TD Hydraulique Generale MEPA2010

ECOLE NATIONALE DU GENIE DE L’EAU ET DE L’ENVIRONNEMENT DE STRASBOURG

HYDRAULIQUE GENERALE TRAVAUX DIRIGES

FORMATION Mastère Eau Potable et Assainissement

José VAZQUEZ

Sommaire 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2. 2.1. 2.2. 3. 3.1. 3.2.

HYDROSTATIQUE ....................................................................................................................................1 VARIATION VERTICALE DE PRESSION : EXERCICES BASIQUES .....................................................................1 VARIATION VERTICALE DE PRESSION : EXERCICES DE SYNTHESE ...............................................................6 FORCE HYDROSTATIQUE SUR DES PAROIS : EXERCICES BASIQUES ............................................................11 FORCE HYDROSTATIQUE SUR DES PAROIS : EXERCICES DE SYNTHESE.......................................................15 FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES : EXERCICES BASIQUES .........................................31 FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES : EXERCICES DE SYNTHESE ...................................32 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS ...........................................................................38 EQUATION DE BERNOULLI ........................................................................................................................38 THEOREME D’EULER ................................................................................................................................41 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES REELS : ................................................................................43 APPLICATIONS AUX CONDUITES EN CHARGES: EXERCICES BASIQUES ........................................................43 APPLICATIONS AUX CONDUITES EN CHARGES: EXERCICES DE SYNTHESE ..................................................57

José VAZQUEZ

Hydrostatique

1.

Hydrostatique 1.1.

Variation verticale de pression : Exercices basiques 1.1.1. Calculer la pression absolue et relative en Pa et en bars d’un point à une profondeur de 6m dans un réservoir à surface libre rempli d’eau. (1.589 bar, 0.589 bar) 1.1.2. Même question pour un point à une profondeur de 9m dans une huile de pétrole de densité 0,75. (1.66 bar, 66217 Pa) 1.1.3. Quelle profondeur d’huile de pétrole de densité 0,75 produit une pression relative de 2,75 bars? Quelle profondeur d’eau produit la même pression ? (Hhuile=37.4 m, Heau= 28m) 1.1.4. Trouver la pression relative au fond du réservoir contenant de l’eau sous pression.

Pression manométrique 500KPa

(519,6.103 Pa)

José VAZQUEZ

1

Hydrostatique 1.1.5. Calculer la pression manométrique en bars en A due à la dénivellation du mercure, de densité 13,57 dans le manomètre en U.

(Pa=1.01 bar) 1.1.6. Les récipients A et B contiennent de l’eau aux pressions respectives 2,80 et 1,40 bar. Déterminer la dénivellation h du mercure du manomètre différentiel.

(h=1.3 m) José VAZQUEZ

2

Hydrostatique 1.1.7. Trouver la différence de pression entre A et B.

(13.3 kPa) 1.1.8. Pour une pression manométrique en A de -0.110 bar, trouver la densité du liquide B contenu dans le manomètre de la figure suivante.

(d=0.8)

José VAZQUEZ

3

Hydrostatique 1.1.9. Le réservoir à surface libre de la figure ci-dessous possède deux piézomètres A et B et contient deux liquides non miscibles. Trouver la hauteur de la surface liquide dans le piézomètre A et B ainsi que la pression au fond du réservoir. (Densité A : 0.72, densité B : 2.36)

(ha=2 m, hb=0.82 m, 18,98.103 Pa) 1.1.10. Pour un manomètre affichant en A -17650 Pa, déterminer la hauteur des liquides dans les colonnes ouvertes du piézomètre E, F et G ainsi que la hauteur de mercure dans le manomètre en U.

Mercure

(HLH=-2.57 m, HNM=0.3 m, HQR=2.69 m, h1=0.61 m) José VAZQUEZ

4

Hydrostatique

1.1.11. Un manomètre différentiel est fixé entre deux sections A et B d’un tuyau horizontal où s’écoule de l’eau. La dénivellation du mercure dans le manomètre est de 0,60m. Quelle condition faut-il respecter pour appliquer l’équation de l’hydrostatique ? Calculer la différence de pression en Pa entre les sections A et B.

(7.56 mCE) 1.1.12. La chute de pression à travers le dispositif X où s’écoule de l’eau, doit être mesurée à l’aide d’un manomètre différentiel utilisant de l’huile de densité 0.75 comme fluide manométrique. Trouver la différence de hauteur de pression entre A et B.

(2.02 mCE) José VAZQUEZ

5

Hydrostatique 1.2.

Variation verticale de pression : Exercices de synthèse 1.2.1. La hauteur de pression au niveau A-A est de 0.09m d’eau. Les poids spécifiques du gaz et de l’air sont respectivement de 5,5 et de 12,4N/m3. Calculer la hauteur h du manomètre à eau mesurant la pression du gaz au point B.

AIR Poulie

Masse

Masse

(0.153 mCE)

José VAZQUEZ

6

Hydrostatique

1.2.2. Mesure de la hauteur d’eau dans un réservoir

A

h

Manomètre

Eau

D

B

d x

C Mercure •

Déterminer la valeur de x (position du point C) sachant que h=20m, d=0.5m et que la pression relative au point D vaut 9.104 Pa. ρmercure =13,6.103 Kg/m3. ρeau =103 Kg/m3.

•

Le manomètre en D indique maintenant la pression 5.104 Pa. Déterminer la hauteur h dans le réservoir.

(x=32cm ; 15,9m)

José VAZQUEZ

7

Hydrostatique

1.2.3. Calculs de hauteurs dans deux réservoirs

h

Manomètre Z3

Z1

Z2

Liquide 1 ρ1

Pression atmosphérique

Liquide 3 ρ3 Liquide 2 ρ2

Liquide 2 ρ2 Liquide 2

Bien que les deux réservoirs soient en communication, il ne se produit aucun écoulement. La pression hydrostatique est vérifiée dans tout le circuit. Les altitudes Z1, Z2,… sont toutes données en fonction de la même référence. Toutes les pressions sont relatives. Les liquides 1, 2 et 3 sont incompressibles. On appelle P32 la pression relative entre les liquides 3 et 2. De même, on appelle P12 la pression relative entre les liquides 1 et 2. La pression mesurée par le manomètre est notée PM. Relation d’équilibre statique • Déterminer une relation entre Z1, Z2, Z3, ρ1, ρ2, ρ3, h et PM. Détermination des altitudes Une mesure de la différence d’altitude entre Z3 et Z2 donne : Z3 – Z2=5m. ρ1=1,4.103 Kg/m3 ; ρ2=2,1.103 Kg/m3 ; ρ3=0,9.103 Kg/m3 h=15m ; Z1=10,3m ; PM=6,95.104 Pa. • Déterminer les valeurs de Z2 et Z3. • Les altitudes Z2 et Z3 varient-elles en fonction de h ? Z2=4m ; Z3=9m)

José VAZQUEZ

8

Hydrostatique

1.2.4. Calculs de hauteurs dans deux réservoirs

Manomètre 1

AIR AIR Sous Pression

Z1A

Z12

Z3A

Liquide 1 ρ1= 0,75.103 kg/m3 Liquide 2 ρ2= 103 kg/m3

Z23

AIR Sous Pression Liquide 3 ρ3= 1,3.103 kg/m3 Liquide 2 ρ2= 103 kg/m3

Liquide 2

PdR Manomètre 2 Bien que les deux réservoirs soient en communication en partie supérieure par l’intermédiaire d’une conduite d’air sous pression et en partie inférieure grâce à une conduite pleine du liquide 2, il ne se produit aucun écoulement. La pression hydrostatique est vérifiée dans tout le circuit. Les altitudes Z1A, Z12,… sont toutes données en fonction du plan de référence (PdR). Toutes les pressions sont relatives par rapport à la pression atmosphérique. Chaque cuve est cylindrique et indéformable. On supposera que les liquides 1 et 3 restent dans leurs cuves respectives. Les liquides 1, 2 et 3 sont incompressibles. Première expérience : On mesure les valeurs suivantes : Z12=12m ; Z3A- Z23=4m ; Pmano 1=1.2bar ; Pmano 2=3bar. • Déterminer les altitudes Z3A, Z23, Z1A. Deuxième expérience : On mesure les valeurs suivantes : Pmano 1=2.7bar ; Pmano 2=4.1bar. • Déterminer les altitudes Z1A, Z12, Z3A, Z23. Comparaison Comparer les valeurs de Z des deux expériences. Qu’en déduisez-vous ? (Z3A=17.15m, Z23=13.15m, Z1A=20.46m ; Z1A=16.39m, Z12=7.93m, Z3A=13.07m, Z23=9.07m)

José VAZQUEZ

9

Hydrostatique 1.2.5. Calcul des pressions et hauteurs dans trois réservoirs

Manomètre Z1=22m

Z2


Manomètre Liquide 1 ρ1= 0,75.103 kg/m3 Liquide 2 ρ2= 2,1.103 kg/m3 Z3=12m

Z4=15m AIR Pression : 1bar

Z5

Liquide 3 ρ3= 1,1.103 kg/m3 Liquide 2 ρ2= 2,1.103 kg/m3

Liquide 2 ρ2= 2,1.103 kg/m3 Liquide 2

AIR Pression : 0.8bar

Liquide 2

Bien que les trois réservoirs soient en communication, il ne se produit aucun écoulement. La pression hydrostatique est vérifiée dans tout le circuit. Les altitudes Z1, Z2,… sont toutes données en fonction de la même référence. Toutes les pressions sont relatives. •

Déterminer les altitudes Z2, Z5 ainsi que la pression entre les liquides 1 et 2 et la pression entre les liquides 3 et 2.

José VAZQUEZ

10

Hydrostatique 1.3.

Force hydrostatique sur des parois : Exercices basiques 1.3.1. Un barrage en ciment de 10 m de large contient de l’eau sur une hauteur de 6m. Déterminer l’action de l’eau sur le barrage. Calculer la stabilité du barrage.

(F=1.76 MN, y=4 m) 1.3.2. Un barrage en ciment de 20m de large contient de l’eau sur une hauteur de 14m. Déterminer la pression de l’eau sur le barrage. Calculer la stabilité du barrage.

