TEMA TE MA 3 - PR PROB OBAB ABIL ILID IDAD AD
B2
B4
A
B1
( )
B3
( )
( )
( )
TEMA 3: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Definición de probabilidad y propiedades
3.
Probabilidad condicionada y total
4.
Independencia Independenc ia de sucesos
5.
Teorema de Bayes
1. Introducción incertidumbre sobre un suceso ¿ocurrirá o no? Probabilidad: medida de la incertidumbre
SUCESO: resultado de un experimento Ejemplo A: sacar un dos al lanzar un dado B: sacar más de 3 al lanzar un dado C: que el ordenador O tarde más de 10 sg en hacer la tarea T D: que el material M1 resista el peso P
Antes de realizar el experimento: ¿Observaremos el suceso o no?
Probabilidad= medida de la incertidumbre sobre dicho suceso
1. Introducción
Conceptos importantes
EXPERIMENTO: Cualquier procedimiento de obtención de un dato, dadas unas condiciones de experimentación
Si obtenemos un nuevo dato manteniendo constantes las condiciones de experimentación estamos REPITIENDO el experimento
Ejemplo: comprobar si una muestra del material M1 resiste el peso P Ejemplo: cronometrar el tiempo que el ordenador O tarda en hacer la tarea T Ejemplo: medir la longitud de una pieza del tipo T producida por la máquina M Ejemplo: calcular el resultado de sumar 10+4
1. Introducción Tipos de experimentos Experimento determinista:
es aquél en el que cada vez que se repite se obtiene el
mismo resultado ¿Por qué?
porque las condiciones de experimentación contiene a TODOS los factores que influyen Ejemplo: calcular el resultado de sumar 10+4
Experimento aleatorio:
es aquél en el que no siempre se obtiene el mismo
resultado = INCERTIDUMBRE ¿Por qué?
porque las condiciones de experimentación NO contiene a TODOS los factores que influyen. Ejemplo: comprobar si una muestra del material M1 resiste el peso P Ejemplo: cronometrar el tiempo que el ordenador O tarda en hacer la tarea T Ejemplo: medir la longitud de una pieza del tipo T producida por la máquina M
1. Introducción SUCESO ELEMENTAL: cada uno de los resultados elementales del experimento aleatorio Ejemplo: Al lanzar un dado, los sucesos elementales son 1,2,3,4,5,6 Al medir el tiempo de realización de una misma tarea, los sucesos elementales son infinitos
SUCESO COMPUESTO: unión de sucesos elementales Ejemplo: Al lanzar un dado, sacar un número par : {2,4,6}
SUCESO CONTRARIO o COMPLEMENTARIO: El suceso complementario a A , Ā , es el que se observa cuando no ocurre A
Ejemplo: Al lanzar un dado, sacar un número par A:{2,4,6} y su contrario será sacar impar, Ā :{1,3,5}
1. Introducción
ESPACIO MUESTRAL: conjunto de todos los sucesos posibles en un experimento. E. Se suele definir uniendo los elementales. También se le llama el
Suceso Seguro
Ejemplo Al lanzar un dado, E={1,2,3,4,5,6} Al medir el tiempo de realización de una tarea = { ≥ 0}
SUCESO IMPOSIBLE o VACÍO:
suceso que nunca puede observarse, Ø
Ejemplo Al medir el tiempo de realización de una tarea Ø = { < 0}
1. Introducción Diagrama de Venn Representación gráfica de sucesos: nos representa los diferentes
sucesos que pueden observarse al realizar un ‘experimento aleatorio’
E
A B
C
E A
Ā
A Ā =E
Ejemplo: sucesos elementales al lanzar un dado
1
2
3
4
5
6
1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6=E
10
1. Introducción Unión de sucesos o ‘suceso unión’: es el suceso que ocurre cuando ocurre alguno de los que se unen.
A
B
A
A
B
o bien
B
A+B
Ejemplo:
A: sacar 2 ó 3 al lanzar un dado; A={2,3} B: sacar un número par; B={2,4,6}
A+B={2,3,4,6}
1. Introducción Intersección de sucesos o ‘suceso intersección’: es el suceso que ocurre cuando los sucesos ocurren simultáneamente.
A
B
A
Ejemplo:
B o bien AB
A
B
A
B= Ø
(sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes)
A: sacar 2 ó 3 al lanzar un dado; A={2,3} B: sacar un número par; B={2,4,6}
AB=suceso en A y en B={2}
TEMA 3: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Definición de probabilidad y propiedades
3.
Probabilidad condicionada y total
4.
Independencia de sucesos
5.
