TECSUP – TECSUP – PFR
Matemática Aplicada
Unidad VI
DISTR IBUCIÓN D DE P PR OB ABILID ADES C CONTINU AS
1.
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal es la distribución mas importante de probabilidades, no solo en la teoría estadística, sino también en sus aplicaciones a problemas industriales. Es una distribución continua y simétrica conocida también como la distribución de Gauss o de Laplace. La distribución normal representa el resultado de la actuación conjunta de causas aleatorias, y por ello resulta fundamental en el control estadístico de calidad, particularmente en la teoría de los gráficos del control de fabricación. La función de probabilidades es: 2
f ( x ; ,
1
)
e
( x )2 / 2 2
2
- x
Donde: Es la media de la distribución
Es la desviación estándar f(x)
X
Figura 1. Gráfica de densidad de Probabilidad Normal. N ormal.
El diagrama es simétrico y el área bajo la curva es la unidad.
147
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1.1.
TECSUP – TECSUP – PFR PFR
ESTANDARIZACIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA Si en lugar de x tomamos: z
( x )
Lo cual significa adoptar como origen de las z el punto en que x y como unidad de escala de las z la desviación estándar ; la que designaremos como distribución Normal Estándar: 2
1
f ( z)
2
z 2 e
(z) 0
Esta distribución tiene parámetros:
y
2 (z) 1 ; por
conveniencia se acostumbra nombrar esta distribución como la N(0;1) . Los valores del área desde
... ...z son iguales a la probabilidad
acumulada de los valores correspondientes a f(z). Estos valores se encuentran tabulados en la tabla 3 al final de esta información. Esta tabla corresponde a la distribución normal estándar, es decir, la distribución normal con 0 y 1 La función acumulada es:
F( z)
1
z
e t
2
2
/2
dt
F(z) F( z)
1
z
e t
2
2
/2
dt
z z
0 Figura 2. Gráfica de densidad de Probabilidad Normal Estándar.
Para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con la distribución normal estándar adopte un valor entre a y b, usamos la ecuación: P(a z b) F(b) F(a)
148
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y si a o b es negativa, hacemos uso de la identidad F(z) 1 F(z) .
EJEMPLO 1 Determine las probabilidades de que una variable aleatoria con la distribución normal estándar adopte un valor
Entre 0,87 y 1,28 Entre -0,34 y 0,62 Mayor que 0,85 Mayor que -0,65
= p(0,870,85) = p(z>-0,65)
Solución Consultando los valores necesarios en la tabla 3, obtenemos
Entre 0,87 y 1,28 = p(0,87
0,0919
F(z)
z 0,87
1,28
0
Fig. 3.
Entre -0,34 y 0,62 = p(-0,34
0.3655
149
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F(z)
z -0,34
0
0,62
Fig. 4.
Mayor que 0,85 = p(z>0,85) 1 F(0.85) 1 0.8023
0.1977
F(z)
z 0,85
0
Fig. 5.
Mayor que -0,65 = p(z>-0,65) 1 F(0.65) 1 1 F(0.65) F(0.65)
0.7422
F(z)
z 0,85
0
Fig. 6.
150
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EJEMPLO 2 Si el monto de radiación cósmica a la que se expone una persona al volar en avión por los Estados Unidos es una variable aleatoria con la distribución normal con 4.35 mrem y 0.59 mrem, determine las probabilidades de que el monto de radiación cósmica a la que se expondrá una persona en un viaje así sea de:
Entre 4.00 y 5.00 mrem; El menos 5.50 mrem.
SOLUCIÓN Primero estandarizamos los valores:
5.00 4.35 4.00 4.35 F 0 . 59 0 . 59
= F(1.10) F(0.59)
F
= 0,8643 (1 0,7224) = 0,5867
5.50 4.35 0 . 59
= 1 F(1.95)
1 F
= 1 0.9744 0.0256
EJEMPLO 3 El monto real de café instantáneo que una máquina de relleno deposita en frascos de “4 onzas” puede considerarse una variable aleatoria con una distribución normal con 0.04 onzas. Si sólo 2% de los frascos contienen menos de 4 onzas, ¿Cuál debería ser el relleno medio de esos frascos?
