teoriadeconjuntos

 TEORÍA DE CONJUNTOS OBJETIVOS: Establecer correctamente la noción de conjunto y su notación. Utilizar adecuadamente los símbolos de pertenencia e inclusión y representar los conjuntos adecuadamente. Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal. • Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Leis !arroll . •  • 

• 

Noción de Conjunto Concepto no definido del cual se tiene una un a idea idea subje subjeti tiva va y se le asoc asocia ian n ciertos sinónios tales coo colección! a"rupación o reunión de obje bjetos abstra abstracto ctos s o concr concreto etos s denoi denoinad nados os  #inte"rantes$ u eleentos susceptibles de ser coparados. Ejeplos: • %os d&as de la seana • %os pa&ses del continente aericano. • %os ju"adores de un e'uipo de f(tbol.

Notación )eneralente se denota a un conjunto con s&bolos 'ue indi'uen superioridad y a sus inte"rantes u eleentos ediante variables o letras in(sculas separa separadas das por coas coas y enc encerr errado ados s con llaves. Ejeplo: seana}

*

+

{los

d&as

de

la

B + {a! e! i! o! u}

Relación de Pertenencia , Pertenencia ,∈Se esta establ blec ece e esta esta rela relaci ción ón sólo sólo de  #inte"rante$ a conjunto y epresa si el inte"rante indicado fora parte o no del conjunto considerado.  #....pertenece a .....$ : ∈  #... no pertenece a ..$: ..$: ∉ Esto 'uiere decir 'ue dado un  #inte"rante u eleento$ eleento$ y un conjunto Inte"rante ∈ conjunto u eleento ∉ Ejeplo: C + {/!0! {/!0}! 1! /2} • 0 ∈ C

3 ∉ C {/!0} ∈ C {1} ∉ C

• • •

incorrecto

Determinación Determinación de un Conjunto Cons Consis iste te en prec precis isar ar corr correc ecta tae ent nte e 'ue 'ue #ele #elee ent ntos os$$ for foran an part parte e de dell conjunto. 4uede 5acerse de 0 foras: a) Por Extensión o forma tabular. Cuando Cuando se indica indica "enerale "eneralente nte a todos y cada uno de los inte"rantes Ejeplo:

* + {a! e! i! o! u} C + {0!6!2!3}

Es evidente 'ue el orden en el cual son listados los #eleentos$  del conjunto no afecta el 5ec5o de 'ue pertenece a 7l. 8e este odo en el conjunto * + {a!e!i!o!u} + {a!o!u!i!e} 9o todos todos los conjun conjuntos tos pueden pueden ser e epre presad sados os por etens etensión ión!! entonces se recurre a otra fora de deterinación. b) Por Comprensión o forma constructiva Cuando se enuncia una pro propied piedad ad 'ue 'ue car caracter teria ia a todos los eleentos del conj conjun unto to!! de tal tal ane anerra 'ue 'ue cada obje bjeto 'ue "oa de la propiedad pertenece al conjunto y todo todo ele eleen ento to de dell conj conjun unto to "oa de la propiedad encionada. Es'uea

; ,se lee #tal 'ue$-

*+ ..........................
B+ C+


Cardinal de un Conjunto

{n;n es una vocal} {n=>/ ; n ∈ ?? !/ ≤ n ≤ @}

CONJN!O" N#ER$CO" %.

Conjunto de los n&meros naturales I9 + {/!0!A!6....} EJ /@ ∈ I9 I9 O + I9 + {D!/!0!A!....} Observación Cero ,D- es natural

'.

plicación $$ 8eterinar por etensión y coprensión los si"uientes conjuntos 4 + {0! 2! /0! 0D!...! /D/DD}  + {AG/;∈ ?? ∧ > A H  H A }

Conjunto de los N&meros Enteros ?? + {...! >A! >0! >/! D! /! 0!

