER*I8A8 NA-IONA PI:RA E @ @ J D
J C @ @ N
E @ @ J
J K @ @ N J L @ @ N
E @ @ J B
PANO 8E A3ORE* E96
:3I-A-ION6
8I36 RE96
FE-7A6
3.3.$. PROBLEMAS DE APLICACION. EJEMPLO. *e +a e!ectuado la poligonación de una gale"a cuyos ángulos +oi&ontales a la deec+a son6 < DJ D@ @H% B < DL@ J? D@H% < D?K @K D@H Q J < DL@ DD @H y
C < DKL J@ KH
A&imut D, < @L KH -alcula las oientaciones de los lados. 8etemina del a&imut !inal 4 ! 5
E*-6
P N
23
TOPOGRAFIA MINERA.
C D
A& inicial
N .M .
A & . ! i n a l
J L
B
C
J B
S-6+,4. D, < 2! 9' !( ∠ 2= ;DJ D@ @H
C-/:7-ba+,4 *umando ángulos se tiene6
DLK DK KH
< DJ D@ @H
;DK@ @@ @@H
B < DL@ J? @@H
,B < 3$( 1( 2(
< D?K @K D@H
∠ 3 =+DL@ J? @@H
J < DL@ DD @H
J? DL KH
C < DKL J@ KH
,DK@ @@ @@H
KKD D? JKH
Ζ 3−4 = 3! 1' 2(
; @L KH
∠ 4 =+198° 08 D@H
?@J L CH
4J 4. Patida5
TOPOGRAFIA MINERA.
JL J BKH ,DK@ @@ @@H
2!
, DK@ @@ @@H4Po se impa5 LJ L CH
BCL J BKH ,BC@ @@ @@H ,J <
' 2$ 3(
LJ L CH ÷ BC@ @@ @@H
'2$ 2' !% '29 $ 2' !%
∠ 5 = +DL@ DD @H
DLL BL DKH
$ 2' !% HRESIDUO>
;DK@ @@ @@H J,C<
3$' 3' 1( ; DKL J@KH JJLCH , DK@@@@@H BCJLCH
,BC@@@@@H
C,L < $2'!%
3.!. METODO DE LA BRUJULA COLGANTE. El método de le(antamientos topogá!icos con $0#ula colgante es simila al anteio con la di!eencia en la pecisión del ángulo +oi&ontal y (etical% la lectua de ángulos (etical se eali&a con un Ecl"meto.
TOPOGRAFIA MINERA.
2$
a $0#ula colgante se suspende so$e el codel 'ue esta tensado de los puntos topogá!icos 4tec+o5 ó los taugos colocados en las ca#as en !oma diagonal 4(e ga!ico5% en esta u$icación se toma las lectuas de los ángulos a&imutales 4+oi&ontales5% paa la lectua (etical se empla&a la $0#ula colgante con el ecl"meto so$e el mismo codel%
la
distancia se mide desde la u$icación de los puntos topogá!icos o taugos lateales. a toma de detalles es simila al método anteio% el mismo nos pemite con!ecciona los planos en sus tes (istas% en planta% longitudinal y tans(esal.
3.!.1. RED DE ENLACE El le(antamiento topogá!ico su$teáneo como cual'uie oto se de$e inicia desde una ed de tiangulación% siendo esta de mayo consistencia paa u$icación de puntos topogá!icos.
3.!.2. POLIGONACIÓN DE APOYO. Paa le(antamientos su$teáneos con $0#ula colgante es simila al anteio
3.!.3. DETALLES.
2%
TOPOGRAFIA MINERA.
*e aplica la misma técnica del método de la plomada a pati de los puntos topogá!icos ó a pati de los puntos colocados en las ca#as. 9I*TA EN PANTA I
I
8
I
I D 8 8
B 8 < 8ERE-7A I < I>:IER8A T < TE-7O P < PI*O
TOPE
T I
8
Ptos topogá!icos en las ca#as.
