ECUACIONES DIFERENCIALES FASE UNO Presentado a: Andrea Patricia Herrera Contreras Tutor
Entregado por: Octavio Andrés Cardona Rivera Código: 79996062 Julián David Rodríguez Castillo Código: 80029113 Wilson Adrián Fino González Código: 79825561 Carlos Manuel Rivera Barreto Código: 80034614 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx
Grupo:xxxxxx
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA CIUDAD 2017
INTRODUCCIÓN
A través de los ejercicios planteados de tipo SABER PRO, se tendrá la oportunidad de preparase para este tipo de pruebas, este modelo nos permite desarrollar esta actividad enfocando el desarrollo de cada punto en la agilidad y sustentación teórico /practica de los mismos.
Esperamos poder, de manera ágil y concreta, expresar las soluciones de los ejercicios para poder identificar las respuestas de manera correcta, de esta manera lograremos ganar mayor conocimiento e incrementar nuestra metodología al enfrentar la prueba SABER PRO.
OBJETIVOS
Afianzar los conocimientos sobre las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Reconocer la metodología de las preguntas tipo SABER P RO.
Analizar y comprender los diferentes tipos de ejercicios con el fin de encontrar la manera más práctica y ágil de desarrollarlo. Identificar los métodos agiles para la solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Primera actividad Individual:
A continuación, se presentan un contexto generalizando de la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuestacorrectajustificándola con todo el procedimiento empleando el métodoadecuado para llegar a su solución general y/o particular.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta.
SOLUCION por Julian Rodríguez 1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad. De acuerdo a la ecuación diferencial: funciones es una solución:
d2 y dx 2
dy dx
y
ex
xe x , cuál de las siguientes
A.
y
xe
B.
y
xe
C.
y
xe
D.
y
x
x
x
e
x
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
solución general Teniendo en cuenta que tenemos una ecuación La diferencial de no homogénea de segundo orden lineal con coeficientes constantes de la siguiente Se puede escribir como forma : Se plantea como solución la respuesta D
´´´ = Rescribimos nuestra ecuación de ´´´ =
´´´ = =
para
la forma
:
= = : =
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad de la siguiente manera: 1. Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP).
2. Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. 3. Clasificación según la Linealidad : Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto, la var iable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0 , a1 ,…, an dependen solo de la variable x. 2. De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y no lineal corresponde a.
A. B.
2 3 = 0 7 6 7 = 0
C.
=
D.
= 1 PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
A.
=
RAZÓN O EXPLICACIÓN 10.es una ecuación diferencial ordinaria de tercer grado por su derivada
y no lineal porque
por su definición no contiene términos que dependen solamente de su variable independiente
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carlos Manuel Rivera Barreto ESTUDIANTE QUE REALIMENTO:
ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma:
= ℎ ,
se pueden resolver a
través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir:
ℎ1 =
4. De acuerdo a la información, la solución general de la ecuación diferencial
2 = 0 se puede indicar como
2 A. y C x
2
2 B. y C x 2 C. y ln 2x 2 lnC
D. y
lnC x 2
2
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
∗′ = = 1′ , = 2 1 = 2 Ln = 12 ln 2
RAZÓN O EXPLICACIÓN Reescribir como una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden de variables separables.
A partir de lo anterior procedemos a resolver.
= 2 = 2
Procedemos entonces a despejar y. Por último simplificamos y tenemos como respuesta la B.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 , sucede que: Cuando en una ecuación diferencial de la forma M M y
N x
, se dice que la ecuación es exacta, en caso contrario la ecuación
diferencial no es exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado ( x, y ) , llamado factor integrante, el cual
se calcula si está en función de y a través de la fórmula: ( y ) e 2x
Por lo tanto, el factor integrante de la ecuación diferencial
2
y )dx ( 4x
Nx My M
3
dy
.
)dy 0 , viene
1
dado por: A. ( y )
B. ( y ) C.
(
2
y 5 1
y3
y ) y 5
5 D. ( y ) y
RAZÓN O EXPLICACIÓN
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA Para hallar el factor integrante en función de y aplicamos la fórmula que veremos a continuación.
