Tablas 2013

Facultad de Ciencias Veterinarias U.B.A.

Elementos de Estadística Estadística Analítica

Área Bioestadística Bioestadística 2013

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PR OBABILIDAD P(A)= P(A) =

cantidad de casos favorables cantidad de casos posibles

1) TEOREMA DE LA SUMA DE PROBABILIDADES

P(A

B)= B) = P(A) P(A) + P(B) P(B) - P(A

B)

2) PROBABILIDAD CONDICIONAL P(A/B)= P(A/B) =

P(A

B)

P(B)

3) TEOREMA DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES P(A

B) = P(A/B).P(B ) = P(B/A).P(A )

4) ESPERANZA MATEMATICA Sea x una variable aleatoria con función de probabilidad p(x) o f(x):

1)E 1)E(X)= (X)= x i. p( x i ) si x es v. a. disc discre reta ta +

2)E( 2)E(X)= X)=

x.f( x.f(x) x).d .dx x si x es v. a. conti ontinu nua a -

5) DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD A) DISTRIBUCIONES DISCRETAS:

A.1) DISTRIBUCION DE BERNOULLI x

p(x) =

p (1 - p )

1-x

para x = 0 y x = 1 ; 0

0 para otros valores de x

donde: E(X) = p ; V(X) = p(1-p)

A.2) DISTRIBUCION D ISTRIBUCION BINOMIAL BINOMIAL n p(x)= p(x) =

x

x

p (1 - p )

n-x

para x = 0, 0,1,..., n ; 0

0 para otros valores de x

donde:

r

P(X

r)= Bi(r, Bi(r, p,n)= p,n) = 0

n x

x

n-x

p (1- p )

E(X) E(X) = np ; V(X) V(X) = np(1- p)

p

1

p

1











A.3) DISTRIBUCION DE POISSON x

e . para para x = 0,1,... 0,1,... ; > 0 p(x) p(x) = x! 0 para otros valores de x

donde:

r

P(X

e . x!

r)= r) = Po(r, Po(r, ,n) = 0

E(X) =

x

; V( V(X) =

La constante es considerada la tasa media de ocurrencia de los sucesos por unidad de tiempo o espacio.

B) DISTRIBUCIONES CONTINUAS : B.1) DISTRIBUCION NORMAL 2

f x (x, , Condiciones:

x

1

)= 2

(- ;+ ) ; E(X) E(X) =

e

2

-

2

1 2

2

(- ;+ ) ;

x

>0

2

; V(X) V(X) =

La función de distribución de probabilidad acumulada se define como: x

F(X)=

f(y).dy f(y).dy -

B.2) DISTRIBUCION NORMAL ESTANDARIZADA Sea la variable aleatoria:

con función de densidad:

Z =

(X -

) 1

f(z)= f(z) =

Z 2

e

2

2

para

-

Z

+

recibe el nombre de Distribución Normal Estandarizada o N(0;1), donde: E(Z) = 0

;

V(Z) = 1

La función de distribución de probabilidad acumulada está definida por: z

F(Z

z) =

f(Z).dZ f(Z).dZ -

Nota : f(-z)= f(z)

(-z)= (-z) = 1 - (z)











B.3) DISTRIBUCION JI CUADRADO n

2

xi

Sea la variable aleatoria: V

n

i

i

i

i

1 con función de densidad: f

x

2

2

x

2

z i

x

1

2

2

e

para x

0

2

0

para x

0

recibe el nombre de función de densidad Ji cuadrado . Donde la letra representa el número de términos independientes y recibe el nombre de grados de libertad y: E(V) =

;

V(V) = 2

B.4) DISTRIBUCION t DE STUDENT Sea la variable aleatoria: t

Z V

1 f

1

2

t

2

t

1

2

2 recibe el nombre de función de densidad t de Student con

E(t) = 0 t

para

>1

V(t)= V(t) =

-2

grados de libertad, donde:

para

>2

;1;1-

f(t).dt = 1 -

= F( t

;1-

) = P( t

t ;1- )

-

B.5) DISTRIBUCION F DE SNEDECOR U

Sea la variable aleatoria: F =

2

donde U ~

1

V

1

2

y V ~

2

2

g(F) =

( 1

1+

/2

2) / 2 2

/2

1

.

