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TEMA III DISTRIBUCIONES TEORICAS DE PROBABILIDAD
Objetivos del Tema
Lograr que el estudiantes sean capaz de: - Cono Conocer cer los los conce concept ptos os de variab variable le aleato aleatoria ria,, varia variable ble aleat aleatori oria a discre discreta ta y continua y distribución teórica de probabilidad. - Iden Identitififica carr y cara caract cter eriz izar ar las las dist distri ribu buci cion ones es prob probab abililís ístitica cas: s: BI! BI!"I "I#L #L,, $!I% $!I%%! %!, , & ! !'" '"#L #L.. & calc calcula ularr proba probabil bilid idad ad (acien (aciendo do uso uso de las las tabl tablas as correspondientes. - Conocer las distribuciones distribuciones C(i-Cuadrado, C(i-Cuadrado, t de de %tudent y ) de )is(er y el c*lculo de probabilidad (aciendo uso de las tablas correspondientes. Autopreparación del Tema III III
+l aluno debe conocer que debe doinar lo que es una variable aleatoria, y poder identificar las variables aleatorias discretas y continuas, así coo doinar que es una función de probabilidad y coo a travs de ellas puede calcular prob probab abililid idad ad.. +n el caso caso de las las vari variab able less alea aleato tori rias as disc discre reta tass se calc calcul ula a probab probabili ilidad dad sua suand ndo, o, ien ientr tras as que que en el caso caso de las las variab variables les aleat aleatori orias as continua continuass se calcula calcula probabilida probabilidad d integrando integrando.. ebe saber saber que la función función de distribución tiene arcada iportancia en las variables aleatorias continuas ya que perite el c*lculo de probabilidad a travs de las propiedades de la isa sin necesidad de integrar. $articular iportancia tienen las distribuciones Binoial, $oisson y oral, ya que que cono conoci cien endo do las las cara caract cter erís ístitica cass de esta estass dist distri ribu buci cion ones es el c*lc c*lcul ulo o de probab probabili ilidad dad se (ace (ace uy uy f*ci f*cill utiliz utilizand ando o las las tabl tablas as que e/is e/iste ten n para para cada cada dist distri ribu buci ción ón.. ebe ebe qued quedar ar uy uy clar claro o para para ust ustedes edes que que en el caso caso de la distribución distribución noral, que es una distribución distribución que corresponde corresponde a variable continua, est* est* tabulad tabulada a la )unción )unción de distribució distribución, n, de a(í la iport iportanci ancia a de conocer conocer sus propiedades propiedades para el c*lculo de probabilidades. probabilidades. +n el caso de las distribuciones C(i-cuadrado y 01%tudent, el ob2etivo fundaental est* est* en el ane ane2o 2o de la tabla tabla para el c*lcul c*lculo o de probabi probabilid lidade adess ya que su aplicación se estudiar* estudiar* en la +stadística +stadística "ate*tic "ate*tica a II. +stas dos distribuciones distribuciones tabin tabin son variables aleatorias aleatorias continuas, continuas, por lo que, lo que est* tabulada en la tabla es la función de distribución, por lo tanto es v*lido lo planteado planteado en el p*rrafo anterior. Los aspectos fundaentales de este tea son: 3. eter eterinar inar el espacio espacio uestral uestral de un e/peri e/perient ento o aleatorio aleatorio ediante ediante el uso de variables aleatorios. aleatorios. 4. Calc Calcul ular ar prob probab abililid idad ades es util utiliz izan ando do las las )unc )uncio ione ness de $rob $robab abililid idad ad y de istribución. 5. Identi Identifica ficarr las principales principales distribuc distribucione ioness probabilí probabilísti sticas. cas. 6. 7tiliza 7tilizarr las 0ablas 0ablas para el C*lculo C*lculo de probabi probabilidad lidades. es.
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TEMA III SEMANA VII.- Tema III. Distribuciones Tericas !e "robabi#i!a!. De$inicin !e Variab Variab#e #e A#eatori #eatoria. a. De$ini De$inicin cin !e %unci %uncin n !e Probab Probabi#i i#i!a! !a! Uni&ar Uni&aria! ia!a. a. Caso Caso !iscr iscret eto o ' con continu tinuo o. Pro"i ro"ie! e!a! a!es es.. %unc %unci in n !e Dist Distri rib buci ucin. n. Pro"ie!a!es. Va#or Es"era!o !e una &ariab#e a#eatoria. Bib#io(ra$)a. Esta!)stica. Ca"itu#o * "a(inas ++,
+n el 0ea I estudiaos las distribuciones epíricas de frecuencias, que son distribuciones obtenidas por observaciones toadas de la e/periencia. +n el 0ea II se establecieron varias reglas de probabilidad, en este 0ea se utilizar* esta inforación inforación para desarrollar desarrollar el concepto de +speranza ate* ate*tica tica y e/pl e/plor orar ar vari varios os ode odelo loss de la prob probab abililid idad ad que que repr repres esen enta tan n fenó fenóe eno noss discretos y continuos. +n este tea que se coienza a(ora, se estudiar*n las distribuciones teóricas de probabilidad las cuales son 8"!+L!% 0+!'IC!% +%0#BL+CI!%8, basados en las probabilidades y que se utilizaran si las características del problea planteado son las requeridas para el uso de estas. $rie $riera rae ent nte e se ver*n ver*n alguna algunass cuest cuestion iones es b*si b*sicas cas,, ante antess de estu estudia diarr los los odelos antes planteados, se coenzar* con el concepto de 9ariable aleatoria. VARIABLE ALEATORIA.
7na variable aleatoria 88 es una aplicación definida en un espacio uestral %, que toa valores reales, o sea es la transforación del +spacio "uestral en un con2unto nurico, ediante . 0abin se pudiera decir que una variable aleatoria es un fenóeno de inters cuyas respuestas o resultados se pueden e/presar nuricaente. +2eplo. +/periento: lanzar una oneda dos veces. %i lo que interesa interesa es conocer conocer la cantidad cantidad de caras que pueden pueden aparece aparecer. r. ;Cu*l ser* el espacio uestral< %:= CC ++ C+ +C > : n?ero de caras que aparecen. @ A, 3, 4 Las variables aleatorias se pueden clasificar en: discreta y continua DISCRETA/ %i toa un con2unto finito o infinito nuerables de valores. CONTINUA/ %i toa cualquier valor real de un intervalo. FUNION !E "ROBABILI!A!. +s la correspondencia que (ay entre el valor de la variable y la probabilidad probabilidad de ocurrencia de cada cada valor. %e denota denota por f /. %i la func función ión de probab probabili ilidad dad =f /> /> es discre discreta ta se le deno denoin ina a )unc )unción ión de Cuantía. $ara que sea una función de probabilidad, la función de cuantía, debe cuplir las siguientes propiedades: n 3.- f / ≥ A 4.- ∑ f / @ 3 i@3
ebeos ebeos seDalarse que (ay autores autores que la función de cuantía cuantía la representan representan por p/.
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TEMA III SEMANA VII.- Tema III. Distribuciones Tericas !e "robabi#i!a!. De$inicin !e Variab Variab#e #e A#eatori #eatoria. a. De$ini De$inicin cin !e %unci %uncin n !e Probab Probabi#i i#i!a! !a! Uni&ar Uni&aria! ia!a. a. Caso Caso !iscr iscret eto o ' con continu tinuo o. Pro"i ro"ie! e!a! a!es es.. %unc %unci in n !e Dist Distri rib buci ucin. n. Pro"ie!a!es. Va#or Es"era!o !e una &ariab#e a#eatoria. Bib#io(ra$)a. Esta!)stica. Ca"itu#o * "a(inas ++,
+n el 0ea I estudiaos las distribuciones epíricas de frecuencias, que son distribuciones obtenidas por observaciones toadas de la e/periencia. +n el 0ea II se establecieron varias reglas de probabilidad, en este 0ea se utilizar* esta inforación inforación para desarrollar desarrollar el concepto de +speranza ate* ate*tica tica y e/pl e/plor orar ar vari varios os ode odelo loss de la prob probab abililid idad ad que que repr repres esen enta tan n fenó fenóe eno noss discretos y continuos. +n este tea que se coienza a(ora, se estudiar*n las distribuciones teóricas de probabilidad las cuales son 8"!+L!% 0+!'IC!% +%0#BL+CI!%8, basados en las probabilidades y que se utilizaran si las características del problea planteado son las requeridas para el uso de estas. $rie $riera rae ent nte e se ver*n ver*n alguna algunass cuest cuestion iones es b*si b*sicas cas,, ante antess de estu estudia diarr los los odelos antes planteados, se coenzar* con el concepto de 9ariable aleatoria. VARIABLE ALEATORIA.
