Tema 65

TEMA 65

SISTEMAS DE CONTROL: ELEMENTOS COMPONENTES, VARIABLES, FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA FUNCIONAL

Tema 65 . SISTEMAS DE CONTROL. Elementos componentes, variables, función de transferencia y diagrama funcional

INDICE A.- CONCEPTOS BASICOS............................................................................................... ...... ..........3 1.- Planta..................................................................................................... ............................................................................................................................................ ....................................... 3 2.- Proceso.................................................................................................... .......................................................................................................................................... ...................................... 3 3.- Sistema.............................................................................................................. .......................................................................................................................................... ............................ 3 4.- Perturbaciones............................................................................................................................. 3 5.- Entrada de mando ....................................................................................................................... 3 6.- Selector de referencia.................................................................................................................. 4 7.- Entrada de referencia..................................................................................................... ........ ............ .... 4 8.- Unidad de control ........................................................................................................................ 4 9.- Salida.................................................................................................................. ................................................................................................................................. ........................ ........... .. 4 10.- Sistema de control en bucle abierto ....................................................................................... .. 4 11.- Elemento de realimentación.......................................................................................... ......... ........... .. 4 12.- Señal activa......................................................................................................................... ....... 4 13.- Sistema de control de bucle cerrado........................................................................................ 5

B.- SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO LAZO ABIERTO............................................. ...... ............ ............ .......... ....6 B.1. Elementos de control................................................................................................................. 6

C.- SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO LAZO CERRADO................................................ ...... ............ ........... .....8 D.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.............................................................................. ...... .......... ....12 12 E.- DIAGRAMAS FUNCIONALES O DE BLOQUES............................................................. ....14 14 E.1.- Conexión en serie ................................................................................................................... 15 E.2.- Conexión en paralelo ............................................................................................................. 16 E.3.- Conexión en anillo con realimentación directa............................................................... .... 17 E.4.- Conexión en anillo con realimentación a través de un segundo elemento ........................ 19 E.5.- Transposición Transposición de ramificaciones y nudos.................................................................... ........ 20

F.- ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DE CONTROL...... ............ ............ ............ ........... ..... .... ....... .....23 F1.- Método de Routh.......................................................................................................... ..................................................................................................................... ........... 23 F2.- Método del diagrama de Bode .............................................................................................. 24

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A.- CONCEPTOS CONCEPTOS BASICOS

1.-

Planta Conju onjun nto de comp compo onen nentes tes y piez piezas as que que van van a ten tener un determinado objetivo.

2.-

Proceso Conjunto de operaciones que van a suceder y que tendrán un fin determinado.

3.-

Sistema Conjunto Conjunto de compone componentes ntes que actúan actúan juntos juntos para realiza realizarr el control.

4.-

Perturbaciones Señale Señales s indese indeseada adas s que interv intervien ienen en de forma forma advers adversa a en el func funcio iona nami mien ento to de un sist sistem ema. a. Pued Pueden en ser ser inte intern rnas as (si (si se generan dentro de un sistema) o externas (si se generan fuera y constituyen una entrada).

5.-

Entrada de mando Señal excitadora del sistema que es independiente de la salida del mismo.

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6.-

Selector de referencia Elemento que se coloca para tener una referencia, es la unidad que establece el valor de la entrada de referencia. Se calibra en función del valor deseado en la salida del sistema.

7.-

Entrada de de re referencia Señal producida producida por el selector de referencia. referencia.

8.-

Unidad de control Unidad que reacciona reacciona con la señal señal activa para producir la salida deseada. Realiza el trabajo de gobernar la salida.

9.-

Salida Cantidad que debe mantenerse en un valor fijado de antemano. Se considera la variable gobernada.

10.10.- Sistem Sistema a de contro controll en en bucle bucle abiert abierto o Sistema en el que la salida no tiene influencia sobre la entrada.

11.1.- Elem Elemen ento to de de real realim imen enta taci ción ón Unidad que facilita medios para aumentar o disminuir la señal de salida.

12.- Señal ac activa Seña eñal que que es la dife diferrenci encia a entr entre e la señal eñal de ent entrada rada de referencia y la salida realimentada.

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13.13.- Sistem Sistema a de contro controll de de bucle bucle cerrad cerrado o Sistema en el que la salida afecta a la entrada de tal manera que mantenga el valor de salida deseado.