1 2

/2

.

F

1/2

1 1+ 2

1+

1

/2

para F > 0

F

2

recibe el nombre de función de densidad F de Snedecor con donde:

1

y

2

grados de libertad,











1) MEDIDAS DE POSICION

A.- MEDIA ARITMETICA ARITMETICA ( x ) x i n

* Para n valores observados no agrupados: x =

* Cuando los n valores están ordenados en una tabla de frecuencias:

x =

x 'i f i n

xi hi

B.- MEDIANA (Me) Dados n valores ordenados de menor a mayor o de mayor a menor, se define como Me: 

Si n es impar: Me es la observación de la posición (n+1)/2 (PosMe)

Si n es par: Me es la media aritmética de las observaciones que correspondan a los 2 valores centrales. 

Cuando la variable es cuantitativa continua y los datos están agrupados en una tabla de frecuencias:

Me x = L i + c

PosMe - F (i-1) f i

Donde: Li: Límite inferior del intervalo mediana. c: Amplitud del intervalo. F(i-1): Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo mediana. f i: Frecuencia absoluta del intervalo mediana.

C.- MODO (Md (Md o Mo) Para variables cuantitativas discretas, el modo es el valor de la variable de mayor frecuencia frecuencia simple. Cuando la variable es cuantitativa continua y los datos están agrupados en una tabla de frecuencias: 1

Mo = L i + c 1

+

2

Donde: 1

f (Max) f (ant)

2

f (Max) f (post)

Li: Límite inferior del intervalo Modal. c: Amplitud del intervalo Modal. f (post) (post): Frecuencia absoluta del intervalo posterior al intervalo Modal. f (ant) (ant): Frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo Modal. f (Max) (Max): Frecuencia absoluta del intervalo Modal.













Cuando los n valores están ordenados en una tabla de frecuencias:

1

2 x

s =

n -1

2

( xi f i ) x f n 2 i i

B.- DESVIO ESTANDAR (s x) 2

s x = sx

C.- COEFICIENTE DE VARIACION (C.V.) C.V. x % =

s x x

100













ESTADISTICOS MAS EMPLEADOS A) NORMAL ESTANDAR

x -

Z =

Z =

/ n p - p ˆ

N (0;1)

p(1 - p)/n ˆ

Z =

~ N(0;1)

ˆ

p - p ˆ

N (0;1)

p(1 - p)/n

(x1 - x2 ) - ( μ 1 - μ2 )

Z =

2 1

2 2

~ N (0;1) (0;1)

( σ /n1 )+(σ /n2 ) Z =

( p 1 - p 2 ) - ( p 1 - p 2 ) ˆ

ˆ

1

p(1 - p) ˆ

ˆ

n1

+

N (0;1)

p = ˆ

1

x 1 + x 2 x x ; p 1 = 1 ; p 2 = 2 n1 + n 2 n1 n2 ˆ

ˆ

n2

p1

p2

ˆ

Z

ˆ

( p1

p1 (1 p1 )

p2 (1 p2 )

n1

n2

ˆ

ˆ

ˆ

x t= s x

B) t DE STUDENT

p2 )

N (0,1)

ˆ

~ t (n-1) n

t

x1 sa

x2 1

1

n1

2

1

n2

~ t n1

n2 2

2 a

s =

2 (n1 - 1) s x1 + (n2 - 1)s 2x2

n1

n2

2











C) JI CUADRADO 2

2

k

( o i - e i )

= i=1

f 2

c

=

2 n 1

2 (k-1)

; donde ei = n.pi y k = N clases

2 2 (f -1)(c-1) -1)(c-1)

e ij

D) F DE SNEDECOR

2

~

2

ei

( o ij - e ij )

i=1 j=1

=

(n-1)s x2

; donde f = N filas y c = N columnas

2

s / F = 12 s 2 /

2 1 2 2

~ F (n1 -1); -1);((n2 -1) -1)

E) CORRECCIÓN DE TAMAÑO DE MUESTRA PARA POBLACIONES FINITAS N = Tamaño Tamaño de la población ; n0= tamaño de muestra hallado; nf = tamaño de muestra corregido

n f 1

n0 n0 N

F) PRUEBA DE WILCOXON DE RANGOS SIGNADOS T+ = sumando sumando los rangos correspondientes a las diferencias Positivas:

T

d

N (E(T), V(T))

N

n(n 4

1) n(n ;

1)(2n

1)

24

G) PRUEBA DE MANN WHITNEY n

T

ri ; siendo r i los rangos de una de las muestras i 1











ANALISIS DE REGRESION a) Estimación de la ecuación de la regresión yi = a + bxi ˆ

a.1) Estimación de xi - x yi - y

b=

xi - x

2

ecuac ecuación ión de regres regresión ión estima estimada da

y xi

xi yi -

yi

n 2 ( xi ) 2 xi n

=

=

n. xi yi -( - ( xi )( )( yi ) n. xi2 - ( xi )

2

a = y - bx

a.2) Estimación de 1 s = n-2 2 e

2 b

V b = s = ˆ

2

σ

yi

2 i

y -

2

-b

n n.se2

n

xi2 -

xi

2

xi

2 i

2

x -

2

n se2

=

xi

2 i

x -

2

n

b) Estimación por intervalo de confianza b.1) Para t=

b2 b

s

~ t (n-2)

b.2) Para E(Yi) Dados n pares de valores (x i; yi), se estiman los parámetros del modelo: Y i =

+b

2

1

+

(x0 - x )

2

+ xi + ei











d) Coeficiente de determinación (R²)

2 R =

b

2

(xi - x ) x ) yi

y

b

2

2

2

2

x i n

2 i

x -

=

y i

2 i

y -

2

n

e) Intervalo de predicción

Yn ˆ

1

tn

2;

s2 1

2

1

xn

n

n

x

1

xi

x

2

2

i 1

ó

a + bxn

1

t ( nn- 2) 2) ;( ;(1 -

/ 2) 2)

s

2 e

1 + n

1

(x n 2 i

1

x -

- x )

(

2

xi ) n

2

f) Análisis de varianza en Regresión Lineal Simple Fuentes de Variación Debida a la Regresión

G.L.

1

Suma de Cuadrados

b2

xi2

xi n

2

Cuadrados Medios

SC REG

SCREG

GL REG

1

F

CM REG CM RES

~ F GL

REG ;GLRES











ANALISIS DE VAR IANZA – DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATOR IZADO Fuentes de Variación

G.L.

Modelo o Tratamiento

Suma de Cuadrados

ni yi

y..

k 1

i 1 k

Error

2 i

ni 1 * s

n-k

2 s P

i 1

TOTAL

SC ERROR n k

n-1

2 P

s

n1 1 * s12 ...

nk 1 * sk 2

n1 ... nk k

Prueba de Kruskal Wallis H

12 N ( N 1)

Donde: N es el total de observaciones Ri . es el rango total de la muestra i Bajo Ho H

2 I 1

F

SC TRAT

2

k

k-1

Cuadrados Medios

I i

Ri. ² 1 ni

3( N 1)

CM TRAT CM ERROR













ANALISIS DE COR R RE LACION a) Estimació Estimación n del coeficien coeficiente te de correlaci correlación( ón( ):

ˆ

=r=

x1i - x1 x1i - x1

x 2i - x2

2

x1i

x1i x2i -

x2 i - x 2

2

= x12i -

x1i n

x2i n

2

x22i -

x2 i

2

n

b) Docimasia de hipótesis Para

= 0 :

t H 0 =

r (n - 2) 2) 2

(1 - r )

~ t (n-2)

NOTA: Para los fines prácticos el valor del Coeficiente de Determinación ( R2) coincide numéricamente con:

2 2 R = r

c) Coeficiente de correlación de Spearman 6

d 2











Elementos de Estadística – Estadística Analítica Distribución Binomial r  n  x n− x P( X ≤ r ) =   p (1 − p ) 0  x 