Teorema de Bayes
2. Definición de probabilidad y propiedades A : suceso en el que estamos interesados. Ejemplo, A: sacar cara al lanzar una moneda Ejemplo, B: tardar más de 10 sg en realizar una tarea Ejemplo, C: que mañana llueva Ejemplo, D: que apruebe la asignatura Hacemos el experimento y ...
¿Observaremos el suceso A?
Medida de la incertidumbre de observar A.
P(A)
Probabilidad de observar el suceso A en la siguiente repetición del experimento aleatorio
Probabilidad de un suceso A : es la frecuencia relativa de aparición del suceso si repitiésemos el experimento indefinidamente • 0 () 1
• (Ø) = 0
• () = 1
• (Ā) = 1 − ()
2. Definición de probabilidad y propiedades
A
B
Para sucesos mutuamente excluyentes ( + ) = () + ()
Si no restamos ( ∩ B), estamos contando el suceso intersección dos veces
Si no son mutuamente excluyentes ( + ) = () + () − ( ∩ )
A
B
2. Definición de probabilidad y propiedades Ejemplo
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente:
Tipo I
Tipo II
TOTAL
Aceptables
46
184
230
Defectuosas
4
16
20
TOTAL
50
200
250
Si seleccionamos un artículo al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
P(Defectuoso)=20/250=0.08
Si seleccionamos un artículo al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea del Tipo II?
P(Tipo II)=200/250=0.80
Ejemplo
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente:
Tipo I
Tipo II
TOTAL
Aceptables
46
184
230
Defectuosas
4
16
20
TOTAL
50
200
250
Un comprador quiere una pieza del Tipo II que funcione. Se extrae una pieza al azar de las 250 ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pieza que no le valga)
Solución 1: no vale = 1 − = 1 − Aceptable ∩ 8 = 1 − = 0.264
Ejemplo
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente:
Tipo I
Tipo II
TOTAL
Aceptables
46
184
230
Defectuosas
4
16
20
TOTAL
50
200
250
Un comprador quiere una pieza del Tipo II que funcione. Se extrae una pieza al azar de las 250 ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pieza que no le valga)
Solución 2:
P(no vale)=P(Defectuosa Tipo I) =P(Defectuosa)+P(Tipo I)-P(Defectuosa Tipo I) =
20 50 4 + 0.264 250 250 250
TEMA 3: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Definición de probabilidad y propiedades
3.
Probabilidad condicionada y total
4.
Independencia de sucesos
5.
Teorema de Bayes
3. Probabilidad condicionada y total La probabilidad de un suceso depende de la información que tengamos A: sacar un 2 al lanzar un dado ¿Y si nos dicen que el número que ha salido es par?
P(A)=1/6
P(A sabiendo que ha salido un número par) =1/3>1/6
Probabilidad condicionada Notación: Definimos el suceso que no se ha observado aún y el que sí se ha observado
• Suceso que no sabemos si se observará: A . Por ejemplo A: sacar un 2 • Suceso conocido: B. Por ejemplo B: es un número par Probabilidad de A condicionada a B Probabilidad de A dado B
P(A|B)
3. Probabilidad condicionada y total Ejemplo
En una sala hay 300 personas, que se pueden clasificar de la siguiente forma:
Chicas
Chicos
TOTAL
Fuman
15
15
30
No fuman
105
165
270
TOTAL
120
180
300
Si seleccionamos a una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumadora? Si seleccionamos a una persona al azar y vemos que es chico, ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador?
P(Fuma)=30/300=0.10 P(Fuma|Chico)=15/180=0.083 Ya sabemos que es chico
15 P(Fuma | Chico) 180
3. Probabilidad condicionada y total En una sala hay 300 personas, que se pueden clasificar de la siguiente forma:
Ejemplo
Chicas
Chicos
TOTAL
Fuman
15
15
30
No fuman
105
165
270
TOTAL
120
180
300
nº de personas que son chicos Y fuman 15 180 nº de chicos 15/ 300 (nº de personas que son chicos Y fuman)/(nº de personas) 180/ 300 (nº de chicos)/(nº de personas)
P (Fuma | Chico)
15/300 P(Fuma Chico) 180 / 300 P(Chico)
P(Fuma Chico) P(Fuma | Chico) P(Chico)
Regla de la probabilidad condicionada
P( A | B)
P( A
B)
P (B )
De esta regla también puede tenerse
P( A
B)
P ( A | B )P (B )
Análogamente:
P (B | A )
P( A
B)
P ( A)
P( A
B)
P (B | A )P (A ) 23
Regla de la probabilidad total Sean B1,B2,...,Bn sucesos de un experimento cuya unión sea E n
B2
Bi
B4 i
A
1
Sea A otro suceso que se observa al mismo tiempo que los sucesos Bi Ejemplo:
B1
E
B3
B1: ser varón B2: ser mujer
B1
B2
E
A: ser fumador
Problema Queremos saber P(A: ser fumador), pero lo que sabemos es P(A|varón) y P(A|mujer) ¿Cómo podemos reconstruir la probabilidad total?
