Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica El éctrica Materia: Teoría electromagnética I Actividad: auntes de li!reta Anna A!igail "ua#ardo &'()'*& $amíre% Anayeli "uerrero +ávila & ''*),Emil Emilio io $odr $odríg ígue ue% % +omí +omíng ngue ue% % &-.&-.-,, ,,/ro0esor: M121 Alor Aguilar 21 3ora: 4&
Teorí T eoría a electrom el ectromagn agnétic ética a 5ndice Ley de coulom! &
2amo eléctrico e intensidad de camo eléctrico &&
Ley de "auss &,
Teorema de la divergencia &6
Energía7 tra!a#o y volta#e otencial *&
2aacitores ,&
Teorí T eoría a electrom el ectromagn agnétic ética a 5ndice Ley de coulom! &
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Teorema de la divergencia &6
Energía7 tra!a#o y volta#e otencial *&
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Ley de coulomb La ley de Coulomb Coulomb señala que la fuerza fuerza F(N) con que dos cargas cargas eléctricas Q y q(C) se atraen o reelen es roorcional al cuadrado de la distancia r (m) que las seara!
Qq F = K 2 r
" es la constante constante eléctric eléctrica a del medio! medio!
Cuando las dos cargas tienen igual signo# la fuerza es ositi$a e indica reulsi%n! &i ambas cargas oseen signos ouestos# la fuerza es negati$a y denota atracci%n! 'n mucos casos es til el conceto de camo eléctrico# que se uede de*nir como la fuerza or unidad de carga! +sí ara una carga Q# el modulo del camo eléctrico roducido a una distancia r es
E= K
Q r
2
!
La e,istencia de m-s de una carga roduce en cada unto un con.unto de fuerzas indi$iduales cuya resultante $ale cero el camo eléctrico en ese unto también es cero! &e a comrobado que las cargas iguales se reelen y las contrarias se atraen! Las rimeras mediciones cuantitati$as de la fuerza entre entre dos cuero cueross cargad cargados os (carg (cargas as untua untuales les)) fuero fueron n reali realizad zadas as or el cientí*co e ingeniero francés Carles Coulomb en /012! Coulomb rob% la ley que lle$a su nombre matem-ticamente esta ley se reresenta3
4e lo anterior se obtiene3
K ∗q 1 ¿ q 2 F = 2 r
F5 Fuerza de atracci%n o reulsi%n q5 Cargas 6untuales r5 4istancia que seara las cargas 2
"5 Constante de roorcionalidad roorcionalidad (7,/27 &tatcoulomb3
m N 2 C
)
Fa
qq r
2
&e de*ne como la carga que reele a otra carga igual y del mismo signo# con una fuerza de una dina# cuando las cargas est-n searadas un cm! 6ara la unidad de carga Coulomb se utilizan los +meres(+) Coulomb3 's la carga que se trans*ere a tra$és de cualquier secci%n trans$ersal de un conductor en un segundo en el cual circula una corriente constante de +mere! 'qui$alencia de Coulomb3 /C5 8,/27 unidades electrost-ticas electrost-ticas e5 /!9,/2:7 C
&
/mC5 /2:9 C
Considere ; cargas cargas untuales untuales de /2 aC (;#<#9) (;#<#9) y /= fC (:/#:8#:=)! Con estos $alores encuentre la fuerza resultante de Q/ a Q; y de Q; a Q/! KQ 1 Q 2 F Q 1 Q 2 = ∗aQ 1 Q 2 2 R Q 1 Q 2
aQ 1 Q 2 =
( X − X ) a x + ( Y −Y ) a y +( Z − Z ) a z X − X ) + ( Y −Y ) + ( Z − Z ) √ ( X 2
1
aQ 1 Q 2 =
1
2
2
aQ 1 Q 2 =
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
(−1−2 ) a x + (−3 −4 ) a y + (−5 −6 ) a z √ (−3 ) + (−7 ) + (−11) 2
2
2
(−3 ) a x +(−7 ) a y + (−11) a z 179 √ 179
aQ 1 Q 2 =−0.22 a x −0.52 a y −0.82 a z 9
F Q 1 Q 2 =
(
) (15∗10− ) ∗−0.22 a x − 0.52 a y −0.82 a z ( √ 179 179 ) −18
15
9∗10 10∗10
2
− 24
F Q 1 Q 2 =−1.659∗10
−24
a x −3.92∗10
−24
a y −6.18∗10
a z N
z Q/
y
Q; (:/#:8#:=) ,
* 8 cargas untuales de /22 nC# ;=2 C y =22 >C# est-n colocadas en (8#:0#9)# (:1#<#/;)# (=#/2#/=)! Con estas condiciones encuentre la fuerza de Q/ a Q;# de Q; a Q8# de Q8 a Q/ y $ice$ersa KQ 1 Q 2 F Q 1 Q 2 = ∗aQ 1 Q 2 R Q 1 Q 2
aQ 1 Q 2 =
( X − X ) a x + ( Y −Y ) a y +( Z − Z ) a z √ ( X − X ) +( Y −Y ) + ( Z − Z ) 2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
+e 8& a 8* aQ 1 Q 2 =
aQ 1 Q 2 =
(−8 −3 ) a x +( 4 +7 ) a y + (12 −6 ) a z √ (−11) +( 11 ) +( 6 ) 2
2
2
(−11) a x + (11 ) a y + ( 6 ) a z √ 278
aQ 1 Q 2 =−0.65 a x + 0.65 a y + 0.35 a z
9
F Q 1 Q 2 =
(
) (250∗10− ) ∗−0.65 a x + 0.65 a y + 0.35 a z ( √ 278 ) −9
12
9∗10 100∗10
2
F Q 1 Q 2 =−526.07∗10
−12
− 12
a x + 526.07∗10
−12
a y + 283.27∗10
a z N
+e 8* a 8& F Q 2 Q 1 =− F Q 1 Q 2 −12
F Q 2 Q 1 =526.07∗10
−12
a x −526.07∗10
a y −283.27∗10
−12
a z
+e 8* a 8, aQ 2 Q 3 =
aQ 2 Q 3 =
( 5 + 8 ) a x +( 10 −4 ) a y + ( 15−12 ) a z √ ( 13 ) +( 6 ) + (3 ) 2
2
2
( 13 ) a x +( 6 ) a y +( 3 ) a z √ 214
aQ 2 Q 3 =0.88 a x + 0.41 a y + 0.205 a z
( 9∗10 )( 250∗10− ) ( 500∗10− ) = ∗0.88 a x + 0.41 a y + 0.205 a z ( √ 214 ) 9
F Q 2 Q 3
12
6
2
−6
−6
6
F Q 2 Q 3 =4.62∗10 a x + 2.155∗10 a y + 0.205∗10 a z N
+e 8, a 8* F Q 3 Q 2 =− F Q 2 Q 3 −6
−6
6
F Q 3 Q 2 =−4.62∗10 a x −2.155∗10 a y − 0.205∗10 a z
+e 8, a 8& aQ 3 Q 1 =
( 5 −3 ) a x +( 10 +7 ) a y + ( 15−6 ) a z
√ ( 2 ) +( 17 ) +( 9 ) 2
2
2
,
aQ 3 Q 1 =
( 2 ) a x + (17 ) a y +( 9 ) a z √ 374
aQ 3 Q 1 =0.103 a x + 0.879 a y + 0.465 a z
( 9∗10 )( 100∗10− ) ( 500∗10− ) = ∗0.103 a x + 0.879 a y + 0.465 a z ( √ 374 ) 9
F Q 3 Q 1
9
6
2
−6
−3
−6
F Q 1 Q 2 =124 ¨ 10 a x + 1.05∗10 a y + 5 53∗10 a z
+e 8& a 8, F Q 1 Q 3 =− F Q 3 Q 1 −6
−3
−6
F Q 1 Q 3 =−124 ¨ 10 a x −1.05∗10 a y −553∗10 a z
Q8 Q/ (8#:0#:
Q; (:1#<#/;)
. Considere 8 cargas untuales# todas del mismo signo de tal forma que la rimera carga est- en (2#;#2)# la segunda (2#:<#2) y la carga de rueba en el origen! ?tilizando la Ley de Coulomb encuentre la relaci%n de Q/ a Q; si ambas est-n afectadas or la carga de rueba y establezca si est-n en equilibrio y orqué!