∑

p n

x

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

2

0

0,9025

0,8100

0,7225

0,6400

0,5625

0,4900

0,4225

0,3600

0,3025

0,2500

1

0,9975

0,9900

0,9775

0,9600

0,9375

0,9100

0,8775

0,8400

0,7975

0,7500

0

0,8574

0,7290

0,6141

0,5120

0,4219

0,3430

0,2746

0,2160

0,1664

0,1250

1 2

0,9928 0,9999

0,9720 0,9990

0,9393 0,9966

0,8960 0,9920

0,8438 0,9844

0,7840 0,9730

0,7183 0,9571

0,6480 0,9360

0,5748 0,9089

0,5000 0,8750

0

0,8145

0,6561

0,5220

0,4096

0,3164

0,2401

0,1785

0,1296

0,0915

0,0625

1 2 3

0,9860 0,9995

0,9477 0,9963

0,8905 0,9880

0,8192 0,9728

0,7383 0,9492

0,6517 0,9163

0,5630 0,8735

0,4752 0,8208

0,3910 0,7585

0,3125 0,6875

1,0000

0,9999

0,9995

0,9984

0,9961

0,9919

0,9850

0,9744

0,9590

0,9375

0

0,7738

0,5905

0,4437

0,3277

0,2373

0,1681

0,1160

0,0778

0,0503

0,0313

1 2 3

0,9774

0,9185

0,8352

0,7373

0,6328

0,5282

0,4284

0,3370

0,2562

0,1875

0,9988

0,9914

0,9734

0,9421

0,8965

0,8369

0,7648

0,6826

0,5931

0,5000

1,0000

0,9995

0,9978

0,9933

0,9844

0,9692

0,9460

0,9130

0,8688

0,8125

4

1,0000

1,0000

0,9999

0,9997

0,9990

0,9976

0,9947

0,9898

0,9815

0,9688

0

0,7351

0,5314

0,3771

0,2621

0,1780

0,1176

0,0754

0,0467

0,0277

0,0156

1

0,9672

0,8857

0,7765

0,6554

0,5339

0,4202

0,3191

0,2333

0,1636

0,1094

2 3

0,9978 0,9999

0,9842 0,9987

0,9527 0,9941

0,9011 0,9830

0,8306 0,9624

0,7443 0,9295

0,6471 0,8826

0,5443 0,8208

0,4415 0,7447

0,3438 0,6563

4 5

1,0000

0,9999

0,9996

0,9984

0,9954

0,9891

0,9777

0,9590

0,9308

0,8906

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

0,9998

0,9993

0,9982

0,9959

0,9917

0,9844

0

0,6983

0,4783

0,3206

0,2097

0,1335

0,0824

0,0490

0,0280

0,0152

0,0078

1 2

0,9556

0,8503

0,7166

0,5767

0,4449

0,3294

0,2338

0,1586

0,1024

0,0625

0,9962

0,9743

0,9262

0,8520

0,7564

0,6471

0,5323

0,4199

0,3164

0,2266

3 4

0,9998 1,0000

0,9973 0,9998

0,9879 0,9988

0,9667 0,9953

0,9294 0,9871

0,8740 0,9712

0,8002 0,9444

0,7102 0,9037

0,6083 0,8471

0,5000 0,7734

5 6

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

0,9999 1,0000

0,9996 1,0000

0,9987 0,9999

0,9962 0,9998

0,9910 0,9994

0,9812 0,9984

0,9643 0,9963

0,9375 0,9922

3

4

5

6

7











Elementos de Estadística – Estadística Analítica Distribución Binomial (continuación) p n