7na variable aleatoria 88 es una aplicación definida en un espacio uestral %, que toa valores reales, o sea es la transforación del +spacio "uestral en un con2unto nurico, ediante . 0abin se pudiera decir que una variable aleatoria es un fenóeno de inters cuyas respuestas o resultados se pueden e/presar nuricaente. +2eplo. +/periento: lanzar una oneda dos veces. %i lo que interesa interesa es conocer conocer la cantidad cantidad de caras que pueden pueden aparece aparecer. r. ;Cu*l ser* el espacio uestral< %:= CC ++ C+ +C > : n?ero de caras que aparecen. @ A, 3, 4 Las variables aleatorias se pueden clasificar en: discreta y continua DISCRETA/ %i toa un con2unto finito o infinito nuerables de valores. CONTINUA/ %i toa cualquier valor real de un intervalo. FUNION !E "ROBABILI!A!. +s la correspondencia que (ay entre el valor de la variable y la probabilidad probabilidad de ocurrencia de cada cada valor. %e denota denota por f /. %i la func función ión de probab probabili ilidad dad =f /> /> es discre discreta ta se le deno denoin ina a )unc )unción ión de Cuantía. $ara que sea una función de probabilidad, la función de cuantía, debe cuplir las siguientes propiedades: n 3.- f / ≥ A 4.- ∑ f / @ 3 i@3
ebeos ebeos seDalarse que (ay autores autores que la función de cuantía cuantía la representan representan por p/.
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#(ora bien, si la función de probabilidad probabilida d =f / > es continua se le denoina )unción de densidad. $ara que sea una función de probabilidad, la función de densidad, deben cuplirse las siguientes propiedades: xn
3.- f / ≥ A 4.-
∫ f ( x)dx
b
@3
5.- pEa < / ≤ bF @
xo
∫ f ( x)dx 6.- $ @ G @ A a
+sta ?ltia propiedad nos indica que la probabilidad de un punto no e/iste por lo tanto se cuplir*, para las variables continuas lo siguiente: b
∫ f ( x)dx @ $Ea ≤ / ≤ bF @ Ea < / ≤ bF @Ea ≤ / < bF @ Ea < / < bF a
es decir no se tiene en cuenta si es enor enor ó igualH ó enor, ya ya que da lo isoH isoH ó ayorH ó ayor ó igual. FUNION !E !I#TRIBUION$
+/iste +/iste una función que est* íntiaen íntiaente te relacionada relacionada con f /, la cual se denota por )/ y se denoina )unción de istribución, y se define coo: La "roba "robabi bi#i #i!a! !a! !e 0ue 0ue 121 121 tome tome &a#o &a#ores res meno menores res o i(ua# i(ua#es es a un &a#or &a#or !etermina!o 3245. Es !ecir acumu#a 6asta 6asta un &a#or !etermina!o/ %325 7 P38 845
%i la función función de distribución distribución corresponde a variable aleatoria discreta: /G
)/ @ ∑ f / / < /G
0oda función de distribución de variable aleatoria discreta cuple las siguientes propiedades: 3.- A ≤ )/ ≤ 3 6.- )/ es una función no decreciente esto es si /3 ≤ /4 iplica )/3 ≤ )/4 4.- li. )/ @ A .- %i / 3 < /4 entonces: /→ -∞ $/3 < / ≤ /4 @ )/4 - )/3 5.- li )/ @ 3 /→ ∞ !e esta %ta propiedad se deriva& "'( ) ( ( * +, F'( * + - F'( ) + + . / '( ) + + * * "'( ) ( ( * + , F'( * + - F'( ) + + -/ '( * + * * * "'( ) ( ( * + , F'( * + - F'( ) + + . / '( ) + + - / '( * + * * *
& si la )unción de distribución corresponde a variable aleatoria continua: xk
)/ @ ∫ f ( x ) dx x
0oda función de distribución de variable aleatoria continua cuple las siguientes propiedades:
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3.- li )/ @ A 6.- $/ 3J / ≤ /4@ )/4 - )/3 / → - ∞ y coo $ @ G @ A entonces: 4.- li )/ @ 3 $/3 < / ≤ /4 @ $/3 ≤ / ≤ /4@ / → ∞ $/3 < / < /4@$/3 ≤ / < /4 5.- )/ es una función no .- La derivada parcial de )/ decreciente, esto es si: respecto a / es igual f / /3 ≤ /4 entonces )/3 ≤ )/4 e su definición y sus propiedades se puede concluir que para calcular probabilidad a partir de la función de distribución sería: $/ ≤ /G @ )/ $/ > /G @ 3 - )/ $/3 < / ≤ /4 @ )/4 - )/3
Las desigualdades de ayor, o ayor igual se tendr*n en cuenta si se le aplica a variables discretas. +n variables continuas recuerden que no es necesario, ya que no e/iste la probabilidad de un punto. E9em"#os/
3.- 7n deterinado e/periento aleatorio tiene coo función de probabilidad la relación: f / @ 3K/3A para /@A, 3, 4, 5 %e pide: a.- 9erifique las propiedades de f/ b.- $/ >3 c.- )3 !.- $robabilidad de que / toe por lo enos valor 3 e.- $robabilidad de que / toe a lo suo valor 4 $.- )5 So#ucin/ a.- Pro"ie!a! $ 325 :
f /A@ 33AH f /3@ 43AH f /4@ 53AH f /5@ 63AH por tanto f / > A Pro"ie!a! 0ue #a suma !e $ 325 !es!e : a ; 7 <
f /@ 33A=3KAK3K3K3K4K3K5> @ 3A3A @ 3 5
b.- $/ > 3 @ ∑ f / @ 3K43A K 3K53A @ 53A K 63A @ M
[email protected] / @4
c.- / f / )/ A 33A 33A )3 @ 53A @ A.5 esto nos indica que / es enor 3 43A 53A ó igual a 3. 4 53A N3A 5 63A 3A3A eben fi2arse que )/, se deterina y representa lo iso que i, es decir las frecuencias absolutas acuuladas. 5
d.- $/ ≥ 3 @ ∑ f / @ 3 - f /@A @ 3 - 33A @ O3A @ A.O / @3
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0abin se podría (acer, suando, en vez de por el copleento: @ 33A=3K3 K 3K4 K 3K5 > @ @ 33A 4 K 5 K 6 @ O3A @ A.O 4
e.- $/ ≤ 4 @ ∑ f / @ 3 - f /@5 @ 3 - 63A @ N3A @ A.N / @A
0abin se podría (acer suando en vez de por el copleento: @ 33A=3KA K 3K3 K 3K4> @ @ 33A 3 K 4 K 5 @ N3A @ A.N f.- )5@ 3 +sto indica que / es enor o igual a 5. .-%ea f / @ 33P5 K 4/ una función de densidad para 4 J / J 6
a.- 9erifique si se cuplen las propiedades de f / b.- Calcule $/ < 5 c.- $/ ≥ 5 d.- $/ @ 5 e.- Qalle )/ f.- Calcule $4 < / ≤ 5 (aciendo uso de la )/ So#ucin/ 4
a.- f / @ 33P ∫ (3 + 2x)dx @ 33P= 5/ K 4/ 44 >@ 33P=34K3N - NK6> 2
@ 33P 4P - 3A @ 3P3P @ 3 3
b.- $/ < 5@ 33P ∫ (3 + 2 x )dx = 1 / 18(3x + 2x 2 / 2] = 1 / 18[(9 + 9) - (6 + 4)] 2
@ 33P 3P - 3A @ P3P @ 6O @ A.66 4
c.- $/ ≥ 5@33P ∫ (3 + 2 x) dx = 1 / 18(3x + 2x 2 / 2] = 1 / 18[(12 + 16) - (9 + 9)] 3
@33P4P -3P @ 3A3P @ O @ A. d.- $/@5 @ A xk
e.- )/ @ 33P
∫ (3 + 2 x)dx
= 1 / 18(3x + 2x 2 / 2] = [(3x k + x 2 k ) - (6 + 4)]
2
@ 33P5/G K /4G - 3A por tanto )/ ser* %325 7 <,<+ 32 = ;2 - <:5
f.- $4 < / ≤ 5 @ )5 - )4 @ =33POKO-3A > - =33P6KN-3A > @ 33PP - A @ P3P @ 6O @ A.66 ARATERI#TIA# NU0ERIA# !E UNA VARIABLE ALEATORIA
Las características nuricas son edidas que periten sintetizar la inforación de fora tal que ofrecen las características generales del fenóeno en estudio,
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es decir, sus rasgos principales. 0abin se conocen coo par*etros de las variables aleatorias. Las características fundaentales que se estudiar*n son: "edia y varianza +l valor edio de una 9ariable aleatoria, se denoina valor esperado ó esperanza ate*tica se denota por E 325. E# &a#or es"era!o !e una &ariab#e a#eatoria se "ue!e consi!erar como su "rome!io "on!era!o sobre to!os #os resu#ta!os "osib#es sien!o #as 1"on!eraciones1 #a "robabi#i!a! re#aciona!a con ca!a uno !e #os resu#ta!os.
