Tetraedro Tetraedro regular Familia: Sólidos platónicos
Imagen del sólido
Caras
4
Polígonosque Polígonos que forman las
Triángulos equiláteros
caras Aristas
6
Vértices
4
Grupo de simetría
Tetraédrico Tetraédrico (T d d)
Poliedro dual
Tetraedro Tetraedro regular (autoconjugado)
Ángulo diedro
arccos(1/3) ≈ 7! 31" 43#61""
Símbolo de Schläfli
$3# 3%
Símbolo de !thoff
3&'3
Propiedades
oliedro regular cone*o# deltaedro
+editar datos en ,i-idata .
Un tetraedro (del griego τέτταρες 'cuatro' y ἕδρα 'asiento, base de apoyo') es un poliedro de cuatro caras. Con este n!ero de caras "a de ser un poliedro con#e$o, y sus caras triangulares, encontr%ndose tres de ellas en cada #&rtice. i las cuatro caras del tetraedro son tri%ngulos euil%teros, iguales entre s, el tetraedro se deno!ina regular . *l tetraedro es el s!ple$ tridi!ensional. +e otra !anera, un tetraedro es una pir%!ide de base triangular. Índice -ocultar • •
o o o • •
o o o
• • • • •
/ropiedades geo!&tricas 0/ropiedades !&tricas 0.1olu!en 0.02rea 0.34lturas del tetraedro 35etraedro regular 6C%lculo de di!ensiones 7unda!entales 6.1olu!en, %rea y desarrollo 6.02ngulos 6.3/ropiedades particulares 6.3.i!etra 6.3.0Con8ugaci9n 6.3.3/royecciones 6.3.6ecciones 6.3.:Co!posici9n, desco!posici9n y !aclado :5etraedros en la naturale;a y en la t&cnica <1&ase ta!bi&n =>otas y re7erencias ?@ibliogra7a co!ple!entaria A*nlaces e$ternos
Propiedades geométricas -editar
5etraedro no regular.
*n todo tetraedro, sea o no regular, se #eri7ica ueB •
•
•
•
•
os seg!entos ue unen los puntos !edios de los tres pares de aristas opuestas son concurrentes en un punto, ue los di#ide por su !itad. os seg!entos ue unen cada #&rtice con los puntos de intersecci9n de las!edianas de su cara opuesta son ta!bi&n concurrentes en un punto, ue los di#ide separando tres cuartas partes del lado del #&rtice respecti#o (5eore!a de Co!!andino). os seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos !edios pasan por un !is!o punto, centro de la es7era circunscrita al tetraedro. as rectas perpendiculares a las caras por su circuncentro son concurrentes en un punto, centro de la es7era circunscrita al tetraedro. os planos bisectores de los diedros interiores de un tetraedro concurren en un punto euidistante de las cuatro caras, centro de la es7era inscrita al tetraedro.
Propiedades métricas -editar Volumen-editar *$iste una 79r!ula general para el c%lculo del #olu!en de un tetraedro, sea o no regular, en 7unci9n de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de tres de sus #&rtices A, B y C (supuesto el origen de coordenadas en el cuarto)B
*sta 79r!ula ta!bi&n se puede escribir en t&r!inos de las coordenadas absolutas de los cuatro #&rtices 79r!ulaB
D el #olu!en de un tetraedro (regular o no) #iene dado por la siguiente
Etra 79r!ula, ue puede obtenerse de la anterior, per!ite calcular el #olu!en de un tetraedro, regular o irregular, conociendo la longitud de dos aristas opuestas y el %ngulo
y
, la distancia
entre ellasB
*sta 79r!ula es aplicable para calcular, de 7or!a apro$i!ada, el #olu!en de un terrapl&n, de una carretera o una presa de !ateriales sueltos, por e8e!plo, a partir de la longitud de su coronaci9n
, la longitud en la base
Etro casoB se conocen
•
de la arista co!n,
, y su altura
.