(Fh=19.2MN, y=9.33m ; Fv=6.47MN, x=1.5m) José VAZQUEZ

11

Hydrostatique 1.3.3. Calculer la force résultante P due à l’action de l’eau sur la surface rectangulaire de 3m × 6m en AB et CD. 25°

4m

Rectangle 3×6m Rectangle 3×6m

(AB : 1.235 MN, y=7.43 m ;CD : 930 kN ,y=12.7m ; hauteur=5.37 m) 1.3.4. Calculer la force résultante P due à l’action de l’eau sur la surface triangulaire de 3m × 6m dont le sommet est en C avec un angle de 45°.

6m 3m

(514.7 kN, ;Y=8.67m ; h=6.06 m) 1.3.5. Le réservoir de la figure suivante contient de l’eau et de l’huile. Trouver la force résultante agissant sur le côté ABC qui a 1,20m de large.

(F=112.3 kN, y=3.23 m) José VAZQUEZ

12

Hydrostatique 1.3.6. Dans la figure ci-dessous, les surfaces des cylindres A et B sont respectivement de 40 et 4000cm2. La masse en A est de 10 kg et la masse en B de 4000kg. Les récipients et les conduits sont remplis d’eau. Quelle force F assurera l’équilibre ?

(F=98 N) 1.3.7. L’eau monte jusqu’au niveau E dans le conduit fixé au réservoir ABCD. On néglige le poids du réservoir et du conduit. Déterminer et positionner la force résultante agissant par la surface AB qui a 2,50m de large, déterminer la force totale s’exerçant sur le fond du réservoir et comparer le poids total de l’eau avec la force totale s’exerçant sur le fond du réservoir. Expliquer la différence.

FAB=0.23MN, y=4.77m ; Ffond=839kN , Poids=298kN; PAD=541kN) José VAZQUEZ

13

Hydrostatique 1.3.8. La porte AB de la figure ci-dessous à 1,20m de large et peut pivoter autour de A. Le manomètre G affiche -0,147 bar et le réservoir de droite est rempli d’huile de densité 0,75. Quelle force horizontale doit être appliquée en B pour assurer l’équilibre de la porte AB ?

(F=26.7 kN) 1.3.9. Forces sur un auget On fait l’étude de l’auget qui est constitué par la partie circulaire. Cet auget fait 10m de long. Déterminer l’intensité, la position et la direction de la force de l’eau sur l’auget. Nota : la position du centre de gravité de ¼ de disque par rapport à un de ses axes de symétrie est :

4.R 3.π

4m

5m A

B

(F=5.03MN ; distance / A = 3.867m ; distance / B = 3.17m) José VAZQUEZ

14

Hydrostatique 1.4.

Force hydrostatique sur des parois : Exercices de synthèse 1.4.1. Action de l’eau sur une vanne secteur

1m

D

45°

C 1m

Point de rotation de la vanne

Surface libre B 45° 1m Vanne fermée

A

Vanne ouverte

La vanne est constituée des parois AB, BC et CD. Les surfaces AB, BC et CD sont rectangulaires et ont une largeur de 2m. 1.4.1.1. La vanne est fermée et la surface libre est au point B • Déterminer l’action de l’eau sur la vanne secteur (intensité, direction et position). Tracer la position et la direction sur le graphique de la page suivante. • Sur quel axe faut-il placer le point de rotation de la vanne secteur pour que cette vanne n’ait pas tendance à tourner ? Tracer l’axe sur le graphique de la page suivante. (F=6.94KN ; y=0.67m) 1.4.1.2. La vanne est fermée et la surface libre est au point C • Déterminer l’action de l’eau sur la surface AB (intensité, direction et position). Tracer la position et la direction sur le graphique de la page suivante. • Déterminer l’action de l’eau sur la surface BC (intensité, direction et position). Tracer la position et la direction sur le graphique de la page suivante. • Déterminer l’action de l’eau sur la vanne secteur (intensité, direction). On ne demande pas la position. • Où faut-il placer le point de rotation de la vanne secteur pour que cette vanne n’ait pas tendance à tourner ? Placer le point sur le graphique de la page suivante. (F=34.15KN ; angle = 33.3°) José VAZQUEZ

15

Hydrostatique La surface libre est au point B

D

C Point de rotation de la vanne

Surface libre

B

A

La surface libre est au point C

D

Surface libre

C Point de rotation de la vanne B

A

José VAZQUEZ

16

Hydrostatique 1.4.2. Action de l’eau sur une vanne de régulation

Surface libre Masse volumique : ρ

α

h

α

β

A

b

Masse M Barre de longueur L

b Surface libre

Surface libre

h

h Paroi de la vanne

Face 2 Face 1 Position fermée

Position ouverte

La paroi de la vanne est rectangulaire de hauteur b et de largeur c. On suppose que quelque soit la position de la vanne, l’eau n’agit que sur la face 1. Sur la face 2, on a la pression atmosphérique. La pression sur la face 1 est supposée hydrostatique et est créée par la hauteur d’eau h.

José VAZQUEZ

17

Hydrostatique

• •

1.4.2.1.Courbe de fonctionnement de la vanne Déterminer l’action de l’eau sur la vanne en intensité, direction et position en fonction de ρ, g, b, c et α. En faisant l’équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre h et les variables ρ, g, b, c, α, β, L et M.

En prenant pour valeur numérique : ρ=103 kg/m3, g=9.81 m/s2, b=0.4 m, c=0.2 m, β=30°, L=1 m et M=80 kg, • Compléter le tableau et le graphique suivant : 90° 75° 60° 45° 30° α (°) h (m)

15°

0°

(4.5 ; 5.0 ; 5.2 ; 5 ; 4.6 ; 3.9 ; 2.9)

Evolution de la hauteur en fonction de l'angle 6.0

5.0

3.0

Hauteur (m)

4.0

2.0

1.0

0.0 90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Angle (°)

1.4.2.2.Exploitation de la courbe de fonctionnement • A partir de quelle hauteur d’eau dans le bassin la vanne commence à s’ouvrir ? • Une butée permet une ouverture maximale de la vanne à α=20°, que ce passe t’il si la hauteur d’eau dans le bassin dépasse 5.2m ? • Dans le bassin on atteint 6m. L’eau commence à diminuer, à partir de quelle hauteur d’eau la vanne commence à se refermer ? (h=4.5m ; angle = 20° ; h=4.2m) José VAZQUEZ

18

Hydrostatique 1.4.3. Equilibre de trois pistons

D23

D12

Barre d’équilibre

α


D


D

P1

M3 P3

M2 M1 D1


D

Piston

P2 Z2

D2

Z3 D3

Z1 EAU

La chambre au-dessus du piston est à la pression atmosphérique. Au-dessous de chaque piston on a les pressions respectives P1, P2 et P3. Chaque piston a une masse de M1, M2 et M3. La hauteur D de chaque piston est identique. Le diamètre de chaque piston est respectivement D1, D2 et D3. L’ensemble du dispositif est à l’équilibre. L’eau est stagnante. L’objectif de cette étude est de déterminer les altitudes Z1, Z2 et Z3, les pressions P1, P2 et P3 ainsi que l’angle α. Equilibre des forces de pressions Déterminer une relation entre ρ, g, P1, P2, Z1 et Z2.

Déterminer une relation entre ρ, g, P2, P3, Z2 et Z3.

Relation géométrique Déterminer une relation géométrique entre Z1, Z2, D12 et α.

Déterminer une relation géométrique entre Z2, Z3, D23 et α.

Equilibre des pistons

José VAZQUEZ

19

Hydrostatique F3 F2 Piston 3

F1 Piston 2

Piston 1




M2

Z3

P2

M1 D1

P1

Z2

M3 P3

D3

D2

Z1 EAU

On appelle Fi les forces résultantes de la barre d’équilibre sur les pistons. En faisant l’équilibre statique des forces sur le piston 1, déterminer une relation entre g, F1, M1, P1 et D1.

Faire de même pour le piston 2 et 3.

Equilibre de la barre D23

D12

Barre d’équilibre

α F3 F2

F1

En faisant l’équilibre statique des forces sur la barre, déterminer une relation entre F1, F2 et F3.

En écrivant l’équilibre des moments par rapport au point d’application de la force F2, déterminer une relation entre F1, F3, D12 et D23.

Application numérique On prendra pour référence Z2=0. M1=20kg D12=0.25m M2=50kg D23=0.35m M3=30kg

D1=0.1m D2=0.2m D3=0.15m

Calculer Z1 et Z3, les pressions P1, P2 et P3, les forces F1, F2 et F3 ainsi que l’angle α.

José VAZQUEZ

20

Hydrostatique 1.4.4. Etude d’une vanne de chasse L’objectif de cette étude est l’équilibre d’une vanne de chasse en réseau d’assainissement. La vanne est de forme circulaire plane. Elle est disposée à l’intérieur d’une conduite également circulaire à l’amont mais rectangulaire à l’aval. Ainsi, la rotation de la vanne peut avoir lieu quand l’axe de rotation horizontal de celle-ci n’est pas au centre de la conduite. On suppose que l’eau n’agit que sur la face amont et que les forces de pression dynamique sont négligeables par rapport aux forces de pression statique. On se placera en hydrostatique.

Conduite circulaire

Conduite rectangulaire

Conduite circulaire

Axe de la conduite Axe de rotation de la vanne

h

h est la hauteur d’eau dans la canalisation amont. Les relations suivantes rappellent les caractéristiques géométriques d’une section circulaire.

⎛ ⎞ 4sin 3 ( ϕ ) v = R ⎜1 − ⎟ ⎜ 3( 2ϕ − sin ( 2ϕ ) ) ⎟ ⎝ ⎠ v + v ' = R (1 − cos ( ϕ ) )

R ξ

v’ v

R2 S= ( 2ϕ − sin ( 2ϕ) ) 2

φ G

ξ

R4 R 4 (1 − cos ( 2ϕ ) ) Iξξ = 4 sin 4 ϕ − ϕ − ( ) ( ) 9 2ϕ − sin 2ϕ 16 ( )) ( 3

Les graphiques suivants représentent : v et v’ en fonction de l’angle φ pour d=1.6m.

José VAZQUEZ

S et Iξξ en fonction de l’angle φ pour d=1.6m.