+l c*lculo del valor esperado est* en dependencia si se est* traba2ando con variables aleatorias discretas o continuas. +n el caso de las variables aleatorias discreta, esta edida de resuen se puede obtener ultiplicando cada resultado posible de /i por su probabilidad correspondiente $/i y despus suando los productos resultantes. $or lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta /i se puede e/presar de la siguiente fora: N
@ E 325 @
2i $ 325 i7<
+n el caso de las variables aleatorias continuas, esta edida de resuen se obtiene integrando desde / A (asta /n el producto de la variable / por su función de probabilidad. $or lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria continua /i se puede e/presar de la siguiente fora: xn
∫ xf ( x)dx
@ E 325 7
x 0
"RO"IE!A!E# !EL VALOR E#"ERA!O
3.- La esperanza de una constante es igual a la propia constante. E
345 7 4
4.- La esperanza del producto de una constante por una variable es igual a la constante por la esperanza de la variable. E 3425 @ 4 E 325 5.- %i /3, /4 , ... , / n son variables aleatorias entonces: n
E 3
n
2i 5 7
i 7<
E 325
i7<
6.- La esperanza de la sua o resta de una constante y una variable es igual a la constante as la sua o resta de la esperanza de /. E 34
25 7 4
E 325
.- %i la edia poblacional es igual a la esperanza de /, entonces la esperanza de las desviaciones con respecto a la edia es igual a cero Si
7
E 325
entonces #a
E 32
- 57 :
N.- %i / e y son variables aleatorias independientes entonces, la esperanza del producto de 8/8 e 8y8 es igual al producto de la esperanza de 8/8 y de la esperanza de 8y8.
86 E 32'5
7
E 325 E 3'5
M.- La esperanza del producto de la sua de n, variables y constantes es igual a la sua del producto de las 8n8 constantes por las esperanza de las variables. E 3C<2< =
C2 = ...= C n2n 5 7 C<
E 32<5=
C
E 32 5=
...= C n E 32n5
VARIAN>A La &arian?a es i(ua# a #a es"eran?a !e #as !es&iaciones con res"ecto a #a me!ia@ a# cua!ra!o/ V325 7 E 32 - 5
0abin se siboliza por σ4siga al cuadrado, letra griega. +sta definición (ace un tanto difícil el c*lculo de la varianza, ya que coo se di2o anteriorente en el c*lculo de la esperanza, la variable, es lo que est* dentro del parntesis, y en este caso lo que est* dentro del parntesis, es / - µ4. $or lo tanto para el c*lculo de la varianza para una variable aleatoria discreta sería ∑/ - µ4 f/ y en el caso de variables aleatorias continuas sería ∫ ( x − µ ) 2 f ( x)dx . Qaciendo transforaciones ate*ticas se puede llegar a obtener una fórula de c*lculo para la varianza que es uc(o *s cóoda. V325 7
E 32
5 - E 325 en el caso de la variable discreta la:
xn
E325 7
2 $ 325 y en el caso de variables continua
E 32
@ ∫ x 2 f ( x ) dx
x 1
"RO"IE!A!E# !E LA VARIAN1A
3.- La varianza de una variable es igual o ayor que cero. V325 :
4.- La varianza de una constante es igual a cero. V345 7 :
5.- La varianza del producto de una constante por una variable es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable. V3425 7 4 V325
6.- La varianza de la sua de una constante *s una variable es igual a la varianza de la variable. V34=25 7 V325
.- %i /3 , /4 , .../n son variables aleatorias independientes, entonces la varianza de la sua de 8n8 variables es igual a la sua de las varianza de las variables. n
n
V3 2i5 7 i7<
V32i5
i7<
N.- La varianza de la sua del producto de 8n8 variables por 8n8 constantes es igual a la sua del producto de las 8n8 constantes al cuadrado por las varianzas de las variables. V3C< 2< = C 2 = ... = C n 2n5 7 C
<
V32<5 = C V325 = ... = C n V32n5
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E9ercicios.E9em"#o <.- La función de una variable aleatoria /, esta dado por:
/@3 4 5 6 f/@3N 35 3N 35 Calcular el valor esperado de / y su varianza. So#ucin/ $rieraente se debe definir si es una variable aleatoria discreta o continua ya que en dependencia del tipo de variable así ser* su c*lculo. +n este caso es discreta, se sabe, porque la variable toa valores definidos: 3, 4, 5, y 6 $ara ello se debe buscar / f / y / 4 f / / f / @ 3N 45 5N 65 /4 f /@ 3N 65 ON 3N5 E /@ µ @ ∑ / f / @ 3N K 45 K 5N K 6N @ 3K6K5KPN @ 3NN @ 4,NN 9/@ +/4 - =+/>4 @ P.55 - 4,NN4 @ P.55 - M.AM @ 3.4N
+/4 @ ∑/4 f / @ 3N K 65 K ON K 3N5 @ 3K P K O K 54N @ AN @ P.55
E9em"#o .- %i f / @ /4 para A < / < 4
a.- ;Cu*l ser* el valor de la varianza de /< b.- Qallar E /K5 c.- Qallar E 4/4 d.- ;Cu*l ser* el valor de 94/< e.- ;Cu*l es el valor de la desviación típica de /< %olución: ;Ru tipo de variable es esta< La fora de presentar el recorrido de la variable /, indica que es una variable continua. 2
2
0
0
a.- E / @ 1 / 2 ∫ x f ( x) dx = 1 / 2 ∫ x 2 dx = 1 / 2[x 3 / 3) = 1 / 2(8 / 3 - 0) @PN @ 65 @ 3.55 2
E
2
/ @ 1 / 2 ∫ x f ( x) dx = 1/ 2 ∫ x 3 dx = 1 / 2( x 4 / 4) = 1 / 2(16 / 4) = 16 / 8 = 2 4
2
0
0
9/ @ E /4 - =E />4 @ 4 - 3.55 4 @ 4 - 3.MM @ A.45 b.- E /K5 @ E / K 5 @ 3.55 K 5 @ 6.55 c.- E 4/4 @ 4 E /4 @ 4 . 4 @ 6 d.- 94/ @ 44 9/ @ 6 A.45 @ A.O4 e.- σ = σ 2 = 0,23 @ A,6P 'ecuerde que la desviación típica se representa por la letra griega siga y que es la raíz cuadrada positiva de la varianza 9/ @ σ4 Deben hacer los ejercicios del Laboratorio desde la pagina 95/102, los ejercicios 139/140, 142/144, 145e/148 excepto el d, el 150 de la pagina 108 a la 110 los ejercicios 153/155 158.Desde la pagina 155 a la 1!1 los ejercicios 210/211, 213,
88
215, 219/225 Desde la pagina 154 a 1!0 los ejercicios 208, 209, 212, 214, 215, 21", 220 22!.
AUTOE8AMEN
<.- ;Ru entiende por variable aleatoria< .- ;# que se denoina función de probabilidad< ;.- ;Cóo se denoina a la función de probabilidad de variable aleatoria discreta
y continua y coo se denota. .- ;Cóo se define la )unción de istribución<
*.- # partir de la definición de )unción de distribución coo deterinaría las
siguientes probabilidades para una variable aleatoria discreta y para una variable aleatoria continua: utilizando )/ a.- $/ ≤ /G b.- $/ > /G c.- $/3 ≤ / < /4 !.- $/3< / ≤ /4 e.- $/3 < / < /4 $.- $/3 ≤ / ≤ /4 .- %e conoce la función de densidad f /@ c6KN/-5/ 4 para A < / < 4
Calcular: a.- +l valor de C b.- La función de distribución. c.- $/ >3 !.- $/ < / < 3. e.- $/ > 3.O .-+l tiepo en triestres que transcurre entre dos perturbaciones ciclónicas, se
(a podido deterinar, que tiene la siguiente función de densidad: f / @ 6O/ - / 5 para 3 < / < 4 se pide: a.- Calcule el tiepo esperado que debe transcurrir entre dos ciclones. b.- e una edida de la desviación típica con que ocurren stos.