KQ 1 Q 2 F Q 1 Q 2 = ∗aQ 1 Q 2 R Q 1 Q 2
F 1= F 2 KQ 1 Qp KQpQ 2 ∗a Q 1Q 2= ∗aQpQ 2 RQ 1 Qp RQpQ 2 Q1 2
R Q 1Qp
=
Q2 2
RQpQ 2
2
2 Q 1 R Q 1 Qp 2 4 = 2 = 2= Q 2 RQpQ 2 −4 16
4 Q 1=Q 2
Q;
Q
Q/
'
Considere una $arilla dieléctrica que a tra$és de ella e,isten dos esferas# una m%$il y otra *.a! Considere que la m%$il tiene una carga de
KQ 1 Q 2 2
RQ 1 Q 2
F E= m∗g
KQ 1 Q 2 m∗g = 2 R Q 1 Q 2 KQ 1 Q 2 m∗ g
RQ 1 Q 2=
RQ 1 Q 2=
√
( 9∗10 ) ( 5 ) ( 4 ) 9
0.010∗9.8
6
RQ 1 Q 2=1.35∗10 m
A%$il Q5
-
Considere < cargas untuales que est-n en la abscisa B:< y ordenada B: < resecti$amente y tienen un $alor de /2 nC! &i todas las cargas est-n afectadas or una carga de rueba en las coordenadas (2#2#8) y tiene un $alor de = nC! Con esta condici%n encuentre la fuerza total sobre la carga de rueba! F T = F 1+ F 2 + F 3 + F 4
F 1=
KQ 1 Qp 2
RQ 1 Qp
aQ 1 Q 2 =
aQ 1 Q 2 =
∗aQ 1 Qp
( 0 −4 ) a x + ( 3 −0 ) a z √ (−4 ) + ( 3 ) 2
2
4 a x + 3 a z 5
( 9∗10 ) ( 10∗10− ) (5∗10− ) 9
9
9
25
F 1=
∗4 a x + 3 a z
5
−8
.8
F 1=−1.44∗10 a x −1.08∗10 a z .8
F T =1.08∗10 ∗4 a z −8
F T =−43.2∗10 a z
/ro!lema de Internet móvil
&e desea instalar redes de internet que abarquen coordenadas de (9#=#9) que tengan /;C de fuerza de señal y otras m-s con 1Cde señal en (:=#<#:;)! aQ 1 Q 2 =
aQ 1 Q 2 =
(−5− 6 ) a x + ( 4− 5 ) a y +(−2 −6 ) a z
√ (−11 ) +(−1 ) + (−8 ) 2
2
(−11) a x + (−1 ) a y + (−8 ) a z √ 186
2
aQ 1 Q 2 =−0.806 a x − 0.073 a y −0.586 a z
6
( 9∗10 ) ( 12 ) (8 ) 9
F Q 1 Q 2 =
186
∗−0.806 a x −0.073 a y −0.586 a z
9
6
9
F Q 1 Q 2 =−3.74∗10 a x −339∗10 a y − 2.72∗10 a z
/ro!lema de satélites
Considere un satélite en el unto (<# 0=#92) con una carga de =22 nC! Calcule la fuerza resultante entre dico satélite y un celular ubicados en el unto (8#:=#1) con una carga de /=2 fC! x =rcos ( ∅ )∗ sen ( θ )= 4∗cos60 ° ∗sen 75 ° =2.449 y =r ∗senθ∗sen ∅ =4∗sen 60 °∗cos75 ° = 0.896 z =r ∗cos θ =4∗cos 75 ° = 1.035
aQ 1 Q 2 =
( 3 −2.449 ) a x +(−5− 0.896 ) a y +( 8 −1.035 ) a z √ 0.551 + (−5.896 ) + ( 6.965 )
aQ 1 Q 2 =
( 3 −2.449 ) a x + (−5− 0.896 ) a y + ( 8 −1.035 ) a z √ 0.551 + (−5.896 ) + ( 6.965 )
aQ 1 Q 2 =
2
2
2
2
2
2
( 0.551 ) a x + (−5.896 ) a y + ( 6.965 ) a z √ 9.142
( 9∗10 ) ( 500∗10− ) ( 150∗10− ) 9
F Q 1 Q 2 =
9
9.142
15
∗( 0.551 ) a x + (−5.896 ) a y + ( 6.965 ) a z
√ 9.142
aQ 1 Q 2 =( 13.45∗10
−12
) a x + (−435∗10− ) a y + ( 514∗10− ) a z 12
12
/ro!lema de celulares
'n la ciudad de Aonterrey est-n instaladas dos antenas de telefonía m%$il# la rimer torre DaE est- en (8#1#/;) con una carga de /2>C y la torre DbE en (0#/<#//) con /;>C! ?n usuario telcel est- ubicado en (<#7#1) con =aC Calcule la fuerza entre el usuario y las antenas DaE y DbE
9 Antena a; aQ 1 Q 2 =
aQ 1 Q 2 =
( 4 −3 ) a x + ( 9 −8 ) a y +( 8 −12 ) a z √ ( 1 ) + (1 ) +(−4 ) 2
2
( 1 ) a x + 1 a y +(− 4 ) a z √ 18
( 9∗10 ) ( 5∗10− )( 10∗10− ) ∗(1 ) a x + 1 a y + (−4 ) a z 9
F Q 1 Q 2 =
18
√ 18 −15
aQ 1 Q 2 =
6
18
F Q 1 Q 2 =5.8910∗10
aQ 1 Q 2 =
2
− 15
a x + 5.89∗10
a y −24∗10
( 4 −7 ) a x + ( 9 −14 ) a y + ( 8−11 ) a z √ (−3 ) + (−5 ) + (−3 ) 2
2
(−3 ) a x −5 a y + (−3 ) a z √ 43
2
−15
a z
( 9∗10 ) ( 5∗10− )( 12∗10− ) 9
18
6
43
F Q 1 Q 2 =
∗(−3 ) a x −5 a y +(−3 ) a z
√ 43 −15
F Q 1 Q 2 =−5.74∗1 0
−15
a x −9.57∗10
− 15
a y −5.74∗10
a z
/ro!lema de T141