21

Hydrostatique v et v' en fonction de l'angle phi pour d=1.6m 0.9

0.8

0.7

hauteur (m)

0.6 v(m) v'(m)

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Angle phi (degré)

Evolution de la surface et de l'inertie pour d=1.6m 2.5

0.5

surface (m2)

0.4

1.5

0.3

1

0.2

0.5

0.1

Inertie (m4)

Surface (m2)

Inertie (m4)

2

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 180

angle Phi (degré)

José VAZQUEZ

22

Hydrostatique Les positions extrêmes possibles pour la vanne sont représentées sur le schéma suivant : Vanne en position fermée

Vanne en position ouverte Butée (point d’arrêt)

Axe de rotation de la vanne Butée (point d’arrêt)

Etude de l’équilibre de la vanne sans eau La vanne est une plaque métallique circulaire de diamètre d, d’épaisseur constante e et de masse volumique ρacier. Calculer le poids (Pvanne) de la vanne et placer son point d’application.

Dans quelle zone doit-on placer l’axe de rotation de la vanne pour que celle-ci ait toujours tendance à se refermer quand il n’y a plus d’eau à l’amont ? Faire un schéma.

Application numérique : calculer Pvanne pour d=1.6m, e=5mm, ρacier=7850kg/m3.

Etude de la vanne en position verticale fermée

Vanne en position fermée

h

Feau

yp yP/fond

Déterminer l’intensité Feau en fonction de v’ et S,

Déterminer la position par rapport au fond du canal (yp/fond) de l’action de l’eau sur la vanne en fonction de v, v’, S et Iξξ.

Application numérique :

En utilisant les graphiques précédents, compléter le tableau suivant :

José VAZQUEZ

23

Hydrostatique Hauteur d’eau (m)

0

0.4

0.8

1.2

1.6

v’ v S Iξξ yp/fond Feau Tracer l’évolution du centre de gravité et du centre de poussé en fonction de h sur le graphique suivant : Centre de gravité et centre de poussée par rapport au fond du canal en fonction de h 0.9

0.8

0.7

Hauteur (m)

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Hauteur d'eau : h (m)

Dans quelle zone doit-on placer le centre de rotation pour que la vanne commence à s’ouvrir sous l’action de l’eau pour une hauteur de 0.8m ?

Quelle remarque peut-on faire par rapport au résultat du § 2.1 ?

Tracer l’évolution de Feau en fonction de h sur le graphique suivant :

José VAZQUEZ

24

Hydrostatique Evolution de la force de pression en fonction de la hauteur 1.6

1.4

1.2

Hauteur (m)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

16000.0

Force (N)

Etude de la vanne en position inclinée : la vanne est partiellement plongée dans l’eau La vanne étant en équilibre en position inclinée, la hauteur de l’eau est au-dessus de 0.8m. Afin de permettre à la vanne de pouvoir se fermer sans eau, on ajoute une masse à la vanne en partie inférieure pour abaisser le centre de gravité global de la vanne. On appellera cette force Fmasse.

Ajout d’une masse

Fmasse

d

yp c α

h

y

d

d-c

Quelle est la valeur maximale que peut prendre φ pour garantir que la vanne soit toujours partiellement plongée dans l’eau ?

Montrer, à partir d’un raisonnement géométrique que :

José VAZQUEZ

25

Hydrostatique

h − (d − c) et y + d − c = R (1 − cos ϕ ) sin α Déterminer l’action de l’eau sur la vanne Feau en fonction de S, v’, ρ, g et α.

Déterminer la position yp en fonction de S, v’ et Iξξ.

En faisant l’équilibre des moments de la vanne par rapport au centre de rotation, montrer que :

y=

Feau . ( y − y p ) + Pvanne . ( c − d 2 ) .cos α = Fmasse . ( d − c ) .cos α

Montrer que : ⎡ Fmasse . ( d − c ) − Pvanne . ( c − d / 2 ) ⎤⎦ ρ.g.v '.S. ⎡⎣ R (1 − cos ϕ ) − ( d − c ) − y p ⎤⎦ = ⎣ tan α Calcul de Fmasse : On désire que la vanne soit à l’équilibre à un angle de α=67.5° pour une hauteur d’eau de 85% du diamètre. On prendra d=1.6m ; c=1.27m.

o Calculer y. o Calculer φ. o Calculer Iξξ., v’, S en utilisant les graphiques précédents. o Calculer yp. o Montrer que Fmasse=22.5kN

On désire maintenant tracer l’évolution de h (hauteur d’eau) en fonction de α (angle de rotation de la vanne). Pour cela, on se fixera φ et on calculera dans l’ordre : v’, S, Iξξ, yp, y, α et enfin h. Compléter le tableau suivant : φ

90°

120°

140°

165°

180°

v’ S Iξξ yp y α

90°

h

0.8m

On prendra d=1.6m ; c=1.27m. A partir de quelle hauteur d’eau et angle de rotation, la vanne est entièrement immergée ? Tracer h en fonction de α sur le graphique suivant :

José VAZQUEZ

26

Hydrostatique Evolution de la hauteur d'eau en fonction de la rotation de la vanne (alpha)

1.6

1.4

1.2

hauteur (m)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

alpha (degré)

Etude de la vanne en position inclinée : la vanne est totalement plongée dans l’eau

yp

d h

α yG G y

c d

d-c

Dans le cas où la vanne est entièrement plongée dans l’eau, calculer : S et Iξξ.

Montrer, à partir d’un raisonnement géométrique, que :

José VAZQUEZ

27

Hydrostatique h − (d − c) est toujours valable. sin α Montrer que yG (la profondeur du centre de gravité de la vanne dans le repère y) est donnée par la relation : y=

h − (d − c) − ( c − d / 2) sin α Déterminer l’action de l’eau sur la vanne Feau en fonction de S, ρ, g, yG et α.

Déterminer le centre de poussée yp en fonction de S, yG et Iξξ.

En faisant l’équilibre des moments de la vanne par rapport au centre de rotation, montrer que :

yG =

Feau . ( y − y p ) + Pvanne . ( c − d 2 ) .cos α = Fmasse . ( d − c ) .cos α

En utilisant la relation précédente, montrer que :

ρ.g.y G .sin α.S. ⎣⎡ y G + ( c − d / 2 ) − y p ⎦⎤ = ⎡⎣ Fmasse . ( d − c ) − Pvanne . ( c − d / 2 ) ⎤⎦ .cos α

Montrer qu’on peut en déduire yG : ⎡ Fmasse . ( d − c ) − Pvanne . ( c − d / 2 ) ⎤⎦ I ξξ yG = ⎣ + ρ.g.S.tan α. ( c − d / 2 ) S. ( c − d / 2 ) On désire maintenant tracer l’évolution de h (hauteur d’eau) en fonction de α (angle de rotation de la vanne). Pour cela, on se fixera α et on calculera dans l’ordre : yG et h. Compléter le tableau suivant : α

58.7°

30°

15°

0°

yG h

Tracer h en fonction de α sur le graphique précédent.

Exploitation de la courbe h en fonction de α

A partir de quelle hauteur d’eau la vanne n’est plus en équilibre ? Dans ce cas, quel est l’angle de rotation de la vanne ?

Que ce passe t-il si la hauteur d’eau dépasse cette valeur ?

En supposant que la hauteur d’eau à dépasser la hauteur limite précédente, à partir de quelle hauteur d’eau la vanne va à nouveau se refermer ? Dans ce cas, quel est l’angle d’équilibre ?

José VAZQUEZ

28

Hydrostatique 1.4.5. Stabilité d’un barrage L’objectif de cette étude est le dimensionnement géométrique d’un barrage en forme de L fonction du niveau d’eau. Deux formes d’instabilité seront étudiées : le basculement et glissement. On rappelle que : • l’instabilité au basculement se vérifie en faisant l’équilibre des moments par rapport point de basculement, • l’instabilité au glissement se vérifie en garantissant que l’on ne soit pas dans la zone glissement du sol. Le critère d’instabilité du sol peut être défini dans le plan de Mohr par une zone de glissement (figure 1). σ : est la contrainte normale, τ : est la contrainte de cisaillement.

en le au de

τ

Zone de glissement

Le critère est donc défini par : τ ≤ σ.tan ( ϕ ) : Zone sans glissement

ϕ

Courbes limites

Zone sans glissement

σ

On prendra ϕ = 25° .

Figure 1 Les dimensions du barrage que l’on étudie sont représentées sur la figure suivante : 0.5m E

L’eau agit sur les surfaces CD et DE. Sur la surface BC, on ne supposera aucune action. Le barrage est en béton avec une densité d=2,5. Le barrage fait 1 mètre de large.

H L D Sol

A

C Sol

B

0.5m

Sol

Stabilité du barrage au basculement • Déterminer le poids du barrage et positionner son centre de gravité par rapport au point A en fonction des variables H, L, g, d et ρ (masse volumique de l’eau). • Déterminer l’intensité, la direction et la position de la force des pressions de l’eau sur la paroi ED. • Déterminer l’intensité, la direction et la position de la force des pressions de l’eau sur la paroi DC. • En écrivant l’équilibre des moments des forces précédentes par rapport au point A, montrer que pour garantir la stabilité au basculement du barrage, il faut que : 0.15625 + 0.3125H − 0.25H 2 − 0.167H 3 2 L +L+ >0 0.625 + 0.5H

José VAZQUEZ

29

Hydrostatique •

Déterminer et tracer sur le graphique suivant la longueur L minimale pour les hauteurs d’eau (H) suivantes : H (m) 2 3 4 5 Lbasculement

Stabilité du barrage au glissement • En supposant que la distribution des contraintes normales du barrage sur le sol sur la surface AB est homogène (constante), déterminer la contrainte normale σ. • En supposant que la distribution des contraintes de cisaillement du barrage sur le sol sur la surface AB est homogène (constante), déterminer la contrainte de cisaillement τ. • En utilisant le critère de non glissement défini précédemment, montrer que : H2 − 1, 25. ( H + 0,5 ) 2 tan ( ϕ ) L≥ H + 1, 25 • Déterminer et tracer sur le graphique suivant la longueur L minimale pour les hauteurs d’eau (H) suivantes : H (m) 2 3 4 5

Lglissement

Stabilité d'un barrage 5 4,5 4

Hauteur d'eau (m)

3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

1

2

3

Longueur (m)

Exploitation du graphique • Pour une hauteur d’eau de 2m, quelle est la condition de stabilité la plus pénalisante ? • Même question pour une hauteur de 4m ? • A partir de quelle hauteur change-t-on de critère de stabilité ?

José VAZQUEZ

30

Hydrostatique

1.5.