Regla de la Probabilidad Total n
P ( A)
P A | Bi P (Bi ) i
1
24
B2
P ( A)
B4
A
P( A
n
Bi
como i
B1
E
1
B3
n
P ( A)
P A
Bi i
(A
B1)
(A
E)
B2)
P ( A)
(A
B3)
P
(A
A
1
B4)
B1
A
B2
A
Bn
mutuamente excluyentes
P ( A)
P A
B1
P A
B2
P A
Bn 25
B2
B4
P ( A) A
P A P A
B1
B1
P A
B2
Bn
B3 usando que
(A
B1)
(A
P ( A)
B2)
(A
B3)
(A
P A | B1 P (B1 )
P( A
B4)
Bi )
P ( A | Bi )P (Bi )
P A | B2 P (B2 )
P A | Bn P (Bn )
Regla de la Probabilidad Total n
P ( A)
P A | Bi P (Bi ) i
1 26
B2
B4
Regla de la Probabilidad Total n
A
P ( A)
P A | Bi P (Bi ) i
B1
(A
1
B3
B1)
(A
B2)
Ejemplo:
(A
B3)
(A
B4)
B1: ser varón B2: ser mujer A: ser fumador
Queremos saber P(A: ser fumador), pero lo que sabemos es P(A|varón) y P(A|mujer)
P(Fumador)=P(Fumador|Mujer)P(Mujer)+P(Fumador|Varón)P(Varón)
3. Probabilidad condicionada y total Ejemplo En una sala hay 300 personas, que se pueden clasificar de la siguiente forma:
Chicas
Chicos
TOTAL
Fuman
15
15
30
No fuman
105
165
270
TOTAL
120
180
300
P(Fuma|chica)=15/120=0.125
P(Fuma|chico)=15/180=0.0833
P(Chica)=120/300=0.40
P(Chico)=180/300=0.60
P(Fuma)=P(Fuma|Chica)P(Chica)+P(Fuma|Chico)P(Chico)
0.125 0.40 0.0833 0.60 0.10
TEMA 3: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Definición de probabilidad y propiedades
3.
Probabilidad condicionada y total
4.
Independencia de sucesos
5.
Teorema de Bayes
4. Independencia de sucesos La información que tengamos de uno de ellos no nos sirve para conocer mejor el otro
¿Qué significa que dos sucesos A y B sean independientes ?
La probabilidad de uno de ellos no cambia por observar o no el otro
P(A|B)=P(A) ; P(B|A)=P(B) Ejemplos:
A: sacar 2 con un dado B: sacar cara con una moneda
B: sacar número par con un dado
B: sacar número impar con un dado
P(A)=1/6; P(A|B)=1/6=P(A) son independientes
P(A)=1/6; P(A|B)=1/3 P(A) son dependientes
P(A)=1/6; P(A|B)=0 P(A) son dependientes
4. Independencia de sucesos Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de uno de ellos no cambia por observar o no el otro
P(A|B)=P(A) ; P(B|A)=P(B)
por la regla de la probabilidad condicionada
P( A | B)
P( A
B)
P (B )
P( A
Independencia:
Dependencia:
P ( A)
P( A
B)
P ( B | A)
B)
P(B | A)P( A)
P( A
P ( A)
P ( A)P (B ) ó
P( A
B)
B)
P( A | B)P(B)
P (B )
4. Independencia de sucesos Ejemplo
Unas piezas cilíndricas pueden ser defectuosas por tener una longitud inadecuada o por tener un diámetro inadecuado, siendo ambos tipos de defectos independientes. Si la proporción de cilindros con longitud inadecuada es de 5% y la de cilindros con diámetro inadecuado es del 3%. ¿Qué porcentaje de cilindros son defectuosos?
P(longitud inadecuada)=0.05 P(diámetro inadecuado)=0.03
P(defecto)=P(long diam) =P(long)+P(diam)-P(long diam)
P(long diam)=P(long) P(diam)=0.05 0.03=0.0015
sucesos independientes
P(defecto)=P(long)+P(diam)-P(long diam)=0.05+0.03-0.0015=0.0785
2. Definición de probabilidad y propiedades
Ejemplo
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente:
Tipo I
Tipo II
TOTAL
Aceptables
46
184
230
Defectuosas
4
16
20
TOTAL
50
200
250
Se extraen, con reposición, dos piezas. ¿Cuál es la probabilidad de ambas que sean del Tipo I?