Cu-l es la intensidad de la señal que $a desde una antena acia un tele$isorG
9∗10 ( 8∗10 9
F Q 1 Q 2 =
−9
) ( 2.3∗10− ) 9
( 3 Km )2 −15
F Q 1 Q 2 =18.4∗10
N
( /ro!lema de antenas de microondas
'n una carretera ay ; antenas# la rimera en las coordenadas (=#/;#1) y la segunda en (=#;2#7)! ?n coce asa or las coordenadas (1#/=#/2)! 4e cual antena recibe una mayor intensidad de señal el radio de ese coce! 6rimera antena
aQ 1 Q 2 =
( 8 −5 ) a x + ( 15 −12 ) a y + ( 10− 8 ) a z √ ( 3 ) +( 3 ) + ( 2 ) 2
2
2
aQ 1 Q 2 =
( 3 ) a x + ( 3 ) a y +( 2 ) a z √ 22
&egunda antena aQ 1 Q 2 =
aQ 1 Q 2 =
( 8 −5 ) a x +( 15 −20 ) a y +( 10 −9 ) a z √ ( 3 ) + (−5 ) + ( 1 ) 2
2
2
( 3 ) a x + (−15 ) a y + (1 ) a z √ 35
/ro!lema de $FI+
?n auto con una tar.eta HFI4 que emite una onda de radio con una carga de /;C que asa or la rimer caseta de cobro localizada en las coordenadas (0#/0#;2) desués continua su trayectoria y asa or la ;da caseta en (=#/2#9) emitiendo la misma onda de radio! Con estos $alores cu-l ser- la fuerza resultante entre las casetasG aQ 1 Q 2 =
aQ 1 Q 2 =
( 5 −7 ) a x + ( 10 −17 ) a y + ( 6 −20 ) a z √ (−2 ) + (−7 ) + (−14 ) 2
2
2
(−2 ) a x +(−7 ) a y + (−14 ) a z √ 249 9∗10 ( 12 ) ( 12 ) 9
F Q 1Q 2 =
249
∗(−2 ) a x + (−7 ) a y + (−14 ) a z √ 249
F Q 1 Q 2 =(−659∗1 0 ) a x + (−2.3∗10 ) a y + (−4.617∗10 ) a z 6
9
9
&)
Camo eléctrico e intensidad de camo eléctrico
'l camo eléctrico se de*ne como la fuerza eléctrica or unidad de carga! La direcci%n del camo se toma como la direcci%n de la fuerza que e.ercería sobre una carga ositi$a de rueba! 'l camo eléctrico est- dirigido radialmente acia fuera de una carga ositi$a y radialmente acia el interior de una carga untual negati$a! 'l camo eléctrico de una carga untual se uede obtener de la ley de Coulomb!
E=
KQ r
2
'l camo eléctrico est- dirigido radialmente acia afuera de una carga untual en todas las direcciones! 'l camo eléctrico de cualquier nmero de cargas untuales# se uede obtener or la suma $ectorial de los camos indi$iduales! ?n camo dirigido acia fuera se toma como ositi$oJ el camo de carga negati$a est- dirigido acia el interior de la carga! La unidad con la que se mide es
N C
! La letra con la que se reresenta el camo eléctrico es
la '! +l e,istir una carga sabemos que ay un camo eléctrico entrante o saliente de la misma# ero este es comrobable nicamente al incluir una segunda carga denominada carga de rueba y medir la e,istencia de una fuerza sobre esta segunda carga! Los camos eléctricos est-ticos se generan or cargas eléctricas *.as en el esacio# y son distintos de los camos que cambian con el tiemo# como los camos electromagnéticos generados or electro domésticos# que utilizan corriente alterna! Campo eléctrico de una carga lineal:
'l camo eléctrico de una carga lineal in*nita con una densidad de carga uniforme se uede obtener usando la ley de Kauss! Campo eléctrico de una carga superfcial:
La carga suer*cial de las artículas ace referencia al otencial eléctrico que resentan# es decir# si est-n cargadas ositi$a o negati$amente o si# or el contrario# no resentan carga cuando est-n en soluci%n! Campo eléctrico de una carga volumétrica:
&e emlea ara cueros que tienen $olumen
p=
encerrada en el cuero y el $olumen se mide en
Q V
donde Q es la carga
C 3
m
!
