Tarea 2 Transformaciones ortogonales. Tensores Cartesianos 8 de marzo de 2018
Problem Problema a 1 Responda las siguientes preguntas de forma clara 1. ¿Que ¿Que es un tensor tensor?? Un tensor es un objeto matematico que es invariante ante translaciones y rotaciones y los cambios de coordenadas, denadas, ademas que esta descrita descrita en terminos terminos de los grados de libertad. Adem´ as generaliza lops conceptos as de escalar, Vector y matriz siendo estos un tensor de rango 0, de rango 1 y de rango 2 respectivamente. 2. ¿Que motiva a escribir cantidades f´ısicas ısicas en t´ erminos erminos de tensores? La necesidad de un objeto que sea invariante ante rotaciones, translaciones o cambios de cooordenadas se satisface con los tensores, esto es, son independientes en cualquier sistema de referencia. 3. Demuestre Demuestre que la aceleraci´ aceleraci´on on no es un tensor (la demostracion no debe ser forzosamente rigurosa) d2 xi d2 x¯k Yaa que no podemos relacionar y 2 esto nos deja en la dificultad dificultad de encontrar encontrar una transformaci transformaci´´on on dt2 dt ¯k ¯k dxi dx dx entre x y x ¯ para obtener la forma de un tensor dada como = dt
dxi dt
4. Si la fuerza es un tensor tensor y la aceleraci´ aceleraci´on on no es un tensor, ¿la segunda Ley de Newton es err´onea? No, la aceleracion de puede llevar a la forma de un tensor tomando la derivada absoluta de la velocidad,asi mantenemos valida la segunda ley de newton.
Problem Problema a 2 Si A i , B i son vectores y X ij ij Ai Bj es un invariante, pruebe que X ij ij es un tensor. Soluci´ on
•
Partiendo Partiendo de que A i y Bj son vectores, tenemos que su tranformacion a otro sistema de referencia esta dado por x¯i = a ij xj + bi
⇒
¯i = a ij Aj A
¯i = a ij bj B
y
por lo tanto la tranformacion inversa esta dada por ⇒
¯ i Ai = a ij A¯i = a ji A
y
Bi = a ji ¯ bj
por otro lado, como X ij ij Ai Bj es invariante tenemos que x¯ij A¯i B¯j = x ij Ai Bj = x rs Ar Bs
1
ahora sustituyendo A r y B s de la tranformaci´on inversa en la ecuaci´on anterior, tenemos x¯ij A¯i B¯j = x rs air A¯i ajs B¯j
¯j esta en ambos miembros de la igual vemos A¯i yB ∴
x¯ij = a ir ajs xrs
Por lo tanto xij transforma como tensor.
Problema 3 Un par de marcos de referencia cartesianos se relacionan por las ecuaciones x¯1 =
1 (5x1 − 14x2 + 2 x3 ) 15 1 3
x¯2 = − (2x1 + x2 + 2 x3 )
1 (10x1 + 2 x2 − 11x3 ) 15 Aijk es un tensor, todos los componentes desaparece en el marco de referencia x acepto las componentes: A111 = A222 = 2, A 122 = 4, A 233 = 13. Calcule: x¯3 =
1. Las componentes del vector A ijj en el sistema de referencia x 2. La componente A¯123 3. Si B ij es un tensor cuyos componentes en el sistema de referencia ¯x desaparecen excepto B¯12 , B¯23 , los cuales son la unidad, calcule B11 Soluci´ on
•
1. Como A ijj tiene como indice libre i podemos escribir el vector v i de la forma m
vi = A ijj =
Aijj
j =1
y asi v1 = A 1jj = A 111 + A122 + A133 = 6 v2 = A 2jj = A 211 + A222 + A233 = 15 v3 = A 3jj = A 311 + A322 + A333 = 0
∴
v = (6, 15, 0)
2
¯123 se tiene que 2. para la componente A ¯123 = a ir ais ait Arst = a 11 a21 a31 A111 + a12 a22 a32 A222 + a13 a23 a33 A33 A adem´ as tenemos la matriz 1 3 2 3 10 15
14
A = − ⇒
1 3
2 3
¯123 = [( )(− )( A
2 15 2 −3 11 − 15
− 15 1
−3 2 15
.
10 14 1 2 2 2 11 16 )(2)] + [(− )(− )( )(2)] + [( )(− )(− )(0)] = − 15 15 3 15 15 3 15 75
¯ij = a ir ajs Brs 3. Tenemos que B ⇒
¯rs = a a B ¯ Bij = a ir1 ajs1 B ir js rs −
−
Bij = a ri asj ¯ Brs
⇒
ahora para B 11 tenemos que 1 3
B11 = a r1 as1 ¯ Brs = a 11 a21 ¯ B12 = ( )(−
14 14 )(1) = − 15 45
Problema 5 En
3
pruebe que:
1.
B ) = ∇ · (Ax
2.
B ) = ∇x(Ax
3.
· B ) = ∇(A
· ∇xA − A · ∇xB B
· ∇A − A · ∇B + A ∇B − B ∇A B
· ∇A + A · ∇B + Ax ∇xB + Bx ∇xA B
Para ser congruentes con la notacion del libro curl A = ∇xA div A = ∇ · A = ∇A gradA Soluci´ on
•
1. P.D.
B ) = ∇ · (Ax
sea C k = A × B , entonces ∇ · (C k )
=
· ∇xA − A · ∇xB B
δ C k = (krs Ar Bs ),j δx j
⇒ ∇ · (C k ) = krs (Ar Bs ), j = krs Bs Ar,j + Ar Bs,j
⇒ ∇ · (C k ) = krs (Bs Ar,j + krs Ar Bs,j ∴ ∴
∇ · (C k )
= B
∇ · (A × B )
·∇×
= B 3
= srk Bs Ar,j − rks Ar Bs,j
A−A·∇×B
·∇×
A−A·∇×B
(1)
2. P.D.
B ) ∇x(Ax
· ∇A − A · ∇B + A ∇ · B − B ∇ · A =B
sea C k = A × B asi ijk =
δ C k = ijk (krs Ar Bs ),j = ijk krs (Ar Bs ),j = ijk krs (Bs Ar,j + Ar Bs,j ) δx j
Reflejando los indices i,j,k y sando la propiedad ikl imn = δ km δ ln − δ kn δ lm , tenemos que ijk = −kji krs (Bs Ar,j + Ar Bs,j ) = −(δ jr δ is − δ js δ ir )(Bs Ar,j + Ar Bs,j )
⇒ ikl = −(δ jr δ is )(Bs Ar,j ) − ((δ jr δ is )(Ar Bs,j ) + ( δ js δ ir )(Bs Ar,j − (δ js δ ir )(Ar Bs,j )
⇒ ikl = −(δ jr δ is )Bs
δ Ar −((δ jj δ ii )(Aj Bi,j )+(δ jj δ ii )(Bj Ai,j −(δ jj δ ii )(Ai Bj,j ) = −B ∇·A−A·∇B ·∇A+A∇·B δxj ∴
ikl = B · ∇A − A · ∇B + A∇ · B − B · ∇A
4