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B.B.- SIST SISTEM EMAS AS DE DE CONT CONTRO ROL L EN EN LAZO LAZO ABIE ABIERT RTO O Son sistemas en los que la salida no tiene efecto sobre la acción de control (es decir, que la señal de salida no tiene influencia en la señal de entrada). La

variable

que

queremos

controlar

puede

diverger

cons consid ider erab able leme ment nte e del del valo valorr dese desead ado o debi debido do a la pres presen enci cia a de perturbaciones externas, por lo que en este tipo de sistemas interesa una buena calibración de los componentes que forman las diversas etapas, así como la inexistencia de dichas pertur baciones.

B.1. B.1. Elem Elemen ento tos s de de con contr trol ol Los elementos componentes de un sistema de control en lazo abierto son los siguientes:

•

Transductor Elem Elemen ento tos s que que tran transm smit iten en info inform rmac ación ión de su entr entrad ada a a su salida; transforman o adaptan un tipo de energía a otro tipo de energía energía más apto o convenie conveniente nte para su utilizaci utilización ón por parte del controlador. Su misión consiste en transformar la señal de mando en otra señal denominada señal de referencia.

•

Amplificador Eleme lemen nto que que aumen umenta ta la amplit plitu ud o inte inten nsidad idad de un fenómeno.

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Los sistemas en lazo abierto responden al siguiente esquema:

Entrada

Elementos de control

Planta o Proceso

Salida

Ejemplo.- Sistema para mantener constante la temperatura de una habitación. La temp temper erat atur ura a es la vari variab able le físi física ca de entr entrad ada a que que se quie quierre controlar. El control sobre el proceso puede ser efectuado de varias formas, como muestra el diagrama de bloques siguiente:

Señal de mando

Señal de referencia

Transductor

•

Señal controlada

Amplificador

Proceso

El operador actúa sobre la señal de mando (que en este caso es la temp temper erat atur ura a dese desead ada) a).. Un comp compon onen ente te del del sist sistem ema a de control,

el

transductor, or,

se

encarga

de

transform ormar

una

dete determ rmin inad ada a magn magnit itud ud de entr entrad ada a en otra otra de sali salida da más más adecuada para su manipulación (señal de referencia).

•

La seña señall de refere eferenc ncia ia pasa pasa por por un ampl amplifi ifica cado dor, r, y una una vez vez ampl amplif ific icad ada a actú actúa a sobr sobre e el proc proces eso o para ara obte obtene nerr la seña señall

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cont contro rola lada da,, en este este caso caso la temp tempera eratu tura ra que que debe debe tene tenerr la habitación. En los procesos de lazo abierto tiene mucha importancia la variable tiem tiempo po (en (en nues nuestr tro o ejemp ejemplo lo,, el tiem tiempo po de func funcion ionam amie ient nto o de la calder caldera). a). Si, por ejempl ejemplo, o, las condic condicion iones es de temper temperatu atura ra exter exterior ior cambiasen, el sistema no tendría forma de saberlo y, por lo tanto, estarí estaría a funcio funcionan nando do el mismo mismo tiempo tiempo y sin conoci conocimie miento nto de esta esta pert pertur urba bació ción n exte exterio rior, r, cuan cuando do en real realida idad d tend tendría ría que que actu actuar ar en función de que la temperatura exterior subiera o bajara. Los cambios exteriores significan perturbaciones en el sistema a nivel de Proceso en el diagrama anterior. anterior. De todo ello se deduce que si en un sistema de lazo abierto existen perturbaciones no se obtiene la variable deseada, por lo que se tiene que recurrir a otro sistema de control. Ejemplos de sistema de control de lazo abierto:

•

Tostador Tostador de pan. pa n.

•

Máquina de lavar.

•

Puerta corredera automática.

•

Control de velocidad en un motor derivación.

C.C.- SIST SISTEM EMAS AS DE DE CONT CONTRO ROL L EN EN LAZO LAZO CERR CERRAD ADO O Si en un proc proces eso o

se

pres presen enta tan n

pert pertur urba baci cio ones nes,

result sulta a

más

conveniente cuantificar o referenciar la señal o variable controladora e intervenir en la cadena de mando para que la variable o señal controlada se parezca lo más posible a la señal de mando. Por ello es

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necesario realizar una realimentación de la variable de salida a la entrada. Este procedimiento se denomina control en lazo cerrado.