&&
Considere ; cargas untuales# la rimera de ellas de /= aC y est- en (;#<#9) y la segunda es de ;22 aC y est- en (:/#:8#:=)! Con estas condiciones se ide encontrar el camo total en el origen! ET = E1 + E2
E=
Q 4∗π ∗ R
a R 1=
a R 1=
2
∗a R
(−2 ) a x −( 4 ) a y − ( 6 ) a z √ 2 + 4 +6 2
2
(−2 ) a x −( 4 ) a y − ( 6 ) a z √ 56 −18
15∗10
4∗π ∗56
E1=
∗(−2 ) a x −( 4 ) a y −( 6 ) a z √ 56
E1=−5.69∗10
a R 2=
a R 2=
−21
a x −11.39∗10
−21
−21
a y −17.09∗10
( 1 ) a x + ( 3 ) a y + ( 5 ) a z √ 1 + 3 + 5 2
2
( 1 ) a x + ( 3 ) a y +( 5 ) a z √ 35 −18
200∗10
E1=
2
4∗π ∗35
∗( 1 ) a x + ( 3 ) a y + (5 ) a z √ 35
E1=( 76.8∗10
−27
ET = E1 + E2
) a x + ( 230∗10− ) a y + ( 384∗10− ) a z 27
27
a z
−21
ET =−5.69∗10
−21
a x − 11.39∗10
a y −17.09∗10
a z+ ( 76.8∗10
− 21
−21
−21
ET =−5.28∗10
−27
a x −11.3 8∗10
) a x +( 230∗10− ) a y + ( 384∗10− ) a z 27
−21
a y −17.08∗10
27
a z
&*
Ley de Kauss 'l @u.o eléctrico total fuera de una suer*cie cerrada es igual a la carga encerrada# di$idida or la ermiti$idad! 'l @u.o eléctrico a tra$és de un -rea# se de*ne como el camo eléctrico multilicado or el -rea de la suer*cie royectada sobre un lano erendicular al camo! La ley de Kauss es una ley general# que se alica a cualquier suer*cie cerrada! 's una erramienta imortante uesto que nos ermita la e$aluaci%n de la cantidad de carga encerrada# or medio de una cartografía del camo sobre una suer*cie e,terior a la distribuci%n de las cargas! 'l conceto del @u.o eléctrico es de utilidad en la asociaci%n con la ley de Kauss!
'l @u.o eléctrico a tra$és de un -rea lana se de*ne como el camo eléctrico multilicado or la comonente del -rea erendicular al camo! &i el -rea no es lana# entonces la e$aluaci%n del @u.o requiere generalmente una integral de -rea uesto que el -ngulo estar- combinado continuamente! 'l @u.o eléctrico
a tra$és de un -rea in*nitesimal
$iene dado or3
('l camo eléctrico# # multilicado or la comonente del -rea erendicular a la suer*cie)!
'l @u.o eléctrico a tra$és de una suer*cie S es# or tanto# e,resado or la integral de suer*cie3
4onde es el camo eléctrico y es el $ector diferencial de suer*cie que corresonde a cada elemento in*nitesimal de la suer*cie comleta S! 6ara una suer*cie gaussiana cerrada# el @u.o eléctrico $iene dado or3
La integral de -rea del camo eléctrico sobre cualquier suer*cie cerrada es igual a la carga neta encerrada en esa suer*cie di$idida or la ermiti$idad del $acío! La ley de Kauss es una forma de una de las ecuaciones de Aa,Mell# las cuatro ecuaciones fundamentales de la electricidad y el magnetismo! La ley de Kauss ermite la e$aluaci%n del camo eléctrico en mucas situaciones r-cticas mediante la formaci%n de suer*cies gaussianas simétricas
&, alrededor de una distribuci%n de cargas y la e$aluaci%n del @u.o eléctrico a tra$és de esa suer*cie! Cuando se usa el -rea + en una oeraci%n $ectorial como esta# se entiende que la magnitud del $ector es igual al -rea y la direcci%n del $ector es erendicular al -rea! La ley de Kauss es una erramienta oderosa ara el c-lculo de los camos eléctricos cuando son originados or una distribuci%n de cargas con su*ciente simetría ara oderse alicar! &i la distribuci%n de cargas adolece de la simetría necesaria ara alicarle la ley de Kauss# entonces el camo debe obtenerse# sumando los camos de cargas untuales de los elementos de cargas indi$iduales! Camo eléctrico ' r%,imo a una carga untual3 &uer*cie gaussiana# elegimos una suer*cie esférica de radio (r) centrada en la carga! : ' es radial y su magnitud deende solo de la distancia a la carga! :' tiene el mismo $alor en todos los untos de nuestra suer*cie esférica! 'l @u.o neto a tra$és de esta suer*cie es ues3
neto Pero la ley de Gauss nos da
neto Igualando obtenemos
&. Fuerzas de Coulomb e intensidad del camo eléctrico O5
∮ D !s
45 densidad del @u.o eléctrico (cPm;) O 5 @u.o eléctrico ',iste una relacionen entre la densidad del @u.o eléctrico y el camo eléctrico O5 -rea
∮ D !s
O5 Q Q 5 4 R ds
Q 5 4 ds Srea de esfera < r; Q 5 4 R <r ;
ds 5 suer*cie 5 -rea
Q54R
45
Q 4 πr ²
Q 4 π Ɛ ˳ R ²
'5
'5
D Ɛ˳
4 5 UV '
'ncuentre el @u.o eléctrico a tra$és de un lano situada en ,58 el cual estlimitado ara y 5 :/ a ; z5 2 a < considere que la densidad del @u.o eléctrico es igual a z ² 2 √ x + y ² 45 (¿)ay + "an 2 xayax −cos ¿