SEMANA VIII. Distribucin Binomia#. Uti#i?acin !e tab#as esta!)sticas. Distribucin !e Poisson. Uti#i?acin !e tab#as esta!)sticas. BIBLIOFRA%IA/ Esta!)stica. Ca")tu#o * "G(inas ;,.
+n la seana anterior vios coo usar las probabilidades estudiadas en Las variables aleatorias, así coo para desarrollar el concepto de +speranza ate*tica y llegar a los "!+L!% coo síntesis de los resultados anteriores en un plano de ayor nivel.
89
+sto es, los odelos se producen a partir de un riguroso estudio de los *s iportantes resultados del coportaiento de diferentes procesos aleatorios e/perientos, y para todo aquello que pueda presentarse coo analogía a las características que e/ige dic(o odelo, ade*s de que brindan una aplicación siplificada de la realidad. %e debe seDalar que todo odelo contiene:
• Características del e/periento: Condiciones que tienen que cuplirse para su aplicación. • efinición de la variable aleatoria y su recorrido. • f/ ....%u función de probabilidad. • )/ ....%u función de distribución.destacando iportancia en 9.#.C • $ar*etros características nuricas al enos µ y σ4 $ara lograr una identificación con las distribuciones o odelos fundaentales en este 0ea, los encionareos y arcareos con un asterisco S los que estudiareos.
9.#.iscreta
BernoullT Coo resuen de los e/perientos Binoial S estudiados en el 0ea 4 $robabilidades Qipergeotrica
UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU $oisson S Coo inters forativo para la teoría de las Colas y epleo en la asignatura $rograación "ate*tica. +/ponencial UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU 9.#.Continua oral S C(i-Cuadrado S $latafora para el estudio de la 01%tudent S Inferencia +stadística. !I#TRIBUION BINO0IAL
La distribución Binoial es una de las distribuciones discretas *s utilizadas. %u nobre se debe a la relación que tiene la isa con el desarrollo del binoio:
pKqn @ C xn p/ qn - /
90
+sta distribución est* relacionada con la distribución de Bernoullí, que es la distribución de la variable aleatoria /, que toa solaente valores cero y uno fracaso y /ito, cuando se realiza un solo e/periento. %in ebargo e/isten con frecuencia e/perientos de car*cter repetitivos en que interesa registrar la ocurrencia o no ocurrencia de un suceso. Considrese que 8p8 es la probabilidad de que el suceso ocurra, esto es, l /ito. & que 8q8 es la probabilidad de que el suceso no ocurra, es decir el fracaso y donde q @3- p %i se realizan 8n8 repeticiones independientes del e/periento en cuestión y se representa por /, el n?ero de /itos obtenidos en las n repeticiones del e/periento entonces se puede decir que la probabilidad de que ocurran 8/8 /itos, viene dada por: f / @ C xn p/ qn - /
donde @ A, 3, ... , n
Distribucin Binomia#/ #ntecedentes: los e/perientos son con reposición e
independientes del 0ea 4
<.- Caracter)sticas :
- Rue el resultado del e/periento se pueda clasificar en una de dos categoría utuaente e/cluyentes y colectivaente e/(austiva conocidas por /ito y fracaso donde p @ probabilidad de /ito y q @ probabilidad de fracaso siendo p conocida. - Ru se realicen 8n8 pruebas finitas - Rue las pruebas sean independientes. - Rue la probabilidad de /ito sea constante de una observación a otra. .- De$inicin !e #a &ariab#e : V de veces que ocurren los /itos en n pruebas. @ A, 3, 4, ... , n ;.- %uncin !e Probabi#i!a! : f/ @ C xn p/ qn - / /G
.- %uncin !e Distribucin/ )/ @ ∑ f / / @A
*.- ParGmetros/ n
7 +/ @
∑ / f / @ np
7 9/ @ +/4 - =+/>4 @ npq
/ @A
∑ B n, p La distribución BI!"I#L (a sido utilizada en nuerosas aplicaciones: - + W7+X!% + #Y#'. ;Ru probabilidad (ay que aparezca el color azul al girar 3 veces o *s la rueda de una ruleta<. - + +L C!0'!L + L# C#LI# + 7 $'!7C0!. .- Re"resentacin/
91
;Ru probabilidad (ay de que en una uestra de 4A conos de (ilo del iso tipo ninguno est*Z defectuoso, si el 3A[ de todos los conos de (ilo producido en cierta planta son defectuosos< - + L# +7C#CI!. ;Ru probabilidad tiene un estudiante de aprobar un e/aen de preguntas de opción ?ltiple cada una de ellas contiene 6 opciones si adivina en cada pregunta< #probar se define coo lograr correcto el NA[ de las preguntasH es decir, acertar por lo enos 5 preguntas - + L#% )I#Y#%. ;Cu*l es la probabilidad de que cierta acción ostrar un auento en su precio al cierre, en una base diaria durante 3A sesiones consecutivas de operaciones, si en realidad los cabios de precios en el ercado accionario son aleatorios<. )ígense que esta distribución queda definida por dos par*etros 8n8 y 8p8 y cada vez que se especifican estos par*etros se puede presentar una distribución de probabilidad Binoial particular. )!'"#. 7na distribución binoial puede ser sitrica ó sesgada. %iepre que p @ A., la distribución binoial ser* sitrica, sin toar en cuenta que tan grande o pequeDo sea el valor de \n]. %in ebargo, cuando \p] es diferente de A., la distribución ser* sesgada. Cuanto *s cerca se encuentre \p] de A. y ayor sea el n?ero de observaciones \n], enos sesgada ser* la distribución, por otra parte, con una \p] pequeDa la distribución tendr* un gran sesgo a la derec(a y para una \p] uy grande la distribución tendría un gran sesgo a la izquierda. Los c*lculos de probabilidad a partir de la función, pueden llegar a ser uy tediosos, en especial cuando auenta \n], sin ebargo se pueden obtener las probabilidades directaente de la tabla Binoial, que est* en la %elección de tablas estadísticas y de esta fora evitar c*lculos fatigosos. +sta tabla proporciona, para diversas cobinaciones de n y p, las probabilidades de que la variable aleatoria binoial toe valores / @ A, 3, 4, ..., n %in ebargo debe tenerse en cuenta que no est*n todos y cada uno de los valores de \p] que se necesitan, y (ay casos en que sería necesario invertir la probabilidad de /ito por la de fracaso y volver a enunciar la variable y buscar en la tabla los valores equivalentes de / que piden, esto se ver* concretaente en un e2ercicio. HCmo estG estructura!a esta tab#a
0iene en la priera fila los valores de \p]H en la priera coluna los valores de \n] y en la segunda coluna los valores de /, pero est*n representados en ella por una G.
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& así sucesivaente. %i se quiere tener el resultado de la probabilidad se cobinan los valores de n y p y dentro de ellos se busca el valor de / que se necesita digaos que se tiene una distribución binoial donde n @ 4 y p @ A,3 y quiere obtener la $/ @ 3 donde se interceptan estos valores se obtiene la probabilidad, que en este caso es igual a A.4A. E9em"#o.
+n la industria 8rayonera8 de "atanzas se est* realizando una investigación acerca de la disciplina laboral. Las estadísticas deuestran que el [ de los obreros son ausentistas, si se selecciona una uestra aleatoria de traba2adores. Calcule la probabilidad que: a.- 4 de ellos sean ausentistas. b.- entre 5 y sea ausentistas. c.- de que todos asistan. d.- al enos 6 sean ausentistas #quí se puede observar que la distribución binoial se a2usta, ya que: - el resultado se puede clasificar en /ito y fracaso ausentistas y no ausentistas respectivaente - las pruebas son independientes, es decir que un obrero sea ausentista es independiente de que otro lo sea. - n es finito, traba2adores ausentistas.
93
- p es constante, el [ de los traba2adores son ausentistas. $or tanto puedo decir que ∑B, A.A So#ucin
: n?ero de obreros ausentistas de a.- $ / @ 4 @ f4 @ C 25 0.05 2 0.95 3 10 (0.0025)( 0.8574) =
ya que
C xn
=
n! (n
x)! x!
−
=
C 25
=
5! 3!*2!
=
5 * 4 * 3! 2 * 1 * 3!
=
=
A.A436
10
%in ebargo esto se resuelve uy f*cil utilizando la tabla, buscando para n@, y para una
[email protected] y dentro de ellos / @ 4 donde se interceptan se obtiene este valor encontrado, es decir A.A436. Luego podeos concluir que ?nicaente ser* necesario (acer el c*lculo a travs de la función de probabilidad cuando no e/ista en la tabla la probabilidad de /ito que se tiene p b.- $5 ≤ / ≤ @ f5 K f6 K f @ A.A33 K A K A @A.A33 c.- $ /@A @ fA @ A.MM5P d.- $ / ≥ 6 @ f 6 K f @ A K A @A 0abin si no se tuviese la tabla (abría que sustituir en la función de probabilidad los valores y resolverla. E9em"#o.