Su diagrama de bloques es el siguiente:

SEÑAL DE ENTRADA

SEÑAL DE SALIDA

SEÑAL ERROR

Elementos de control

Planta o proceso

ELEMENTOS DE REALIMENTACIÓN

Se definen los sistemas de control de lazo cerrado como aquellos sistemas en los que existe una realimentación de la señal de salida, es decir, aquellos sistemas en los que la señal de salida tiene efecto sobr sobre e la acci acción ón de cont contro rol. l. Otra Otra form forma a de repr repres esen enta tarl rlo o sería sería la siguiente:

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SEÑAL DE MANDO

SEÑAL DE REFERENCIA

SEÑAL ACTIVA

Transductor

SEÑAL MANIPULADA Regulador

SEÑAL CONTROLADA Proceso

Captador

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En algunas ocasiones, la señal controlada y la señal de referencia no son de la misma naturaleza. El instrumento encargado de detectar la señal de salida para utilizarla de nuevo es el Captador Captador (dispositivo (dispositivo que recoge recoge una información información y, en función de ella, proporciona una señal al sistema). Este elemento mide la señal controlada y la transforma en una señal que puedan entender el resto de los componentes del sistema controlador. Los tipos más habituales de señales son neumáticas o eléctricas. eléctri cas. El siguiente paso consiste en comparar la señal de referencia con la seña eñal contr ontrol olad ada a (qu (que el capt aptador ador ha tran transf sfo ormado mado en seña eñal realimentada) para determinar cual es la diferencia existente entre amba ambas. s. Esta sta oper operac ació ión n se reali ealiza za medi median ante te un Comp Compar arad ador or que que prop propor orcio ciona na a su sali salida da una una seña señall de erro errorr. La seña señall de erro errorr se

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En algunas ocasiones, la señal controlada y la señal de referencia no son de la misma naturaleza. El instrumento encargado de detectar la señal de salida para utilizarla de nuevo es el Captador Captador (dispositivo (dispositivo que recoge recoge una información información y, en función de ella, proporciona una señal al sistema). Este elemento mide la señal controlada y la transforma en una señal que puedan entender el resto de los componentes del sistema controlador. Los tipos más habituales de señales son neumáticas o eléctricas. eléctri cas. El siguiente paso consiste en comparar la señal de referencia con la seña eñal contr ontrol olad ada a (qu (que el capt aptador ador ha tran transf sfo ormado mado en seña eñal realimentada) para determinar cual es la diferencia existente entre amba ambas. s. Esta sta oper operac ació ión n se reali ealiza za medi median ante te un Comp Compar arad ador or que que prop propor orcio ciona na a su sali salida da una una seña señall de erro errorr. La seña señall de erro errorr se denomina señal activa, y es la que entra al Regulador o Controlador. El regul egulad ador or o cont contro rola lado dorr debe debe actu actuar ar de forma forma que que la varia variabl ble e controlada siga las variaciones de la variable de referencia o corrija los efectos de las perturbaciones con la máxima rapidez, la máxima exactitud y el mínimo de oscilaciones posible. En este este elem elemen ento to se debe deben n ajus ajusta tarr ópti óptima mame ment nte e una una seri serie e de parámetros para obtener la respuesta deseada, por ello se considera el núcleo del sistema controlador. A la salida del controlador obtenemos la variable o señal correctora prec precis isa a para para cons conseg egui uirr un cont contrrol ópti óptimo mo del del sist sistem ema. a. Puede ueden n util utiliz izar arse se

cont contro rola lado dorres

mecá mecáni nico cos, s,

eléc eléctr tric icos os,,

hidr hidráu áuli lico cos s

y

neumáticos.

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Un ejem jemplo de control en bucle cerrado es el control de la temp temper erat atur ura a de una una habi habita taci ción ón medi median ante te un term termos osta tato to.. Este Este elem elemen ento to comp compar ara a la temp temper erat atur ura a indi indica cada da por por el sele select ctor or de refere erencia

con

la

temperatura

ambien iente

de

la

habitación ión,

proporcionando en el caso de no ser iguales una señal activa que actú actúa a sobr sobre e la cald calder era a para para pone ponerl rla a en mar marcha cha hast hasta a que que las las diferencias de temperaturas sean nulas. La adecuación de la variable controlada ante una variación de la señal de mando o una perturbación no es instantánea, requiere un tiempo dete determ rmin inad ado. o. La varia variació ción n en func función ión del del tiem tiempo po de la varia variabl ble e controlada es de gran importancia para el diseño y dimensionado del sistema de regulación. La estabi estabilida lidad d es una condic condición ión impre impresci scindi ndible ble en un sistem sistema a de control. Como Como ejemplo ejemplos s de sistem sistemas as de contr control ol en lazo lazo cerrad cerrado, o, podemo podemos s citar:

•

Mecanismo de llenado de una cisterna de agua.

