Taller Análisis Estructural Dinámico

TALLER ANÁLISIS ESTRUCTURAL DINÁMICO

CASO DE ESTUDIO: CENTRO DE ENSEÑANZA UBICADO EN BUCARAMANGA

PRESENTADO POR: JONATAN CAMILO LÓPEZ MOLINA - 215321 CRISTHIAN FIGUEROA CORTÉS - 215388

PRESENTADO A: ING. MARITZABEL MOLINA HERRERA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE INGENIERÌA CIVIL Y AGRÌCOLA BOGOTÁ, DICIEMBRE 09 DE 2015

TABLA DE CONTENIDOS: INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………… ….………...2

1. ANÁLISIS MODAL…………………………………………………………………………………. ……3 a) Proceso de cálculo de la matriz de rigidez del edificio en cada dirección….…3 b) Las frecuencias modales y los correspondientes periodos de vibración……..6 c) Los modos de vibración en el sentido X como en el sentido Y………………..….7 d) Comparación de los periodos y los modos obtenidos en el análisis Modal con la Información que se obtiene en el modelo hecho en 3D en un programa……………………………………………………………….. ……….…….8 2. ANÁLISIS CRONOLOGICO……………………………………………………………. …….……….9 a) Si el edificio en el sentido x tiene una aceleración Üg=Sa(T 1x)*g como la Que se indica en la gráfica 1, haga el análisis del comportamiento de la Estructura sin amortiguación……………………………………….. ……………………........9 b) Si el edificio en el sentido x tiene una aceleración constante de Üg=Sa (T1x)*g como la que se indica en la gráfica 1, haga el análisis del comportamiento de la estructura con amortiguación de 5%.......................11 c) Si el edificio en el sentido x tiene una aceleración máxima Üg=Sa(T1x)*g Con el comportamiento que se indica en la gráfica 2, haga el análisis del comportamiento de la estructura sin amortiguación…………………………………13 d) Si el edificio en el sentido x tiene una aceleración máxima Üg=Sa(T1x)*g Con el comportamiento que se indica en la gráfica 2, haga el análisis del comportamiento de la estructura con amortiguación de 5%.......................15 e) Si en el sentido y hay una aceleración Üg=Sa(T 1y)* g Sen(Ωt)kN, haga el Análisis del comportamiento de la estructura sin amortiguación Considerando los siguientes casos Ω=w1, Ω=w2, Ω= wprom……………………..17 f) Si en el sentido y hay una aceleración Üg=Sa(T 1y)* g Sen(Ω t)kN, haga el Análisis del Comportamiento de la estructura con amortiguación de 5% Considerando los siguientes casos Ω=w1, Ω=w2, Ω= wprom…………………..…19 g) Si en el sentido y hay una aceleración Üg=Sa(T 1y)* g cos(Ωt)kN, haga el 2

Análisis del comportamiento de la estructura sin amortiguación Considerando los siguientes casos Ω=w1, Ω=w2, Ω= wprom……………………..22 h) Si en el sentido y hay una aceleración Üg=Sa(T 1y)* g cos(Ω t)kN, haga el Análisis del Comportamiento de la estructura con amortiguación de 5% Considerando los siguientes casos Ω=w1, Ω=w2, Ω= wprom……………………..24 3) COMPARACIÓN ENTRE LOS 8 TIPOS DE ACELERACIÓN…………………………………….28 a) Qué diferencias hay en el comportamiento de la estructura de acuerdo Con cada tipo de carga?................................................................................28 b) Qué contribución hace la amortiguación en el comportamiento de la Estructura para los casos analizados?..........................................................29 c) Según lo observado en qué casos se puede despreciar el efecto de la Solución homogénea de las funciones naturales ?.......................................29 4) ANEXOS…………………………………………………………………………………… ……………………..30 INTRODUCCIÓN El análisis estructural dinámico estudia el efecto que las fuerzas externas le causan a la estructuras con lo cual se trata de mitigar los efectos causados por estas fuerzas que puedan comprometerla estabilidad de la estructura, generando así posibles fallas y colapsos de la misma. Por lo cual el método de análisis dinámico por medio de las herramientas matemáticas permite calcular los desplazamientos generados en la estructura y por medio de este se generara un análisis del comportamiento de un edificio de 2 niveles por este método. 1) ANÁLISIS MODAL Se realizó el análisis de un edificio ubicado en la ciudad de Bucaramanga en el cual se busca determinar las especificaciones mínimas establecidas en la NSR10, para lo cual se realizara un análisis dinámico de la estructura, siguiendo así los siguientes pasos en el análisis: a) Proceso de cálculo de la matriz de rigidez del edificio en cada dirección. La estructura presenta 2 niveles, con el apoyo del programa sap2000, se muestra la estructura a porticada de concreto reforzado de la edificación con 3