(e, B ey) az (cPm;)
/
!s =!y!zax
z
2
√ x + y y e ˟+ e ) az ( !y!zax ) (¿) ay + tan n ˡ ¿ Y =∮ D !s =∮ ( 2 xy ax )= cos ¿ 2
2
2
y z
y !y !z =2 x [¿¿ | z|] 2
∫¿ −1
4
ʃ 2 xy !y !z =2 x
∫¿ 0
¿ 2 x W; : XY W
&'
4e la siguiente *gura encuentre el @u.o eléctrico total en el centro del cubo si la densidad del @u.o es igual a
∮
D =2 x ax −3 ay
( ) c
2
m
∮ ( 2 x ax−3 ay ) ( !y!zax )+∮ ( 2 x ax− 3 ay ) ( !y !z ( ax ))
Y = D !s=
Y =∮ D !s =∮ ( 2 x ax −3 ay ) ( !x!zay ) + ∮ (2 xax −3 ay ) ( !x!z (−ay )) Y =∮ D !s =∮ ( 2 x ax −3 ay ) ( !x!y az ) + ∮ (2 x axz −3 ay ) ( !x!y (−az ) ) Y =∮ [ y ] [ z ] − 2 x [ y ] [ z ] −3 [ x ] [ z ] + 3 [ x ] [ z ]
Y =2 x [ 2 ] [ 2 ]− 2 x [ 2 ] [ 2 ] −3 [ 2 ] [ 2 ] + 3 [ 2 ] [ 2 ] 8 x −8 x −12 + 12
8 ( 1 ) −8 ( −1 )
8 + 8 =16 c
Considere una carga untual e ;c centrada en el origen y una carga lineal de =c sobre metro situado a lo largo del e.e z una carga suer*cial de < cPmZ situada en el lano y5< con estas condiciones encuentre a) 'l @u.o eléctrico a tra$és de una esfera centrada en el origen cuyo radio es 58 b) 'l @u.o eléctrico total a tra$és de un cilindro cuyo radio 28 y estlimitado ara z de / a 0 c) 'l @u.o eléctrico total a tra$és de un cubo centrado en las coordenadas (2# 8# 2) cuyas aristas miden 1 unidades or lado 3
a)
∫ ∫ # !e
Y =Q +
−3 3
∫ 5 !z
Y =2 +
−3
Y =2 + 5 z ∨¿
Y =2 + 5 ( 3 $ 3 )
Y =2 + 30 =32 c 7
b)
7
∫∫ # !e =∫ 5 !z
Y =
−1
1
5 z ∨¿ 5 ( 7 −1 ) =30 c
c) O 5 Q B
∫ # !e +∫ % !s
7
7
7
¿ 2∫ 5 !z +∫ ∫ 4 !x !z −1
−1 −1
¿ 2 + 5 z ∨+ 4 [ x ] [ z ]
( 7 −( 1−¿)) ¿ ( 7 −(−1 ) ) + 4 ¿ ¿ 2+ 5 ¿ ¿ 2 + 40 + 256 =298 c
&-
Teorema de la di$ergencia Teorema de divergencia
'l teorema de la di$ergencia# conocido también como el teorema de Kauss# establece una forma analítica del c-lculo de la integral de un camo $ectorial sobre una suer*cie como una simle integral de $olumen! 'secí*camente el teorema de la di$ergencia dice que3
4onde & es una suer*cie cerrada cuyo interior contiene al $olumen # F es un camo $ectorial arbitrario# y n es como siemre# el $ector unitario normal a la suer*cie! 'l @u.o de F a tra$és de la suer*cie & es igual a la di$ergencia de F tomada a tra$és del $olumen !
4onde & es la suer*cie de la esfera , ;By;Bz;5a;# y F5,8iBy8 .Bz8[# y cuyo 5
resultado fue /;π
a
5
Helaciona el @u.o de un camo $ectorial a tra$és de una suer*cie cerrada con la integral de su di$ergencia en el $olumen delimitado or dica suer*cie! &ea ' una regi%n simle solida cuya suer*cie frontera & tiene una orientaci%n ositi$a (acia afuera)! &ea F un camo $ectorial cuyas funciones comonentes tienen deri$adas arciales continuas sobre una regi%n abierta que contiene a '! 'ntonces3
4onde el $ector n normal a la suer*cie aunta acia el e,terior del $olumen ! este resultado es una consecuencia natural del Teorema de &to[es# el cual generaliza el Teorema fundamental del c-lculo! 'l teorema fue enunciado or el matem-tico alem-n Carl Friedric Kauss en /18=# ero no fue ublicitado asta /190! 4ebido a la similitud matem-tica que tiene el camo eléctrico con otras leyes físicas# el teorema de Kauss uede utilizarse en diferentes roblemas físicas gobernados or leyes in$ersamente roorcionales al cuadrado de la distancia como la gra$itaci%n o la intensidad!
&6 '$alué or ambos lados el teorema de la di$ergencia del @u.o eléctrico total centrado en el origen si la densidad del @u.o eléctrico es igual a ;, ´ −3 ay ´ ( c / m ²) ax
∫ ( ∇ D ) !&
∫
D !s =
∇ D=
¿
45 ;,
' (x ' (y ' (z + + 'x 'y 'x
' ( 2 x ) ' ( 3 ) ' ( 0 ) + + 'x 'y 'z
2 + 0 + 0 =2
1
1
1
∫ ( ∇ D ) !y =∭ 2 !x!y!z =2 ∫ ∫ ∫ !x!y !z −1 −1 −1
2 [ x ] [ y ] [ z ]
5 *<*=<*=<*= > &-c
ax ´ −3 ay ´
( ) c
m
2
1
1
∫ ∫ x ² !x !y !z = 103 x ³| y| z∨¿ − 1 −1
1
ʃ ( ) D )=10
∫¿ −1
80 c 3
10
(;)(;)(;) 5
3
∮ D!s =
10 3
¿
¿
3
x
40 3
40 3
10 3
1
x
3
1
1
10
1
∫ ∫ !y!z ax´ − 3 x ³ ∫ ∫ !y!z −1 −1
−1 −1
( 2 ) ( 2 )− 10 x ( 2 ) ( 2 ) 3
3
x ³−
+
40 3
40 3
=
x ³=
40 3
( 1 ) − 40 (−1 ) 3
3
3
80 3c
4e la siguiente *gura e$alué or ambos lados el teorema de la di$ergencia la 10
densidad del @u.o eléctrico es igual a
4
r ³ ar ´
( ) en coordenadas c
m
2
cilíndricas! 4e tal forma que ara r de / a ;!