•

Control del nivel de potencia de un reactor nuclear.

•

Sistemas de control de nivel de líquidos

D.D.- FUNCI UNCIÓN ÓN DE TRANS RANSFE FERE RENC NCIA IA El

comportamiento

de

un

elemento

puede

describirse

matemáticamente mediante la función de transferencia o respuesta en frecuencia.

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Cono Conoci cida das s las las ecua ecuacio cione nes s que que defi define nen n el comp compor orta tami mien ento to de los los elem elemen ento tos s de un sist sistem ema, a, éste éste pued puede e estu estudi diar arse se por por el méto método do operacional de Laplace, según el cual, si son conocidas las relaciones entradas-salidas de cada uno de los bloques, pueden deducirse otras relaciones de entrada-salida para éstos en el dominio de Laplace, denominadas funciones de transferencia. Funci unción ón de tran transf sfer eren enci cia a (G(s (G(s)) )) de un sist sistem ema a o comp compon onen ente te se define como el cociente de la transformada de Laplace de la señal de salida y la transformada de Laplace de la señal de entrada.

C(s) G(s) = R(s)

siendo s la variable compleja de Laplace. Es decir, dado un sistema cuya

función

de

transferencia

sea

conoc nocida,

y

obtenida

la

transformada de Laplace C(s) de la salida (o respuesta del sistema en el domi domini nio o de la vari variab able le comp comple leja ja s), s), para para hall hallar ar la respu espues esta ta temporal hay que calcular la inversa de la transformada de Laplace. La funció función n de trans transfer ferenc encia ia se obtien obtiene e transf transform ormand ando o al domini dominio o complejo la ecuación diferencial que caracteriza el comportamiento del sistema en el dominio temporal. La función de transferencia viene dada por un cociente de polinomios N(s) y D(s) en el dominio de la variable compleja s de Laplace (se pasa de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica).

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El denominador D(s) se conoce como Ecuación Característica, ya que incluye a través de sus coeficientes todas las características físicas de los elementos que componen el sistema. Las raíces, que son los valores para los que se hace cero la ecuación, determinan la estabilidad del sistema y la naturaleza de su respuesta para cualquier tipo de entrada. Un sistema lineal se dice que es estable cuando su respuesta a una entrada tiene un valor finito de reposo una vez desaparecida la señal de entrada, lo que equivale a decir que la respuesta en régimen permanente ha de tener un valor finito cuando el tiempo tienda a infinito (en otras palabras, un sistema es estable cuando mantiene su salida constante en un valor prefijado). Para ara que que un sist sistem ema a de regu regula laci ción ón sea sea esta establ ble, e, las las raíc raíces es de la ecuación característica o polos de la función de transferencia (valores para los que la función de transferencia se hace infinita) han de estar situados en el lado izquierdo del semiplano complejo de Laplace.

E.E.- DIAG DIAGRA RAMA MAS S FUN FUNCI CION ONAL ALES ES O DE DE BLO BLOQU QUES ES Una de las ventajas de la función de transferencia es la posibilidad de representar el comportamiento de cada uno de los componentes del sistema de control mediante un bloque funcional, caracterizado por su función de transferencia G(s). Un bloque funcional es un elemento que indica la función que realiza un dispositivo o componente en un sistema. El sistema queda así configurado como un conjunto de bloques unidos entre sí mediante flechas que indican el sentido de la circulación del flujo de la señal.