cada numeración para sus nudos y sus respectivos pórticos que lo componen, es de aclarar que dada la simetría de la estructura, algunos pórticos presentan similitudes entre ellos, de esta manera se procede a determinar los grados de libertad para cada pórtico y su respectivo análisis en cada dirección. Dirección x En la dirección x tenemos presentes los pórticos A, B, C, D, en los cuales por sus propiedades mecánicas y simetrías, se evaluara las matrices de rigidez para los pórticos A Y B (Figuras 1 y 2), siendo sus similares los pórticos D y C respectivamente.

Figura 1. Sección pórtico A – similar pórtico D

Figura 2. Sección pórtico B – similar pórtico C

4

Una vez definidos los pórticos se asignan los grados de libertad a cada nudo del pórtico y se realiza la evaluación de las matrices de rigidez, seguidamente se realiza la condensación de la matriz de rigidez de cada pórtico. Para la realización de la condensación una vez obtenida las matrices de rigidez no se asigna grados de libertad a la base por ser empotrada en el de todo el sistema, se realiza una reducción por inextensión de las vigas pasando de tener una matriz global de 54 X 54 a una matriz de 27 X27 valores (anexo 1); a continuación se procede al ajuste de los grados de libertad verticales avaluando el cociente entre H/B<5 , el cual dio un valor de (7,05/55,5)= 0,3, que al ser menor que 5 nos permite eliminar sin problema dichos grados de libertad, obteniendo así una matriz de 15X15 (anexo 1); por último se reajustan los grados de libertad rotacionales, desplazando algunas filas hacia la derecha de tal forma que se tengan primero los grados de libertad horizontales y seguido a ellos los grados de libertad rotacionales. Elaborada la condensación de las matrices de rigidez, se procede a determinar la rigidez en el sentido x en cada pórtico, como los pórticos A y D, son similares estos valores serán los mismos en cada uno, análogamente a lo que ocurre con los pórticos B Y C; para ello aplicando la siguiente operación matricial se determina el Kx de cada pórtico,

ec .1

Y con los Kx de cada pórtico se evalúa la rigidez en la dirección x total sumando los valores obtenidos para cada pórtico, dando como resultado los valores registrados en la tabla 1.

Tabla 1. Matrices de rigidez pórticos A-B-C-D y dirección x Dirección Y En la dirección y se tienen presentes 6 pórticos, de los cuales por las simetrías de la edificación y las propiedades mecánicas, se determinaran las matrices de rigidez para los pórticos 1, 2, 3 (Figuras 3,4,5 ) y sus similares serán los pórticos 6,5,4 respectivamente.