&9 Aétodo largo
∮
∫ 104 r ³ ( R !*!z ) ( ar )−∫ 104 r ³ ( R!*!z ) (−ar)
Y = D !s=
2
10 4
R
4
4
10
π
∫∫ !*!z − 104 R [ * ] [ z ] 4
0
10
4
10
0
R [ * ] [ z ] − 4
R
50 R
10 4
R [ * ] [ z ] 4
[ 2 π ] [ 10 ] − 10 R [ 2 π ] [ 10 ]
4
4
4
4
50 ( 2 )
4
π −50 R π 4
4
π −50 ( 1 ) π
800 π −50 π = 750 πc
4i$ergencia método corto 1
) D= ! r
(
r
10 3 r 4
!r
)´
ar
∫ ( ∇ D ) !& =∫ 10 r r!r!*!z 2
∇ D 1=10 r ²=
10 2 / π 2
10
∫ ∫ ∫ R !r!*z 3
0
10
0
[ ] r
1
4
4
[ * ] [ z ] =10
[ ][ 15 4
] [ ] =750 πc
2 π 10
&( '$alué ara ambos lados del teorema de la di$ergencia ara la siguiente 5
*gura# si la densidad del @u.o eléctrico es igual a esféricas donde π
r5
4
∫ 54 r ² ( r !ɵ !* )−∫ 54 r
∮
Y = D !s=
2
( r ! ɵ! * )
2
5 4
5 4
5 4
π π
r
3
∫∫ !ɵ !*− 54 r 0
[ ɵ ] [ *]
0
[ ] 2
r [ π ] 3
r ³
3
π
− r [ π ]
2
π ³ 3
3
4
5
π ³
4
3
− r ³
[ ] 2
5
π
2
=80
π ³ 2
−
π ³ 2
) D= 5 r
∫ ( ∇ D ) !& =∫ 5 r r sen ɵ!ɵ !ɵ !r 2
π / 4 π
4
∫ ∫ ∫ R sen ɵ !ɵ !r 3
5
0
5
0
0
[ ][ r
4
4
+ cosɵ ] [ ɵ ]= 5
¿ 251.32 c
[
( 4) 4
4
−
] [
(0 ) 4
4
−( 0 ) π + ( 0 ) 0 ]
[] π 4
4
r ² ar ´
en coordenadas
*)
'nergía# traba.o y $olta.e otencial Traba.o3 &e entiende or traba.o a la cantidad de fuerzas multilicada or la distancia que recorre dica fuerza! ]ay que tener en cuenta que la direcci%n de la fuerza uede o no coincidir con la direcci%n sobre la que se est- mo$iendo el cuero! 'l traba.o cuando una fuerza mue$e un cuero y libera la energía otencial de este! 'l traba.o T realizado es el roducto de la fuerza or la distancia recorrida! T5 Fd La unidad de traba.o se obtiene multilicando la unidad d fuerza or la unidad de longitud! La e,resi%n Ddirecci%n de la fuerzaE la cual uede ser orizontal# oblicua o $ertical resecto a la direcci%n en que se mue$e el ob.eto sobre el cual se alica la fuerza en tal sentido la Ddirecci%n de la fuerzaE y la Ddirecci%n del mo$imientoE ueden formar un -ngulo si forman un -ngulo# debemos incororar ese dato en nuestra f%rmula ara calcular el traba.o# ara quedar así T5 F cos
∝
d
'nergía3 La energía es una magnitud escalar que se de*ne como la caacidad que tiene un sistema o un entre físico ara realizar un traba.o! 'n la física cl-sica se de*nen di$ersos tios de energía# todas ellas siemre relacionados con el conceto de traba.oJ como or e.emlo la energía mec-nica# que es la combinaci%n o suma de los siguientes tios3
*& 'nergía cinética3 La energía cinética es energía del mo$imiento! La energía cinética de un ob.eto# es la energía que osee como consecuencia de su mo$imiento! La energía cinética de un unto de masa m est- dada or
La energía cinética es una e,resi%n del eco de que un ob.eto en mo$imiento# uede realizar un traba.o sobre cualquier cosa que golee# cuanti*ca la cantidad de traba.o que el ob.eto odría realizar como resultado de su mo$imiento!
La energía como caacidad ara realizar un traba.o es una moneda con$ertible! 6ara darle energía cinética a algo# debemos traba.ar sobre ello! 'ste desarrollo usa el conceto de traba.o# así como la segunda ley de NeMton y las ecuaciones del mo$imiento! 's un caso esecial del rinciio traba.o:energía# un oderoso rinciio general de la naturaleza! 'nergía otencial3 La energía otencial es una energía que resulta de la osici%n o con*guraci%n del ob.eto! ?n ob.eto uede tener la caacidad ara realizar traba.o como consecuencia de su osici%n en un camo gra$itacional# un camo eléctrico# o un camo magnético!
** Integral de la energía otencial &i se conoce la fuerza y es una fuerza conser$ati$a# entonces se uede obtener la energía otencial# integrando la fuerza!
&i una fuerza que acta sobre un ob.eto es una funci%n de su osici%n solamente# se dice que es una fuerza conser$ati$a# y se uede reresentar como una funci%n de energía otencial# que ara el caso de una dimensi%n# satisface la condici%n de deri$ada!
La forma integral de esta relaci%n es
Que se uede tomar como una de*nici%n de la energía otencial! Note que ay una constante de integraci%n arbitraria en la de*nici%n# mostrando con ello# que se uede añadir cualquier constante de energía otencial! olta.e 6otencial3 'l $olta.e# tensi%n o diferencia de otencial es la resi%n que e.erce una fuente de suministro de energía eléctrica o fuerza electromotriz sobre las cargas eléctricas o electrones en un circuito cerrado# ara que establezca el @u.o de una corriente eléctrica! + mayor diferencia de otencial o resi%n que e.erza una fuente de F'A sobre las cargas eléctricas o electrones contenidos en un conductor mayor ser- el $olta.e o tensi%n e,istencia en el $olta.e o tensi%n e,istente en el circuito al que corresonda ese conductor!
*, Considérese una carga de rueba ositi$a en resencia de un camo eléctrico y que se traslada desde el unto A al unto ? conser$-ndose siemre en equilibrio! &i se mide el traba.o que debe acer el agente que mue$e la carga# la dierencia de potencial eléctrico se de*ne como3
'l traba.o uede ser ositi$o# negati$o o nulo! 'n estos casos el otencial eléctrico en ^ ser- resecti$amente mayor# menor o igual que el
otencial eléctrico en +! La unidad en el &I ara la diferencia de otencial que se deduce de la ecuaci%n anterior es _oulePCoulomb y se reresenta mediante una nue$a unidad# el $oltio# esto es3 / $oltio 5 / .oulePcoulomb! ?n electron$oltio (eV ) es la energía adquirida ara un electr%n al mo$erse a tra$és de una diferencia de otencial de / # / e 5 /#9,/2 :/7 _! +lgunas $eces se necesitan unidades mayores de energía# y se usan los [ilo electron$oltios ([e)# mega electron$oltios (Ae) y los giga electron$oltios (Ke)! (/ [e5/2 8 e# / Ae 5 /2 9 e# y / Ke 5 /2 7e)! +sí# si dica unidad de carga recorre un circuito constituyéndose en corriente eléctrica# ésta ir- erdiendo su energía (otencial o $olta.e) a medida que atra$iesa los diferentes comonentes del mismo! `b$iamente# la energía erdida or cada unidad de carga se manifestar- como traba.o realizado en dico circuito (calentamiento en una resistencia# luz en una l-mara# mo$imiento en un motor# etc!)! 6or el contrario# esta energía erdida se recuera al aso or fuentes generadoras de tensi%n! ?sualmente se escoge el unto A a una gran distancia (en rigor el in*nito) de toda carga y el otencial eléctrico a esta distancia in*nita recibe arbitrariamente el $alor cero! 'sto ermite de*nir el potencial eléctrico en un punto oniendo y eliminando los índices3
&iendo el traba.o que debe acer un agente e,terior ara mo$er la carga de rueba desde el in*nito al unto en cuesti%n!