Se llaa 9(ero Cardinal de un conjunto * a la clase de los conjuntos coordinables con * ,es decir el n(ero cardinal es una clase de e'uivalencia-. Vul"arente se acostubra a sealar 'ue el n(ero cardinal! es el n(ero de eleentos del conjunto * y se denota coo n ,*- ó card ,*Ejeplo: * + {A! 2! F! /0! /1} entonces n ,*- + 1 4 + {0!0!A!A!A!1!@} entonces n ,4- + 6

A! ...} 3 8 ∉ ?? ! > 06 ∈ ??

(.

Conjunto de los N&meros Racionales  + {a;b ; a ∈ ?? ∧ b∈ ?? ∈ b ≠

D} 3

A ∈  por'ue : A +

Dia*ramas de +enn , Euler Es la representación "eo7trica de un conjunto ediante una re"ión de plano liitado por una fi"ura "eo7trica cerrada en cuyo interior se indican los #eleentos$ 'ue foran el conjunto Ejeplo: * {a!b!c!d!e} *

1 5

10 D!1 ∈  por'ue D!1 + D!AAA... ∈   por'ue D!AAA... + 1 3 π  + A!/6/1F0... ∉  por'ue π ≠

a  b

plicación $ 8ado el conjunto B + {/! π! {π}! 0 {/}! {/!0}!A} Indicar 'ue proposiciones son verdaderas o falsas  {π} ∈ B  {/} ∈ B  / ∈ B  {A} ∉ B  {/!0} ∈ B  π ∉ B

. a . c

.b .d .e

Dia*rama -e/is , Carroll) Su verdadero nobre es C5arles> 8o"ston autor de #*licia en el pa&s de las aravillas$ utiliando un len"uaje ló"ico  ateKtico utilia el 8ia"raa en conjuntos disjuntos 5aciendo partición del universo. Ejeplo: L : Lobres  : ujeres S : Solteros C : Casados M : Muan

H

M F

S C

Clases de Conjuntos Relación de $nclusión ,⊂Subconjunto Conjunto

⊂ ⊂

Conjunto Conjunto

Se dice 'ue un conjunto estK incluido en un se"undo conjunto! cuando todos los #eleentos$ del priero foran parte del se"undo conjunto. ⊂ : #incluido o contenido$  * ⊂ B: #* esta contenido en B$ 

 #* es subconjunto en B$   #B contiene a *$  * ⊂ B ≡ ∀  ∈ * :  ∈ * →  ∈ B

B A

%os conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de eleentos diferentes 'ue poseen se"(n esto teneos: Minito: Si posee una cantidad liitada de #eleentos$ es decir el proceso de contar sus diferentes eleentos terina en al"(n oento. Ejeplo: 9 + {An G 0 ; n ∈ ?? ∧ / ≤ n ≤ 6} 9 es finito pues n ,9- +6 4 + {; es un d&a de la seana} 4 es finito pues n ,N- + @ Infinito: Si posee una cantidad iliitada de #eleentos$. Ej:  + {; ∈  ∧ / H  ≤ 0}  es infinito pues n ,- + ...

/.

Observación: El vac&o estK inclu&do en cual'uier conjunto. Conjuntos Disjuntos o jenos 8os conjuntos se denoinan disjuntos cuando no poseen nin"(n eleento en co(n. Ejeplo: C + { ;  es un 5obre} 8 + { ;  es una ujer} ∴ C y 8 son disjuntos > Si dos conjuntos son disjuntos abos serKn diferentes. > Si dos conjuntos son diferentes entonces no siepre serKn disjuntos. Ejeplo: E + {1!0!a!b} ! M + {6!A!c!d} E y M son disjuntos → E ≠ M ) + {/!A!c!d!@}! L + {0!3!e!f!c} ) ≠ L pero ) y L no son disjuntos 8e a5& 'ue * y B son coordinables! lue"o: n ,*- + n ,B-

0.