La probabilidad de que un avión de cobate regrese de una isión sin sufrir daDos es de A.P y se envían 6 aviones a una isión, (allar la probabilidad de que: a.- e 4 a 6 regresen sin sufrir averías. b.- #l enos 5 regresen sin sufrir daDos. c.- # lo suo dos regresen sin sufrir daDos. d.- $roedio de aviones sin sufrir daDos. e.- $robabilidad de que todos regresen daDados. %e aprecia en este e2ercicio que cuple las características de una distribución binoial, no obstante llegue 7d. a sus propias conclusiones. 8/ nJmero !e a&iones !e combate 0ue re(resan sin su$rir !aKos.
n @ 6 y p @ A.P q @ A.3. Coo en la tabla no est* p @ A.P tendría que usar la función y sustituir los valores en ella para calcular las probabilidades que piden. o obstante e/iste otra opción para utilizar la tabla y sería nobrar la variable invertida es decir plantear coo probabilidad de /ito, lo que tal coo dan la inforación es la de fracaso, que es igual a A.3, que si est* en la tabla. $ero esto a su vez iplicaría buscar una equivalencia entre lo que pide el problea y la fora en que est* e/presada la variable. & esto se (ace así sencillaente para no (acer el c*lculo de la probabilidad a travs de la función, que sin lugar a dudas es un tanto fatigoso, y poderlo (acer a travs de la tabla.
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8/ !e a&iones !e combate 0ue re(resan !aKa!os
n @ 6 p @ A.3 y q @ A.P $ara B7%C#' la equivalencia entre lo que pide el problea y coo se tiene e/presada la variable se debe (acer una tabla que ayude a ver claraente lo que se va a calcular. sin sufrir daDos daDados
;qu regrese 3 avión sin sufrir daDo< ;no es lo iso que decir que regresen 5 daDados< ;Ru regresen 5 aviones sin sufrir daDo< ;no A 6 es lo iso que decir que regrese 3 avión 3 5 daDado< 4 4 +s decir se busca la equivalencia entre lo que 5 3 pide el problea y la fora en que se tiene 6 A enunciada la variable a.- p4 ≤ / ≤ 6 ≡ p/ ≤ 4 @ f A K f 3 K f 4 @ A.44A K A.5NP K A.AOM @ A.OPPA b.- p/ ≥ 5 ≡ p/ ≤ 3 @ f A K f 3 @ A.44A K A.5NP @ A.POA c.- p/ ≤4 ≡ p/ ≥4 @ f4 K f5 K f6 @ A.AOM K A.A33 K A.AAA @ A.3AO d.- np @ 6A,P @ 5.6 @ µ npq @ A.PA.36 @ A.34M6 @ A.3 @ σ4 e.- p/ @ 6 @ A.AA +sta pregunta est* realizada tal coo est* designada la variable, de a(í que no (aya que buscar equivalencia. e (aber estado forulada la variable coo al inicio, (abría que (aber buscado p/@A. 'ealizar los e2ercicios 43 al 4NP, del Laboratorio de +stadística "ate*tica I que est*n en las p*ginas 3P3 a 3PN. !I#TRIBUION !E "OI##ON$
+sta distribución se refiere a aquellas situaciones en las cuales el suceso ocurre repetidaente, pero al azar, es decir sin seguir una periodicidad dada, se produce aleatoriaente. # la ocurrencia del suceso se le denoina C#"BI!. +stos cabios pueden ocurrir en el tiepo, o en puntos aleatorios, o en una línea de espera. +s decir pueden forularse en función del tiepo, unidades de longitud, *rea o voluen etc.. +l inters estar* centrado en: n?ero de cabios que ocurren en un intervalo dado. E9em"#o/ ?ero de barcos que llegan al puerto de la Qabana en una seana. E9em"#o/ ?ero de negocios que cierran, por seana, en Ciudad de la Qabana.
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La variable aleatoria discreta: 87 !e 2itos "or uni!a! es decir, por intervalo de tiepo, longitud, *rea, etc.. %e dice que se da un proceso de $oisson si se pueden observar sucesos o eventos discretos, en un intervalo continuo de tiepo, longitud, *rea etc., de fora tal que si se acorta el intervalo lo suficiente: 3.- La probabilidad de observar e/actaente un cabio ó un /ito en el intervalo, es estable. 4.- La probabilidad de observar dos o *s cabios ó /itos en el intervalo es cero. 5.- La ocurrencia de un cabio ó /ito en cualquier intervalo es estadísticaente independiente de sucesos en cualquier otro intervalo. E9em"#o/ %upóngase que se estudian las llaadas recibidas por (ora en la
Central telefónica de una estación de policía. Cualquier llaada que se reciba es un evento discreto en un punto deterinado durante un intervalo continuo de una (ora. #n $na hora se recibir%n 180 lla&adas co&o pro&edio. 'hora si se di(idiera el inter(alo de $na hora en 3!00 inter(alos consec$ti(os de $n seg$ndo, se tendr)a*
λ @ 3PA5NAA @ A.Asegundos 3.- La cantidad esperada ó proedio de llaadas recibidas en cualquier intervalo de un segundo sería A.A, es decir sería estable. 4.- La probabilidad de recibir *s de una llaada en cualquier intervalo de un segundo es cero. 5.- 'ecibir deterinada llaada en cualquier intervalo de un segundo no tiene efecto es decir es estadísticaente independiente sobre recibir una llaada en cualquier otro intervalo de un segundo.
<.- CARACTERISTICAS/ %in antecedentes, iportancia para su uso en
prograación "ate*tica. - ?ero de observaciones finitas pero no nuerables, n → ∞ - %e observa si ocurre un suceso que se denoina cabios - Las observaciones de cabios asociados a un intervalo t esto es, el suceso ocurre repetidaente en el tiepo, pero al azar sin seguir una periodicidad dada, se produce aleatoriaente .- De$inicin !e #a Variab#e/
/: V de cabios que se producen en un intervalo 8t8 : A, 3, 4, ..., ∞
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;.- %uncin !e "robabi#i!a!/ f / @ e − λ
λ/ / ^ donde λ @ proedio (istóricode cabios en una unidad 8t8 y \e] es una constante 4.M3P4P /G
.- %uncin !e Distribucin/ )/ @
∑ f/
/ @A
*.- ParGmetros/
µ @λ σ4 @ λ
Coinciden nuricaente aunque por supuesto µ, est* e/presada en unidades lineales y σ4 en unidades cuadr*ticas.
.- Simb#icamente se e2"resa como/
∑ $ λ +sta distribución queda definida por un solo par*etro, \ λ] . %ORMA/
La distribución de $oisson estar* sesgada (acia la derec(a cuando λ es pequeDa. %e acercar* a la sietría con su punto *s alto en el centro seg?n auente λ. e la isa fora que se planteó en la distribución binoial que el c*lculo de probabilidad se (acía fatigoso a travs de la función, sucede con esta distribución, pero esta distribución tabin est* tabulada, encontr*ndose su tabla en la %elección de 0ablas estadísticas. HCmo estG estructura!a #a tab#a
0iene en la priera fila los valores de λ, y en la priera coluna los valores de / designados en esta tabla por G. +n ella aparecen grupos de valores para valores de λ desde A.3 (asta P, estando estos grupos definidos (asta donde 8/8 puede toar valores, proporciona los valores de λ con apro/iación (asta la dcia.
97
%e debe seDalar que para e2ercicios con valores de λ ayores de P se debe usar la tabla de 8e a la enos /8 que est* en la pagina 4A de la %elección de tablas estadísticasH sustituyendo en la fórula de la función los valores correspondientes. E9ercicio.<
7na pizarra telefónica recibe 6PA llaadas en una (ora, pero no puede recibir *s de 34 llaadas en un inuto. eterine: a.- La probabilidad de que se produzcan 3A llaadas en un inuto. b.- La probabilidad de que la pizarra quede saturada en un inuto dado. c.- La probabilidad de que se produzcan a lo suo 3 llaada en un inuto. d.- La probabilidad de que se produzcan as de 4 llaadas en un inuto. e.- +l n?ero de llaadas esperadas en un inuto. /: V de llaadas que se reciben en un inuto que λ @ 6PA(ora %e tiene que llevar λ a las isas unidades piden la probabilidad: en inutos.