x

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

11

0

0,5688

0,3138

0,1673

0,0859

0,0422

0,0198

0,0088

0,0036

0,0014

0,0005

1 2

0,8981 0,9848

0,6974 0,9104

0,4922 0,7788

0,3221 0,6174

0,1971 0,4552

0,1130 0,3127

0,0606 0,2001

0,0302 0,1189

0,0139 0,0652

0,0059 0,0327

3 4

0,9984 0,9999

0,9815 0,9972

0,9306 0,9841

0,8389 0,9496

0,7133 0,8854

0,5696 0,7897

0,4256 0,6683

0,2963 0,5328

0,1911 0,3971

0,1133 0,2744

5 6 7

1,0000

0,9997

0,9973

0,9883

0,9657

0,9218

0,8513

0,7535

0,6331

0,5000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

0,9997 1,0000

0,9980 0,9998

0,9924 0,9988

0,9784 0,9957

0,9499 0,9878

0,9006 0,9707

0,8262 0,9390

0,7256 0,8867

8 9

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

0,9999 1,0000

0,9994 1,0000

0,9980 0,9998

0,9941 0,9993

0,9852 0,9978

0,9673 0,9941

10

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9998

0,9995

0

0,5404

0,2824

0,1422

0,0687

0,0317

0,0138

0,0057

0,0022

0,0008

0,0002

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0,8816

0,6590

0,4435

0,2749

0,1584

0,0850

0,0424

0,0196

0,0083

0,0032

0,9804

0,8891

0,7358

0,5583

0,3907

0,2528

0,1513

0,0834

0,0421

0,0193

0,9978

0,9744

0,9078

0,7946

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0,3467

0,2253

0,1345

0,0730

0,9998

0,9957

0,9761

0,9274

0,8424

0,7237

0,5833

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0,3044

0,1938

1,0000

0,9995

0,9954

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0,8822

0,7873

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1,0000

0,9999

0,9993

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1,0000

1,0000

0,9999

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1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

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1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

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0,9972

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1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

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1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

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12

13

0

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1 2 3 4 5

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1,0000

0,9991

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6 7

1,0000 1,0000

0,9999 1,0000

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0,6437 0,8212

0,5000 0,7095











Elementos de Estadística – Estadística Analítica Distribución Dis tribución Binomial (continuación) p n

x

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

15

0

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0,0000

1

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0,0005

2

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3

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0,0905

0,0424

0,0176

4

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5

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6

1,0000

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7

1,0000

1,0000

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8

1,0000

1,0000

0,9999

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9

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

0,9992

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10

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

0,9993

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11

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

0,9995

0,9981

0,9937

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12

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

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0,9989

0,9963

13

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

0,9995

14

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0

0,4401

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0,0100

0,0033

0,0010

0,0003

0,0001

0,0000

1

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0,0033

0,0010

0,0003

2

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3

0,9930

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0,7899

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4

0,9991

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5

0,9999

0,9967

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0,8103

0,6598

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0,3288

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0,1051

6

1,0000

0,9995

0,9944

0,9733

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0,2272

7

1,0000

0,9999

0,9989

0,9930

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0,9256

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8

1,0000

1,0000

0,9998

0,9985

0,9925

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0,9329

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9

1,0000

1,0000

1,0000

0,9998

0,9984

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0,9771

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10

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9997

0,9984

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11

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9997

0,9987

0,9951

0,9851

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12

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9998

0,9991

0,9965

0,9894

13

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

0,9994

0,9979

16











Elementos de Estadística – Estadística Analítica Distribución Binomial (continuación) p n

x

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

18

0 1 2 3

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0,0536

0,0180

0,0056

0,0016

0,0004

0,0001

0,0000

0,0000

0,7735 0,9419

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0,0001 0,0007

0,9891

0,9018

0,7202

0,5010

0,3057

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0,0328

0,0120

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4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

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1,0000 1,0000

0,9988 0,9998

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0,8610 0,9431

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0,5491 0,7283

0,3743 0,5634

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0,1189 0,2403

1,0000

1,0000

0,9995

0,9957

0,9807

0,9404

0,8609

0,7368

0,5778

0,4073

1,0000

1,0000

0,9999

0,9991

0,9946

0,9790

0,9403

0,8653

0,7473

0,5927

1,0000

1,0000

1,0000

0,9998

0,9988

0,9939

0,9788

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0,8720

0,7597

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

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1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

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1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

0,9993

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0 1 2 3

0,3774

0,1351

0,0456

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0,0042

0,0011

0,0003

0,0001

0,0000

0,0000

0,7547

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0,0310

0,0104

0,0031

0,0008

0,0002

0,0000

0,9335 0,9868

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0,0004 0,0022

4 5

0,9980 0,9998

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1,0000

0,9983

0,9837

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0,0835

1,0000

0,9997

0,9959

0,9767

0,9225

0,8180

0,6656

0,4878

0,3169

0,1796

1,0000

1,0000

0,9992

0,9933

0,9713

0,9161

0,8145

0,6675

0,4940

0,3238

1,0000

1,0000

0,9999

0,9984

0,9911

0,9674

0,9125

0,8139

0,6710

0,5000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9997

0,9977

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0,9653

0,9115

0,8159

0,6762

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

1,0000 1,0000

0,9995 0,9999

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0,9648 0,9884

0,9129 0,9658

0,8204 0,9165

19













Elementos de Estadística – Estadística Analítica Distribución Normal Estándar P ( Z < zα ) = α Zα