*E--ION TRAN*9ER*A P
D T T P
P
T
B P
P
9I*TA ONGIT:8INA
3.!.!. PLANOS. @07 3.3.!. 3.!.$. PROBLEMAS DE APLICACION. @07 3.3.$.
2'
TOPOGRAFIA MINERA.
CAPITULO IV LEVANTAMIENTOS DE LABORES VERTICALES E INCLINADAS. !.1. CONEPTO. El le(antamiento topogá!ico se la$oes (eticales e inclinadas se eali&a con $0#ulas colgante% po'ue las la$oes son estec+as y con o$stáculos% donde no pueda utili&ase el teodolito% estos le(antamiento se eali&an a pati de un punto topogá!ico esta$lecido% siguiendo una seie de estaciones au2iliaes 'ue son mateiali&ados a manea de una poligonal po medio de taugos y alcayatas a inte(alos egulaes o donde e2isten cam$ios de diección. 8e$en anotase los detalles en los cam$ios de diección en el tamo% calcula las coodenadas y cotas de las estaciones au2iliaes% y si es posi$le cea la poligonal en oto punto topogá!ico esta$lecido anteiomente con el teodolito a manea de compo$ación.
TOPOGRAFIA MINERA.
2(
os mateiales utili&ados en un le(antamiento con $0#ula colgante son6 , a $0#ula colgante y ecl"meto. , a cinta metálica paa medi los tamos de estación a estación y la cinta de lona o !le2ómeto paa la toma de detalles. , :n codel de J@ mts. de longitud de H de φ% paa tensa de punto a punto. , :na lámpaa de mateial no magnético% paa iluminase al tansita y e!ectua la lectua de ángulos y distancias.
P7-+0,/,0*-= a., Teniendo las alcayatas en los puntos e2temos del tamo% se tensa el codel ente dic+os puntos% cuidando 'ue no c+o'ue ya sea en el piso% tec+o% i&'uieda o deec+a de los lados. os puntos de$en mateiali&ase cu&ando las la$oes de ca#a a ca#a. $., En el codel $ien tensada% se suspende el ecl"meto% llamado tam$ién clinómeto% una (e& 'ue la plomada está en e'uili$io se lee el ángulo (etical coespondiente. c., Retiada el ecl"meto% se suspende la $0#ula colgante% cuidando 'ue el NORTE macada en la es!ea del lim$o esté +acia la diección 'ue sigue el le(antamiento 4diección de a(ance5. -omo se +a de
TOPOGRAFIA MINERA.
2
tene tamos con inclinaciones mayoes de J% es necesaio su#eta la $0#ula en el codel po medio de ganc+os dise1ados especialmente paa ello/ una (e& esta$ili&ado el instumento y la agu#a imantada se lee la oientación del tamo y se etia la $0#ula. a medida de la oientación de$e e!ectuase tomando las oientaciones diectas e in(esa de cada tamo% con la 'ue se detectaá la petu$ación magnética en caso e2istiea. d., uego se mide la distancia inclinada ente los puntos% después se mide los detalles a lo lago del tamo% +aciendo 'ue la cinta sea pependicula a la cinta 'ue mide el tamo/ la longitud a tomase de los detalles (aiaá seg0n la iegulaidad del tamo.
!.2. LEVANTAMIENTOS DE C"IMENEAS. a técnica a emplease paa le(antamientos de c+imeneas e inclinados es el mismo paa am$os casos.
L0@a*a/,0*- 0 C,/00a). C- B76a C-5a*0 ; E+K/0*7- se eali&a del siguiente modo
39
TOPOGRAFIA MINERA.