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%e puede (acer a travs de una siple regla de 5 6PA ------ NA ts λ ------ 3 t 6PANA @ P por t λ @ P t #(ora se va a la tabla y se busca un λ @ P, y dentro de este grupo se busca el valor de la o las que se necesitan. a.- $/@3A @ f 3A @ A.AOO5 b.- $/ > 34 @ $orque coo la pizarra no puede recibir *s de 34 llaadas en un inuto, quedaría saturada si recibe *s de 34 llaadas $/ >34 @ 3 - $/ ≤ 34 @ 3 - =p/@AK p/@3K p/@4K p/@5K .... Kp/@34 @ 3 - A.O5N4 @ A.AN5P eben darse cuenta que en la distribución de $oisson 8/8 toa valores desde A (asta ∞, por tanto 7C# %+ $7++ C#LC7L#' p/ > ó p/ ≥ que un valor cualquiera directaente, sino que siepre en estos casos (ay que traba2ar con el copleento. & tener en cuenta que si la igualdad est* en la parte izquierda de la e/presión no debe estar en la derec(a ó si la igualdad no est* en la parte izquierda deber estar en la derec(a, esto es, debe estar en uno de los dos lados de la e/presión. c.- $/ ≤3 @ f A K f 3 @ A.AAA5 K A.AA4M @ A.AA5A d.- $/ >4 @ 3 - $/ ≤4 @ 3 - =f AK f 3K f 4> @ 3 _ A.AA5A K A.AA4M K A.A3AM @ 3 _ A.A35M @ A.OPNA e.- µ @ λ @ P en un inuto. E9ercicios
%ea f A@ e -λ λA^ @ A.AANM6 %e pide: a.- Qallar el valor de λ b.- calcule la probabilidad de que @ , en 3.t So#ucin/ ε
λ
−
a.- %e sabe que en factoriales.
f ( 0)
=
0
λ
0!
, λA @ 3H
A^ @ 3 por propiedades de los
$or tanto se busca e - λ @ A.AANM6 en la tabla de e -/ que est* en la pagina 4A de la selección de tablas estadísticas. & se obtiene que e - @ A.AANM6 lo que iplica que λ @ b.- $@ @ f @ A.A363 para un λ @3.
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$ueden (acer los e2ercicios desde el 4PN a 5A5 del Laboratorio de +stadística "ate*tica I, que est*n en las p*ginas desde la 4A4 a 4AN.
AUTOE8AMEN
<.- ;Cuales son las características de una distribución Binoial< .- ;Ru par*etros define la distribución Binoial< ;.- ;Cuales son las características de una distribución de $oisson< .- ;Ru par*etros define la distribución de $oisson< *.- ;iga cu*l es la edia y la varianza en la distribución Binoial< .- ;iga cu*l es la edia y la varianza en la distribución de $oisson< .- ;+stas dos variables, corresponde a variables aleatorias discretas o
continuas<
+.-H Ru representa λ en la distribución de $oisson< .- iga que e/presa la variable en la distribución binoial, y cual es su
recorrido.
<:.-iga que e/presa la variable en la distribución de $oisson, y cu*l es su
recorrido.
<<.- %obre la base de la e/periencia anterior, la ipresora principal del centro de
cóputo de cierta universidad funciona adecuadaente el OA[ del tiepo. %i se (ace una uestra aleatoria de 3A inspecciones: a.- ;Cu*l es la probabilidad de que la ipresora principal funcione en fora apropiada... a.<.- e/actaente nueve veces< a..- por lo enos nueve veces< a.;.- cuando *s O veces< a..- *s de O veces< a.*.- enos de O veces< b.- ;Cuantas veces se puede esperar que funcione en fora apropiada la ipresora principal< <.- +l n?ero proedio de autoóviles que se detienen por inuto para toar
gasolina en cierta gasolinera perteneciente a C7$+0 de Ciudad de la Qabana es 3.4. ;Cu*l es la probabilidad de qu en deterinado inuto se detengan ... a.- enos de dos autoóviles< b.- *s de tres autoóviles< c.- enos de dos autoóviles ó *s de tres< !.- dos ó tres autoóviles para toar gasolina< e.- al enos dos autoóviles<
10 0
#(ora se pasar* a estudiar las distribuciones correspondientes a variables aleatorias continuas que se iparten en este prograa, se coenzar* por la distribución oral. SEMANA I8.- Distribucin Norma#. Uti#i?acin !e tab#as esta!)sticas. Distribucin i-Cua!ra!o ' Tstu!ent. Uti#i?acin !e tab#as esta!)stica !e ambas !istribuciones. BIBLIOFRA%IA/ Esta!)stica ca"itu#o * "G(inas !e #a +,<:+
!I#TRIBUION NOR0AL
Luego de estudiar dos distribuciones de probabilidad discreta se prestar* atención a las funciones continuas de densidad de probabilidad, las que se producen por alg?n proceso de edición en diversos fenóenos de inters. Los odelos continuos tienen aplicaciones iportantes en los negocios y en las ciencias sociales, ade*s de en la Ingeniería y la )ísica. "uc(as de las tcnicas utilizadas en estadística aplicada se basan en la distribución oral o de Xauss. 3.- C#'#C0+'I%0IC#%. - 0iene la fora de una capana boca a ba2o. - +s sitrica con respecto a @ µ - La función est* definida en todo el e2e - La función tiene un */io en @ µ @ "e @ "d - 0iene dos puntos de infle/ión en µ Kσ y µ - σ - %u variable aleatoria asociada tiene rango infinito − ∞ < Χ < ∞
−∞
µ−σ
µ = "e @ "d
µ+σ
∞
4.- )7CI! + $'!B#BILI# f ( x)
= 1 / σ 2π e −1/ 2 ( x −
µ /σ )
2
donde:
[email protected] y
π @5.363O
5.- )7CI! + I%0'IB7CI` xk )/ @ ∫ −∞ f ( x ) dx La función de distribución tiene una arcada iportancia en las distribuciones continuas ya que a partir de sus propiedades es factible calcular f*cilente probabilidad, ade*s de que las tablas estadísticas lo que tiene tabulada es la )unción de distribución. $ara calcular $ ≤ G @ ) $ > G @ 3 - ) $a < ≤ b @ )b - )a 'ecuerde que en variables continuas no interesa si es < ó ≤ , ó > ó ≥ , ya que no e/iste la probabilidad de un punto.