5

Figura 3. Sección pórtico 1 – similar pórtico 6

Figura 4. Sección pórtico 2 – similar pórtico 5

Figura 5. Sección pórtico 3 – similar pórtico 4 La condensación para estos pórticos se realiza de la misma manera ah como se ha descrito en la dirección x, los cambios que se producen son en que se pasa de una matriz global de 36X36 a una de 19x19 valores (anexo 2) por reducción 6

por inextension de las vigas y la eliminación de grados de libertad en la base, el análisis de H/B<5, nos indica que (7,05/32,5)=0,22 por lo cual se eliminan los grados de libertad verticales, obteniendo una matriz de 11x11 (anexo 2), se reajustan los grados de libertad rotacionales, y se evalúan las matrices de rigidez de cada pórtico aplicando la ec. 1. Y se halla la matriz de rigidez total de la dirección y.

Tabla 2. Matrices de rigidez pórticos 1-2-3-4-5-6 y dirección Y b) Las frecuencias modales y los correspondientes periodos de vibración. Para determinar las frecuencias modales y los periodos de vibración en cada dirección, primero se debe determinar la matriz de masas de la edificación, usando la ecuación 2, se determina la masa en cada piso, y se arma la matriz de masas.

M i=

Carga muertai∗Área ec .2 10

Los pesos en la edificación son del peso entrepiso y del peso de cubierta para el segundo piso peso KN/ ÁREA MASA m^2 m^2 Piso 1 9,1038 2076,75 1890,632 Piso 2 6,7011 2076,75 1391,651 Tabla 3. Datos masas por piso Con los datos de la tabla 3, se obtiene la matriz de masa de la edificación, como se muestra a continuación: MATRIZ DE MASAS 1391,65094 0 piso 2 0 1890,632 piso 1 Tabla4. Matriz de masas Con la matriz de masas de la edificación (tabla4) y las matrices de rigidez en las direcciones x- y (tablas 1 y 2), se hace el análisis de las frecuencias naturales en cada dirección aplicando la ecuación 3, mostrada a continuación:

|[ k ]−w2i [ m ]|=0 ec . 3 7

Resolviendo el sistema1, y obteniendo el determinante de esta matriz, podemos obtener los Wn para cada sentido y el periodo como se observan en las tablas 5 y 6.

Tabla 5. Frecuencia natural y periodo en x natural y periodo en y

Tabla 6. Frecuencia

c) Los modos de vibración en el sentido X como en el sentido Y. Con los datos de las frecuencias en cada dirección, se toma la frecuencia con menor periodo como frecuencia fundamental para determinar la matriz

Di

y

aplicando las ecuaciones 4, se determinan los modos de vibración para cada dirección.

[ [ k ]−w2i [ m ] ] {∅1 }=[ Di ] {∅1 }= {0 } ec . 4

Tabla 7. Valores para la matriz

D

i

en cada dirección con Frecuencia

fundamental Asumiendo un desplazamiento unitario para el primer nivel, se obtienen los siguientes resultados:

Tabla 8. Modos de vibración en direcciones x - y Con los valores de los modos y las frecuencias en cada dirección, se realizan las gráficas de los desplazamientos que presentan cada piso. DIRECCIÓN X

8

Wn 36,4

Wn 49,71

8

8

6

6

4

4

2

2

0

0 -1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-0.5

Grafica 1. DIRECCIÓN Y

0

0.5

1

1.5

Grafica 2.

Wn 74,32

Wn 58,54 8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1 0

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.5

Grafica 3.

0

0.5

1

1.5

Grafica 4.

d) Comparación de los periodos y los modos obtenidos en el análisis modal con la Información que se obtiene en el modelo hecho en 3D en un programa. Con el apoyo del programa SAP 2000 se corre la estructura con las cargas muertas ya establecidas en el análisis de la edificación realizado con anterioridad, se evalúan 24 modos para la estructura tomando los valores más cercanos y su respetivo modo comparándolos con hallados en el análisis dinámico, de esta manera se obtuvieron los siguientes resultados:

9

sentido x y

Modal

modelo SAP 2000

Análisis dinámico

1 0,10045 0,17261 2 0,09718 0,12640 3 0,09607 0,10733 7 0,09321 0,08454 Tabla 9. Comparación periodos