B
3
A
D
Tope
LEVANTAMIENTO DE C"IMENEA CON BRUJULA COLGANTE Y ECLIMETRO a., *e estaciona el teodolito en el punto A y se (isa al punto SDH mateiali&ándose el P.I. de la c+imenea. $., 8esde el punto SDH se pocede el le(antamiento mediante la $0#ula colgante% se mide el um$o de la c+imenea y con el ecl"meto 'ue mide el ángulo de inclinación. c., *e e2tiende el codel con cieta tensión en los e2temos 'ue (ienen a se los puntos del le(antamiento% se cuelga la $0#ula y se lee el ángulo a&imutal especti(o% después se instala el ecl"meto y se lee el ángulo de inclinación. d., *e mide la distancia ente los puntos.
31
TOPOGRAFIA MINERA.
e., *e deteminan los detalles mediante mediciones 4i&'uieda% deec+a% !ente% espalda5.
MODELO DE LA LIBRETA DEL LEVANTAMIENTO LEVANTAMIENTO CON BRUJULA COLGANTE A3OR6 -+imenea @C ONA 6 Mac+uminas NI9E 6 @C FE-7A6 @LU@BUKL TRAMO
AIM:T 4=5
R:M3O ANG. 4==5 9ERT 4===5
8.I.
8ETAE* 8
I
T
P
@,D D, , , , 4=5
Medida angula de la $0#ula colgante
4==5
*e calcula a pati del a&imut
4===5 ectua angula del ecl"meto El um$o nos deteminaá si la c+imenea esta dento del poyecto esta$lecido.
C- P-/aa) ; C,*a 0 M0,7. *e eali&a del siguiente modo6
32
TOPOGRAFIA MINERA.
C
dB
L
+
d J +D
dD B
3
A
+ D d Tope
LEVANTAMIENTO DE C"IMENEA CON PLOMADA Y CINTA a., 8e un e2temo de la c+imenea 4tec+o5 se suelta un codel suspendido po una plomada en uno de sus e2temos% se mide la lectua S+H.
TOPOGRAFIA MINERA.
33
$., Nomal a la lectua S+H se mide con el !le2ómeto la distancia +oi&ontal SdH% utili&ando paa tal caso el ecl"meto a 4@5 o un ni(el de capinteo. c., *e sigue as" sucesi(amente +asta el ni(el supeio. d., *e toma detalles de deec+a% i&'uieda% !ente y espalda como en el caso anteio. e., Este tipo de le(antamiento es ápido% aplicando e2clusi(amente en el le(antamiento de la sección de inclinados. !., -on los datos o$tenidos S+H y SdH% se puede calcula anal"ticamente el ANG:O 8E IN-INA-IVN de la c+imenea paa !ines espec"!icos. d ; dD ; d ; dB ; ................. ; dn < 87 4dist. 7oi&ontal5 + ; +D ; + ; W.. .WWWW. ; +n < 7
4altua5
Aplicando tangente nos daá el (alo del ángulo SaH6 Tg. a < 7U87
L0@a*a/,0*- 0 Ta0-). Paa el le(antamiento de un ta#eo se pocede del modo siguiente.
3!
TOPOGRAFIA MINERA.
dL
dC D@ Tope .
.
+
g dJ
?
! e
dK
i # X
d?
a d
c
$
dD@
d
dD
dB
K α
L
Entada al ta#o
d
LEVANTAMIENTO DE TAJOS SKH,,Pto. Topogá!ico en la entada del ta#o. S?H,,Pto. Topogá!ico en el tec+o del ta#o. SD@H,,Pto. Topogá!ico au2ilia. a., A pati del punto SKH 4Entada al ta#o5% con la $0#ula colgante se u$ica un nue(o punto en el tec+o del ta#eo% tal como el punto S?H% se mide su ángulo (etical con el ecl"meto y la distancia inclinada del punto SKH al punto S?H con una cinta metálica.
TOPOGRAFIA MINERA.