Solución
4 0.02 y, por lo tanto, 0 . 04
Para determinar μ de tal manera que F
4 0.98 buscamos en la tabla 3 la entrada más cercana a 0.04 0.98 y obtenemos 0.9798, que corresponde a z 2.05. Así: 4 2.05 F
0.04
151
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Y al resolver
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, determinamos que 4.082 onzas
EJEMPLO 4 En cierta ciudad, el número de interrupciones del suministro eléctrico por mes es una variable aleatoria con una distribución con 11,6 y
3,3 . Si esta distribución puede aproximarse cercanamente con una distribución normal, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos ocho interrupciones en un mes cualquiera?
Solución El número de interrupciones de servicio es una variable aleatoria discreta, y si deseamos aproximar su distribución con una distribución normal, debemos “dispersar” sus valores en una escala continua. Lo hacemos representando cada número entero k con el intervalo de 1 1 a k . Por ejemplo: k 2 2 3 es representado con el intervalo de 2,5 a 3,5; 10 es representado con el intervalo de 9,5 a 10,5. y “al menos 8” es representado con el intervalo a la derecha de 7,5 tal como se muestra en la figura:
3,3
X 7,5
11,6
Fig. 7.
152
Número de Interrupciones
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Así, la probabilidad deseada es “aproximada” por:
7,5 11,6 1 F(1,24) 3,3 F(1,24) 0,8925
1 F
1.2. APLICACIONES: LIMITES DE CONTROL La distribución normal puede aplicarse en el control de calidad para “aceptar” un producto o “rechazar” un producto. Para ello se establece una franja cuyo ancho será el rango de aceptación. Este rango se establece alrededor de la media la que definirá la Línea Media LM. El rango R quedara definido en función del valor diversos criterios.
estableciéndose
Un criterio bastante común es tomar:
R LSC LIC LSC A LIC A Donde A
3 n
; n = tamaño de la muestra.
Los límites de este rango serán el Límite Superior de Control LSC y el Límite Inferior de Control LIC
3
LS C
n
LM
3
LIC n
MUESTRA
Fig. 8.
153
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EJEMPLO 5 Construir para muestras de n = 5 artículos el gráfico de control de la media de un proceso de fabricación de ejes de acero con media 5,60 mm y desviación estándar 0,05 mm. Verificar si el proceso de fabricación de ejes se mantiene BAJO CONTROL, si se han extraído 10 muestras con n = 5 de hora en hora y los valores se encuentran en la tabla siguiente:
MUESTRA
ARTICULO 1
ARTICULO 2
ARTICULO 1
ARTICULO 1
ARTICULO 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5,67 5,90 5,52 5,60 5,55 5,39 5,79 5,67 5,51 5,66
5,50 5,58 5,66 5,76 5,68 5,65 5,61 5,59 5,51 5,64
5,58 5,61 5,68 5,55 5,65 5,63 5,59 5,59 5,65 5,61
5,48 5,59 5,59 5,58 5,45 5,57 5,70 5,75 5,55 5,66
5,70 5,44 5,38 5,57 5,68 5,61 5,51 5,48 5,63 5,56
Solución La línea media: LM = = 5,60 Los límites de control serán: LSC A 5,60 ( 3 )0,05 5,667 5 LIC A 5,60 ( 3
5
)0,05 5,533
154
MEDIA
x
5,586 5,624 5,566 5,612 5,602 5,570 5,640 5,616 5,570 5,626
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3
5,68 n
LSC
5,667
5,66 5,64 5,62
LM
5,60 5,58 5,56
3
5,54 n
LIC 5,533
5,52
MUESTRA 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig. 9.
Mediante el gráfico recomprueba que todos los puntos se encuentran en el rango en torno a la LM, de ello se concluye que el PROCESO DE FABRICACION SE ENCUENTRA BAJO CONTROL. PROBLEMAS PROPUESTOS 6.1 1.