Como
,
al sustituir en esta e,resi%n# se obtiene que
*. &i se toma el unto A in*nitamente ale.ado# y si el otencial al in*nito toma el $alor de cero# esta ecuaci%n da el otencial en el unto ?# o bien# eliminando el subíndice ^#
'stas dos ecuaciones ermiten calcular la diferencia de otencial entre dos untos cualesquiera si se conoce !
@or done in moving a oint cBarge Example 1.
+n electrostatic *eld is gi$en by '5(,P;B;y)a,B;,ay ($Pm)! Find te Mor[ done in mo$ing a oint carge Q5:;2C! a) From te origin to (<#2#2)m b) From (<#2#2)m to (<#;#2)m a) Te *rst at is along te , a,is# so tat dI5 d,a,! x
d5 :Q'(dI)5 (;2,/2 ) ( 2 +2 y ) d, :9
4
5 (;2,/2 ) :9
∫ ( x2 + 2 y ) !x 0
5 12 _
b) Te second at is in te ay direction# so tat dI5dyay! 2
5 (;2,/2:9)
∫ 2 x !y 0
5 8;2 _
2oncentrative roerty o0 tBe electrostatic Celd Example 2.
For te ' *eld of te e,amle /# *nd te Mor[ done in mo$ing te same carge from (<#;#2) bac[ to (2#2#2( along a straigt:line at! ( 0,0,0)
5 (;2,/2 ) :9
∫
( 4,2,0)
[
(
x 2
)
+ 2 y ax +2 xay ]( !xax + !y ay)
( 0,0,0)
5 (;2,/2 )
∫
:9
( 4,2,0)
(
x 2
)
+ 2 y !x + 2 x ! y
*' 1
Te equation of te at is y5,P;J terefore# dy5
2
d, and
0
:9
5 (;2,/2 )
∫ ( 52 x!x ) 4
> :<22 _
From ',amle /# 12B8;25 <22 _ of te Mor[ Mas sent against te *eld along te outgoing rigt:angled at! ',actly tis muc Mor[ Mas returned by te *eld along te incoming# straigt:line at# for a round:tri total of zero (conser$ati$e *eld)! /otential o0 a cBarge distri!ution
',amle 8! + total carge of
40 3
nC is uniformly distributed in te form of a circular dis[
of radius ;m! Find te otential due to tis carge at a oint on te a,is# ;m from te dis[! Comare tis otential Mit tat Mic results if all of te carge is at te center of te dis[! −8
Q 10 ,% = = ( 3 π
R= √ 4 + r
CPm; 2
30
5
π
∫ 0
2
(m)
and
r!r!-
√ 4 +¿ r =49.7 V 2
2 π
∫¿ 0
it te total carge at te center of te dis[# te e,ression for te otential of a oint cange alies3 V =
Q 4 π E0 z❑
40 −9 x 10 3
( ) −9
10 4 π 2 36 π
=60 V
"radient Example 4.
In serical coordinates and relati$e to in*nity# te otential in te region r2 surrounding a oint carge Q is 5 QP<'or! ]ence# '5: 5:
' 'r
(
)
Q Q ar = ar 4 π E0r 4 π E0r 2
In agreement Mit Coulombs laM! ( is obtained in rincile by integrating 'J so it is not surrising tat dierentiation of gi$es bac[ '!)
*Energy in static electric Celds Example 5.
+ arallel:late caacitor# for Mic C5'+Pd# as a constant $oltage alied across te lates! Find te stored energy in te electric *eld! it fringing# te *eld is '5 (Pd) and betMeen te lates and '52 elseMere! 1
'5
2
'5
∫ ɛE 2 !& ɛ
V !
¿ ¿ ¿
2
2
'5
ɛ ( V 2!
'5
1 2 C V 2
+s an alternate aroac# te total carge on one conductor may be found form 4 at te surface $ia Kauss laM! D=
ɛV an !
Q54+5
ɛV( !
Ten
2
ɛ ( V !
5
1 2
QV =
1 1 2
¿
)5
2
2
C V
/! Ki$en te electric *eld '5 ;,a,
*6 Tus 0
5:<
∫ x!x 2
2
B1
∫ y!y 0
5;<_
b)Te straigt:line at as te arametric equations ,5;:;t y5;t z52 Mere 2hth/! ]ence#
d5 :;W;(;:;t)a,:<(;t)ayYW(:;dt)a,B(;dt)ayY5 d5/9(/Bt)dt and 1
5/9
∫ ( 1 +" ) !" 0
5;<_
;! Ki$en te *eld '5("Pr)ar in cylindrical coordinates# soM tat te Mor[ needed to mo$e a oint carge Q from any radial distance r to a oint at tMice tat radial distance is indeendent of r! &ince te *eld as only a radial comonent# d5 :Q'(dI)5 :Q'rdr5
−.Q r
!r
For te limits of integration use r / and r;! 2r1
5:[Q
∫ !rr =−.Q/n 2 r1
Indeendent of r/! 8! For a line carge π
,
P;#2) and ^ is (
5(/2:7P;)CPm on te z a,is# *nd ab# Mere + is (;m# π
#=m)! (
∫
Va0=− E ( !2 ) 1
E=
ere
,/ ar 2 π E 0r
&ince te *eld due to te line carge is comletely in te radial direction# te dot roduct Mit dI results in '#dr!
0r 2 π E¿
¿ ¿ 2¿
10
; <
5 9!;<
−9
¿
(
∫¿ 1
*9
5 :7(ln<:ln/2) 5 1!;=
r^ rC
5 :7(ln;:ln/2) 5 /
r+ rC
+^B ^C 59!;<B1!;=5/
π 3 π / 2 ¿
Mit te resect to (
π ¿ 4
Te equiotential surfaces are concentric serical sells! Let r5;m be + and r5
2
(¿) !r =−4 V 2
∫
V (1 =− ¿ 4
9! + line carge ,/ 5<22 CPm lies along te , a,is and te surface of zero otential asses troug te oint (2#=#/;)m in Cartesian coordinates! Find te otential at (;#8#:<) m! it te line carge along te , a,is# te , coordinates of te tMo oints may be ignored! r+5 √ 9 +16 5=m Ten
r^5 √ 25 + 144 5/8m
r(
∫ 2 ,/ πE r1
!r = 0
− ,/ 2 π E0
ln
r ( r1
= 6.88 V
0! Find te otential at r +5=m Mit resect to r^ 5/=m due to a oint carge Q5=22C at te origin and zero reference at in*nity! 4ue to a oint carge# +^5
1 1 Q ( − ) 4 π E 0 r ( r 1
To *nd te otential dierence# te zero reference is not needed! − 12
500 x 10
+^5
4 π ( 10
36 π
1 5
( −
−9
)
1 ) 15
*( Te zero reference at in*nity may be used to *nd = and /=! =5
Q 4 π E0
( )= 1 5
0.90 V
/=5
( )=
Q 1 4 π E 0 15
0.30 V
Ten +^5 =:/=5 2!92 1! Fi$e equal oint carges# Q5;2nC# are located at ,5;# 8# <# =# 9m! Find te otential at te origin! V =
1 4 π E0
n
Qm
∑= R m
1
m
−9
=
20 x 10
( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) 5;9/ 4π E 2 3 4 5 6
7! TMo tin conducting alf lanes# at
0
∅
52 and
∅
5P9# are insulated from
eac oter along te z a,is! Ki$en tat te otencial function for 2h π
∅
h
P9 is 5(:92 ∅ P π )# *nd te energy stored betMeen te alf lanes for 2!/hhrh2!9m and 2hzh/m! +ssume free sace!