2) ANÁLISIS CRONOLOGICO Para cada caso de aceleración por el método análisis cronológico se toman a tiempos de 6 segundos respectivamente, así mismo se generan las gráficas de los desplazamientos en cada piso, para que una vez obtenidos dichos datos se determinen las derivas máximas, las fuerzas y el cortante en la base.

a) Si el edificio en el sentido x tiene una aceleración Üg=Sa(T1x)*g como la que se indica en la gráfica 1, haga el análisis del comportamiento de la estructura sin amortiguación Para una aceleración tipo rampa como lo indica la figura, tenemos la siguiente ecuación inicial Donde t
´ g m U´ + kU=−m U

t tr

Resolviendo la ecuación diferencial

{

}

t {U 1 }=[ Φ ] ηest tr + [ Φ ] { A cos Wn t }+ [ Φ ] { B sen Wn t } 10

Luego de derivar y reemplazar en las ecuaciones resultantes encontramos que

{ A }=0 Y

{ BWn }=−

{ηesttr }

Para tr1
´ g m U´ + kU =−m U Resolviendo la ecuación

{U 2 }=[ Φ ] { ηest } + [ Φ ] { A cos Wn t }+ [ Φ ] { B sen Wn t } Luego de derivar y reemplazar en las ecuaciones resultantes encontramos que

{ A }=[Φ]T [ m ] {U Itr 1 }−[ηest ] Y

{ BWn }=[Φ ]T [ m ] {U´ Itr1 } Para t>tr3: Cuando se tiene que no existe aceleración utilizamos la ecuación

m U´ + kU =0 Al resolver la ecuación

{U 3 }=[ Φ ] { A cos Wn t } + [ Φ ] { B sen Wn t } Luego de derivar y reemplazar en las ecuaciones resultantes encontramos que

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U IItr 2 } Y

{ BWn }=[Φ ]T [ m ] {U´ IItr2 }

11

0.02 0.02 0.01 0.01

U1 U2

0 0

1

2

3

4

5

6

7

-0.01 -0.01 -0.02

b) Si el edificio en el sentido x tiene una aceleración constante de Üg=Sa(T1x)*g como la que se indica en la gráfica 1, haga el análisis del comportamiento de la estructura con amortiguación de 5% Para una aceleración tipo rampa con amortiguamiento como lo indica la figura, tenemos la siguiente ecuación inicial Etapa t
m U´ + c U´ + kU=−m U´ g

t tr

Al resolver la ecuación encontramos

{ (

)}

t 2ξ {U 1 }=[ Φ ] ηest tr − Wn tr + [ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt }+ [ Φ ] {B sen Wd t e−ξWnt }

12

Luego de Derivar la ecuación y reemplazar los respectivos valores encontramos que

2ξ ( { Wn tr )}

{ A }= ηest

{ BWn }=−

{ηesttr }+{ξ Wn A }

Etapa tr1
m U´ + c U´ + kU=−m U´ g Encontramos que

{U 2 }=[ Φ ] { ηest } + [ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt }+ [ Φ ] {B sen Wd t e−ξWnt } Luego de derivar y reemplazar las relaciones indicadas encontramos que

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U Itr 1 }− { ηest }

{ BWd } =[Φ]T [ m] {U´ trI 1 }+ {ξ Wn A } Etapa t>tr3: Resolviendo la ecuación diferencial

m U´ + c U´ + kU=0 Luego de resolver la ecuación encontramos que

{U 3 }=[ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt }+ [ Φ ] {B sen Wd t e−ξWnt }

Al derivar y reemplazar encontramos que 13

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U IItr 2 }

{ BWd } =[Φ]T [ m] {U´ trII 2 }+ { ξ Wn A }

0.02

0.02

0.01 U1 U2 0.01

0 0

1

2

3

4

-0.01

14

5

6

7

c) Si el edificio en el sentido x tiene una aceleración máxima Üg=Sa(T1x)*g Con el comportamiento que se indica en la gráfica 2, haga el análisis del comportamiento de la estructura sin amortiguación Para t
´ g t m U´ + kU=−m U tr Al resolver la ecuación encontramos que