Una troqueladora produce tapas de lata cuyos diámetros se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 0,01 pulgadas. ¿En que diámetro “nominal” debería fijarse la máquina para que no mas del 5% de las tapas producidas tengan diámetros que excedan de 3 pulgadas? Sol: 2,984
2.
Se corta automáticamente varillas de plástico moldeadas por inyección en longitudes nominales de 6 pulgadas. Las longitudes reales están normalmente distribuidas en torno a una media de 6 pulgadas y su desviación estándar es de 0,06 pulgadas. ¿Qué proporción de las varillas excede los límites de tolerancia de 5,9 a 6,1 pulgadas. ¿A qué valor es necesario reducir la desviación estándar si el 99% de las varillas den hallarse dentro de la tolerancia. Sol:
155
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3.
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Si una variable aleatoria tiene la distribución binomial con n=30 y p=0,60; use la aproximación normal para determinar la probabilidad de que adopte: El valor de 14 Un valor menor que 12 Sol: 0,049 0,008
4.
Un fabricante sabe que, en promedio, 2% de las tostadoras eléctricas que produce requerirán reparaciones en un término de 90 días posteriores a su venta. Use la aproximación normal a la distribución binomial para determinar la probabilidad de que entre 1200 tostadoras al menos 30 requerirán reparaciones en los primeros 90 días de su venta. Sol:
5.
La probabilidad de que un componente electrónico falle en menos de 1000 horas de uso continuo es de 0,25. Use la aproximación normal para determinar la probabilidad de que entre 200 de esos componentes menos de 45 fallen en menos de 1000 horas de uso continuo. Sol: 0,1841
6.
Un ingeniero de seguridad supone que el 30% de los accidentes industriales en su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Si esa cifra es correcta, determine aproximadamente la probabilidad de que entre 84 accidentes industriales en esa planta cualquier número entre 20 a 30 inclusive se deban a la negligencia de los empleados de no seguir las instrucciones. Sol:
7.
Una variable aleatoria tiene una distribución normal con
62,4 .
Determine su desviación estándar si la probabilidad de que adopte un valor mayor que 79,2 es de 0,20. Sol: 19,88 8.
Una variable aleatoria tiene una distribución normal con 10 . Si la probabilidad de que adopte un valor menor que 82,5 es de 0,8212. ¿Cuál es la probabilidad de que adopte un valor mayor que 58,3?
156
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Sol: 9.
Las especificaciones de cierto trabajo implican limpiadores con un diámetro interior de 0,300 0,005 pulgadas. Si los diámetros interiores de los limpiadores provistos por cierto fabricante pueden considerarse una variable aleatoria con la distribución normal con 0,302 pulgadas y 0,003 pulgadas, ¿Qué porcentaje de estos limpiadores cumplirá las especificaciones? Sol: 83.15%
10. Se sabe que la vida útil de un componente eléctrico sigue una distribución normal con media 2000 hr y una desviación estándar
200 hr.
2.
Determine la probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure entre 2000 y 2400 horas. Determine la probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure mas de 2200 horas. Sol: 0,4772 0,1587
DISTRIBUCIÓN GAMMA Varias densidades de probabilidad importantes que utilizan frecuentemente son casos especiales de la distribución Gamma. Esta distribución tiene la densidad de probabilidad.
1 x -1e - x/ f(x) ( ) 0 Donde
para
x
0, 0,
β
0
en otra parte
() es un valor de la función Gamma, definida por
() x l e x dx 0
La integración por partes muestra que
1 1 Luego:
Γα α 1 !
positivo)
157
(Para entero y
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Representaciones gráficas de la función gamma para valores diversos de y
se muestran en la figura 10; ponen de relieve el hecho de que estas distribuciones están positivamente sesgadas. En efecto, la sesgadura decrece a medida que se incrementan para cualquier valor fijo de .
Figura 10.
2.1.
MEDIA Y VARIANZA DE LA FUNCIÓN GAMMA Para determinar la media de la distribución Gamma:
1
0
x x 1e x / dx
Haciendo el cambio de variable y x /
y ( 1 y e dy 0 Haciendo uso de la identidad
( 1) , llegamos al resultado
de la Media:
La Varianza de la distribución gamma esta dada por:
2
158
2
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3.