Conjuntos Especiales Vac&o o 9ulo. Es a'uel conjunto 'ue carece de #eleentos$. 9otación φP { }. Ej.: * + {;o H  H 1 ∧ = + /DD} + { } + φ  ∀* : φ ⊂ *  φ ≠ {φ}  φ ≠ {{ }} Nnitario o Sin"leton ,sin"ularEs a'uel conjunto 'ue tiene un solo eleento. B + {; Q D ∧ = + F} + {A} *plicación: Si los si"uientes conjuntos son unitarios e i"uales! calcule a G b G c. * + {,0a G b-P c} B + {,0c > @-P ,1b G 0-}

A.

Nniversal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular! 'ue contiene a todos los conjuntos considerados. 9o eiste un conjunto universal absoluto y se le denota "eneralente por N.

Ejeplo: * + {0!2!/D!/0} B + {GA; es ipar ∧  D HH /D} 4odrKn ser conjuntos universales para * y B N + {; ∈I9 ∧  H /A} N + {D!0!6!2!3!....} 6.

1.

Conjunto de Conjuntos: Tabi7n se le denoina failia de conjuntos o clase de conjuntos y es a'uel conjunto cuyos eleentos son todos conjuntos. Ejeplo: C + {{0!A}! {A}! {a}! {2!b}! φ} 8 + {{a!b!c}! {0!A!2}! {2}! c! 3} Se observa 'ue: C es failia de conjuntos 8 no es failia de conjuntos 4otencia El Conjunto de 4otencia de *! llaado tabi7n #Conjunto de 4artes de *$! es a'uel 'ue estK forado por todos los subconjuntos posibles 'ue posee el conjunto *. 9otación 4,*Ejeplo: * + {!y} 4,*- + {φ! {}! {y}! {!y}} n ,4,*-- + 6  %os subconjuntos φ! {}! {y} son denoinados propios. 9R subconj. + n ,4,*-- + 0n,** Ejeplo: B + {; es prio y  H /D} B + {0!A!1!@} → n ,B- + 6

 Nº subconjunt os  4   = 2 = 16 de B   9R subconj. + 0n,*- > / 4ropios *

 Nº subconjunt os  4   propios de B  = 2 − 1 = 15   2.

4ar Ordenado Es un conjunto de 0 eleentos para los cuales se considera el orden en 'ue estKn indicados. 9otación ,a! bSe lee #par ordenado a! b$  a: /R coponente b: 0R coponente ,a!b- + ,c!d- ⇔ a + c ∧ b + d

OPERC$ONE" CON CONJN!O" Nnión ,N-: %a unión de 0 o Ks conjuntos es a'uel conjunto conforado por la a"rupación de todos los eleentos de los conjuntos 'ue intervienen. * N B + {; ∈ * ∨  ∈ B} U  A

Ejeplo:

B

* + {0!A!1}! B + {/!@!1} ∴ * N B + {0!A!1!/!@}

Si: * ⊂ B → * N B + B Intersección ,∩- %a intersección de los conjuntos * y B es el conjunto forado por todos los eleentos 'ue pertenecen a #*$ y #B$ a la ve. * ∩ B + {; ∈ * ∧  ∈ B}

 A

B

Ejeplo:

* + {0!A!6!1!2} B + {6!2!@!F} ∴ * ∩ B + {6!2}

pertenecen al conjunto universal N pero no al conjunto *. *c + * + {; ∈ N ∧  ∉ *} + N *

Si * ⊂ B → * ∩ B + * Si * y B son disjuntos! * ∩ B + φ 8iferencia ,>- El conjunto diferencia ,*> B- es a'uel 'ue esta forado (nicaente por los eleentos 'ue pertenecen a * pero no pertenecen a B.

Ejeplo N + {; ∈ I9 !  H 3} * + {/!A!6} ∴*c + {D!0!1!2!@}

*  B + {; ∈ * ∧  ∉ B}  A

B

Ejeplo

* + {0!6!1!2!@!3} B + {/!A!2!@!F} ∴ *  B + {0!6!1!3} PROBLEMAS RESUELTOS

B  * + {/!A!F} Si * ⊂ B → * ∆ B + B  * Si * y B disjuntos! * ∆ B + * N B

/.

8iferencia Si7trica %a diferencia si7trica de dos conjuntos * y B es el conjunto forado por todos los eleentos 'ue pertenecen a * o B pero no a abos.