{

}

t {U 2 }=[ Φ ] ηest tr + [ Φ ] { A cos Wn t }+ [ Φ ] { B sen Wn t } Luego de derivar encontramos los siguientes resultados

{ A }=0 { BWn }=−

{ηesttr }

Para tr1
´ g tr−t m U´ + kU=−m U tr Al resolver la ecuación encontramos que

{

}

tr−t {U 2 }=[ Φ ] ηest tr + [ Φ ] { A cos Wn t }+ [ Φ ] { B sen Wn t } Al derivar la ecuación encontramos que 15

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U Itr 1 }− { ηest } { BWn }=[Φ ]T [ m ] {U´ Itr1 }−

{ηesttr }

Para t>tr(1,2): asumiendo que la gráfica termina en 1,8 Resolviendo la ecuación diferencial

m U´ + kU=0 Resolviendo la ecuación encontramos que

{ U 3 } =[ Φ ] { A cos Wn t } + [ Φ ] { B sen Wn t } Luego de derivar encontramos que

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U IItr 2 } { BWn }=[Φ ]T [ m ] {U´ IItr2 } 0.03 0.02 0.02 0.01 0 U1

0 -0.01

0

1

2

3

4

5

6

7

U2

-0.01 -0.02 -0.02 -0.03

d) Si el edificio en el sentido x tiene una aceleración máxima Üg=Sa(T1x)*g con el comportamiento que se indica en la 16

gráfica 2, haga el análisis del comportamiento estructura con amortiguación de 5%. Resolviendo la ecuación diferencial

m U´ + c U´ + kU=−m U´ g

t tr

Encontramos

{ (

)}

t 2ξ {U 1 }=[ Φ ] ηest tr − Wn tr + [ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt }+ [ Φ ] {B sen Wd t e−ξWnt } Y luego de derivar obtenemos que

2ξ ( { Wn tr )}

{ A }= ηest

{ ηesttr }+ {ξ Wn A }

{ BWd } =−

Para tr1
m U´ + c U´ + kU=−m U´ g Obtenemos:

{ (

)}

−t 2ξ {U 2 }=[ Φ ] ηest tr + 1+ W n tr + [ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt }+ [ Φ ] {B sen Wd t e−ξWnt } Luego de derivar y reemplazar encontramos

{ (

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U Itr 1 }− ηest 1+

2ξ Wn tr

{ BWd } =[Φ]T [ m] {U´ trI 1 }+ {ξ Wn A } +

)}

{ηesttr } 17

de

la

Para t>tr1,2): asumiendo que la gráfica termina en 1,8 Resolviendo la ecuación diferencial

m U´ + c U´ + kU=0

Resolviendo encontramos

{U 3 }=[ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt }+ [ Φ ] {B sen Wd t e−ξWnt } Al derivar y reemplazar encontramos que

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U IItr 2 } { BWd } =[Φ]T [ m] {U´ trII 2 }+ { ξ Wn A }

0.02

0.02

0.01 U1 U2 0.01

0 0

1

2

3

4

-0.01

18

5

6

7

e)

Si en el sentido y hay una aceleración Üg=Sa(T 1y)* g Sen(Ωt)kN, haga el análisis del Comportamiento de la estructura sin amortiguación considerando los siguientes casos Ω=w1, Ω=w2, Ω= wprom Para t
´ g seno( Ωt ) m U´ + kU=−m U

{ U 1 } =[ Φ ]

{

}

ηest sen Ω t + [ Φ ] { A cos Wn t }+ [ Φ ] { B sen Wn t } (1−r 2)

Luego de derivar encontramos que

{ A }=0 { BWn }=−

{

ηest Ω ( 1−r 2)

}

Para t>tr: Resolviendo la ecuación diferencial

19

m U´ + kU =0

{U 2 }=[ Φ ] { A cos Wn t } + [ Φ ] { B sen Wn t } Al reemplazar en las ecuaciones derivadas encontramos que

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U Itr 2 }

{ BWn }=[Φ ]T [ m ] {U´ Itr2 } Con los cálculos determinados se procede a hacer la evaluación de las gráficas para las frecuencias de Ω= 58,54, Ω= 74,32 y Ω= 66,43.