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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL En la distribución Gamma, si el valor de 1 exponencial cuya densidad de probabilidad es:
1 x e β f(x) β 0
3.1.
para
x
0,
obtenemos la distribución
β0
en otra parte
GRÁFICO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Para graficar la función exponencial tabularemos valores de x para un valor de determinado 1 f ( x )
x 1 e
x
f(x)
0.1
0.9048374 2
0.5
0.6065306 6
0.8
0.4493289 6
1
0.3678794 4
2
0.1353352 8
3
0.0497870 7
4
0.0183156 4
0.2
5
0.0067379 5
0
6
0.0024787 5
7
0.0009118 8
8
0.0003354 6
9
0.0001234 1
10
4.54E-05
DISTRIBUCION EXPONENCIAL (Beta = 1) 1 0.9 x 0.8 = X 0.7 ( D A 0.6 D I L I 0.5 B A 0.4 B O0.3 R P
0.1 0
2
4
6
8
10
VARIABLE ALEATORIA
Figura 11. Representación gráfica de la función exponencial para
159
1.
12
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Igualmente podemos graficar la función exponencial para
0,1; 1;
5 . en la Fig. 6.12 3.2.
MEDIA Y VARIANZA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL La Media de la distribución Gamma esta dada por:
La Varianza de la distribución Gamma esta dada por:
2 2 La Desviación típica o estándar de la distribución Gamma esta dada por:
FUNCION EXPONENCIAL (Beta = 1; Beta = 0.1; Beta = 5)
4 3.5
) X = X (
3
D A D I L I B A B O R P
2.5 2 1.5 1 0.5
Serie1
0,1
Serie2
1
Serie3
5
0
-0.5 0
5
10
15
VARIABLE ALEATORIA x
Figura 12.
EJEMPLO 1 En promedio llegan tres camiones por hora para ser descargados en una bodega, ¿Cuáles son las probabilidades de que el tiempo entre el arribo de sucesivos camiones sea:
Menor que 5 minutos De al menos 45 minutos
160
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Solución
Suponiendo que los arribos siguen un proceso con 1 . Además 5 minutos es 1/12 hora. 3 1/ 12
3e 3 x dx 1 e 1/ 4
3 , entonces
1.221
0
En la misma relación anterior y con 45 minutos como hora
9 / 12 3 / 4
3e 3x dx e 9 / 4 0.105
3/4
4.
LA DISTRIBUCIÓN BETA La distribución beta tiene una densidad de probabilidad es
( ) -1 X (1- X)-1 f(x) ().() 0 4.1.
para
0 x 1,
0, β 0
en otra parte
MEDIA Y VARIANZA DE LA FUNCIÓN BETA La media y la varianza de esta distribución beta están dadas por
2
2 ( 1)
EJEMPLO 1 En cierto distrito, la proporción de tramos de carretera que requieren de reparaciones en un año dado es una variable aleatoria con la distribución beta con 3 y 2 (Fig. 6.11). Determine:
Qué porcentaje, en promedio, de tramos de carretera requieren de reparaciones en un año dado. La probabilidad de que cuando más la mitad de los tramos de carretera requieran de reparaciones en un año dado.
161
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Figura 13.
Solución 3
0,60 lo que significa que, en promedio, el 60% de los 32 tramos de carretera requieren reparaciones en un año dado. Sustituyendo 3 y 2 en la fórmula de la distribución beta y partiendo del hecho de que (5) 4! 24
(3) 2! 2 (2) 1! 1 Luego reemplazando estos valores en la función Beta obtenemos:
f ( x ) 12x 2 (1 x ) para
0
0 x 1
en otra parte
Así, la probabilidad deseada está dada por 1/ 2
0
12x 2 (1 x )dx
5 16
162
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5.