Resolución 8ados 'ue los conjuntos * y B Son unitarios se debe cuplir: * + {FD! a.b} ∴ a.b + FD .... ,/-

* ∆ B + {; ∈ ,* N B- ∧  ∉ ,* ∩B-} Ejeplo: *+ B+ ∴ * ∆ B +

B + {0A! aGb} ∴ aGb + 0A ... ,0-

{3!@!2!1!6!0} {F!@!2!A!/} {0!6!1!3!/!A!F}

Resolviendo: a + /3 P b + 1

Si * ⊂ B → * ∆ B + B  * Si * y B disjuntos! * ∆ B + * N B Complemento de  ,C*! *c!

8ados los conjuntos unitarios * + {FD! a.b} B + {aGb! 0A} Lallar la diferencia entre a y b

0.

A!

*0El copleento de * es el conjunto forado por los eleentos 'ue

P ab+A

Lallar el cardinal de * si * + {D!/!/!0!A!1!3!.... 11} Resolución

Observaos en los eleentos del conjunto *

Se verificarK la sua de 0 t7rinos consecutivos da coo resultado el tercer t7rino. D!/!/!0!A!1!3!/A!0/!A6!11 ∴ n ,*- + /D A.

8ado el conjunto * + {1!A {A}! @! {F!//}! /6} CuKntas proposiciones son verdaderas I. 1 ∈ * IV. {A} ⊂ * II. {{A}} ⊂ * V. {F!//} ⊂ * III. {@!/6} ∈ * VI. φ ⊂ * Resolución

I. II.

1 ∈ a ,V{{A}} + * ,V-

III.

@!/6 ∈  * ,M- ya 'ue la relación ∈ se da sólo entre inte"rante ,sin"ular y su conjunto{A} ⊂ * ,V{F!//} ⊂ * ,M4uesto 'ue {F!//}  es un inte"rante para * y la relación inte"rante conjunto se da solo en pertenencia φ ⊂ * ,V4uesto 'ue el conjunto vac&o estK incluido en cual'uier conjunto

IV. V.

VI.

6.

Si * + B Calcular ab * + {Aa>3! 66} B + {/D! ba > 0D} Resolución Si * + B {Aa  3! 66} + {/D! ba > 0D}

b

∴ a  + 2= + A2
1.

CuKntos subconjuntos propios tiene el conjunto   + {; ∈ ?? P >@ H 6  G / H 0/} Resolución >@ H 6 G / H 0/ >3 H 6 H 0D >0 H  H 1 →  + >/! D! /! 0! A! 6  + {>/!D!/!0!A!6} → n ,- + 2

9R sub conjuntos + 0n,-/ + 02>/ + 2A
 2.

Indicar el cardinal del conjunto



 x+ 1





3



R =  x/

ε Z + ,  x< 17

Resolución 4ara calcular el cardinal del conjunto <. LabrK 'ue saber cuantos valores toa  de acuerdo a las restricciones dadas en el conjunto <.

4ara  H /@ y 'ue verifi'ue 'ue  x+ 1 3

ε Z +  entonces  + 0!

// solaente %ue"o < + {0!//} → n,<- + 0
8ados el conjunto * + {a {a}! {∅}!∅} cuKntas de las si"uientes proposiciones son verdaderas. I. {a} ∈ * ∧ {a} ⊂ * II. {a} ⊂ * ∧ {{a}} ∈ * {∅} ⊂ * ∧ {{∅}} ∈ * III. ∅ ⊂ * ∧ ∅ ∈ * IV. V. {a!∅} ⊂ * ∧ {{a}!{∅}} ⊂ * Resolución I. {a} ∈ * ∧ {a}⊂ * P p∧' ,V4

Aa  3 + /D → Aa + /3 → a + 2 66 + ba  0D → ba + 26
' V∧V II. {a} ⊂ * ∧ {{a}}∈ * P p∧' 4

'

V∧M

III. {∅} ⊂ * ∧ {{∅}}∈ * P p∧' 4

,M-

'

V∧M

,M-

IV. ∅ ⊂ * ∧ ∅ ∈ * P p∧' 4

,VResolución Ntiliando dia"raa C*<
V∧V V. {a!∅} ⊂ * ∧ {{a}!{∅}} ⊂ * p∧' ,VV∧V
'

En un salón de clase de /DD alunos! 5ay die 5obres provincianos! 5ay 6D ujeres lieas y el n(ero de ujeres provincianas ecede en /D a n(ero de 5obre lieos.