Grafica 5. Comportamiento para Ω= 58

20

0.03

0.02

0.01 U1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

U2

-0.01

-0.02

-0.03


0.15

0.1

0.05 U1

0 0

1

2

3

4

5

6

-0.05

-0.1

-0.15


21

7

U2

f) Si en el sentido y hay una aceleración Üg=Sa(T 1y)* g Sen(Ω t)kN, haga el análisis del Comportamiento de la estructura con amortiguación de 5% considerando los siguientes casos Ω=w1 , Ω=w2, Ω= wprom

Para t
m U´ + c U´ + kU=−m U´ gseno (Ωt ) AL resolver la ecuación encontramos

{ U 1 } =[ Φ ]

{√

ηest seno( Ωt−φ) 2 2

( 1−r ) + ( 2ξ r )

2

}

+ [ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt }+ [ Φ ] { B sen Wd t e−ξWnt }

Derivando encontramos

φ=cot

r=

2ξr 1−r 2

Ω Wn

{ A }=

{√

ηest seno(φ) 2

( 1−r 2 ) + ( 2 ξ r )2

{√

{ BWd } =−

}

ηest Ωcos (φ) 2

( 1−r 2 ) + ( 2 ξ r )2

}

+ {ξ Wn A }


m U´ + c U´ + kU=0

22

Encontramos

{U 2 }=[ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt }+ [ Φ ] {B sen Wd t e−ξWnt } Al derivar y reemplazar tenemos

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U IItr 2 }

{ BWd } =[Φ]T [ m] {U´ trII 2 }+ { ξ Wn A } Con los cálculos determinados se procede a hacer la evaluación de las gráficas para las frecuencias de Ω= 58,54, Ω= 74,32 y Ω= 66,43. 0.04 0.03 0.02 0.01 U1

0 0

1

2

3

4

5

6

-0.01 -0.02 -0.03 -0.04


23

7

U2

0.02 0.02 0.01 0.01 U1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

U2

-0.01 -0.01 -0.02 -0.02


0.02 0.01 0.01 U1

0 0

1

2

3

4

5

6

-0.01 -0.01 -0.02


24

7

U2

g) Si en el sentido y hay una aceleración Üg=Sa(T1y)*g*Cos(Ω t)kN, haga el análisis del Comportamiento de la estructura sin amortiguación considerando los siguientes casos Ω=w1, Ω=w2, Ω= wprom Para t
´ g cos (Ωt ) m U´ + kU=−m U

{

{ U 1 } =[ Φ ]

}

ηest cos Ωt + [ Φ ] { A cos Wn t } + [ Φ ] { B sen Wn t } (1−r 2)

Al encontrar la derivada y reemplazar encontramos que

{

{ A }=−

ηest ( 1−r 2 )

}

{ BWn }=0 Para t>tr: Resolviendo la ecuación diferencial

m U´ + kU =0 25

{ U 2 } =[ Φ ] { A cos Wn t } + [ Φ ] { B sen Wn t } Luego de encontrar las derivadas y reemplazar encontramos que

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U Itr 2 } { BWn }=[Φ ]T [ m ] {U´ Itr2 } Con los cálculos determinados se procede a hacer la evaluación de las gráficas para las frecuencias de Ω= 58,54, Ω= 74,32 y Ω= 66,43. 0.3 0.2 0.1 U1