Forces hydrostatiques sur des corps immergés : exercices basiques

1.5.1. Une pierre pèse 9kg à l’air et 5kg quand elle est immergée dans l’eau. Calculer le volume de la pierre et sa densité.

(V=0.004m3, d=2.25)

1.5.2. Un aréomètre pèse 0,0216N et présente une tige cylindrique à son extrémité supérieure de 2,80mm de diamètre. Calculer la différence d’enfoncement h entre les aréomètres.

(h=22.8mm)

1.5.3. Déterminer l’enfoncement dans l’eau d’un tronc d’arbre de densité 0,425 de 2,40m de diamètre et de 4,50m de long.

(θ=83°)

José VAZQUEZ

31

Hydrostatique 1.6.

Forces hydrostatiques sur des corps immergés : exercices de synthèse

1.6.1. Action de l’eau sur une vanne de régulation

Surface libre α

Flotteur

β

L

A

h b

Face 1

b

Face 2 Vanne

Surface libre Surface libre h

h Face 2

h

Surface libre

Face 1

Position fermée

Positions ouvertes

La vanne est rectangulaire de hauteur b et de largeur c. On suppose que quelle que soit la position de la vanne, l’eau n’agit que sur la face 1. Sur la face 2, on a la pression atmosphérique. La pression sur la face 1 est supposée hydrostatique et est créée par la hauteur d’eau h. Dans l’équilibre qui sera demandé, les poids du flotteur et de la vanne sont négligeables par rapport aux autres forces en présence. Dans le cas où la vanne ne touche pas l’eau, le moment par rapport au point A dû au poids du flotteur est légèrement supérieur à celui de la vanne afin de faire tourner le système de telle sorte qu’il n’y ait que le flotteur qui soit en contact avec l’eau. Le flotteur n’est pas forcément toujours au niveau de la surface libre. Valeurs numériques : ρ=103 kg/m3, g=9.81 m/s2, b=0.5m, c=0.6m, Volume flotteur : Vol =0.2 m3, L=2m, β=45°. José VAZQUEZ

32

Hydrostatique 1.6.1.1.Position de contact de la vanne avec l’eau • Dessiner la position de la vanne et du flotteur de telle sorte que la vanne commence à toucher l’eau. • Déterminer une relation entre α, b, L et β permettant de calculer l’angle α. Application numérique : • Montrer que α= 36.46° vérifie la relation précédente. • Déterminer la hauteur d’eau minimale dans ce cas. (hmini=0.2m) 1.6.1.2.Courbe de fonctionnement de la vanne pour h≥b et le flotteur est au niveau de la surface libre

Surface libre

Flotteur

α β

L

α

h b

A

Vanne

b

• •

Déterminer une relation géométrique entre h, b, L, β et α. Quel type de force (Far) agit sur le flotteur pour maintenir la vanne au niveau de la surface libre ? Application numérique : • Compléter le tableau suivant : 45° 60° 80° 100° 120° α (°) h (m) 0.5 1.02 1.65 2.14 2.43 1.6.1.3.Courbe de fonctionnement de la vanne pour h≥b et le flotteur est entièrement dans l’eau

Surface libre α Flotteur

L

β A

h b

José VAZQUEZ

b

Vanne

33

Hydrostatique •

Déterminer l’action de l’eau sur la vanne en intensité (Fps), direction et position en fonction de ρ, g, b, c, h et α. • Déterminer la valeur de la force (Far) en intensité, direction et position en fonction de ρ, g, et Vol. • En faisant l’équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre Far et Fps ainsi que les variables b, L, h, α et β. • Déterminer à partir de la relation précédente une relation entre h et b, c, L, α , Vol et β. Application numérique : • Compléter le tableau suivant : 20° 45° 60° 80° 100° 120° α (°) h (m) 5.22 5.6 5.36 4.54 3.23 1.59

• • • •

1.6.1.4.Exploitation des courbes de fonctionnement Sur le graphique suivant, tracer h en fonction de α pour les tableaux des questions 2.2. et 2.3. Déterminer la valeur h à partir de laquelle le flotteur est entièrement immergé. (2.3m) Déterminer, dans ce cas, la rotation α maximale de la vanne.(112°) A partir de quelle hauteur d’eau l’équilibre entre les forces (Far) et (Fps) ne peut plus être réalisé ? (5.6m)

Evolution de la hauteur en fonction de α 6

5

h(m)

4

3

2

1

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

α (°)

José VAZQUEZ

34

Hydrostatique 1.6.2. Action de l’eau sur une vanne de régulation

Flotteur

Surface libre

h’

B

surface S

L

Masse volumique : ρ

α A

h D

D

Vanne

Surface libre

Surface libre h Face 2

Face 1

Face 2

Face 1

Position fermée

Position ouverte

La vanne sur le schéma ci-dessus est circulaire de diamètre D. On suppose que quelque soit la position de la vanne, l’eau n’agit que sur la face 1. Sur la face 2, on a la pression atmosphérique. La pression sur la face 1 est supposée hydrostatique et est créée par la hauteur d’eau h. Cette hauteur d’eau est toujours supposée supérieure à D. Le poids du flotteur est négligeable par rapport aux autres forces en présence. Quelque soit la position verticale du flotteur, la surface S du flotteur reste toujours horizontale. 1.6.2.1.Courbe de fonctionnement de la vanne • Déterminer l’action de l’eau sur la vanne en intensité (Fps), direction et position en fonction de ρ, g, D, L et α. • Quel type de force agit sur le flotteur pour équilibrer la vanne ? • Déterminer cette force (Far) en intensité, direction et position en fonction de ρ, g, h’ et S. • Quelle est la valeur maximale de la force (Far) ? 35 José VAZQUEZ

Hydrostatique • •

En faisant l’équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre Far et les variables ρ, g, D, L et α. Déterminer une relation géométrique entre h, D, L et α.

En prenant pour valeur numérique : ρ=103 kg/m3, g=9.81 m/s2, D=0.3 m, L=5 m, S=0.25m². • Compléter le tableau et le graphique suivant : α (°) h (m) Far (N) Fps (N) Fps/ Far

0°

15°

30°

45°

60°

75°

F ar(N)

1400 1200

Far (N)

1000 800 600 400 200 0 0.0

• • •

1.0

2.0

3.0 Hauteur (m)

4.0

5.0

6.0

1.6.2.2.Exploitation de la courbe de fonctionnement Déterminer la valeur minimale de B pour que la régulation puisse se faire jusqu’à 5m. Déterminer, dans ce cas, la rotation de la vanne. Expliquer physiquement pourquoi la position α=90° est impossible.

José VAZQUEZ

36

Hydrostatique 1.6.2.3.Courbe de fonctionnement globale On suppose maintenant que le flotteur est entièrement plongé dans l’eau.

Surface libre

Face 2

Face 1

• • •

Déterminer l’action de l’eau sur la vanne en intensité (Fps), direction et position en fonction de ρ, g, D, h et α. En faisant l’équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre Far et les variables ρ, g, D, L, h et α. Déterminer h en fonction de B, S, ρ, g, D, L, h et α.

• Compléter le tableau suivant : En prenant pour valeur numérique : ρ=103 kg/m3, g=9.81 m/s2, D=0.3 m, L=5 m, S=0.25m², B=12.1cm 0° 15° 30° 45° 60° α (°) h (m) •

Sur le graphique suivant, on tracera h=f(α) pour les valeurs du tableau précédent ainsi que pour les valeurs du tableau de la page précédente. Hauteur d'eau en fonction de l'angle de rotation de la vanne 16.00 14.00

Hauteur d'eau (m)

12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Angle de rotation de la vanne (°)

José VAZQUEZ

37

Hydrodynamique des liquides parfaits

2.

Hydrodynamique des liquides parfaits 2.1.

Equation de Bernoulli

2.1.1. Un très grand réservoir à niveau d’eau constant alimente une conduite en charge. Déterminer la vitesse au point 2. Déterminer la pression relative au point 1.

(V2=17.3m/s, H1=2mCE)

2.1.2. Déterminer le débit en fonction de la charge dans le tube Venturi.

Q=

José VAZQUEZ

S2

⎛S ⎞ 1− ⎜ 2 ⎟ ⎝ S1 ⎠

2

2. g.

∆p * ρ. g

38

Hydrodynamique des liquides parfaits 2.1.3. De l’eau circule dans une turbine à un débit de 0,214 m3/s et les pressions relatives en A et B sont respectivement de 147,5kPa et de -34,5 kPa. Calculer la puissance fournie par l’eau à la turbine.

(P=42kW)

2.1.4. Une conduite en charge est alimentée par un réservoir à niveau d’eau constant. Déterminer la vitesse de sortie U3, la vitesse U2 ainsi que la puissance maximale que la conduite peut produire. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge totale. D2=4m, D3=3m, H=200m

(U3=62.6m/s, U2=35.2m/s, 868 MW)

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39

Hydrodynamique des liquides parfaits 2.1.5. La surface libre d’un très grand réservoir est soumise à une pression absolue de 1,3 atm. L’eau du réservoir est pompée afin d’alimenter un jet. Déterminer la puissance hydraulique de la pompe. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge totale.

(5.9kW)

2.1.6. Tube de Pitot. Déterminer la vitesse du fluide en fonction des poids volumiques et de la charge ∆h.

⎛ρ ⎞ Vo = 2. g. ∆h. ⎜ m − 1⎟ ⎝ ρ ⎠

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40

Hydrodynamique des liquides parfaits 2.2.

Théorème d’Euler

2.2.1. Un coude à 90° de rayon de courbure 300mm est parcouru par de l’eau à un débit de 25 l/s. La pression effective en 1 est de 8bars. Déterminer l’action de l’eau sur le coude.