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LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL Estrechamente relacionada con la distribución exponencial está la distribución de Weibull, cuya densidad de probabilidad está dada por
αβx β1e αx f(x) 0
β
parax 0, α
0, β 0
en otra parte
Para demostrar esta relación, evaluamos la probabilidad de que una variable aleatoria con la distribución de Weibull adopte un valor menor que , es decir, la integral a
x 1e x dx
0
Efectuando el cambio de variable y x , obtenemos a
e y dy 1 e a
0
Y, como puede verse, y es un valor de una variable aleatoria con una distribución exponencial. Las representaciones gráficas de varias distribuciones de Weibull 1 con 1 y β ; 1; 2 se muestran en la figura 14. 2
Figura 14.
163
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5.1.
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MEDIA Y VARIANZA DE LA FUNCIÓN WEIBULL La medida de la distribución de Weibull con los parámetros y
puede
obtenerse evaluando la integral
x x 1e x dx 0
Efectuando el cambio de variable u x , obtenemos.
1/
u1/ e u du
0
Y reconociendo la integral como 1
1 , es decir, como un valor de la
función gamma, encontramos que la media de la distribución de wibull está dada por
1 1/ 1 La varianza de esta distribución está dada por:
2 1 1 1 2
2
2/
EJEMPLO 1 Supongamos que el ciclo de vida de cierto tipo de batería de respaldo de emergencias (en horas) es una variable aleatoria X con la distribución de Weibull con 0.1 y 0,5 Determine
El ciclo de vida medio de estas baterías; La probabilidad de que una batería de este tipo dure más de 300 horas.
164
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Solución
La sustitución en la fórmula de la media da como resultado.
(0.1) 2 (3) 200
Integrando, obtenemos
(0.05)x 0.5 e 0.1x
0.5
0.5
dx e 0.1(300 )
0.177
300
PROBLEMAS PROPUESTOS 6.2 1.
En ciertos experimentos, el error cometido en la determinación de la solubilidad de una sustancia es una variable aleatoria con la densidad uniforme con 0,025 y 0,025 . ¿Cuáles son las probabilidades de que ese error sea: De entre 0,010 y 0,015 De entre -0,012 y 0,012 Sol:
2.
En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica puede tratarse como una variable aleatoria con una distribución gamma con 3 , y 2 . Si la planta de energía de esa ciudad tiene una capacidad diaria de 12 millones de kilowatt-hora. ¿Cuál es la probabilidad de que ese suministro de energía sea inadecuado en un día dado. Sol:
3.
La cantidad de tiempo durante el que funciona una cámara de vigilancia sin que se le reponga es una variable aleatoria con distribución exponencial, con 50 dìas. Determine las probabilidades de que una cámara así: Tenga que ser repuesta en menos de 20 días No tenga que ser repuesta en al menos 60 días. Sol:
165
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4.
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Si la proporción anual de declaraciones de impuestos sobre ingresos erróneos, presentadas al fisco, puede considerarse como una variable aleatoria con una distribución beta con 2 y 9 . ¿Cuál es la probabilidad de que en un año dado haya menos de 10 % de declaraciones erróneas? Sol:
5.
6.
Supongamos que la proporción de unidades defectuosas embarcadas por un distribuidor, que varia un tanto de embarque a embarque, puede considerarse una variable aleatoria con la distribución beta con 1 y 4 . Determine la media de esta distribución beta. Determine la probabilidad de que un embarque de este distribuidor contenga 25% o mas de unidades defectuosas. Sol: a) 0,2 b) 0,3164 Supongamos que el tiempo de falla (en minutos) de ciertos componentes electrónicos sujetos a vibraciones continuas puede considerarse una variable aleatoria con una distribución de Weibull con 1 y 1 . 5 3 ¿Cuánto puede esperarse que dure un componente de ese tipo. ¿Qué probabilidad existe de que un componente de ese tipo falle en menos de 5 horas? Sol:
7.
Supongamos que el ciclo de vida de servicio (en horas) de un semiconductor es una variable aleatoria con una distribución de Weibull con 0,025 y 0,500 . ¿Cuál es la probabilidad de que un semiconductor de ese tipo siga en condiciones de operación después de 4000 horas? Sol: 0,2057
166