0 0

1

2

3

4

5

6

-0.1 -0.2 -0.3


26

7

U2

0.03 0.02 0.01 U1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

U2

-0.01 -0.02 -0.03


0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

U1 U2

0 0

1

2

3

4

5

6

-0.02 -0.04 -0.06 -0.08


27

7

h)

Si en el sentido y hay una aceleración Üg=Sa(T 1y)*g*Cos(Ω t)kN, haga el análisis del Comportamiento de la estructura con amortiguación de 5% considerando los siguientes casos Ω=w1, Ω=w2, Ω= wprom Para t
m U´ + c U´ + kU=−m U´ g cos (Ωt ) Resolviendo la ecuación tenemos que

{ U 1 } =[ Φ ]

{√

ηest cos( Ωt−φ) 2 2

( 1−r ) + ( 2 ξ r )

2

}

+ [ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt } + [ Φ ] { B sen Wd t e−ξWnt }

Luego de derivar y reemplazar en las ecuaciones tenemos que

φ=cot

r=

2ξr 1−r 2

Ω Wn

{ A }=

{√

ηest cos (φ) 2

( 1−r 2 ) + ( 2 ξ r )2

} 28

{√

{ BWd } =−

ηest Ωsen (φ) 2

( 1−r 2 ) + ( 2 ξ r )2

}

+ {ξ Wn A }


m U´ + c U´ + kU=0 Resolviendo la ecuación diferencial tenemos que

{U 2 }=[ Φ ] { A cos Wd t e−ξWnt }+ [ Φ ] {B sen Wd t e−ξWnt } Y luego de reemplazar los valores en las funciones derivadas tenemos que

{ A }=[ Φ]T [ m ] {U IItr 2 } { BWd } =[Φ]T [ m] {U´ trII 2 }+ { ξ Wn A } Con los cálculos determinados se procede a hacer la evaluación de las gráficas para las frecuencias de Ω= 58,54, Ω= 74,32 y Ω= 66,43.

29

0.04 0.03 0.02 0.01 U1

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

U2

-0.01 -0.02 -0.03 -0.04


0.02 0.02 0.01 0.01 U1

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-0.01 -0.01 -0.02 -0.02


30

4

4.5

U2

0.01 0.01 0.01 0 0 U1

0 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

U2

0 -0.01 -0.01 -0.01

Grafica 16. Comportamiento para Ω= 74 Una vez determinadas las gráficas se procede a evaluar las derivas y fuerzas máximas por las cargas aplicadas en cada uno de los casos de aceleración, estos resultados son registrados en las tablas siguientes:

Nivel

piso 1 piso 2

DERIVAS MAXIMAS ( Aceleración senosoidal) No amortiguado amortiguado Ω=wpro Ω=wpro Ω=w1 Ω=w2 Ω=w1 Ω=w2 m m 0,0135688 0,1074015 0,019865 0,018913 0,007629 0,010861 2 93 02 68 37 37 0,0249278 0,0485493 0,026084 0,033385 0,009149 0,015300 56 64 04 12 63 45 Tabla 10. Derivas máximas aceleración senoidal

FUERZAS Y CORTANTE MAXIMO ( Aceleración senosoidal) Nivel No amortiguado amortiguado Ω=wpro Ω=wpro Ω=w1 Ω=w2 Ω=w1 Ω=w2 m m 650761,3 810208,7 111955,9 55417,27 61507,97 F. piso 1 62 47 28 92560,31 74 49 1612843, 474863,2 167998,8 213246,7 60364,42 97646,00 F. piso 2 2 15 53 54 29 65 31

V MAX

Nivel

piso 1 piso 2

222877,9 451626,7 255995,2 305807,0 1013429, 1575231, 87 83 97 64 14 5 Tabla 13. Fuerzas y cortante máximo aceleración senoidal