CuKntos 5obre 5ay en el aula

4rovincianos

%ieos

/D

U

Lobres

UG/D

6D

ujeres

N: /DD

8el Total /D G  G  G/D G 6D + /DD 0G2D + /DD →  + 0D ∴  nR 5obres + /D G  + AD
PRO1E#" RE"E!O" /.

8ados los conjuntos * + {2!{0}! {φ}} y B + {φ! {φ}! {{0}}! {{2}} Lallar 4,*- ∩ B Resolución Coo * + {2!{0}! {φ}} ⇒ 4 ,*- +

{2}! {{0}}! {{φ}} {2!{0}}!{2!{φ}}!{{0}!{φ}} *! φ

*deKs B + {φ! {φ}! {{0}}! {2}} %ue"o: 4,*- ∩ B + {φ! {{0}}! {2}} 
8ado el conjunto * * + {/!0!{0}! {/!0}} Indicar el valor de verdad de las si"uientes afiraciones I. {/!{0}} ⊂ * II. {{/!{0}}} ∈ 4 ,4,*-{φ! {0}} ∈ 4 ,*III.

a- VVV b- VMV c- VMM d- MVV e- VVM Resolución *naliando cada caso {/!{0}} ⊂ * I. ⇒ / ∈ * ∧ {0} ∈ * + Verdadero

II.

III.

V V {{/!{0}}} ∈ 4,4,*-⇒ {{/!{0}}} ⊂ 4,*≡ {/! {0}} ∈ 4,*≡ {/! {0}} ⊂ 4,*≡ {/! {0}} ⊂ * ≡ / ∈ * ∧ {0} ∈ * + Verdadero V V {φ! {0}} ∈ 4,*⇒ {φ! {0}} ⊂ * ≡ φ ∈ * ∧ {0} ∈ * ≡ Malso
A.

V

8e un "rupo de /DD alunos! 6F no llevan el curso de *rit7tica! 1A no llevan Kl"ebra y 0@ no llevan Kl"ebra ni arit7tica. CuKntos alunos llevan uno de los cursos

a- 12 b- 16 c- 10 d- 1D e- 63 Resolución Sea * : *rit7tica U : *l"ebra n,*- + 6F → n ,*- + /DD  6F + 1/ n,U- + 1A → n ,B- + /DD  1A + 6@

2r3ficamente  A (51)

x (47) a

b

c 27

%levan un solo curso 4or dato: c G 0@ + 6F → c + 00 a G 0@ + 1A → a + 02 %ue"o a G c + 63 6.

 Rpta. E

8urante un eaen se observó en un aula 'ue /1 alunos iraban al tec5o y no usaban lentes! /D usaban lentes y resolv&an el eaen. El n(ero de alunos 'ue usaban lentes y iraban al tec5o era el doble de los 'ue resolv&an el eaen y no usaban lentes. Si en el salón 5ab&a 31 alunos. CuKntos resolv&an su eaen ,considere 'ue los 'ue no resolv&an su eaen iraban al tec5oa- 0D b- 01 c- 06 d- AD e- A2