3$
$., *e puede le(anta todo el pe"meto del ta#o ó adialmente con la $0#ula colgante% esto es aconse#a$le cuando la la$o es pe'ue1a o estec+a caso como en (etas. *i la la$o es gande caso de cuepos iegulaes 4oe s+oots% oe $odies% etc.5% se pocede +ace el le(antamiento adial con el teodolito. c., *e estaciona el teodolito en el punto S?H% se (isa con ceo gados +acia el punto SKH 4(ista atás5% paa luego +ace di!eentes (isadas 4(istas adelantes5 alededo del pe"meto del ta#o% estas (istas pueden se6 D%%B%.......etc.% se tiene 'ue cea con BC@ en el punto K. d., *e mide la distancia coespondiente a cada (ista 4(ista adelante56 dD% d% dB%......etc% en todo los casos si es posi$le e(itando tene distancias inclinadas% paa as" a+oa cálculos de las distancias educidas% si no !uea posi$le se +alla el (alo del ángulo (etical de las (isadas. e., *i e2iste lugaes del ta#o 'ue no se puede (e desde el punto S?H% se pondá en el tec+o de la la$o un punto au2ilia SD@H/ desde este punto se pocedeá a le(anta como en el caso de le(antamientos de gale"as% cuceos% etc. !., -on estos datos se pocede a di$u#a el le(antamiento del ta#o con coodenadas polaes o coodenadas catesianas.
TOPOGRAFIA MINERA.
3%
*i e2iste atacción% la agu#a de la $0#ula se mantendá estática en una deteminada posición y paa e(ita +ay 'ue su$i o $a#a el codel del luga donde pocede la atacción. En estos casos es necesaio da dos lectuas una en cada e2temo del tamo y $usca un tamo 'ue no tenga atacción y desde éstas +ace las coecciones% paa luego calcula las coodenadas. os mateiales 'ue po(ocan la atacción magnética son6 Tu$os de +ieo 4agua% aie% elleno +idáulico% etc.5% l"nea de cau(ille% caos mineos y locomotoas% ca$les de l"neas de alta tensón% l"neas de tolley% etc. Ente los mineales podemos considea6 a magnetita% piita% piotita% etc.
!.3. LEVANTAMIENTOS DE PI&UES. Paa le(antamientos de pi'ues se pocede con la misma técnica de le(antamientos paa c+imeneas con la di!eencia 'ue se tiene 'ue ta$a#a en un plano (etical. V07 !.2
!.!. LEVANTAMIENTOS DE INCLINADOS. V07 !.2
3'
TOPOGRAFIA MINERA.
CAPITULO V REPLANTEOS $.1 CONCEPTO Es el ta$a#o in(eso al le(antamiento topogá!ico. Es el ta$a#o 'ue consiste calcula y toma in!omación en el ga$inete paa lle(alo al teeno% mediante instumentos y e'uipos topogá!icos.
$.2 LINEA DE DIRECCIÓN a l"nea de diección% pe(iamente esta$lecida en el depatamento de ingenie"a% es el alineamiento 'ue sigue una la$o +oi&ontal% (etical ó inclinada% con el !in de poyecta% desaolla o e!ectua comunicaciones.
TOPOGRAFIA MINERA.
3(
Paa mateiali&a esta l"nea% es con(eniente eplanteala paa 'ue la constucción de la la$o se poyecte% desaolle o comuni'ue coectamente. Po lo tanto es necesaio pone los centos de l"nea
a. I/:-7*a+,a 0 a LK0a 0 D,70++,4 Es impotante paa lo siguiente6 , -onstui la$oes más allá desde donde se +a a(an&ado% siguiendo el um$o o a&imut calculado% como en la continuidad de la$oes% constucción de cu(as e inicio de nue(as la$oes. , -omunica la$oes desde un punto inicial a oto punto !inal% consideando tam$ién la gadiente.
b. LK0a 0 D,70++,4 0 a P7--5a+,4 0 Lab-70) El pocedimiento es el siguiente6 , En el plano se identi!ica el !ente de la la$o. , -on un tanspotado se detemina la diección a segui. Esta diección tam$ién se puede +alla anal"ticamente conociendo las coodenadas de dos puntos. , *e taslada la in!omación a la la$o.
3
TOPOGRAFIA MINERA.