DERIVAS MAXIMAS ( Aceleración cosenosoidal) No amortiguado amortiguado Ω=wpro Ω=wpro Ω=w1 Ω=w2 Ω=w1 Ω=w2 m m 0,013874 0,073384 0,018569 0,018910 0,007562 0,010267 6 15 97 39 19 98 0,025339 0,030959 0,024971 0,033584 0,008847 0,015759 04 93 3 19 78 57 Tabla 12. Derivas máximas aceleración cosenoidal

FUERZAS Y CORTANTE MAXIMO ( Aceleración cosenosoidal) No amortiguado amortiguado Nivel Ω=wpro Ω=wpro Ω=w1 Ω=w2 Ω=w1 Ω=w2 m m 667376,6 566279,3 106908,1 92552,40 54480,84 59169,75 F. piso 1 64 19 72 97 36 56 1638385, 304836,1 161090,8 216526,3 57133,06 101511,3 F. piso 2 47 33 82 39 71 22 2305762, 317421,2 239028,6 308449,9 80854,16 145167,4 V MAX 14 44 13 26 1 98 Tabla 13. Fuerzas y cortante máximo aceleración cosenoidal

3) COMPARACIÓN ENTRE LOS 8 TIPOS DE ACELERACIÓN a) Qué diferencias hay en el comportamiento de la estructura de acuerdo con cada Tipo de carga?

Aceleración tipo rampa Para una carga tipo rampa se ha observado que hasta 0,6 segundos se observa este incremento de aceleración con respecto al tiempo, notamos que se presentan valore de desplazamientos cercanos a los 0.015 luego al tener una aceleración constante encontramos que en repetidas ocasiones los desplazamientos llegan a valores superiores a 0.015, se denota un comportamiento casi lineal a partir del segundo 4. 32

Aceleración lineal Para la carga lineal se obtiene un incremento en los desplazamientos similar al obtenido con la aceleración tipo rampa.

Aceleración sinusoidal Notamos un incremento progresivo en los desplazamientos por cada intervalo de tiempo por ejemplo cuando se usa Ω = 66 es decir igualándolo a uno de los periodos de la estructura en el sentido y, este incremento se presenta hasta que la carga sinusoidal se deja de aplicar en el tiempo de 3 segundos, al pasar este tiempo los desplazamientos tienen a disminuir notablemente hasta tratar de ser muy bajos a los 6 segundos.

Aceleración Cosenoidal En este caso se presenta un comportamiento creciente hasta que en el tiempo de 3 segundos se incrementan los valores y se comportan de manera constante generando en el piso número uno la mayor magnitud de desplazamiento una vez el aumento en la frecuencia es significativo.

b) Qué contribución hace la amortiguación en el comportamiento de la estructura Para los casos analizados?

En la mayoría de los casos ayuda mucho a las estructuras para disipar la magnitud de los desplazamientos, que son solo el resultado de excitaciones externas a la estructura, notamos también que un efecto de resonancia se hace presente cuando Ω se aproxima a las frecuencias por lo tanto existe una disminución considerable hasta que el tiempo llega a 3 segundos ya que en este punto se pierde el efecto de resonancia y se genera una magnitud de desplazamientos constantes. 33

c) Según lo observado en qué casos se puede despreciar el efecto de la solución Homogénea de las funciones naturales ƞ?

Principalmente estos efectos se podrían despreciar cuando tenemos movimientos oscilatorios con amortiguamiento ya que como se evidencia en los casos de aceleración los efectos de las funciones naturales se ven reflejados en la solución homogénea de la ecuación y a medida que aumenta el tiempo la solución homogénea va disminuyendo.

4) ANEXOS Anexo 1. Matriz de rigidez condensadas pórticos en dirección x

Matriz condensada grados libertad verticales y rotacionales

34

Anexo 2. Matriz de rigidez condensadas pórticos en dirección y

Matriz condensada grados libertad verticales y rotacionales

35

36

Taller Análisis Estructural Dinámico

Recommend Documents