Resolución: )rKficaente:
iran al tec5o

lentes a

/1

10 2a

En total: Aa G 01 + 31 Aa + 2D a + 0D ∴ 
Rpta. D

8ados los conjuntos *! B y C

* + {/!0!A!6!1!2!....!0/!00} B + { ∈ * ;  es un n(ero prio} C + { ∈ *;  es un n(ero ipar}  las proposiciones: I. B ∆ C + {/!0!F!/1!0/} II ,B ∩ C- tiene #@ eleentos$  III n ,C  B-  n ,B > C- + 0 IV. n [*  ,B ∪ C-] + F Son verdaderas: aI! II y III cII! III y IV eI y II Resolución

bd-

I! III! IV I! II y IV

* + {/!0!A!6!1!2!....!0/!00} B + {0!A!1!@!//!/A!/@!/F} C + {/!A!1!@!F!//!/A!/1!/@!/F!0/} 2raficando * B

C

.00

.6

.0D

./ .A .1.@.// /A./@ ./F

.0

 ./1 ./D

./2

.F

.2 .3

./3

.0/

 ./6

./0

%ue"o: I. B ∆ C + {/!0!F!/1!0/} ∴ ,VII n,B ∩ C- + @ ∴ ,VIII. n ,C > B-  n ,B > c- + 0

IV.

2.

6 / + A ∴ ,Mn,*  ,B > C-- + F ∴ ,Mn,*  ,B ∪ C-- + /D Rpta. E Si * + { es ipar ;2 H  ≤ //}

 3n − 1  ∈ Z / 0 < n < 7   2 

B+ Calcular n [4[,*  B-  ,B  *-]] a- 00D b- 000 c- 006 d- 002 e- 003 Resolución: * + {@!F!//} 1 3n − 1  3n − 1  ∈ Z /− < < 10  2 2  2  B+ B + {D!/!0!A!....!F} n[*B  B*] + n[*B] > n [*B ∩ B  *] n[*B  B*] + A  /D  0  0 + 02 n[4[*B  B*]] + 002 @.

8e AD3 personas interro"adas! se deterinó 'ue el n(ero de los 'ue leen solaente  #E% **NT*$ y #E% VOCE


3  de los 'ue leen solo #E% **NT*$  1



4 de los 'ue leen solo #E% E
1



7  de los 'ue leen solo #E% VOCE


3  de los 'ue leen #E% **NT*$ y #E% VOCE


6  de los 'ue leen #E% VOCE


12  de los 'ue leen #E% **NT*$ o #E% E
Si todas las personas interro"adas leen al enos uno de estos diarios. CuKntas de estas personas leen o bien #E% **NT*$ o bien #E% VOCE
2a

308  A

V

7a

6a

4a

M

03a + AD3 ∴ a + // // 9os piden Aa G @a + /Da + //D Rpta.  PROBLEMAS PARA LA CLASE

/.

Si: * + {1!{2}!{1!2}!3} CuKntas proposiciones son verdaderas > 1 ∈ * > {2} ∈ * > 2 ∈ * > @ ∈ * > {1} ∈ * > {{2}} ⊄ * > {1!2} ∈ * > {{2}!3} ∈* > {3} ⊂ * > ∅ ∈ * a- / d- 6

0.

b- 0 e- Todas

c- A

8ados los conjuntos: * + {/!0! {/!0}!A} B + {{0!/}! {/!A}!A} Lallar el conjunto: W,*>B- ∩ BX ∪ ,B>*a- {/}

b) {3}

c) {{1,3}}

d) {2,3} A.

e) {1,2,3}

8e un "rupo de /DD estudiantes se obtuvo la si"uiente inforación: 03 estudian In"l7sP AD estudian aleKn! 60 estudian franc7sP 3 in"l7s y aleKnP /D in"l7s y franc7s: 1 aleKn y franc7sP A los tres idioas. CuKntos estudiantes no estudian nin"(n idioa a- /1 b- 01

6.