To *nd te energy# '# stored in a limited region of sace# one must integrate te energy density troug te region! ^etMeen te alf lanes#
(
)
' −60 ∅ 60 a = a r '∅ π πr
1
'5: 5:
∅
∅
(Pm)
+nd so π / 6
0.06
60
∫ ∫ πr 0
r!r! ∅ !z =
300 E 0
π
0.1
E =¿
E 0 2
ln 6 =¿ 1.51 n5
1
∫ ¿ 0
6 7 ¿
/2! Te electric *eld betMeen tMo concentric cylindrical conductors at r52!2/m and r52!2=m is gi$en by '5(/2 =Pr)ar# (Pm)# fringing neglected! Find te energy stored in a 2!=# lengt! +ssume free sace! 6 7 E=
1 2
E0 8 +0.5
2 π 0.05
∫ E E !& = 2 ∫ ∫ ∫ 2
0
8
0.01 0.01
10
r
5
r!r! ∅ !z =0.224 5
,)
Caacitores La relaci%n fundamental de los caacitores es3 Q5 C! &i la carga que se distribuye en cada laca del condensador tiene el $alor Q# y si su -rea es +# entonces la densidad suer*cial de carga uniformemente distribuida en la laca ositi$a es E=
9 Q = E0 E0 (
',resi%n que da la magnitud del $ector del $ector de intensidad de camo eléctrico dentro del condensador! Como el camo es uniforme# la diferencia de otencial entre dos untos dentro del condensador cumle3 5 ab5 'd signi*cando que las suer*cies equiotenciales en el interior del condensador son suer*cies lanas aralelas a las lacas! 'n esecial la diferencia de otencial entre las suer*cies internas de las lacas es3 V = E! =
Q! E0 (
&i se considera como DdE a la searaci%n entre lacas! La caacitancia del condensador de lacas lanas aralelas es dado or3 E 0 ( C = !
4e manera an-loga es obtenida la caacitancia del conductor cilíndrico3 C =
2 πE0 # ln (
r1
)
R
Aientras que el esférico tiene la caacitancia3 C =4 π E0 [
R 1 R
]
R 1− R
Las unidades de caacidad son dadas or3 WCY5W' 2YWLY5
Fara!s m
¿
)m5 Farads
'l traba.o realizado ara deslazar una cantidad de carga dq cuando la carga del condensador es q3
,&
'l traba.o total ara cargar el condensador es3
&i ara generar la carga Q en las lacas del condensador se necesit% conectar al condensador con una diferencia de otencial # entonces sustituyendo Q or su equi$alente C# tenemos3
Hecordando que la relaci%n entre diferencia de otencial en el condensador e intensidad de camo eléctrico es dada or3
O que la caacidad del condensador de lacas aralelas es3
La energía en términos de la caacidad y de la diferencia de otencial es3
Que se reduce a3
4ado que el $ector de intensidad de camo eléctrico es uniforme# la energía en el condensador est- uniformemente distribuida en todo su $olumen# la densidad de energía queda entonces dada or la e,resi%n3
+ artir de esa e,resi%n tenemos3
+dquieren $ital imortancia los caacitores que se rellenan con alguna substancia dieléctrica# ellos $en aumentada su caacidad al rellenarse con ellos!
,* ',erimento de Faraday (fundamental) Faraday construy% dos caacitores de lacas lanas aralelas idénticos# rellenando uno totalmente con un dieléctrico y de.ando al otro con el aire en sus condiciones normales! Los caacitores se conectan con la misma diferencia de otencial# la carga en el caacitor relleno de dieléctrico era acrecentada y mayor a la del condensador sin dieléctrico! La caacitancia de un condensador de lacas lanas aralelas rellena totalmente con un dieléctrico de constante dieléctrica!
,, 4emuestre que la siguiente relaci%n se cumle satisfactoriamente! Ɛ&² 1 1 De!: = c & ² 6 = ∫ ∫ /² 2 2 2 1
' 5
D = Ɛ∗ E 1
' 5
2
1
' 5
2
∫ ( ƐE ) E !r ∫ Ɛ E ² !r
'5
& / & Ɛ ( ) ² !& ∫ / 2 1
' 5
Ɛ& ² ∫ /² 2 1
' 5
Ɛ & ² !s∗!/ ∫ /² 2 1
'5
1
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2
' 5
1 2
!& = !x!y!z
/∗/
∫ !/Ɛ∗& !/² !s∗!/ ∫ Ɛ !& ² ∗!s
; /∗; /= !/∗!/
5
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Ɛ& ² !s ∫ !/ 2 1
2
Ɛ& ² !
∫ !s
1 2
!/ = ; /=/ = !
Ɛ & ² ( !
1
5
2
c& ²
,.
C/ 5
Ɛ ( !
C; 5
Ɛ Ɛr (r !2
C T 5
C 1 X C 1 C 1 + C 2
C T 5
Q V
5 088 f
5
C 1
+
1
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C 2
Q T 5 C T T
Q T 5 /;9 nc
Q T 5 Q/ 5 Q; 4 T 5
Q ("
5 ;=;!80 ncPm ;
D" = D 1 + D 2
4/ 5 Uo '/
D = Ɛ∗ E
'/ 5 4PUo 5 ;1!=< [$P
4; 5 Uo Ur;
'; 54 ;P UUr 5 0!/; [$P
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/77!07 5 ;22 5 X C T T; 5 /!;9 /2 := _