(Rx=-6.3kN, Ry=6.3kN)

2.2.2. Déterminer en grandeur et en direction l’action de l’eau sur le Té de raccordement. (Les pressions sont absolues)

(Rx=24.5 kN, Ry=-13.5 kN)

2.2.3. Calculer en grandeur et en direction l’action de l’eau sur la tuyère 2-3-4.

(Rx=-21.2kN, Ry=-9.2kN)

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41

Hydrodynamique des liquides parfaits 2.2.4. Action de l’eau sur un té et action d’un jet sur une surface 2.2.4.1. Té de raccordement Q1=0.6q0 U1=0.6U0 p1=patm 1

y

O

x

α=60°

0

2

Q0=0.1 m3/s U0=90 m/s p0=patm

Q2 U2=0.4U0 p2=patm

Un Té de raccordement a la forme et les caractéristiques de la figure précédente. On négligera le poids de l’eau. Déterminer l’intensité et la direction de la résultante de l’action de l’eau sur le Té. 2.2.4.2. Action d’un jet sur une surface Q1=0.6q0 U1=0.6U0 p1=patm 1

y

O

x

0

Surface α=60°

2

Q0=0.1 m3/s U0=90 m/s p0=patm

Q2 U2=0.4U0 p2=patm

On considère maintenant un jet horizontal. Celui-ci heurte la plaque, représentée en trait épais sur la figure précédente. Calculer l’intensité et la direction de la résultante de l’action du jet sur la surface. (Rx=9.9kN ; Ry=-1.56kN)

José VAZQUEZ

42

Hydrodynamique des liquides réels

3.

Hydrodynamique des liquides réels : Applications aux conduites en charges

3.1.

Applications aux conduites en charges: exercices basiques

3.1.1. Déterminer la vitesse critique pour du fuel de viscosité cinématique 4,47.10-6 m2/s et pour de l’eau (ν=10-6 m2/s) circulant chacun dans un tuyau de 150mm de diamètre. (Vfuel=0.059m/s, Veau=0.013m/s) 3.1.2. Déterminer le type d’écoulement ayant lieu dans un tuyau de diamètre respectif : 60 et 1200mm pour des vitesses variant entre 0,4m/s et 3m/s. D V Re 60 0.4 24.103 60 3 180.103 1200 0.4 0.48.106 1200 3 3.6.106 3.1.3. Déterminer la perte de charge, due à l’écoulement d’une huile de viscosité 9.10-6 m2/s dans un tuyau neuf en fonte moulée (ε=0,25mm) de diamètre 200 et de longueur 300m. Q=120l/s (Colebrook=0.023 ; ∆h=25.7m) 3.1.4. De l’eau coule dans un tuyau zingué (ε=0,25mm) de diamètre 300. La perte de charge est de 2 m pour un tronçon de 1 km. Déterminer le débit. (Q=55l/s) 3.1.5. Une installation comporte une conduite en fonte (ε=0,5) de diamètre 250mm et de longueur 1825m. On considère que les pertes de charges sont linéaires. Déterminer le débit de l’installation. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge.

(Q=88l/s)

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43

Hydrodynamique des liquides réels 3.1.6. Déterminer le diamètre d’un tuyau en acier soudé (ε=0,05mm) utilisé pour transporter 250l/s de l’eau (ν=10-6 m2/s) à une distance de 10km avec une perte de charge de 25m. (DN 500) 3.1.7. Soit le dispositif suivant : 0.25v²/(2g)

z = 15 m

0.25v²/(2g)

D1 = 0,25 m

D2= 0,50 m

20 m 20 m m 50

m 50

z = 10 m 0.5v²/(2g) v²/(2g)

On prendra pour tout l’exercice λ = 3.10-2 et g = 10m/s2. • Calculer le débit Q circulant dans ces canalisations. • Tracer la ligne de charge et la ligne pièzométrique. (Q=150l/s)

3.1.8. On veut faire écouler de l'eau de la cote z0 = 240 m à la cote z1 = 232 m en la remontant au préalable au point C à la cote zC = 244,20 m. La prise d'eau en A est à la cote 232,25 m et a la forme d'un convergent où la V2 perte de charge est jA = 0, 05 , V désignant la vitesse moyenne de l'eau 2g dans la conduite. Le débouché B est assez brusque à la cote zB = 230 m, sa perte de charge est V2 jB = 0, 5 . 2g

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44

Hydrodynamique des liquides réels Un dispositif d'amorçage est prévu au coude C où la perte de charge V2 singulière est jC = 0, 25 . Les longueurs des parties droites de la conduite 2g sont AC = L1 = 30 m et CB = L2 = 20 m. Le diamètre de la canalisation est constant entre A et B et vaut 500 mm. Le coefficient de perte de charge linéaire est λ = 8.10-2. • Calculer le débit Q circulant dans cette canalisation sans se préoccuper de l'éventuel problème de cavitation au point C. • Calculer les pressions relatives aux points A, B, C' (juste à l'amont de C) et C'' (juste à l'aval de C). • Tracer la ligne de charge et la ligne piézomètrique entre A et B. • Analyser ce qui se passe au point C. En déduire le débit réel en B. (Q=830l/s, C’’=-9.75m) 3.1.9. La fonte Pont à Mousson a une rugosité de ε=0,1mm. Calculer la charge aux points 3 et 4. Déterminer l’énergie prélevée au fluide et la puissance électrique produite (rendement=0.81). Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge.

(H3=1183m, H4=711m, Ef=556kW, Ee=450kW)

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45

Hydrodynamique des liquides réels 3.1.10. La fonte Pont à Mousson et la fonte Bonna ont une rugosité de ε=0,1mm. Calculer la puissance que la pompe P doit fournir au fluide. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge.

(1.047MW)

3.1.11. Les conduites sont en fonte Pont à Mousson. Calculer la puissance de transmission si le rendement de la pompe est de 85%. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge.(ε=0,1mm)

(395kW)

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46

Hydrodynamique des liquides réels 3.1.12. Calculer la puissance que la pompe doit fournir au fluide. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. (ε=0,1mm)

(31.3kW)

3.1.13. Les caractéristiques des conduites sont précisées ci-dessous. Calculer la charge en A, B et C. Calculer la puissance électrique consommée par les groupes électro-pompe G1 et G2. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. (ε=0,1mm)

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47


(Ha=395.6mCE, Hb=393.1mCE, Hc=332.4mCE, P1=220kW, P2=106kW)

3.1.14. Pompe alimentant deux conduites en parallèles

Une station de pompage alimente en même temps deux réservoirs R1 et R2. Les conduites 1 et 2 ont pour caractéristiques : José VAZQUEZ

48

Hydrodynamique des liquides réels Longueur (m) ε (mm) Q (l/s) φ (mm) Conduite 1 150 1226 0.10 34 Conduite 2 200 2380 0.10 28.3 Sur chaque conduite, on dispose d’un clapet anti-retour à battant et d’une vanne papillon. Le coefficient de perte de charge est estimé à : vanne papillon Clapet à battant Conduite 1 K=1.5 K=9.5 Conduite 2 K=33 K=42 Les pertes de charges dans le té (A0, A1, A2) sont négligées. La pompe a un rendement hydraulique de 79 %. Le moteur et le transformateur alimentant la pompe ont un rendement de 92 %. 6,5 DN 200

A2

y 30° 6

A0

DN 200

DN 150

A1

x

1. Charge totale au point A • Déterminer la charge totale relative au point A en écrivant Bernoulli entre A et le réservoir R1. • Déterminer la charge totale relative au point A en écrivant Bernoulli entre A et le réservoir R2. • Que constatez-vous ? 2. Pompe • Calculer la puissance électrique fournie à la pompe. 3. Ligne de charge • Tracer la ligne de charge et la ligne piézométrique. 4. Té de raccordement • Calculer en grandeur et en direction l’action de l’eau sur le té de raccordement. (HA=120mCE ; P=95kW ; Rx = -14.55kN ; Ry = -17.29kN)

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49

Hydrodynamique des liquides réels 3.1.15. Conduites gravitaires en parallèles alimentant une turbine

Plaque circulaire

Une turbine est alimentée en même temps par deux réservoirs A et B. Les conduites 1 et 2 ont pour caractéristiques : Longueur (m) ε (mm) Q (l/s) φ (mm) Conduite 1 300 7225 0.10 110 Conduite 2 200 3570 0.10 ? On néglige les pertes de charges singulières dans les conduites AC et BC. La turbine à un rendement hydraulique de 92 %. 1. Débit • Déterminer le débit dans la conduite 2. (On utilisera la charge en C) 2. Turbine • Calculer la puissance que la turbine peut fournir à un alternateur. 3. Action sur une surface plane On place une plaque circulaire de diamètre = 5m inclinée à 30° par rapport à la verticale dans la paroi du réservoir 1. le centre de la plaque se situe à 10m de la surface de l’eau. • Calculer l’intensité, la direction et la position verticale de la force de l’eau s’exerçant sur la paroi circulaire. (Q=41l/s ; P=26.4kW ; F=1.92MN)

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50

Hydrodynamique des liquides réels 3.1.16. Etude du profil en long d’une conduite gravitaire 1812

A R1

B

C

F D

E 1720

H

R2

G

Une conduite gravitaire fait transiter de l’eau entre deux réservoirs. Elle a une rugosité relative de ε = 0.25 mm. On négligera les pertes de charge singulières. Les longueurs sont fournies dans le tableau suivant : A-B B-C C-D D-E E-F F-G G-H Longueur (m)

748

2243

6728

5980

3738

8223

2990

1. Diamètre • Calculer le diamètre de la conduite pour que l’installation débite 1,24m3/s. 2. Régulation du débit On désire réguler le débit entre les deux réservoirs à un débit de 0.827m3/s par l’intermédiaire d’une vanne. • Calculez la perte de charge (mCE) absorbée par la vanne. 3. Positionnement de la vanne et ligne de charge • Positionner la vanne. Tracer, sur le graphique, la ligne piézométrique avec et sans la vanne. Justifier le positionnement de la vanne. (DN 900 ; P=406kW)

José VAZQUEZ

51

Hydrodynamique des liquides réels 3.1.17. Point de fonctionnement d’une installation Pour les pertes de charges dans les canalisations, on utilisera les tables et les relations de Lechapt et Calmon. On supposera les relations valables pour les vitesses données. 157m

R2

Coude 4 75m

A

Canalisation 2

B

Coude 3 Coude 2 72m

Canalisation 1 Cône

R1

Coude 1 Crépine Un pompage alimente un réservoir R2 à partir d’un réservoir R1. Chaque élément a les caractéristiques suivantes :

Elément

Caractéristiques

Crépine DN 125, K = 3 Coude 1 90°, DN 125, Rayon= 3 DN Cône DN 125/100, L=0.1m Canalisation 1 DN 100, L=3m, ε=0.1mm Coude 2 90°, DN 100, Rayon= 3 DN Coude 3 45°, DN 80, Rayon= 2 DN Canalisation 2 DN 80, L=80m, , ε=0.1mm Coude 4 45°, DN 80, Rayon= 2 DN On néglige la perte de charge à l’entrée du réservoir R2. La pompe a un rendement hydraulique de 78 %. Le moteur et le transformateur alimentant la pompe ont un rendement de 92 %. • Pression en A et B •

Déterminer la charge totale au point A à l’entrée de la pompe en (mCE) en fonction du débit Q de l’installation.