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La ven ventaja taja de los los diagr iagram amas as de bloq bloque ues s es que que la func funció ión n de transferencia del conjunto puede ser deducida a partir de las G(s) parciales, cuyo cálculo es más sencillo. Además

de

los

bloques

definidos

mediante

la

función

de

trans transfer ferenc encia, ia, interv intervien ienen en los compar comparado adore res s o detect detector ores es de error, error, cuya misión es efectuar la suma o diferencia de las señales, según el sign signo o que que indi indiqu quen en las las entr entrad adas as.. Un comp compar arad ador or pued puede e ser ser un potenciómetro, un amplificador diferencial, etc. Existe Existen n una serie serie de combin combinaci acione ones s básica básicas s de bloque bloques s según según la forma de conexión:

E.1.E.1.- Conex Conexión ión en seri serie e Se caracteriza por que la señal de salida de un bloque constituye la entrada del siguiente:

Y(s)

U(s) G1(s)

V(s) G2(s)

Para ara obte obtene nerr la func funció ión n de tran transf sfer eren encia cia glob global al,, se dete determ rmin ina a la función de cada bloque: Y(s) = G1(s) · U(s) V(s) = G2(s) · Y(s) = G1(s) · G2(s) · U(s) La función de transferencia total será:

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V(s) = G1(s) · G2(s) U(s) Por tanto, la función de transferencia de un circuito serie se obtiene mult multipl iplic ican ando do las las func funcio ione nes s de tran transf sfer eren enci cia a de cada cada uno uno de los los elementos.

U(s)

G1(s) · G2(s)

Vs

Puede modificarse el orden de factores, por lo que es posible alterar la posición de los diferentes dife rentes elementos.

E.2.E.2.- Conex Conexión ión en en paralel paralelo o Al conectar elementos en paralelo, se debe disponer un nudo o punto sumador a la salida.

V1(s G1(s) U(s)

V(s)

G2(s) V2(s

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Como se puede observar, un punto de suma es el lugar del sistema de control en el cual confluyen varias señales, siendo la señal de salida el resultado de realizar una serie de operaciones matemáticas con las señales de entrada. Las funciones de cada bloque son las siguientes: V1(s) = G1(s) · U(s) V2(s) = G2(s) · U(s) Estas señales se suman y dan lugar a la variable de salida V(s): V(s) = V1(s) + V2(s) = G1(s) · U(s) + G2(s) · U(s) La func funció ión n de tran transf sfer eren enci cia a tota totall será será la suma suma de las las dist distin inta tas s funciones de transferencia de cada uno de los elementos:

V(s) = G1(s) + G2(s) U(s)

U(s)

V(s) G1(s) + G2(s)

E.3.E.3.- Conexión Conexión en anillo anillo con realimen realimentació tación n directa directa Cuando hablamos de realimentación directa, aplicamos la señal de salida directamente al comparador, o lo que es lo mismo, la función de transferencia del lazo de realimentación es 1.

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El montaje sería el siguiente:

R(s)

U(s)

G(s)

V(s)

Las ecuaciones serían las siguientes: R(s) = U(s) - V(s) V(s) = G(s) · R(s) V(s) = G(s) · [ U(s) - V(s) ] = G(s) · U(s) - G(s) · V(s) V(s) + G(s) · V(s) = G(s) · U(s) V(s) · [ 1+G(s) ] = G(s) · U(s) La función de transferencia total en lazo cerrado con realimentación directa sería: V(s)

G(s) =

U(s)

U(s)

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1+ G(s)

G(s) 1+ G(s)

V(s)

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E.4. E.4.-- Cone Conexi xión ón en an anil illo lo co con n real realim imen enta taci ción ón a trav través és de un segundo elemento Cuando Cuando hablam hablamos os de reali realimen mentac tación ión a través través de un elemen elemento, to, la señal de salida se compara con la de entrada una vez multiplicada por por la func función ión de tran transf sfer eren enci cia a del del lazo lazo de real realim imen enta taci ción ón.. Esta Esta conexión

requiere

un

montaje

como

el

que

se

muestra

a

continuación: U(s)

V(s)

R(s) G(s)

X(s) H(s) En un sistema en lazo cerrado como éste, a la función de transferencia G(s) se la denomina función de transferencia directa, y a la función H(s) función de transferencia del lazo de realimentación. Las funciones correspondientes a cada elemento serían las siguientes: R(s) = U(s) – X(s) X(s) = H(s) · V(s) V(s) = G(s) · R(s) Sustituimos R(s) por su valor: V(s) = G(s) · [ U(s) – X(s) ] = G(s) · U(s) – G(s) · X(s) Sustituimos X(s) por su valor en la ecuación anterior: V(s) = G(s) · U(s) – G(s) · H(s) · V(s) [email protected]