las %reas de dos caras de un tetraedro,
la longitud
el %ngulo diedro entre ellas. *ntonces el #olu!en es
0
Área-editar *l 2rea de un tetraedro regular es la siguienteB
donde 4c es el %rea de una de sus caras. *n 7unci9n de la arista
•
del tetraedro regularB
3
Alturas del tetraedro-editar Un tetraedro (no necesariamente regular ) se de7ine en ℝ3 conociendo las coordenadas de sus cuatro #&rtices, por e8e!plo . Cualuiera de sus cuatro caras se de7ine por el tri%ngulo 7or!ado por los tres #&rtices de la !is!a, cada una de las caras de7ine un plano ( plano por tres puntos) base de la altura ue 7or!a con el #&rtice opuesto, siendo dic"o #&rtice opuesto el punto restante ue no se us9 al de7inir la cara. e puede i!aginar un tetraedro pensando en ue su base est% de7inida por el tri%ngulo 7or!ado por tres #&rtices cualuiera del !is!o a los ue lla!are!os .
y
y ue e$iste un #&rtice opuesto a esa base al ue lla!are!os
/ara calcular la altura ue 7or!a un #&rtice opuesto cualuiera con su cara base solo "ay ue poner los #alores de dic"o #&rtice opuesto en #&rtices de la cara opuesta al !is!o en
y despu&s poner los #alores de los tres y
, luego aplicarlos en la 79r!ula siguienteB
/ara conocer las cuatro alturas del tetraedro basta con ir rotando las coordenadas de sus #&rtices. *sta 79r!ula no reuiere ue el tetraedro sea regular, #ale para cualuier tetraedro no degerado.
Tetraedro regular-editar *s un poliedro 7or!ado por cuatro caras ue son tri%ngulos euil%teros, y cuatro #&rtices en cada uno de los cuales concurren tres caras. *s uno de los cinco poliedros perfectos lla!ados s9lidos plat9nicos. 4de!%s es uno de los oc"o poliedros con#e$os deno!inados deltaedros. 4plic%ndole la no!enclatura est%ndar de los s9lidos de Fo"nson podra ser deno!inado pir%!ide triangular. /ara la escuela pitag9rica el tetraedro representaba el ele!ento 7uego, puesto ue pensaban ue las partculas (%to!os) del 7uego tenan esta 7or!a.
Cálculo de dimensiones fundamentales -editar *$clusi#a!ente a partir de la arista a se pueden calcular el resto de las di!ensiones 7unda!entales de un tetraedro regular. 4s, para las es7eras singulares del tetraedroB •
Gadio R de la es7era circunscrita al tetraedro (la ue contiene en su super7icie los cuatro #&rtices del !is!o)B
•
Gadio r de la es7era inscrita al tetraedro (la tangente a las cuatro caras del tetraedro)B
•
Gadio ρ de la es7era tangente a las seis aristas del tetraedroB
*n un tetraedro regular cada pare8a de aristas opuestas (las ue no concurren en un !is!o #&rtice) son ortogonales entre s, siendo la !ni!a distancia entre ellas el seg!ento ue une sus puntos !edios, de longitud doble al radio ρ de la es7era tangente a las aristas del tetraedro. •
a altura H del tetraedro (apoyado el tetraedro de !anera estable sobre un plano "ori;ontal, distancia perpendicular desde el plano de apoyo al #&rtice opuesto)B
Volumen, área y desarrollo-editar
4ni!aci9n de uno de los desarrollos del tetraedro.
+ado un tetraedro regular de arista a, pode!os calcular su #olu!en V !ediante la siguiente 79r!ulaB
H el %rea total de sus caras A (ue es 6 #eces el %rea de una de ellas, Ac), !edianteB
Ángulos-editar os %ngulos planos ue 7or!an las aristas concurrentes son, co!o en el resto de los s9lidos plat9nicos, todos igualesD y con un #alor de
os %ngulos s9lidos ue 7or!an los #&rtices son, co!o en el resto de los s9lidos plat9nicos, todos iguales, y pueden calcularseB
Propiedades particulares-editar Simetría-editar
Gotaciones en torno a un e8e y re7le$i9n respecto a un plano de un tetraedro regular.
Un tetraedro regular tiene cuatro e8es de si!etra de orden tres, las rectas perpendiculares a cada cara por el #&rtice opuesto de tetraedroD y seis planos de si!etra, los 7or!ados por cada arista y el punto !edio de la arista opuesta. *sto "ace ue este cuerpo tenga un orden de si!etra total de 06B 0$(6$3). os ele!entos de si!etra anteriores de7inen uno de los grupos de si!etra tetra&dricos, el deno!inado d segn la notaci9n de c"lM7li. *l tetraedro tiene ta!bi&n tres e8es de si!etra de orden dosB las rectas ue pasan por el punto !edio de una arista y por el de la arista opuesta.