José VAZQUEZ

52

Hydrodynamique des liquides réels •

Compléter le tableau suivant : VA2/2g

Q (m3/s)

PdC crépine PdC coude 1 PdC cône PdC (mCE) PdC coude 2 (mCE) (mCE) (mCE) canalisation 1 (mCE)

HA (mCE)

0.00 0.005 0.010 0.015 •

Déterminer la charge totale au point B à la sortie de la pompe en (mCE) en fonction du débit Q de l’installation.

• Compléter le tableau suivant : PdC (mCE) VB2/2g Q (m3/s) PdC coude 3 et 4(mCE) canalisation 2 (mCE) 0.00

HB (mCE)

0.005 0.01 0.015 Que peut-on dire de la perte de charge dans les coudes 3 et 4 ? • Pompe La courbe de fonctionnement de la pompe est fournie dans le tableau suivant :

Q (m3/s) HMT (mCE)

José VAZQUEZ

0.000 95.0

0.005 94.0

0.010 90.0

0.015 82.0

53

Hydrodynamique des liquides réels •

Tracer les courbes caractéristiques et déterminer le point de fonctionnement de l’installation. point de fonctionnement

98 96 94 92 mCE

90 88 86 84 82 80 0

0.002

0.004

0.006

•

0.008 3 m /s

0.01

0.012

0.014

0.016

•

Calculer la puissance consommée par le groupe électro-pompe.

•

On change le DN80 par un DN125. Tracer les courbes caractéristiques et déterminer le point de fonctionnement de l’installation.

•

Calculer la puissance consommée par le groupe électro-pompe dans ce cas.

•

Le pompage se fait pour 800m3/jour . Sachant que le kilowattheure est vendu 10 cents, quelle économie réalise-t-on entre les deux solutions sur 1 an?

(Point de fonctionnement : 10l/s ; 89.8 mCE ; 448€/an)

José VAZQUEZ

Point de fonctionnement : 12.5l/s ; 86 mCE ;

54

Hydrodynamique des liquides réels 3.1.18. Conduites gravitaires multiples

728m

R1 702.5m

R2

Conduite 1 E1

E2

Conduite 2

E3

651m

Conduite 3

R3

Trois réservoirs sont reliés par des conduites gravitaires. Les conduites 1, 2 et 3 ont pour caractéristiques : Longueur (m) ε (mm) φ (mm) λ coefficient de perte de charge Conduite 1 300 3280 0.1 0.015 Conduite 2 300 2890 0.1 0.016 Conduite 3 450 720 0.1 Inconnu Au niveau du raccordement des trois conduites, pour l’écoulement de E1 vers E3 le coefficient de perte de charge est de KE1E3 = 2.5 et pour l’écoulement E2 vers E3 le coefficient de perte de charge est de KE2E3 = 1. On considère les altitudes hE1 = hE2 = hE3 = 654m. •

Nota : pour calculer la perte de charge de E1 vers E3 on prendra la vitesse dans E1 et pour la perte de charge de E2 vers E3 on prendra la vitesse dans E2.

José VAZQUEZ

55

Hydrodynamique des liquides réels Débit On mesure une vitesse de 2.36m/s dans la conduite 3. • Déterminer la vitesse dans les conduites 1 et 2 en utilisant Bernoulli. • Vérifier les valeurs de λ1 et λ2 des conduites 1 et 2 en utilisant Colebrook. • Vérifier l’équation de continuité dans le Té. Té de raccordement

E2

E1

30° 60°

y

x

E3

On considère les altitudes hE1 = hE2 = hE3 = 654m. • Déterminer la pression relative en E1, E2 et E3. • Calculer en grandeur et en direction l’action de l’eau sur le Té dans le repère (x,y).

José VAZQUEZ

56

Hydrodynamique des liquides réels 3.2.

Applications aux conduites en charges: exercices de synthèse

3.2.1. Courbes caractéristiques et point de fonctionnement d’une installation

Clapet

Vanne 1

Château 3 d’eau

J

Tronçon 1

K

1 Vanne 2

N1S Pompe 1

Réserve d’eau

Tronçon 3

Clapet

N1E

Tronçon 2

2 N2S N2E Pompe 2 Puits On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon. Caractéristiques du réseau : Tronçon Nœud amont – nœud aval Diamètre (mm) Longueur (m) Rugosité ε (mm)

1

2

N1E - J 300 4000 0.1

N2E - J 250 5000 0.1

Cotes topographiques (m) : Réserve d’eau Point 1 Puits Point 2 Château d’eau Point 3

40 20 50

Caractéristiques des pompes : HMT (m) Pompe 1 Q (l/s) Pompe 2 HMT (m) Q (l/s)

100 0 150 0

José VAZQUEZ

98.5 30 145.4 30

3 J-K 350 15000 0.1

90 80 117.8 80

77.8 120 77.6 120

65.5 150 37 150 57

Hydrodynamique des liquides réels 3.2.1.1. Préliminaire V2 pour un débit maximal de 150l/s dans chaque tronçon. 2g • Comparer les valeurs trouvées par rapport aux valeurs de HMT des pompes. Quelle hypothèse peut-on formuler ?

• Calculer

• • • • • • • •

3.2.1.2. La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est fermée. En écrivant Bernouilli entre la surface libre (1) de la réserve d’eau et N1E, déterminer la charge totale H1E. En écrivant Bernouilli entre le point N1S et J, déterminer la charge totale H1S en fonction du débit (Q1) dans le tronçon 1 et de la charge totale HJ. En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HJ en fonction de Q1 : Q1 (l/s) 0 30 80 120 150 HJ (m) Tracer HJ en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. En écrivant Bernouilli entre le point J et la surface libre (3) du château d’eau, déterminer la charge totale HJ en fonction du débit dans le tronçon 3 (Q3). Calculer HJ en fonction de Q3 pour les valeurs suivantes : Q3 (l/s) 0 30 80 120 150 HJ (m) Tracer HJ en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante. Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. HJ et Q. (105l/s ; 95mCE)

• •

3.2.1.3. La vanne 1 est fermée et la vanne 2 est ouverte. En écrivant Bernouilli entre la surface libre (2) du puits et N2E, déterminer la charge totale H2E. En écrivant Bernouilli entre le point N2S et J, déterminer la charge totale H2S en fonction du débit dans le tronçon 2 (Q2) et de la charge totale HJ. En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HJ en fonction de Q2 : Q2 (l/s) 0 30 80 120 150 HJ (m) Tracer HJ en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante. Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. HJ et Q. (85l/s ; 80mCE)

• • • •

3.2.1.4. La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est ouverte. Que peut-on dire de la charge totale au point J (HJ) dans les trois tronçons ? Quelle est la relation entre Q1, Q2 et Q3 ? Tracer la courbe HJ en fonction de Q1+ Q2. Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. (133l/s ; 120mCE)

• • •

3.2.1.5. Synthèse • Comparer les valeurs du débit Q3 dans les cas : - La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est fermée - La vanne 1 est fermée et la vanne 2 est ouverte - La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est ouverte Peut-on dire que Q3.1 + Q3.2 = Q3.3 ? • Vérifier que Lechapt et Calmon est applicable

José VAZQUEZ

: Q3.1 : Q3.2 : Q3.3

58

Hydrodynamique des liquides réels 200 180 160 140 120 (m)

100 80 60 40 20 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

Q(l/s)

José VAZQUEZ

59

Hydrodynamique des liquides réels 3.2.2. Pompes en parallèle refoulant dans des conduites en parallèle et en série 185 E

Conduite 4 DN 350mm L=5512m ε=0.1mm

Conduite 1 et 2 DN 350mm B L=800m ε=0.1mm

119

R1

A

A’

B’


Pompe 1 B1

B1’

D

R3

175

F

R2


C

2 Pompes identiques en parallèle

Pompe 2

Le constructeur des pompes donne pour chaque pompe les caractéristiques suivantes : Hmt (m) 110.5 107.5 104 99 90 81 70 57.5 Q (l/s) 0 20 40 60 90 110 130 150 58 66 74 75.5 73 68 η (%) η : rendement. On négligera toutes les pertes de charge singulières. Les deux pompes fonctionnent en même temps.

José VAZQUEZ

60

Hydrodynamique des liquides réels 1. Tracer des courbes caractéristiques • Déterminer la charge totale H(B) au point B en fonction du débit Q1 dans le tronçon 1 et tracer sur un graphique H(B) (m) en fonction de Q1 (l/s). • Que peut-on dire des charges totales H(B’) au point B’ ? • Tracer sur ce même graphique la courbe caractéristique de la pompe 1. • Tracer, toujours sur le même graphique, la charge totale au point B1. • Tracer sur ce graphique la charge totale H(C) au point C. • En partant du point C calculer la charge totale H(D) au point D en fonction de Q3 dans le tronçon 3. Tracer la courbe sur le graphique. • En partant du point E calculer la charge totale H(D) au point D en fonction de Q4 dans le tronçon 4. Tracer la courbe sur le graphique. • En partant du point F calculer la charge totale H(D) au point D en fonction de Q5 dans le tronçon 5. Tracer la courbe sur le graphique. • Tracer la courbe caractéristique des conduites 4 et 5 en parallèles au point D en fonction de Q3. 2. Point de fonctionnement • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation HMT et Q au point D. • Déterminer le point de fonctionnement de la pompe 1. (HMT1 et Q1 et η1) • Déterminer le débit dans les conduites 1, 4 et 5. (Q=192l/s ; 80mCE)

José VAZQUEZ

61

Hydrodynamique des liquides réels 3.2.3. Courbes caractéristiques et point de fonctionnement d’une installation

Réservoir d’eau 3

Réservoir d’eau 4 Tronçon 4

Réservoir d’eau 2 Pompe 2

N2E

Clapet

Tronçon 5

N2S

Tronçon 2

J

Vanne

Réservoir d’eau Tronçon 3

1 Vanne

Pompe 1

Clapet Tronçon 1

N1E N1S

On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon. Caractéristiques du réseau : Tronçon Diamètre (mm) Longueur (m) Rugosité ε (mm)

1 700 1000 0.1

2 500 600 0.1

3 700 800 0.1

4 600 1500 0.1

5 700 3230 0.1

Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 Réservoir d’eau 2 Réservoir d’eau 3 Réservoir d’eau 4

José VAZQUEZ

28 32 62 58

62

Hydrodynamique des liquides réels Caractéristiques des pompes : Pompe 1 HMT (m) Q (l/s) Pompe 2 HMT (m) Q (l/s)

82 200 68 420

73.5 300 64.5 500

68.5 400 59.5 600

60 500 51 700

48 600 46.5 750

37 630 43 800

35.5 900

Préliminaire

• •

V2 pour un débit maximal de 900l/s dans chaque tronçon. 2g Comparer les valeurs trouvées par rapport aux valeurs de HMT des pompes. Quelle hypothèse peut-on formuler ?