, *e estaciona el teodolito en -. *e +ace (ista atás a 3 y con el ángulo calculado en ga$inete% se +ace (ista adelante. En esa posición del anteo#o se u$ica el punto de diección 8 con una pe'ue1a estaca en el tec+o a una distancia de J a D@ metos de -. ,
- y 8 son puntos de diección paa segui el alineamiento y cuya poyección se maca con pintua% en el !ente de la la$o% como cento de l"nea.
BD
8 A 3
PTO* TOPOGRAFI-O
FIG $.1 LINEA DE DIRECCIÓN EN CONTINUIDAD DE LABORES
+. LK0a 0 D,70++,4 0 C67@a) El pocedimiento es el siguiente6 Fig. J. , *e pate de dos puntos topogá!icos conocidos. Estación en - y (ista atás +acia 3.
!9
TOPOGRAFIA MINERA.
, 8esde - se eali&an de!le2iones y distancias% pe(iamente calculadas% paa u$ica en el tec+o los puntos de diección D% % B y 8/ con el !in de maca en el !ente el cento de l"nea.
PI P-
D
A
B
PT 8
3
Fig. J. INEA 8E 8IRE--IVN EN -:R9A*
. LK0a 0 D,70++,4 :a7a E/:08a7 Lab-70) N60@a) El pocedimiento es el siguiente6 Fig. J.B , En el plano y en la la$o% se conocen A y 3. , En el plano se detemina la distancia +oi&ontal 3- y el ángulo a la deec+a en 3 paa eplantea -. Tam$ién se detemina el ángulo a la deec+a en paa eplantealo en la la$o y maca el cento de l"nea en > y en R 'ue indican la l"nea de diección de la nue(a la$o >R.
!1
TOPOGRAFIA MINERA.
JJ
-
>
5 4 3 8 7 A
DJ
3
R
Fig. J.B INEA 8E 8IRE--IVN EN A3OR N:E9A
0. LK0a 0 D,70++,4 +- T0--,*Es el pocedimiento de me#o pecisión y el más usado% como en todos los casos anteioes. Tam$ién puede emplease una estación total. Estos instumentos si(en paa lee el ángulo +oi&ontal% medi distancias y da alineamientos paa maca el cento de l"nea.
. LK0a 0 D,70++,4 +- P-/aa) F,5. $.! Es un pocedimiento de meno pecisión po la constante oscilación de las plomadas. *e le utili&a paa ta$a#os de poca impotancia o paa apo2ima el cento de l"nea.
!2
TOPOGRAFIA MINERA.
-onsiste en colga tes o más plomadas desde el tec+o% todas en un mismo alineamiento como se muesta en la Fig. J. % y 'ue al poyectalo pemite maca el cento de l"nea en el !ente de la la$o.
A
3
F,5. $.! LINEA DE DIRECCIÓN CON PLOMADAS
$.3 REPLANTEO DE CURVAS "ORI#ONTALES El eplanteo de cu(as +oi&ontales en minas su$teáneas% es una aplicación y una adecuación del pocedimiento supe!icial en o$as ci(iles. Replantea una cu(a% es coloca estacas en el tec+o o en el piso de una la$o% de manea 'ue deteminen el e#e de la o$a. Estos puntos se esta$lecen pe(io cálculo en !unción del adio de la cu(a y ángulo de de!le2ión% los cuales a su (e& dependen del tipo de (e+"culos 'ue (an a tansita. Tam$ién es impotante tene en cuenta el pealte.
!3
TOPOGRAFIA MINERA.
a. I/:-7*a+,a 0 R0:a*0- 0 C67@a) Es impotante paa el tánsito seguo de los (e+"culos mineos% con una (elocidad diecti& má2ima al ingesa% pasa y sali de la cu(a. a (elocidad diecti&% es la 'ue condiciona todas las caacte"sticas ligadas a la seguidad de tánsito y a ella se a#usta el dise1o de la cu(a.
b. E0/0*-) 0 6a C67@a "-7,8-*a os elementos de una cu(a 4(e Fig% J.J5% son6 T < R. Tg 4IU5
Fom. J.D?