10 1
6.- $#'#"+0'!%. La edia en esta distribución es µ y la varianza es σ4 por lo que la isa queda definida por estos dos par*etros ya que 8e8 y 8 π 8 son constantes ate*ticas. .- '+$'+%+0#CI! ∑ Ν(µ, σ) $or lo tanto (abr* tantas curvas norales, coo valores o cobinaciones $articulares de µ, y σ (aya. Coo es una variable continua para calcular probabilidad se tendría que integrar la función de , en el intervalo que se quiere (allar la probabilidad. HCmo se "o!r)a 6acer una tab#a@ "ara no tener 0ue inte(ra#
La ?nica fora de (acer una tabla para evitar este c*lculo sería estandarizando la variable, es decir cualquier variable aleatoria noral , se convierte en una variable aleatoria estandarizada 8Y8 que siepre tendría coo edia cero y desviación típica 3H y así se tendría la posibilidad de tabular los resultados. $ues bien Y→ A,3 y su función de probabilidad es: f ( z ) donde: Z =
1 =
1 −
2
z 2
2π
x − µ σ
0oda distribución noral con edia µ y desviación típica σ tiene la característica de tener el *rea ba2o la curva de su función de densidad, distribuida de la siguiente fora: a.- $µ −σ < Χ < µ+σ) @ NP.4M[ del *rea ba2o la curva noral b.- $µ −4σ < Χ < µ+4σ) @ O.6[ 8 8 8 8 8 8 c.- $µ −5σ < Χ < µ+5σ) @ OO.M5[ 8 8 8 8 8 8 # estas tres e/presiones se les llaan co?nente propiedades de las 5sigas, las cuales representan *reas ba2o la curva de la función de la distribución noral. ESTRUCTURA MANEO DE LA TABLA/
La tabla de esta distribución est* en las p*ginas 3 y 3N de la selección de tablas estadísticas. %u estructura es la siguiente: +n la priera coluna tienen los valores de Y, (asta la apro/iación de la dcia y en la priera fila la apro/iación de la centsia. +n la (o2a V3 est*n tabulados los valores de Y negativos, y en la (o2a V3N los valores de Y positivos. Coo se di2o anteriorente en esta tabla est*n registrados los valores de la función de distribución, por tanto son valores acuulados, es decir acuula desde enos infinito- ∞ (asta el valor de Y que se busca, de a(í la iportancia de aplicar las propiedades de la función de distribución planteadas anteriorente para buscar las probabilidades. +n el cuerpo de la tabla est*n las probabilidades correspondientes. Los valores de Y negativos, corresponden a la cola izquierda, y los valores de Y positivos corresponden a la cola derec(a, tenga en cuenta que Y puede toar valores negativos ó positivos QPERO LA PROBABILIDAD SIEMPRE ES POSITIVA
10 2
#sí para una Y @ -4.P4 la probabilidad acuulada (asta ese valor es .AA46 es decir desde enos infinito (asta donde est* ubicado
[email protected]
10 3
EERCICIOS/
+2eplo. 546 pag.445 del Laboratorio +n una distribución noral con µ @ 45 y σ4 @ 4, (allar: a.- $ < 45, e.- $4 < < 5A b.- $ > 3A f.- $ < 4A c.- $ >45 g.- $ < 4 d.- $P < < 43 %e le recoienda al estudiante (acer el gr*fico de lo que le piden en cada caso. %olución: 0+X# + C7+0# R7+ L+ # +L 9#L!' + L# 9#'I#Y#, & 7 +B+ 0'#B#W#' C! L# +%9I#CI! 0I$IC# '#IY C7#'## + L# 9#'I#Y#. a.- $ < 45, @ $Y < 45, - 45 @ $Y < A, @ $Y < A,3 @ @ )zA,3 @ A,5OP b.- $ > 3A @ 3 - $ < 3A@ 3 - $Y < 3A-45@ 3 - $Y < -35 @ 3 - $Y < -4,N @ 3 - )z-4.N @ 3 - A.AA6M @ A.OO5 c.- $ > 45 @ A.A +sto no (ay ni que buscarlo en la tabla porque el *rea ba2o la curva es 3 por tanto de la itad al final de la distribución ser* la itad, A.A
10 4
pero ade*s, en este punto 8Y8 es igual a cero, y buscando Y@A daría tabin )zA @ A.A d.- $P < < 43 @ $=P-45 < Y < 43-45>@ $-3 < Y < -4@ @ $-5 < Y < -A.6@ )z-A.6 - )z-5 @ @ A.566N - A.AA35 @ A.5655 e.- $4 < < 5A @ $=4-45 < Y < 5A-45>@ $4 < Y < M@ @ $A.6 < Y < 3.6 @ )z3.6 - )zo.6 @ @ A.O3O4 - A.N6 @ A.4N5P f.- $ < 4A @ $Y < 4A-45 @ $Y < -5 @ $Y < -A.N @ @ )z-A.N @ A.4M65 g.- $ < 4 @ $Y < 4-45 @ $Y < 4 @ $Y < A.6 @ @ )zA.6 @ A.N6 +2eplo. 554 p*gina 44N del Laboratorio La +presa de Wabonería y perfuería tiene una *quina para llenar ca2as de polvo facial. +n un infore del departaento de control estadístico, se plantea que la variable, llenar ca2as con polvo facial, est* distribuida noralente con edia igual a 3 onzas y desviación típica ó +st*ndar igual a A.P. .- ;Ru proporción de las ca2as tendr* pesos netos ayores que 36 onzas< b.- ;Ru proporción de las ca2as tendr* pesos netos entre 35 y 36 onzas<. c.- ;Cu*l es el peso ínio del 4A[ de las ca2as *s pesadas<. %olución: +n este caso a pesar de que el c*lculo de la distribución noral est* enarcada en el conte/to de una situación concreta, se (ace igual al e2ercicio anterior, seg?n sea el caso, e/cepto el ?ltio inciso que coo se ver* no pide probabilidad, si no el n?ero, esto se e/plicar* en el propio inciso. %e debe significar tabin qu cuando le piden proporción sólo ultiplican por 3AA la probabilidad y así obtienen dic(a proporción. a.- $ > 36 @ 3 - $ < 36 @ 3 - $Y < 36-3A.P @ @ 3 - $Y < -3A.P @ 3 - $Y < -3.4@ @ 3 - )z-3.4 @ 3 - A.3AN @ A.PO66 el PO.6[ de las ca2as tendr* pesos netos ayores de 36 onzas. b.- $35 < < 36 @ $=35-3A.P < Y < 36-3A.P> @ @ $-4A.P < Y < -3A.P@ $-4. < Y < -3.4 @ @ )z-3.4 - )z-4.A@ @ A.3AN - A.AAN4@ A.AOO6 el O.O6[ ó el 3A[ de las ca2as tendr*n pesos netos entre 35 y 3 onzas. c.- +n este inciso, piden el peso ínio del 4A[ de las ca2as *s pesadas. ;ónde est*n las ca2as *s pesadas< ;+n la parte izquierda o derec(a de la curva< por supuesto que en la parte derec(a de la curva, dibu2e o sobree esa punta:
10 5
Coo Y @ / - µσ y lo que interesa es \/] se puede buscar despe2ando ya que se tiene el valor de µ y σH y teniendo el *rea A.4A, se puede obtener Y en la tabla
µ @ 3
<
/
A.4A
8 %e dir* el *rea que se busca est* en la cola derec(a, entonces el signo que lleva Y, es positivo] pero ;de donde se obtendría el valor de Y<. el cuerpo de la tabla, ;por qu< $orque si se tiene un *rea qu es el 4A[ eso es equivalente a una probabilidad igual a A.4A, por tanto se buscaría en el cuerpo de la tabla no en la priera coluna una probabilidad igual o uy pró/ia a A.4A y se toa la Y que le corresponde, considerando (asta la apro/iación a la centsia, $+'! %I 0!"#' +L %IX! R7+ 0+X# 8Y8 + L# 0#BL#, ya que si el *rea que se busca est* en la cola derec(a, coo se di2o anteriorente, Y llevar* el signo positivo y si est* en la cola izquierda llevar* el signo negativo, esto es uy iportante para llevar a cabo bien el c*lculo de 8/8. +n este caso el valor que *s se apro/ia a A.4A en el cuerpo de la tabla es la Y @ -A.P, coluna 6, por tanto es -A.P6, pero, ;porque digo que esto es una probabilidad de A.4A<, $orque debeos de recordar que esta es una distribución sitrica y nos da el *rea acuulada. Luego ya se tienen todos los eleentos para sustituir en la forulaH en este caso se est* traba2ando con la cola derec(a por lo tanto la Y es positiva A.P6. %ustituios: Y σ + µ @ / A.P6 A.P K 3 @ A.NM4 K 3 @ 3.NM @ )í2ense que cuando el *rea que se busca est* a la derec(a, evidenteente el valor de que se busca debe ser ayor que µ, ientras que si es el izquierdo debe ser enor que µ %e podría (acer otro inciso de este iso corte: ;Cu*l ser* el peso */io del 3A[ de las ca2as enos pesadas< ;ónde se encontrarían las ca2as enos pesadas< ;# la izquierda ó a la derec(a< 7na vez ubicado ;+l valor de Y ser* negativo ó positivo< ;+l valor de ser* ayor ó enor que 3< 0eniendo en cuenta todas estas interrogantes trata de resolver este inciso. A.3A UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU < µ@3
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+$eden realiar los ejercicios desde el 321 al 338, -$e est%n en la paginas desde la 221 a 229 del Laboratorio de #stad)stica ate&%tica .
!I#TRIBUION T2#TU!ENT 3 4I-UA!RA!O
+l estudio de estas dos distribuciones se circunscribe al ane2o de las tablas, ya que su aplicación se ver* en la +stadística "ate*tica II en el pró/io seestre. I%0'IB7CI` 01%07+0. +s una distribución continua de considerable iportancia pr*ctica, uy utilizada en la teoría de uestras pequeDas, con la que se traba2ar* en el capo de la inferencia. La distribución t1student es la distribución de la variable: t
X =
Y / ν
onde ν es la letra griega nu, que es un entero positivo, conocida por grados de libertad. Las variables 88 y 8&8 son variables aleatorias independientes, donde 88 est* noralente distribuida con edia cero y desviación típica uno, y 8&8 sigue una distribución Wi1Cuadrado con n? grados de libertad. %iendo su función de probabilidad: f (t )
=
K ν (1 + t / ν ) (ν +1)/ 2 2
K ν Constante
que depende de
ν
+n esta distribución µ @ A para ν @ 4, 5H σ4 @ ν ν - 4 para ν @5, 6 Cuando ν nu crece la variable t tiende a la distribución noral con µ @ A y σ @ 3, es decir coincide con la noral estandarizada. +sta distribución es sitrica, coo la noral, pero es un poco *s ac(atada que ella. +st* tabulada la función de distribución, coo ustedes saben que acuula desde - ∞ (asta un punto, en este caso la tabla de t1student que est* en la selección de tabla estadística est* tabulada desde enos infinito (asta la itad positiva de t. #quí pasa lo iso que en la distribución noral que coo µ @ A los valores de t a la izquierda son negativos y a la derec(a son positivos, $+'! L# $'!B#BILI# %I+"$'+ +% $!%I0I9#. La estructura de esta tabla es la siguiente: 0abla liitada para algunos valores de ν nu, no es posible el total de valores, que est*n ubicados en la priera coluna. !9+#: el *rea se encuentra en la priera fila las probabilidades, y en el cuerpo de la tabla los valores de 8t8.