Calculer

Courbes de fonctionnement

• • • •

• • • •

Entre le réservoir 1 et J En écrivant Bernouilli entre la surface libre (1) du réservoir d’eau et N1E, déterminer la charge totale H1E. En écrivant Bernouilli entre le point N1S et J, déterminer la charge totale H1S en fonction du débit (Q1) dans les tronçons 1 et 3 et de la charge totale HJ. En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HJ en fonction de Q1 : Q1 (l/s) 200 300 400 500 600 630 HJ (m) Tracer HJ en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. Entre le réservoir 2 et J En écrivant Bernouilli entre la surface libre (2) du réservoir et N2E, déterminer la charge totale H2E. En écrivant Bernouilli entre le point N2S et J, déterminer la charge totale H2S en fonction du débit dans le tronçon 2 (Q2) et de la charge totale HJ. En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HJ en fonction de Q2 : Q2 (l/s) 420 500 600 700 750 800 900 HJ (m) Tracer HJ en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante.

Entre J et le réservoir 3 • En écrivant Bernouilli entre J et la surface libre (3) du réservoir, déterminer la charge totale HJ en fonction du débit dans le tronçon 4 (Q4). • Calculer HJ en fonction de Q4 pour les valeurs suivantes : Q3 (l/s) 0 200 400 600 800 1000 HJ (m) • Tracer HJ en fonction de Q4 sur le graphique de la page suivante.

José VAZQUEZ

63

Hydrodynamique des liquides réels Entre J et le réservoir 4 • En écrivant Bernouilli entre J et la surface libre (4) du réservoir, déterminer la charge totale HJ en fonction du débit dans le tronçon 5 (Q5). • Calculer HJ en fonction de Q5 pour les valeurs suivantes : Q3 (l/s) 0 200 400 600 800 1000 HJ (m) • Tracer HJ en fonction de Q5 sur le graphique de la page suivante. Points de fonctionnement • Que peut-on dire de la charge totale au point J (HJ) dans les quatre tronçons ? • Quelle est la relation entre Q1, Q2, Q3 et Q4? • Tracer la courbe HJ en fonction de Q1+ Q2. • Tracer la courbe HJ en fonction de Q3+ Q4. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer les débits de la pompe 1 et 2 ainsi que les pressions piézométriques.

•

Expliquer l’intérêt des clapets et vannes en sortie de pompe et à l’amont des réservoirs.

(1325l/s ; 70mCE)

José VAZQUEZ

64


Courbes de fonctionnement

110

pression (mCE)

100

90

80

70

60

50 0

José VAZQUEZ

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 Débit (l/s) 65

Hydrodynamique des liquides réels 3.2.4. Courbes caractéristiques et points de fonctionnement d’une installation


Réservoir d’eau 3 Clapet Clapet Conduite 2

Conduite 3

A

Conduite 1


N1E

N1S Vanne

On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire avec les relations de Lechapt et Calmon. N1E : point d’entrée de la pompe 1, N1S : point de sortie de la pompe 1, La pompe 1 a le même diamètre en entrée et en sortie. Caractéristiques du réseau : Conduite 1 Diamètre (mm) 400 Longueur (m) 1200 0.1 Rugosité ε (mm) Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 Réservoir d’eau 2 Réservoir d’eau 3

2 300 1800 0.1

35 95 83

Caractéristiques de la pompe : Pompe 1 HMT1 (m) 180 Q (l/s) 0 José VAZQUEZ

3 250 1400 0.1

173 100

152 200

117 300

68 400 66

Hydrodynamique des liquides réels Etude du réseau [Réservoir 1+2 +3 + Pompe 1] Entre le réservoir 1 et A • En écrivant Bernouilli entre la surface libre (1) du réservoir d’eau et N1E, déterminer la charge totale H1E. • En écrivant Bernouilli entre le point N1S et A, déterminer la charge totale H1S en fonction du débit (Q1), de la vitesse (V1) dans la conduite 1 et de la charge totale HA. • En utilisant la courbe caractéristique de la pompe HMT1, calculer HA en fonction de Q1 : Q1 (l/s) 0 100 200 300 400 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. Entre A et le réservoir 2 • En écrivant Bernouilli entre A et la surface libre (2) du réservoir, déterminer la charge totale HA en fonction du débit dans la conduite 2 (Q2). • Calculer HA en fonction de Q2 pour les valeurs suivantes : Q2 (l/s) 0 100 200 300 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante. Entre A et le réservoir 3 • En écrivant Bernouilli entre A et la surface libre (3) du réservoir, déterminer la charge totale HA en fonction du débit dans la conduite 3 (Q3). • Calculer HA en fonction de Q3 pour les valeurs suivantes : Q3 (l/s) 0 100 200 300 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante.

Point de fonctionnement • Tracer la courbe de fonctionnement du réseau [Conduite2/Réservoir2] + [Conduite3/Réservoir3]. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer le débit dans les conduites 2 et 3 ainsi que la HMT1 de la pompe. (Q1=322l/s ; Q2=177l/s ; Q3=146l/s) Etude du réseau [Réservoir 1+2 +3+4 + Pompe 1]

On relie une deuxième commune au réseau précédent. On néglige les pertes de charges singulières. Caractéristiques de la nouvelle conduite : Conduite 4 Diamètre (mm) 350 Longueur (m) 900 0.1 Rugosité ε (mm) Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 4

José VAZQUEZ

55

67




Clapet Clapet Conduite 2

Conduite 3

A

Conduite 1

Réservoir d’eau

Conduite 4


1 Pompe 1

N1E

N1S Vanne

Entre A et le réservoir 4 • En écrivant Bernouilli entre A et la surface libre (4) du réservoir, déterminer la charge totale HA en fonction du débit dans la conduite 4 (Q4). • Calculer HA en fonction de Q4 pour les valeurs suivantes : Q4 (l/s) 0 100 200 300 400 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q4 sur le graphique de la page suivante. Point de fonctionnement • Tracer la courbe de fonctionnement du réseau [Conduite2/Réservoir2] + [Conduite3/Réservoir3] +[Conduite4/Réservoir4] . • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer le débit dans les conduites 2, 3 et 4 ainsi que la HMT1 de la pompe. (Q1=392l/s ; Q2=0 ; Q3=22l/s ; Q4=370l/s)

José VAZQUEZ

68

Hydrodynamique des liquides réels Etude du réseau [Réservoir 1+2 +3+4 + Pompe 1 + PdC Vanne]

Afin de palier à l’inconvénient précédent, on crée une perte de charge singulière importante avec la vanne disponible juste à l’amont du réservoir 4. Cette perte de charge vaut : V2 PdCVanne4 = 300. 2g



Clapet Clapet Conduite 2

Conduite 3

A

Conduite 1

Réservoir d’eau

Conduite 4

Réservoir d’eau

4

1 Pompe 1

N1E

N1S Vanne

• • •

Vanne

Entre A et le réservoir 4 En écrivant Bernouilli entre A et la surface libre (4) du réservoir, déterminer la charge totale HA en fonction du débit dans la conduite 4 (Q4). Calculer HA en fonction de Q4 pour les valeurs suivantes : Q4 (l/s) 0 100 200 300 HA (m) Tracer HA en fonction de Q4 sur le graphique de la page suivante.

Point de fonctionnement • Tracer la courbe de fonctionnement du réseau [Conduite2/Réservoir2] + [Conduite3/Réservoir3] +[Conduite4/Réservoir4/Vanne4] . • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer le débit dans les conduites 2, 3 et 4 ainsi que la HMT1 de la pompe. (Q1=360/s ; Q2=93l/s ; Q3=103/s ; Q4=162/s)

José VAZQUEZ

69


Courbes de fonctionnement 250.0

Charge H (mCE)

200.0

150.0

100.0

50.0

0.0 0

José VAZQUEZ

50

100

150

200 250 Débit (l/s)

300

350

400

450

70

Hydrodynamique des liquides réels 3.2.5. Courbes caractéristiques et point de fonctionnement d’une installation


Réservoir d’eau 4 Clapet Clapet Tronçon 2

Tronçon 4

A

B

Tronçon 3

Tronçon 1

Réservoir d’eau

Réservoir d’eau

3

1

Vanne

Pompe 1

N1E

Pompe 2

N2S

N2E

N1S Vanne

On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon. N1E : point d’entrée de la pompe 1, N1S : point de sortie de la pompe 1, N2E : point d’entrée de la pompe 2, N2S : point de sortie de la pompe 2. La pompe 1 a le même diamètre en entrée et en sortie. La pompe 2 a le même diamètre en entrée et en sortie. Caractéristiques du réseau : Tronçon 1 Diamètre (mm) 700 Longueur (m) 1800 0.1 Rugosité ε (mm) Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 Réservoir d’eau 2 Réservoir d’eau 3 Réservoir d’eau 4

José VAZQUEZ

2 500 1500 0.1

3 500 600 0.1

4 600 2500 0.1

30 90 32 86

71

Hydrodynamique des liquides réels Caractéristiques des pompes : Pompe 1 HMT1 (m) 82 Q (l/s) 0 Pompe 2 HMT2 (m) 90 Q (l/s) 0