< 4 π . R. I5UDK@
Fom. J.@
E < R. 4*ec4IU5,D5
Fom. J.D
- < R. *en 4IU5
Fom. J.
P-
?@
T
PI
.
E
R
I
T
I O
R PT
F,5. $.$ ELEMENTOS DE UNA CURVA
!!
TOPOGRAFIA MINERA.
T < tangente% distancia P-,PI < longitud de la cu(a% aco P-,PT E < e2tena% distancia PI a la cu(a - < cueda% distancia P- PT R < adio de la cu(a I < ángulo de de!le2ión
A0/?)= P- < inicio de la cu(a PT < !in de la cu(a PI < intesección de dos alineamientos O < cento de la cu(a
+. I60+,a 0 P07a*0 El pealte es el desni(el de la ("a ente su pate intena y e2tena% en una cu(a/ ad'uiiendo su má2imo (alo en el cento de dic+a cu(a.
PARTE EYTERNA M
PARTE INTERNA N
M
P N
F,5. $.% CURVA "ORI#ONTAL Y PERALTE
TOPOGRAFIA MINERA.
!$
-on el o$#eto de contaesta la acción de la !ue&a cent"!uga% todas las cu(as +oi&ontales de$en se pealtadas% dependiendo su pocenta#e de la (elocidad diecti& y del adio de cu(atua. A mayo adio% meno pealte paa una misma (elocidad. A meno (elocidad% meno pealte. El pealte se calcula po !ómulas de la !"sica o se puede toma de las ta$las paa dise1o de ("as.
. C?+6-) :a7a 0 R0:a*0- 0 a C67@a Este cálculo se ilusta en el po$lema .
PROBLEMA= Replantea cuato puntos en la cu(a +oi&ontal% en el tec+o% paa conecta una gale"a y un cuceo. os puntos de$en se e'uidistantes. El (alo del adio es de J m. y el ángulo de de!le2ión en el PI es CB@. 7alla tam$ién el pealte en el cento de la cu(a% consideando una (elocidad má2ima del (e+"culo de @ XmU+. 9e Fig. J.L.
!%
TOPOGRAFIA MINERA.
PI
M @ B A C F
B
D
P-
PT
Jm
9
9
9
9 9
J m
O
F,5. $.' REPLANTEO DE CURVA "ORI#ONTAL
S-6+,4= < 4 π 2 J 2 CB@5UDK@ < @.K? m ongitud de cada aco en la cu(a 4@.K?5UJ < .@C m Gado paa cada aco 9 < 4CB@5UJ < ?DK Angulos de eplanteo Paa D 6 9U < B? Paa 6 9U < ?DK Paa B 6 B9U < DBJL Paa 6 9U < DKBC Paa J 6 J9U < BDJ
!'
TOPOGRAFIA MINERA.
8istancia de eplanteo Aplicando Fom. J. Paa D 6 8R < J@ 2 *en B? < .@J m Paa 6 8R < J@ 2 *en ?DK < K.@K m Paa B 6 8R < J@ 2 *en DBJL < D.@J m etc.
REPLANTEO DE LA CURVA VT ES VD PI PC 1 PI P- PI P- B PI P- PI P- J
GRADO ?DK DKBC LJ BLD CB@
9T < (ista atás 8R < distancia de eplanteo AR < ángulo de eplanteo
AR DR PTO B? .@J D ?DK K.@K DBJL D.@J B DKBC DJ.?J BDJ D?.L PT
98 < (ista adelante E* < estación
0. R0:a*0- 0 a C67@a -onsideando el cuado anteio y la Fig. J.L% se pocede a estaciona el teodolito en el P- y con (ista atás al PI% se +ace (ista adelante con un ángulo de B? y una distancia de .@J m paa eplantea as" el punto D% el cual se poyecta y se maca con una estaca en el tec+o. *i no se tu(iea el PI en la la$o% (isi$le% se
!(
TOPOGRAFIA MINERA.