µ =
2x
2
y )dx ( 4x
3
)dy 0 ; podemos analizar
1
que la ecuación diferencial es de la forma;
2 1 2 µ = 2 5 1 0 µ = 2 =
µ = ∫ ; µ = ∫ ; µ = µ = µ =
M ( x, y )dx
N ( x, y )dy
averiguar si
0,
por lo tanto debemos
= , es decir si es exacta o
no, entonces procedemos a derivar M y N :
;
= 2 ; = 12 Tomando en cuenta lo anterior se encontramos que esta ecuación diferencial no es Exacta, ya que no son iguales, por lo tanto después de resolver el ejercicio concluimos que la respuesta es la D.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carlos Manuel Rivera Barreto punto 5 ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: Responda las preguntas 5 y 6 con base a la siguiente información Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las Ecuaciones Diferenciales
= , , o , , = 0 , que por homogeneidad quedan del mismo grado y que se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente , o de la forma = , donde = , por lo tanto = . Homogéneas que son de la forma:
5. Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea:
, corresponde a:
=
= B. = C. = D. = A.
SOLUCION por Julian Rodríguez 6.Al resolver la ecuación diferencial dada como:
= 0,
la solución general viene
= || B. = C. = tan D. = || A.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
5. =
RAZÓN O EXPLICACIÓN Es un ecuación homogénea de grado 3
= = => = + + = 1 1 = 1 1 = 1 ln|| = ln|| 2 ln|| = 21 A. =
, se despeja dónde y = ux Se genera en términos de u Se simplifica y se tiene q y´= xu’+u
Se separan variables de x y u Es una ecuación de solución de variables separables Se resuelve las integrales en ambos lados Se aplica propiedad de logaritmos y se reemplaza ya q y = ux La respuesta es la A
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA 6 Tenemos que :
= 0 entonces
´ = 1 Ecuación homogénea:
´ = 1 A. Solución: = ||
RAZÓN O EXPLICACIÓN Al realizar el proceso se tiene que la mejor solución planteada es D
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 7. Es posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a través de la técnica llamada variables separables y se expresan de la forma M ( x )dx N ( y )dy 0 , en donde todos los términos en x se pueden asociar con dx y todos los términos en y con dy , cuyo despeje se puede expresar como:
= Tomando como referencia la información, el problema de valor inicial
16 = 0, 0 = 1, tiene como solución general y solución particular, respectivamente a:
= √ + 2. = + 1.
3.
= √ +
4.
= + PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
∗′ = = 1′ , = 16 1 = 16 Ln = 12 ln 16 = √ 16 = √ 16
RAZÓN O EXPLICACIÓN Reescribir como una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden de variables separables.
Procedemos a resolver. Despejamos y. Simplificamos respuesta la 1.
constantes
y
tenemos
como
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ESTUDIANTE QUE REALIMENTO: ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 que no es exacta, es decir, 9. Una ecuación diferencial de la forma M M y
N x
, se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor
apropiado ( x, y ) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a
través de la fórmula: ( y ) e
Nx My M
dy
.
El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial dado por: A. ( y )
1
y3
3xydx
3x
2
dy
0,
viene
B. ( y ) y 3 C.
y
cx
D.
y
c x
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE . Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une.
Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:
Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
ESTUDIANTE QUE REALIMENTO:
10. Cuando se plantea la ecuación diferencial ( x 3) solución particular generada para y(4)
dy
3 y , es posible asegurar que la dx 2 es y 2( x 3)3 ,PORQUE al resolverla la
solución general de la ecuación diferencial viene dada por
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
3 = 3 = 3 3 1 = 3 3 1 1 = 32 3 1 = 33 3 = 21 3 / – 3 = 3 / / 3 = 3 ↔ = 3 / = 3 = 4 3 = 3 = 3 A continuación = 4 = 2 2 = 43 = .7 = .343 = 3432 ≠ 2
y C ( x 3) 3
RAZÓN O EXPLICACIÓN Como se demostró en la solución del problema, la afirmación es Falsa y la razón verdadera, por lo tanto la opción correcta es la D.
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema: Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de mezclas. En ellos, generalmente se presenta la siguiente situación:
La ecuación diferencial asociada es la siguiente e diferencial lineal, que permite encontrar la ley de v de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiem
Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera.