81 100 88 100

78 200 82 200

73 300 72 300

66 400 58 400

57 500 40 500

Etude du réseau [Réservoir 1 / Pompe 1 / Réservoir 2] Entre le réservoir 1 et A • En écrivant Bernouilli entre la surface libre (1) du réservoir d’eau et N1E, déterminer la pression piézométrique P*1E. • En écrivant Bernouilli entre le point N1S et A, déterminer la pression piézométrique P*1S en fonction du débit (Q1), de la vitesse (V1) dans le tronçon 1 et de la charge totale HA. • En utilisant la courbe caractéristique de la pompe HMT1, calculer HA en fonction de Q1 : Q1 (l/s) 0 100 200 300 400 500 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. 3.2.6. Entre A et le réservoir 2 • En écrivant Bernouilli entre A et la surface libre (2) du réservoir, déterminer la charge totale HA en fonction du débit dans le tronçon 2 (Q2). • Calculer HA en fonction de Q2 pour les valeurs suivantes : Q2 (l/s) 0 100 200 300 400 500 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante. Point de fonctionnement • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. Etude du réseau [Réservoir 3 / Pompe 2 / Réservoir 4] Entre le réservoir 3 et B • En écrivant Bernouilli entre la surface libre (3) du réservoir d’eau et N2E, déterminer la pression piézométrique P*2E. • En écrivant Bernouilli entre le point N2S et B, déterminer la pression piézométrique P*2S en fonction du débit (Q3) dans le tronçon 3 et de la charge totale HB. • En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer HB en fonction de Q3 : Q3 (l/s) 0 100 200 300 400 500 HB (m) • Tracer HB en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante. Entre B et le réservoir 4 • En écrivant Bernouilli entre B et la surface libre (4) du réservoir, déterminer la charge totale HB en fonction du débit dans le tronçon 4 (Q4). • Calculer HB en fonction de Q4 pour les valeurs suivantes : Q4 (l/s) 0 100 200 300 400 500 HB (m) • Tracer HB en fonction de Q4 sur le graphique de la page suivante. 3.2.7. Point de fonctionnement • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation.

José VAZQUEZ

72

Hydrodynamique des liquides réels Etude du réseau [Réservoir 1/2 /3 /4 / Pompe 1 / Pompe 2] Dans notre installation, on relie les points A et B par une conduite. Cette conduite n’engendre aucune perte de charge supplémentaire. Réservoir d’eau 2

Réservoir d’eau 4 Clapet Clapet Tronçon 2

B’’

Tronçon 4

B’ C A’ Tronçon 1

A’’ Tronçon 3

Réservoir d’eau

Réservoir d’eau

3

1

Vanne

Pompe 1

N1E

Pompe 2

N2S

N2E

N1S Vanne

Points de fonctionnement • Que peut-on dire de la charge totale aux points A’, A’’, B’, B’’ et C ? • Quelle est la relation entre Q1, Q2, Q3 et Q4? • Tracer la courbe HC en fonction de Q1+ Q3. • Tracer la courbe HC en fonction de Q2+ Q4. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer les débits de la pompe 1 et 2 ainsi que les pressions piézométriques. • Comparez ces résultats avec ceux obtenus précédemment ? Tronçons 1 2 3 4 Débit(l/s) Réseau connecté Débit (l/s) Réseau non connecté • Quel peut-être l’intérêt de relier les deux réseaux ? • Que doit-on rajouter au réseau pour que l’on puisse faire fonctionner la pompe 1 indépendamment de la pompe 2 ?

José VAZQUEZ

73


Courbes de fonctionnem ent 130.0

Pression (mCE)

120.0

110.0

100.0

90.0

80.0 0

José VAZQUEZ

100

200

300

400 500 Débit (l/s)

600

700

800

900

74

Hydrodynamique des liquides réels 3.2.8. Equilibre de trois réservoirs


Réservoir d’eau 2 Canalisation 3

Vanne

Canalisation 2

I

Canalisation 1


On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon. Caractéristiques du réseau : Canalisation 1 2 3 Diamètre (mm) 250 200 300 Longueur (m) 1800 2000 2600 0.1 0.1 0.1 Rugosité ε (mm) Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 Réservoir d’eau 2 Réservoir d’eau 3

30 35 50

On place une vanne sur la canalisation 3. Le sens d’écoulement de chaque canalisation est fixé sur le graphique précédent.

José VAZQUEZ

75

Hydrodynamique des liquides réels Vanne en fonctionnement

La vanne sur la canalisation 3 produit une perte de charge de 6000

V2 . 2g

Charge en I en fonction du réservoir 1 • En écrivant Bernoulli entre I et le réservoir 1, déterminer la charge totale HI en fonction du débit (Q1). • Calculer HI en fonction de Q1 : Q1 (l/s) 0 20 40 60 80 HI(Q1) (m) • Tracer HI en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. Charge en I en fonction du réservoir 2 • En écrivant Bernoulli entre le réservoir 2 et I, déterminer la charge totale HI en fonction du débit (Q2). • Calculer HI en fonction de Q2 : Q2 (l/s) 0 5 10 20 30 HI(Q2) (m) • Tracer HI en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante. Charge en I en fonction du réservoir 3 • En écrivant Bernoulli entre le réservoir 3 et I, déterminer la charge totale HI en fonction du débit (Q3). • Calculer HI en fonction de Q3 : Q3 (l/s) 0 2.5 5 10 15 20 HI(Q3) (m) • Tracer HI en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante. Points de fonctionnement • Que peut-on dire des charges totales en I : HI(Q1), HI(Q2) et HI(Q3) ? • Quelle est la relation entre Q1, Q2et Q3? • Tracer la courbe HI en fonction de Q2+ Q3. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer les débits Q1, Q2et Q3.

José VAZQUEZ

76

Hydrodynamique des liquides réels Vanne entièrement ouverte La vanne sur la canalisation 3 ne produit plus de perte de charge. Charge en I en fonction du réservoir 2 On suppose maintenant que l’écoulement à lieu en sens contraire dans la canalisation 2. • En écrivant Bernoulli entre I et le réservoir 2, déterminer la charge totale HI en fonction du débit (Q2). • Calculer HI en fonction de Q2 : Q2 (l/s) 0 -10 -20 -30 -40 HI(Q2) (m) • Tracer HI en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante.

Charge en I en fonction du réservoir 3 • En écrivant Bernoulli entre le réservoir 3 et I, déterminer la charge totale HI en fonction du débit (Q3). • Calculer HI en fonction de Q3 : Q3 (l/s) 0 20 40 60 80 HI(Q3) (m) • Tracer HI en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante. Points de fonctionnement • Tracer la courbe HI en fonction de Q2+ Q3. • Déterminer le point de fonctionnement de l’installation. • Déterminer les débits Q1, Q2 et Q3.

José VAZQUEZ

77


Evolution de la charge au point I 60.0

55.0

Charge (mCE)

50.0

45.0

40.0

35.0

30.0

25.0 -50

-40

José VAZQUEZ

-30

-20

-10

0

10 20 Débit (l/s)

30

40

50

60

70

80

78

Mastère Eau potable et assainissement 3.2.9. Courbes caractéristiques et points de fonctionnement d’une installation

Réservoir d’eau Source

3


Demande

Canalisation 3

Canalisation 4

A

Réservoir d’eau 2 Rivière

Canalisation 2.2

Canalisation 1


Canalisation 2.1

Clapet

Pompe 2 Clapet

Forage

L’objectif de cette étude est d’alimenter le réservoir 4 à partir de trois ressources en eau : une source, une rivière et un forage. Quels que soient les débits de la demande et des ressources, les niveaux dans les réservoirs seront supposés constants. On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon. Caractéristiques du réseau : Canalisation 1 Diamètre (mm) 400 Longueur (m) 5000 0.1 Rugosité ε (mm) Cotes topographiques (m) : Réservoir d’eau 1 Réservoir d’eau 2 Réservoir d’eau 3 Réservoir d’eau 4

2.2 250 5000 0.1

3 300 5000 0.1

306 140 210 70

271 160 195 80

232 180 178 90

4 400 5000 0.1

100m 250m 340m 320m

Caractéristiques des pompes : Pompe 1 HMT1 (m) 336 Q1 (l/s) 120 Pompe 2 HMT2 (m) 225 Q2 (l/s) 60

José VAZQUEZ

2.1 250 5000 0.1

188 200 159 100

79

Mastère Eau potable et assainissement Courbes caractéristiques en A des différentes parties du réseau 3.2.10. Charge en A provenant de R1 + Pompe 1 + cana 1 • En écrivant Bernoulli et en utilisant la courbe caractéristique de la pompe HMT1, calculer HA en fonction de Q1 : Q1 (l/s) 120 140 160 180 200 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q1 sur le graphique de la page suivante. 3.2.11. Charge en A provenant de R2 + Pompe 2 + cana 2.1 et 2.2 • En écrivant Bernoulli et en utilisant la courbe caractéristique de la pompe HMT2, calculer HA en fonction de Q2 : Q2 (l/s) 60 70 80 90 100 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q2 sur le graphique de la page suivante. 3.2.12. Charge en A provenant de R3 + cana 3 • En écrivant Bernoulli, calculer HA en fonction de Q3 : Q3 (l/s) -50 -30 0 30 50 70 100 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q3 sur le graphique de la page suivante. 3.2.13. Charge en A provenant de R4 + cana 4 • En écrivant Bernoulli, calculer HA en fonction de Q4 : Q4 (l/s) 0 50 100 150 200 250 HA (m) • Tracer HA en fonction de Q4 sur le graphique de la page suivante. Etude du point de fonctionnement du réseau en fonction des saisons Fonctionnement en hiver Les pompes 1 et 2 sont à l’arrêt. • Déterminer le débit d’alimentation du réservoir 4. Fonctionnement au printemps et en automne La pompe 1 est à l’arrêt. La pompe 2 est en marche. • Déterminer le débit d’alimentation du réservoir 4, le débit dans la canalisation 3 et le débit de la pompe 2. Fonctionnement en été sans clapet sur R3 Les pompes 1 et 2 sont en marche. L’eau peut s’écouler dans les deux sens dans la canalisation 3. • Déterminer le débit d’alimentation du réservoir 4, le débit dans la canalisation 3 et les débits dans les pompes 1 et 2. Fonctionnement en été avec clapet sur R3 Les pompes 1 et 2 sont en marche. Dans la canalisation 3, l’eau ne peut pas s’écouler dans le sens A vers R3. • Déterminer le débit d’alimentation du réservoir 4 et les débits dans les pompes 1 et 2.

José VAZQUEZ

80

Mastère Eau potable et assainissement

Points de fonctionnement de l'installation 450 430 410 390

H(mCE)

370 350 330 310 290 270 250 -50

0

50

100

150

200

250

Q (l/s)

José VAZQUEZ

81

TD Hydraulique Generale MEPA2010

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