Con!ugaci"n -editar *l tetraedro regular es el nico s9lido plat9nico con8ugado de s !is!o (se suele deno!inar autocon8ugado), ya ue elpoliedro con8ugado de un tetradro de arista a es otro tetraedro de arista #, tal ueB
Proyecciones-editar as proyecciones ortogonales de un tetraedro regular sobre un plano pueden serB •
5ri%ngulosD *n particular, si el plano de proyecci9n es paralelo a una cara, la proyecci9n del tetraedro es un tri%ngulo euil%tero, correspondiente a una cara en #erdadera !agnitud. Cuadril%terosD *n particular, si el plano de proyecci9n es paralelo a dos aristas opuestas del tetraedro, la proyecci9n es un cuadrado, con un lado igual a la longitud de la arista del tetraedro di#idida por la ra; cuadrada de dos. •
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Secciones-editar
ecci9n trans#ersal.
as in7initas secciones ue pode!os to!ar de un tetraedro regular pueden resultarB •
5ri%ngulosD *n particular, cualuier secci9n to!ada por un plano paralelo a una de las caras del tetraedro es un tri%ngulo euil%tero. Cuadril%terosD *n particular, cualuier secci9n to!ada por un plano paralelo a dos aristas opuestas es un rect%ngulo. i, ade!%s de ser paralelo a dos aristas opuestas, el plano de corte euidista de a!bas, la secci9n resultante es un cuadrado de lado !itad de la arista del tetraedro. Co!o e$isten tres pares de aristas opuestas, un tetraedro regular se puede seccionar de esta 7or!a por tres planos di7erentes. •
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Composici"n, descomposici"n y maclado-editar *s posible incluir un tetraedro regular en un cubo de tal 7or!a ue cada uno de los #&rtices del tetraedro coincida con un #&rtice del cubo, coincidiendo las aristas del tetraedro con diagonales de las caras del cubo. *l #olu!en del cubo necesario para incluir un tetraedro en la 7or!a descrita es el triple ue el del tetraedro. Nay dos posiciones posibles para incluir los tetraedros en el cubo en esta 7or!aD •
•
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as aristas de los tetraedros colocados en a!bas posiciones son perpendiculares entre s (son las diagonales cru;adas de las caras del cubo). as tres secciones cuadradas de a!bos tetraedros coinciden. *l s9lido con8unto (o !acla) de a!bas es un poliedro co!puesto deno!inado estrella oct%ngula de Oepler (stella octangula). *l s9lido co!n de a!bos es un octaedro regular de arista !itad ue la de los tetraedros.
>o es posible rellenar el espacio nica!ente con tetraedros regulares (aunue, parece ser, ue 4rist9teles as lo crea), pero s es posible "acerlo con ele!entos 7or!ados por una co!binaci9n de un octaedro regular y dos tetraedros regulares. +e las in7initas 7or!as de truncar un tetraedro regular, "ay dos ue producen resultados singularesB •
•
5runcando el tetraedro con planos ue pasen por el punto !edio de sus aristas, obtene!os un octaedro regular. 5runcando el tetraedro con planos ue pasen por la tercera parte de sus aristas, obtene!os un s9lido arui!ediano ue to!a el no!bre gen&rico de tetraedro truncado.
Un tetraedro no puede ser estelado, puesto ue todas las intersecciones entre los planos de las caras del tetraedro son aristas del tetraedro.
Tetraedros en la naturaleza y en la técnica-editar
*structura tetra&drica del !etano. os enlaces CPN est%n dirigidos "acia los #&rtices de un tetraedro regular.