Nna persona coe pan con ante'uilla o erelada cada aana durante el es de febreroP si 00 d&as coió pan con erelada y /0 d&as con ante'uilla. CuKntos d&as coió pan con erelada y ante'uilla a- 2

1.

b- 3

b- A1 c- 6D

d- 0D e- 01

b- 0

c- A d- 6

e- 1

4ara los conjunto * y B se tienen 'ue: * ∩ B tiene /03 subconjuntos! *>B tiene 26 subconjuntos y *  B tiene /30 eleentos. 8eterinar el cardinal de * ∆ B. d- /A

e- /6

8urante el es de febrero! Juan visitó a su enaorada! fue a la Nniversidad o trabajo. Si no 5ubo d&a en 'ue se dedicara a sólo dos actividades y adeKs visitó /0 d&as a su enaorada! fue a la universidad /3 d&as y trabajó 0D d&as 8urante cuKntos d&as sólo trabajó a- /

/D.

d- 06 e- 01

CuKntas de las si"uientes proposiciones! para conjunto! son correctas  *>B + * ∩ B  *∪B + ,* ∆ B- ∪ ,* ∩ B ,*∪B- + * ∩ B  n,*> B- + n,*- >n,B nW,* ∩ B-X + n,∪->n,* ∩ B-

a- /D b- // c- /0 F.

e- 1

8e una reunión de /DD personas se sabe de ellas 'ue 6D no tienen 5ijos! 2D son 5obres! /D ujeres estKn casadas! 01 personas casadas tienen 5ijos! 5ay 1 adres solteras. CuKntos 5obres son padres solteros

a- / 3.

d- /0

b- 0D c- 0A

a- AD @.

c- /D

En una copetencia atl7tica con /0 pruebas participaron 60 atletas! siendo los resultados: 6 con'uistaron edalla de oro plata y bronceP 2 de oro y plata! 3 de plata y bronceP @ de oro y bronce. CuKntos atletas no con'uistaron edalla a- /3

2.

c- /D d- AD e- 0D

b- @

c- F

d- //

e- 2

Considere A conjuntos *!B y C contenidos en N! tales 'ue:  B ∩ * + B  n,C> *- +1D  n,* ∩ C- + 0n,B>C nW,* ∩ B-C > CX + n,c- + FD Lallar: nWNX a- /0D d- 0DD

b- /1D e- /DD

c- /3D

//.

En una reunión 5ay /1D personas. Nn "rupo de ellos se retiran con sus respectivas parejas! de los 'ue 'uedan los 0;F son ujeres y los A;/6 son varones solteros. CuKntas ujeres asistieron en total a- 03 b- AD c- A2 d- 6D e- 63

/0.

En una tienda se observó 'ue el total de personas era 1D! de las cuales:  2 vendedores usaban bi"otes  6 vendedores usan andil  A0 vendedores no usan andil  3 personas usan bi"otes  F personas usan andil CuKntos no son vendedores! ni usan andil! ni bi"otes a- @

/A.

b- 2

c- 1

d- 6

e- A

Sean los conjuntos:

 

A =  4 + 3  /

 

B = 1 −  3 /  2

+3

 ∈ Z!−7 <  < 10!  ∈ Z 2 

    + 2     ≥ 2 ∧  0 <   ∈ !  Z   < 5           3    

Calcular n W4,* ∆ B-X a- 0/2 d- 0/F /6.

c- 61

d- 1D

e- 11

b- @

c- /1

d- A/

e- 2A

CuKntos de los /2DD alunos estKn inscritos en teatro pero no en canto! sabiendo 'ue: 2DD estKn inscrito en teatro! 21D en canto! 01D en teatro y baile! A1D en canto y baile! 0DD en teatro y cantoP F1D en baile! /1D llevan los A cursos a- 6DD d- 11D

/@.

b- 6D

* y B son dos conjuntos tales 'ue: n,* ∪ B- + /0P n,* ∩ B- + @P n,*- + n,B- G /P sabiendo 'ue: n,* > B- + n,W* ∪ B-0 X. Calcular CuKntos subconjuntos propios tiene * a- A

/2.

c- 0/0

En el distrito de Bellavista  Callao se realió una encuesta a /6D failias sobre el uso de al"unos de los si"uientes artefactos: TV! radio! refri"eradora. Se obtuvo la si"uiente inforación: 31 failias tiene por lo enos 0 artefactos y /D failias no disponen de nin"(n artefacto. CuKntas failias tienen eactaente un sólo artefacto a- A1

/1.