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La razón apuntada anteriorente, de que est* tabulada la función de distribución, pero sólo los valores positivos de 8t8, lleva a tener que (acer algunas transforaciones cuando aparece un percentil con signo negativo, es decir si se tiene que buscar un *rea que corresponde a la cola izquierda, evidenteente el valor de 8t8 es negativo, en ese caso, se le cabia el sentido del signo de la desigualdad, lo que est* apoyado en la sietría de la distribución. e la isa fora si se traba2a con las propiedades de la función de distribución y se tiene el caso de una )t evaluada para alg?n valor de 8t8 negativo, coo en principio cabia la desigualdad, entonces ser* =3 - )t con el valor correspondiente positivo>. +2eplo: %e tiene una 9ariable aleatoria 8/8, con distribución t1student, resuelva las siguientes proposiciones: a.- 'epresente gr*ficaente y calcule $t3M > -A.5O4 b.- Qalle $t3M < A.PN5 c.- 'esuelva $-3.AM < t3M < 4.O d.- iga el valor de $t3M < - A.56 e.- Calcule $-3.M6 < t3M < -A.4M f.- Qalle tG las que $t3M < tG @ A.M g.- Qalle entre que valores t 3 y t4 se encuentra una probabilidad central del A.MA si t3M. %olución:
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a.- $t3M > -A.5O4 @ $t3M < A.5O4 @ )t A.5O4 @ A.N %e busca en 3M grados de libertad un valor igual o pró/io a A.5O4 y el valor que le corresponde ubicado en la priera fila es la probabilidad buscada. & así se procede en todos los casos. Xr*ficaente se puede observar seg?n figura # y B: )ig. # +sto es lo que piden, el *rea sobreada
t @ -A.5O4 %in ebargo la fig. B uestra lo que calcula la tabla, el *rea sobreada en la cola izquierda.
µ@A
t @ A.5O4
)ig. B +sto es, la tabla calcula desde - ∞ (asta el *rea positiva, gracias a la sietría de la distribución, el *rea sobreada en cada figura son iguales por tanto se obtiene de esta fora la probabilidad buscada. b.- $t3M < A.PN5 @ )tA.PN5 @ A.PA $!' +)IICI! + )/ c.- $-3.AM < t3M < 4.O @ )t4.O - )t-3.AM por propiedad de )/ @ )t4.O - =3 - )t3.AM> por ser 8t8 negativa @ A.OO - 3 - A.P @ A.OO - A.3 @ A.P6 d.- $t3M < -A.56 @ $t3M > A.56 @ 3 - )tA.56 por propiedad de )/ @ 3 - A.MA @ A.5A e.- $-3.M6 < t3M < -A.4M @ )t-A.4M - )t-3.M6 por propiedad de )/ @=3 - )tA.4M> - =3 - )t3.M6> por estar las dos 8t8 negativas @ 3 - A.NA - 3 - A.O@ @ A.6A - A.A @ A.5 f.- $t3M < tG @ A.M @@@@ tG @ A.NPO g.- $t3 < t3M < t4 @ A.M para buscar estos dos valores, se grafica la distribución, se dibu2a un *rea central igual a A.MA y los A.5A restantes se dividen para las dos colas:
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A.P
A.3 A.MA A.3 Buscando esta *rea se obtiene el valor de 8t8 positivo en la tabla es decir de t4 y el valor de t 3 es el iso con signo negativo, debido a la sietría de la distribución.
t3
A
t4
e esta parte pueden (acer los e2ercicios 5NP a 5MN, que est*n en la pagina 46O a 45. DISTRIBUCION I-CUADRADO
+sta distribución fue introducida por Qelert en 3PMN. %i 3, 4, ... v, son variables aleatorias noralente distribuidas e independientes con edia cero y varianza 3, la sua de sus cuadrados, se representan en general por χ4 Wi-Cuadrado ó C(i-cuadrado y donde :
χ4 @ 43 K 44 K ... K 4v # la distribución, se le llaa distribución de Wi-cuadrado, siendo su función de densidad: Cuando / > A f ( x ) = K χ ( − 2 )/ 2 e -x/2 y ƒ(/ ) = 0 cuando / ≤ 0 +n esta función ν nu, es un entero positivo, que se le llaa grado de libertad de la distribución y ν es una constante que depende de ν ν
ν
$ara ν > 4 la curva de ƒ/ tiene un */io en / @ ν - 4 La distribución χ4 tiene coo µ @ ν y σ4 @4 ν Cuando νnu es grande ν > 5A la distribución χ4 se puede apro/iar a la distribución noral. !bserve que esta distribución depende de un sólo par*etro νnu. La función de distribución viene dada por: xk
∫
F ( x ) = f ( x ) dx 0
& est* tabulada para distintos valores de los grados de libertad el n?ero de variables independientes que intervienen en una e/presión dada +s una distribución deforada a la derec(a:
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A ∞ +structura de la tabla: 0abla liitada para algunos valores de νnu, no es posible el total en el recorrido A < / < ∞ ovedad: +l *rea o probabilidad se encuentra en la priera fila y en la priera coluna los grados de libertad, y en el cuerpo de la tabla est*n los valores de 2icuadrado. Coo lo que est* tabulado en la función de distribución, la isa proporciona el *rea desde cero (asta un punto.
EEMPLO/
%e conoce que una variable en estudio tiene una distribución χ4, resuelva las siguientes proposiciones: a.- Calcule $ χ43M >3A.3 y represente el *rea en un gr*fico. b.- Qalle $.M < χ43M < 43.N c.- iga el valor de $ χ43M < 4M.N d.- Qallar G si $ χ43M > χ4G @ A.P e.- Calcule la $M.N < χ43M < 3N.5 f.- Qallar los g.l. que satisfacen $ χ4 > P.O @ A.OO g.- e la lectura de los valores en la tabla de )/ diga que valores χ43 y χ44 alrededor de χ443 @ 4A.5 foran probabilidades de *reas centrales. %olución:
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a.- $χ43M > 3A.3 @ 3 - $ χ43M < 3A.3 @ 3 - )χ43A.3 se busca en la tabla a partir de ν @ 3M @ 3 - A.3A el valor en esa línea @ 3A.3 y el valor @ A.OA que le corresponde en la priera fila es la probabilidad buscada, resultando en este caso igual a A.3A. & así se procede en todos los casos. +sta tabla es siilar a la de t1student en la fora de proceder para obtener la probabilidad. #quí en este inciso se aplicó una de las propiedades de la )/. b.- $.M < χ43M < 43.N @ ) χ443.N - )χ4.M por propiedad de )/ @ A.PA - A.AA @ A.M c.- $χ43M < 4M.N @ ) χ44M.N @ A.O por definición de )/ d.- $χ43M > G @ A.P @@@ $ χ43M < G @ A.4A por tanto G @ 34 e.- $M.N < χ43M < 3N.5 @ ) χ43N.5 - )χ4M.N @ A.A - A.A4 @ A.6M por propiedad de )/ 4 f.- $χ > P.O @ A.OO @@@ $ χ4 < P.O @ A.A3 por tanto ν @ 43 esto se obtiene recorriendo los valores de χ4A.A3 y donde est P.O ó un valor pró/io a l, y se busca el grado de libertad que le corresponde a este valor. g.- $untos χ43 y χ44 sitricos que foran un *rea central con χ443 @ 4A.5 son:
χ43 χ44 $robabilidad 3M.4 45.O A.5A A.MA 3.6 4N.4 A.4A A.PA 35.4 4O.N A.3A A.OA 33.N 54.M A.A A.O 3A.5 5. A.A4 A.OM P.O 5P.O A.A3 A.OO P.A5 53.6 A.AA A.OO
*rea A.6A A.NA A.PA A.OA A.O A.OP A.OO
e esta distribución puede (acer los e2ercicios 5NA a 5NN del laboratorio de +stadística "ate*tica I en las p*ginas desde la 465 a 46N.
Distribucin % !e %is6er
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AUTOEVALUACION <.- ;Cu*les son las características de la distribución noral .- ;Ru par*etros la definen< ;.- ;Ru distribución tiene Y, y cu*les son su edia y varianza<