a 7or!a tetra&drica aparece en la naturale;a en ciertas !ol&culas de enlace co#alente. a !%s co!n de ellas es la !ol&cula de !etano (CN6), en la ue los cuatro %to!os de "idr9geno se sitan apro$i!ada!ente en los cuatro #&rtices de un tetraedro regular del ue el %to!o decarbono es el centro. *$isten ta!bi&n estructuras cristalinas naturales de 7or!a tetra&drica. 4 pesar de ser el tetraedro un poliedro de 7or!a si!ple y total!ente regular no e$isten !uc"os ob8etos de uso co!n basados en su 7or!a. Co!o !edio de al!acena!iento es una 7or!a desastrosaB no es posible rellenar el espacio con ella, ue sera la 7or!a de no desperdiciar #olu!en entre las pie;asD ta!poco resulta 7%cil!ente apilable al no tener caras paralelasD y, ade!%s, es !uy ine7ica;B para contener un litro de producto son necesarios !%s de =,0 d!Q de RparedS, !ientras ue utili;ando un cubo con < d!Q es su7iciente. 4
pesar de todos estos incon#enientes, la e!presa sueca 5etra /aT desarroll9 unen#ase de cart9n !etali;ado en 7or!a tetra&drica en la d&cada de A:I, nica!ente porue su 7abricaci9n resultaba singular!ente sencillaB bastaba con enrollar una "o8a de papel 7or!ando un cilindro, para despu&s aplastar sus dos e$tre!os, pero en direcciones perpendiculares, logrando con ello un tetraedro. *n cualuier posici9n ue sea apoyado un tetraedro, uno de sus #&rtices ueda #ertical "acia arriba. /or este !oti#o se basa en su 7or!a la 7abricaci9n de ciertos !odelos de ele!entos !9#iles de bali;a!iento de carreteras ya ue, al ser indi7erente la posici9n en la ue se apoyen, su colocaci9n es r%pida y sencilla, y no pueden ser derribados por los #e"culos.
5etr%podos para escollera.
*s una 7or!a sencilla con gran 7acilidad para trabarse y enganc"arse, puesto ue sus #&rtices son !uy agudos y dirigidos en las cuatro direcciones. /or este !oti#o se busca su 7or!a en ele!entos cuya principal 7unci9n sea enganc"arse, co!o las anclas de barco (en esue!a, un ancla est% 7or!ada por las dos aristas opuestas de un tetraedro unidas por su perpendicular), o trabarse entre s, co!o las escolleras de "or!ig9n ar!ado para de7ensa contra el olea8e. *$isten al !enos tres !odelos de uso 7recuente basados en la 7or!a de un tetraedro regularB •
os tetr%podos, 7or!ados por cuatro troncos de cono colocados segn las alturas de un tetraedro regular, entre sus #&rtices y su centro.
+olos para escollera. •
os doloses (plural de dolos), diseados por el ingeniero *ric V. Verri7ield, 7or!ados por tres pie;as rectas, dos !ateriali;ando las aristas opuestas de un tetraedro regular y una tercera uni&ndolas por su perpendicular.
•
os aT!on (yunque), desarrollados en el aboratorio de Nidr%ulica de +el7 (/ases @a8os), de 7or!a si!ilar a los doloses, pero !%s robusta.
4 principios del siglo WW 4le$ander Xra"a! @ell, in#entor del tel&7ono, e$peri!ent9 intensa!ente conco!etas, con el 7in de desarrollar el #uelo tripulado con #e"culos !%s pesados ue el aire, y lleg9 tras una serie de e$peri!entos a esta 7or!a. as co!etas tetra&dricas est%n co!puestas de !ltiples celdas con 7or!a de tetraedro, en el ue se !ateriali;an nica!ente dos de sus caras. leg9 a construir co!etas enor!es, 7or!adas por un gran n!ero de estas celdas.
+ado para 8uego de rol.
*n AI= construy9 una de 3.3A3 celdas ue arrastr9 con un barco de #apor, siendo capa; de ele#arla :I ! con un tripulante a bordo. Yntent9 despu&s otras construcciones an !%s grandes, y euipadas con !otor, pero no dieron el resultado deseado. 4 los !otores les 7altaba potencia y las construcciones resultaban 7r%giles en e$ceso, por lo ue abandon9 el proyecto, dedic%ndose a otras acti#idades. a sonda espacial Vars /at"7inder de la >44 ta!bi&n tu#o 7or!a de tetraedro, cuyas caras se abrieron co!o p&talos al a!arti;ar, el 6 de 8ulio de AA=, para per!itir la salida del robot o8ourner ue lle#aba en su interior. Etra aplicaci9n pr%ctica del tetraedro es la de dar 7or!a al dado de cuatro caras, cuya notaci9n escrita es Rd6S 6 y al ue se utili;a sobre todo en nu!erosos 8uegos de rol. 4l no !ostrar este dado una cara "acia arriba, suele lle#ar !arcado el #alor de la tirada en los #&rtices o en la base.
Véase también-editar • •
5etraedro de Geuleau$ 4ne$oB*cuaciones de 7iguras geo!&tricas
Notas y referencias -editar 1. 2. ".