b- 0F e- 00/

b- 61D e- 2DD

c- 1DD

Siplificar la epresión conjuntista: W* ∩,C∆*-X∪WB∩C-C∩*-X∪WB∪,*∩BC-X

a- * d- * ∪ BC /3.

b- B e- * ∪ B

c- BC

En un va"ón de tren se realian una encuesta sobre el uso de ci"arrillos. 8e los 6/ pasajeros! 0/ personas estKn sentadas y 5ay /2 ujeres en totalP de los 'ue fuan 1 5obres estKn sentados y 0 ujeres estKn paradasP de los 'ue no fuan 3 ujeres estKn sentadas y /D 5obres estKn parados. Lallar cuKntas ujeres 'ue estKn paradas no fuan si los 'ue fuan en el total suan /F. a- / b- 0 c- A d- 6 e- 1

PROBLEMAS DE CONJUNTOS 1. De un grupo de 100 estudiantes se otu!o "a siguiente in#or$a%i&n' () estudian *ng"+s, -0 estudian a"e$n/ ( estudian #ran%+s, ) ing"+s  a"e$n, 10 ing"+s  #ran%+s' 2 a"e$n  #ran%+s, - "os tres idio$as. 3Cuntos estudiantes no estudian ning4n idio$a5 a6 12 6 (2 %6 10 d6 -0 e6 (0 (. Una persona %o$e pan %on $ante7ui""a o $er$e"ada %ada $a8ana durante e" $es de #erero, si (( d9as %o$i& pan %on $er$e"ada  1( d9as %on $ante7ui""a. 3Cuntos d9as %o$i& pan %on $er$e"ada  $ante7ui""a5 a6 : 6 ) %6 10 d6 1( e6 2 -. En una %o$peten%ia at"+ti%a %on 1( prueas parti%iparon ( at"etas/ siendo "os resu"tados'  %on7uistaron $eda""a de oro p"ata  ron%e, : de oro  p"ata/ ) de p"ata  ron%e, ; de oro  ron%e. 3Cuntos at"etas no %on7uistaron $eda""a5 a6 1) 6 (0 %6 (d6 ( e6 (2 . De una reuni&n de 100 personas se sae de e""as 7ue 0 no tienen d6 11 e6 :

a "a s&"o a "a s&"o

:. En una reuni&n son $u=eres  "os -?1 son !arones so"teros. 3Cuntas $u=eres asistieron en tota"5 a6 () 6 -0 %6 -: d6 0 e6 ) ;. 3Cuntos de "os 1:00 a"u$nos estn ins%ritos en teatro pero no en %anto/ saiendo 7ue' :00 estn ins%rito en teatro/ :20 en %anto/

(20 en teatro  ai"e/ -20 en %anto  ai"e/ (00 en teatro  %anto, >20 en ai"e/ 120 ""e!an "os - %ursos5 a6 00 6 20 %6 200 d6 220 e6 :00 ). En un !ag&n de tren se rea"i@an una en%uesta sore e" uso de %igarri""os. De "os 1 pasa=eros/ (1 personas estn sentadas  . a6 1 6 ( %6 d6  e6 2 >. En una tienda se oser!& 7ue e" tota" de personas era 20/ de "as %ua"es'  : !endedores usaan igotes   !endedores usan $andi"  -( !endedores no usan $andi"  ) personas usan igotes  > personas usan $andi" 3Cuntos no son !endedores/ ni usan $andi"/ ni igotes5 a6 ; 6 : %6 2 d6  e6 10. En e" se%tor de *srae" en Pau%arpata se rea"i@& una en%uesta a 10 #a$i"ias sore e" uso de a"gunos de "os siguientes arte#a%tos' T/ radio/ re#rigeradora. Se otu!o "a siguiente in#or$a%i&n' )2 #a$i"ias tiene por "o $enos ( arte#a%tos  10 #a$i"ias no disponen de ning4n arte#a%to. 3Cuntas #a$i"ias tienen ea%ta$ente un s&"o arte#a%to5 a6 -2 6 0 %6 2 d6 20 e6 22