+ace uso del um$o ó del ángulo a la deec+a de P- PI. Paa eplantea los siguientes puntos se pocede idénticamente% siempe con estación en P-. Este ta$a#o se simpli!ica con una estación Total% paa lo cual es con(eniente alimentae con las coodenadas de cada uno de los puntos po eplantea y las coodenadas del punto de estación P-.
$.! PUNTOS DE GRADIENTE *e llama gadiente a la inclinación 'ue tiene el piso de la la$o su$teánea con especto al plano +oi&ontal. Tam$ién se le denomina pendiente y puede se positi(a o negati(a. Mayomente la gadiente se e2pesa en pocenta#es% peo tam$ién puede dase de (aia otas maneas. Estas maneas se popocionan a continuación% consideando paa todos los casos la Fig. J.K. 3 G A
87 < K@ m
8N < C m -
!
TOPOGRAFIA MINERA.
F,5. $.( GRADIENTE AB
87 < distancia +oi&ontal 8N < di!eente ni(el G < gadiente
E :-7+0*a0 G < 48NU875 2 D@@ G < 4CUK@5 2 D@@ G < ; L.JZ
F-7/. $.1$
E Ta*- :-7 M, G < 48NU875 2 D@@@ G < 4CUK@5 2 D@@@
F-7/. $.1%
G < ; LJ [
E F7a++,4 G < 8NU87 G < CUK@ G < ; BU@
F-7/. $.1'
E G7a-) S0a50),/a0) G < ac tg 48NU875 G < ac Tg 4CUK@5 G < ; DL@.?JH
F-7/. $.1(
PROBLEMA= E2pesa la gadiente ; DL@.?JH en pocenta#e.
S-6+,4=
$9
TOPOGRAFIA MINERA.
Aplicando Fom% J.DJ G < Tg ;DL@.?JH 2 D@@
G '.$ PROBLEMA= E2pesa la gadiente L.JZ en !acción. S-6+,4= Aplicando
Fom. J.DL
G < L.JUD@@ < @.@LJ G < @.@LJUD@@@ < BU@ PROBLEMA= E2pesa la gadiente L.J [ en pocenta#e. *olución6 Aplicando Fom. J.DJ G < 4LJUD@@@5D@@ G < ;L.JZ
PROBLEMA= E2pesa la gadiente BU@ en gados se2agesimales.
S-6+,4= Aplicando Fom. J.DK G < ac tg4BU@5 G < DL@.?JH
PROBLEMA= E2pesa la gadiente !1'29.$ en !acción.
S-6+,4= Aplicando Fom. J.DL
$1
TOPOGRAFIA MINERA.
G < Tg DL@.?JHUD@@@ G < LJUD@@@
G 3Q!9 os puntos de gadiente se mateiali&an po un pa de puntos u$icados en am$as paedes de la la$o 4gale"a% cuceo% cotada% etc.5 colocados% po lo geneal% a un meto po encima del empla&amiento del piso o de la l"nea de cou(ille. El pa de puntos se u$ica a una distancia longitudinal de B a C m del 0ltimo pa de puntos/ esta distancia má2ima puede esta ente D@ a Dm/ en las cu(as pueden u$icase inclusi(e a distancias menoes a las mencionadas.
TAR:GO*% P:NTO* 8E GRA8IENTE
E P E N 8 I E N T
8.7.
F,5. $. PAR DE PUNTOS DE GRADIENTE
a. I/:-7*a+,a 0 a G7a,0*0 a gadiente es impotante en el tanspote% constucción e instalación de ieles en mine"a
TOPOGRAFIA MINERA.