1ol#er arribaZ 5sipTin. Manual de matemática 1ol#er arribaZ Y. "ariguin. Problems in olid !eometry 1ol#er arribaZ 4plicando ue el %rea total es 6 #eces la de la cara.
#.
1ol#er arribaZ +iceP/lay, p%gina [eb especiali;ada en 8uegos basados en el uso de dados (en ingl&s)
Bibliografía complementaria -editar •
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@ 4 , \. \. GouseD Co$eter, N. . V. (A?=). Mat$ematical recreations and essays (en ingl&s) (3.] edici9n). >ue#a HorTB +o#er /ublications. Y@> I6?<0:3:=I. C 4V/E >*\V4> , uis *.D Gaeder 1ogel, /ablo N. (A?0). !eod%sicas& trazo básico . V&$icoB Uni#ersidad Yberoa!ericana.Y@> Aue#a HorTB Fo"n \iley ^ ons. Y@> I6=:I6:?I. ___ (A=). undamentos de geometra. V&$icoB *ditorial i!usaP\iley. ___ (A=3). *egular polytopes (en ingl&s) (3.] edici9n). >ue#a HorTB +o#er /ublications. Y@> I6?<<6?I?. CGY5CNE\, Oeit" (A=I). +rder in space& a design source boo (en ingl&s). >ue#a HorTB 1iTing /ress. CGEV\*, /eter G. (AA=). Poly$edra (en ingl&s). Ca!bridgeB Ca!bridge Uni#ersity /ress. Y@> I:0<<6I::. CU>+H, Nenry VartynD Gollett, 4rt"ur /ercy (A<). Mat$ematical models (en ingl&s) (0.] edici9n). ondresB E$7ord Uni#ersity /ress. NY@*G5 , +a#idD Co"nP1ossen, tep"an. -nsc$aulic$e !eometrie (en ale!%n). ___D ___ (A:0). !eometry and t$e imagination (en ingl&s). 5rad. por /. >e!enyi. >e[ HorTB C"elsea /ublis"ing Co!pany. Y@> I?0?AA?6. NE+*>, 4lanD Vorrison ( n%e inger), /"ylis (A?0). rystals and crystal gro/ing (en ingl&s). Ca!bridgeB 5"e VY5 /ress.Y@> I0<0:?I:II. ___ (A=). $apes, space and symmetry (en ingl&s). >ue#a HorTB Colu!bia Uni#ersity /ress. Y@> I6?<0 A?I06:?:?. /UXN, 4nt"ony (A=<). Poly$edra& a 0isual approac$ (en ingl&s). @erTeleyB Uni#ersity o7 Cali7ornia /ress. Y@> I:0II3I:<=. U55E>, +aud (0II0). Platonic -rc$imedean solids . \ooden @ooTs (en ingl&s). \alTer ^ Co!pany. Y@> I?I0=3?<<. ___ (0II:). lidos platnicos y arquimedianos . a a#entura de la ciencia. 1ol. <. *diciones Eniro. Y@> ?6A=:63<. \*>>Y>X*G , Vagnus F. (A=6). Poly$edron models (en ingl&s). ondresB Ca!bridge Uni#ersity /ress. Y@> I:0IA?:AA. \YY4V, Gobert \. (A=A). 3$e geometrical foundation of natural structure& a source boo of design (en ingl&s). >ue#a HorTB +o#er /ublications. Y@> I6?<03=0AW. •
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Enlaces externos-editar
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\iTi!edia Co!!ons alberga contenido !ulti!edia sobre etraedro. \iTcionario tiene de7iniciones y otra in7or!aci9n sobre tetraedro. N 4G5, Xeorge \. R5"e `i#e /latonic olidsS. 4irtual Poly$edra (en ingl&s). Consultado el 0I de 8unio de 0I3. itio con !iles de poliedros !ostrados en realidad #irtual. V 4*+*G, Go!an *. R5etra"edronS. 3$e 5niform Poly$edra (en ingl&s). Consultado el 0I de 8unio de 0I3. itio con una lista de los =: poliedros uni7or!es. \eisstein, *ric \. R5etra"edronS. *n \eisstein, *ric \. Mat$6orld (en ingl&s). \ol7ra! Gesearc". \eisstein, *ric \. RGegular 5etra"edronS. *n \eisstein, *ric \. Mat$6orld (en ingl&s). \ol7ra! Gesearc".
CategorasB `iguras geo!&tricas 9lidos plat9nicos /oliedros +eltaedros /ris!atoides /oliedros autoduales