Ejemplo
Una máquina ha producido 50 piezas del Tipo I y 200 del Tipo II. Cada una de estas piezas puede ser defectuosa o aceptable. La distribución bivariante es la siguiente:
Tipo I
Tipo II
TOTAL
Aceptables
46
184
230
Defectuosas
4
16
20
TOTAL
50
200
250
Se extraen, con reposición, dos piezas. ¿Cuál es la probabilidad de ambas que sean del Tipo I?
Solución: Los resultados de ambas extracciones son sucesos independientes. Por tanto P( A B ) P ( A)P (B )
50 50 0.04 250 250
Si sacamos con reposición dos piezas, y repetimos este experimento indefinidamente, sólo el 4% de las veces obtendremos dos piezas del Tipo I
EJERCICIOS Un sistema está formada por 3 componentes como indica el gráfico. El sistema funciona siempre que haya conexión entre los puntos A y B. Los 3 componentes que se encuentran en la red tienen una probabilidad de fallo de 0.05, siendo sus estados (funcionando/averiado) independientes unos de otros. Calcula la probabilidad de que este sistema falle. Llamaremos : el componente funciona
A
B
3
Al estar los componentes en serie, el sistema funcionará si funcionan todos:
(Sistema)= ∩ ∩ 3 = 3 =
3
= 1 − 0.05
3
¿Qué fiabilidad (prob. de que funcione) deben tener los componentes individuales de un sistema de 10 componentes en serie para que la fiabilidad del conjunto del sistema sea superior a 0.99
A
=
> 0.99 ⇒ >?
…
B
EJERCICIOS
Un sistema está formada por 2 componentes en paralelo como indica el gráfico. La red funciona siempre que haya conexión entre los puntos A y B. Los 2 componentes que se encuentran en la red tienen una probabilidad de fallo de 0.05, siendo sus estados (funcionando/averiado) independientes unos de otros. Demuestra que al estar en paralelo, la probabilidad del sistema es mayor que la de cada componente individual. El sistema funciona si funciona algún componente. El sistema falla si ambos componentes fallan.
A
B
= ∪ = + − ∩ = + − )(
También se puede calcular usando el complementario:
Sistema funciona = 1 − Sistema falla = ҧ ∩ ҧ = ҧ )(ҧ
Un sistema está formada por 3 componentes en paralelo como indica el gráfico. La red funciona siempre que haya conexión entre los puntos A y B. Los 3 componentes tienen una probabilidad de fallo de 0.05, siendo sus estados (funcionando/averiado) independientes unos de otros. Calcula la fiabilidad de este sistema
A
= ∪ ∪ 3 = 1 − ҧ ∩ ҧ ∩ 3ҧ = 1 − ҧ ҧ 3ҧ
B
3
Cuántos componentes de los anteriores tengo que tener en paralelo para que la fiabilidad del sistema sea superior a 0.999999.
A
⋮
B
= ∪ ∪ ⋯ ∪ = 1 − ҧ ∩ ҧ ∩ 3ҧ ⋯ ∩ = 1 − ҧ = 0.999999
TEMA 3: Probabilidad
1.
Introducción
2.
Definición de probabilidad y propiedades
3.
Probabilidad condicionada y total
4.
Independencia de sucesos
5.
Teorema de Bayes
5. Teorema de Bayes
Problema:
Conocemos P(B|A), ¿Cómo podemos calcular P(A|B)?
¿P(A|B)? Por la regla de la probabilidad condicionada
P( A | B)
pero también tenemos que
P ( B | A)
P( A
B)
Teorema de Bayes
P( A | B)
P (B | A)P ( A) P (B )
P( A
B)
P (B ) P( A
B)
P ( A)
P(B | A)P( A)
5. Teorema de Bayes Ejemplo
Una empresa que gestiona la red de una gran empresa adquiere un antivirus con las siguientes características. Si hay virus, da la alarma con probabilidad 0.95. Aunque no haya virus, hay una probabilidad de 0.08 de que dé una falsa alarma de virus.
Si la red de dicha empresa suele recibir un ataque de virus por cada 1000 accesos, calcula la probabilidad de que cuando dé la alarma de virus, haya de verdad un ataque
A: al analizar un mensaje se da la alarma V: el mensaje tiene un virus
P( A | V )
0.95
P( A | V )
0.08
P(V )
P(V
| A)
P( A | V )P (V ) P( A)
Regla de la Probabilidad Total n
P ( A)
P A | Bi P ( Bi ) i
1
P(V
0.001
| A)
0.95 0.001 P( A)