$2
con(encional% constucción de ampas en mine"a su$teánea sin ieles. En am$os casos% es impotante en el dena#e y constucción de cunetas. a gadiente se coloca y contola acode con el dise1o de la mina.
b. P6*-) 0 G7a,0*0 +- N,@0 a deteminación de puntos de gadiente con ni(el% implica tene pesente las siguientes consideaciones. , El ni(el en una estación% detemina l"neas petenecientes a un mismo plano +oi&ontal% el mismo 'ue si(e de e!eencia paa las mediciones de gadiente. En la Fig. J.D@% A 3 están en dic+o plano como en la estación M. , *e mide la distancia (etical AA y 33 , *e mide tam$ién la distancia (etical de D m desde 3 y - +asta el piso% con el !in de lle(alo uni!ome% con la gadiente e'ueida. Esta opeación da luga al cote o elleno del piso. , *e mide las distancias +oi&ontales A3 y 3-. , *e calcula y se mide 3 3 y -- paa u$ica los puntos de gadiente 3 y - de los cuales se contola la uni!omidad del piso de la la$o. , Tene pesente 'ue en el punto A e2isten dos puntos !ente a !ente en las paedes de la la$o% lo mismo ocue en el 3 y -. Tam$ién tene en
$3
TOPOGRAFIA MINERA.
cuenta 'ue en las Fig. J.D@ y J.DD se considean dos estaciones paa coloca gadiente en dos tamos% sin em$ago es su!iciente un tamo como en la Fig. J.D. Esto de!ine el plano de gadiente de e!eencia. , a estación del ni(el se puede +ace antes o después del 0ltimo punto de gadiente ya esta$lecido.
PROBLEMA= En la Fig. J.D@% A es un punto 'ue petenece a la l"nea de gadiente de B [ situado a D m po encima del piso 'ue de$e lle(ase con la misma gadiente. -alcula y u$ica los puntos 3 y 'ue petene&can a la misma l"nea de gadiente en las distancias A3< D m/ 3-
S-6+,4=
B?. cm
B cm
Fle2ometo
3
A
-
C.J cm
B cm
3
-
A
A
N
M 3 FIG, D@
-
TOPOGRAFIA MINERA.
$!
Aplicando la Fom. J.DC con estación en M/ caso más com0n. G 4A35 < 8NU87 2 D@@@ 8N 4A35 < G 2 87 U D@@@ 8N 4A35 < B2DUD@@@ 8N 4A35 < B.C cm 89 4335 < 894AA5 8N4A35 89 4335 < B , B.C 89 4335 < B?. cm 8istancia (etical 'ue se mide +acia a$a#o paa maca el punto 3 en las paedes de la la$o.
b> *7a/- BC Aplicando la Fom. J.DC con estación en N% caso poco com0n 8N 43-5 < B 2 DD.J@U D@@@ 8N 43-5 < B.J cm 89 4--5 < B ; B.J 89 4--5 < .J cm 8istancia (etical 'ue se mide +acia ai$a paa maca el punto - en las paedes de la la$o.
PROBLEMA6 -on un ni(el% +alla los puntos 3 y 'ue petenecen a la gadiente de D.JZ a pati del punto A situado a D.@ po encima del piso de la la$o. 9e la Fig. J.DD.
$$
TOPOGRAFIA MINERA.
BC cm 3 3
cm A
3
M .J@ mts
D. mt.
[email protected] cm
A
A Fle2ometo
K.J cm
-
3
Fig,DD
N J.@@ mts.
-
S-6+,4= Aplicando la Fom. J.DJ.
Pa7a a 0)*a+,4 M= 8N 4A35 < 4D.J 2 .J@5UD@@ 8N 4A35 < C.LJ cm 89 4335 < ; C.LJ 89 4335 < [email protected] cm 8istancia (etical 'ue se mide desde 3 +acia ai$a paa maca 3.
Pa7a a 0)*a+,4 N= 8N 43-5 < 4D.J 2 J.@@5UD@@ 8N 43-5 < L.J@ cm 89 4--5 < BC,L.J@ 89 4--5 < K.J@ cm