RAZÓN O EXPLICACIÓN
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
El volumen inicial de líquido en el tanque es V0 = 500 lt y la cantidad inicial de sal en el tanque es x0 = 20 gr. La salmuera que se bombea al tanque tiene una concentración C1 = 5 gr/lt y se bombea a una razón Q1 = 8 lt/min. La solución, debidamente agitada y homogeneizada, se extrae del tanque a razón Q2 = 10 lt/min
10 = 40 500810 5 = 40 250 = 40 5 250 5 = 40 250 5 = 40 250 5 = 40 250 − |−| ∫ = = 250− 250− 5| 250−−| = 250 |250− | = 40 250−
|250− | = 40 250− |250− | = 250− − 250 − 250 = 4 2
Sustituyendo los datos en la ecuación
simplificando
despejando
Ya que la diferencial de la cantidad x de sal es
, sustituyendo dada por la ecuación
=
reordenando la ecuación
La ecuación (3) es una ecuación diferencial lineal de la forma x’ + F(t) x = G(t), donde F(t) =
−
, G(t) =
40. Para resolver la ecuación debe determinarse un factor integrante µ = ∫ F(t) dt Multiplicando la ecuación por el factor integrante Puesto que
sustituyendo en la ecuación Integrando ambas son inmediatas
250− = 10 250− 250−20 = 10 250− = 250−2480 250− = 10250− 250−2480 = 10250 2480250 250 = = 2250 = 500 2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación Se determina el valor de la constante k de integración se utiliza la condición inicial x(0) = 20, esto es, t0 = 0 min y x0 = 20gr se sustituyen en la ecuación Despejando k este valor obtenido para k se sustituye en la ecuación multiplicando por
250
La ecuación representa la ley de variación de la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t. Para determinar la concentración de sal en el tanque en un instante t cualquiera, se debe recordar que la concentración C(t) es el cociente entre la cantidad de sal y el volumen de líquido en el tanque, en un instante t cualquiera, es decir
− 1 02502480 = 2250 250 = 51240 250
=
Se sustituyen las ecuaciones anteriores
La ecuación representa la ley de variación de la concentración de sal en el tanque en cualquier instante t.
SegundaactividadGrupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Segunda Actividad EJERCICIO Y SOLUCIÓN
OBSERVACIONES, ANEXOS,
PLANTEADA
MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
En una cafetería se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de 90°C, y se enfría hasta 75°C mientras se expone a la temperatura ambiente durante 4 minutos. Si la temperatura ambiente está en 20°C, determinar en qué momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 55°C. Según la Ley de enfriamiento de Newton, la ecuación viene dada como:
=
Separando variables se tiene:
− =
Se aplica la integral a ambos lados de la ecuación:
= ln = , según propiedades de los logaritmos: − = −+ Entonces, = − , por lo tanto: = − Como = 20° = − 70 − 70 = El valor correcto es 20° ya que pertenece a la temperatura ambiente y no 70 como se plantea, cabe anotar
que este valor es el valor de la constante “c”
=0 = 90°, 0 = − = 9070 20 = 90=, 20por lo tanto,
Para la bebida tiene entonces:
Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será:
= 70− 20
= 4 la bebida tiene = 75°, 4 = 70 − 20 = 75 − = 7520 70 = 7550
Para luego:
Otra posible respuesta seria restar de ambos lados 20 así:
70−2020 = 7520 70− = 55 70− = 55 70 70 Simplificamos −= Aplicando logaritmos: )
ln = ln l n = 4 = 0,0602 Aplicando logaritmos: ln(−) = ln5570
k= = 0,06029 resultado positivo k= = 0,06029
= 55° = la bebida está en = 70−, 20 = 55 Como en
Por lo tanto,
−, = − y simplificando = , = encontramos que: 10,696 la respuesta no es correcta = ya que el valor real es , 11, 4 96 , tomando en cuenta lo anterior el tiempo aproximado es 11,5 El tiempo aproximado será de: = 10, 7 error el tiempo aproximado es 11,5 1=
1=
1=
CONCLUSIONES
Se ha aprendido el concepto básico sobre e cuaciones diferenciales de primer orden Se ha identificado el método más ágil para la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden
Se ha practicado, por medio del planteamiento de los ejercicios para las pruebas SABER PRO¡
Se han afianzado los conocimientos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS julioprofenet (31/07/2011). Ec. Dif. por Separación de Variables - Ejercicio 2. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=v3CsjgKeB7U
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 2-66). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Alonso, A., Álvarez, J. Calzada, J. (2008). Ecuaciones diferenciales ordinarias: ejercicios y problemas resueltos. Delta Publicaciones. (pp. 5-82). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 153). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Caicedo, A., García, J., Ospina, L. (2010). Métodos para resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ediciones Elizcom. (pp. 9-95). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10565809