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V(s) + G(s) · H(s) · V(s) = G(s) · U(s) V(s) · [ 1+G(s) · H(s) ] = G(s) · U(s) La función de transferencia total de un sistema en lazo cerrado con realimentación a través de un elemento sería la siguiente: V(s)

G(s) =

U(s)

1 + H(s) · G(s)

El sistema equivalente sería el siguiente:

U(s)

G(s)1+ G(s) · H(s)

V(s)

E.5.E.5.- Transpos Transposición ición de de ramificacio ramificaciones nes y nudos nudos En el proceso de reducción de diagramas de bloques, a veces interesa transponer un punto de bifurcación. El punto de bifurcación, como su nombre indica, es un punto de un sistema de control del cual parten varias ramas y en cada una de ellas tenemos la misma señal.

V1(s) = G(s) · U(s) U(s) G(s)

V2(s) = G(s) · U(s)

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El sistema sería equivalente a:

V1(s) = G(s) · U(s) G(s)

U(s)

G(s) V2(s) = G(s) · U(s)

La transformación puede realizarse también en sentido inverso; esto resulta también válido para todas las demás transformaciones. Con los puntos de suma ocurre lo mismo. A veces interesa transponer un sumador hacia la derecha o hacia la izquierda:

U1(s)

V(s) G(s)

U2(s)

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El sistema equivalente sería:

U1(s) G(s) V(s)

U2(s) G(s)

Resum esumie iend ndo, o, para para sim simplif plific icar ar un sist istema ema de cont contrrol se debe ebe determinar la función de transferencia de los bloques agrupados en serie serie,, para parale lelo lo o en anill anillo, o, y en ocas ocasio ione nes s se debe deben n tran transp spon oner er rami ramifi fica caci cion ones es y nudo nudos s para para que que los los sist sistem emas as qued queden en con con las las agrupaciones comentadas anteriormente.

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F.- ESTUD STUDIO IO DE LA EST ESTABI ABILIDAD IDAD DE UN SIST ISTEMA DE CONTROL Habíamos Habíamos comentad comentado o que la estabilidad estabilidad de

un sistema sistema de control control

queda determinada por la posición de los polos en el plano complejo: si éstos están situados en el semiplano de la parte real negativa, el sist sistem ema a será será esta establ ble. e. Pero ero si algu alguno no de ello ellos s se loca locali liza za en el semiplano de la parte real positiva, el sistema será inestable. Veamos cómo se puede abordar esto. La estabilidad de un sistema se determina por su respuesta a las ent entrad radas o pert pertur urba baci cio ones nes. Un siste istem ma est estable able es aquel quel que que permanece en reposo a no ser que se excite por una fuente externa, y pue puede volve olverr al repo eposo una vez vez que que des desapar parezca ezcan n tod todas las las excitaciones. La estabilidad se puede definir de las siguientes formas: 1. Un sistema sistema es estable estable si su respu respuesta esta al impulso impulso tiende tiende a cero cero a medida que el tiempo tiende a infinito. 2. Un sist sistem ema a es esta establ ble e si cada cada entr entrad ada a limit limitad ada a prod produc uce e una una salida limitada. Para determinar si un sistema es o no estable, se emplean varios métodos (Bode, Routh, Nyquist, Nichols). Los más utilizados son:

F1..- Méto F1 étodo de Rout Routh h

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Da una idea global del sistema. Dice si el sistema es estable o no, pero no indica nada sobre lo próximos que estamos a la estabilidad o inestabilidad. Refleja la estabilidad absoluta. Recordemos que la ecuación que nos indica si un sistema es estable o no es la ecuación característica (denominador de la función de transferencia en el dominio de Laplace). Para que un sistema sea estable, las raíces de dicha ecuación (polos de la función de transferencia) han de estar situadas en el semiplano real negativo. El criterio de estabilidad de Routh indica si hay o no raíces positivas en la ecuación polinómica sin tener que resolverla.

F2.F2 .- Méto Método do del del dia diagr gram amaa de Bode Bode Método en el que se representan la ganancia y el ángulo de fase en función de la frecuencia. Se puede ver lo próximos que estamos estamos a la estabilida estabilidad d o inestabilid inestabilidad. ad. Propor Proporciona ciona,, por tanto, la estabilidad relativa.

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