0

0,01

0,02 0,02

0,03 0,03

-0,0

0,50000

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0,49202

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-0,1

0,46017

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0,45224

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0,44433

-0,2

0,42074

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0,41294

0,40905

-0,3

0,38209

0,37828

0,37448

-0,4

0,34458

0,34090

0,33724

-0,5

0,30854

0,30503

-0,6

0,27425

-0,7

0,04

0,05

0,06 0,06

0,07

0,08

0,09

0,47608

0,47210

0,46812

0,46414

0,44038

0,43644

0,43251

0,42858

0,42465

0,40517

0,40129

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0,39358

0,38974

0,38591

0,37070

0,36693

0,36317

0,35942

0,35569

0,35197

0,34827

0,33360

0,32997

0,32636

0,32276

0,31918

0,31561

0,31207

0,30153

0,29806

0,29460

0,29116

0,28774

0,28434

0,28096

0,27760

0,27093

0,26763

0,26435

0,26109

0,25785

0,25463

0,25143

0,24825

0,24510

0,24196

0,23885

0,23576

0,23270

0,22965

0,22663

0,22363

0,22065

0,21770

0,21476

-0,8

0,21186

0,20897

0,20611

0,20327

0,20045

0,19766

0,19489

0,19215

0,18943

0,18673

-0,9

0,18406

0,18141

0,17879

0,17619

0,17361

0,17106

0,16853

0,16602

0,16354

0,16109

-1,0

0,15866

0,15625

0,15386

0,15151

0,14917

0,14686

0,14457

0,14231

0,14007

0,13786

-1,1

0,13567

0,13350

0,13136

0,12924

0,12714

0,12507

0,12302

0,12100

0,11900

0,11702

-1,2

0,11507

0,11314

0,11123

0,10935

0,10749

0,10565

0,10383

0,10204

0,10027

0,09853

-1,3

0,09680

0,09510

0,09342

0,09176

0,09012

0,08851

0,08692

0,08534

0,08379

0,08226

-1,4

0,08076

0,07927

0,07780

0,07636

0,07493

0,07353

0,07215

0,07078

0,06944

0,06811

-1,5

0,06681

0,06552

0,06426

0,06301

0,06178

0,06057

0,05938

0,05821

0,05705

0,05592

-1,6

0,05480

0,05370

0,05262

0,05155

0,05050

0,04947

0,04846

0,04746

0,04648

0,04551

-1,7

0,04457

0,04363

0,04272

0,04182

0,04093

0,04006

0,03920

0,03836

0,03754

0,03673











Elementos de Estadística – Estadística Analítica Distribución Normal Estándar (continuación) P ( Z < z1−α ) = 1 − α Z1-α

0

0,01

0,02

0,03

0,0

0,50000

0,50399

0,50798

0,51197

0,51595

0,1

0,53983

0,54380

0,54776

0,55172

0,2

0,57926

0,58317

0,58706

0,3

0,61791

0,62172

0,4

0,65542

0,65910

0,5

0,69146

0,6

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08 0,08

0,09

0,51994

0,52392

0,52790

0,53188

0,53586

0,55567

0,55962

0,56356

0,56749

0,57142

0,57535

0,59095

0,59483

0,59871

0,60257

0,60642

0,61026

0,61409

0,62552

0,62930

0,63307

0,63683

0,64058

0,64431

0,64803

0,65173

0,66276

0,66640

0,67003

0,67364

0,67724

0,68082

0,68439

0,68793

0,69497

0,69847

0,70194

0,70540

0,70884

0,71226

0,71566

0,71904

0,72240

0,72575

0,72907

0,73237

0,73565

0,73891

0,74215

0,74537

0,74857

0,75175

0,75490

0,7

0,75804

0,76115

0,76424

0,76730

0,77035

0,77337

0,77637

0,77935

0,78230

0,78524

0,8

0,78814

0,79103

0,79389

0,79673

0,79955

0,80234

0,80511

0,80785

0,81057

0,81327

0,9

0,81594

0,81859

0,82121

0,82381

0,82639

0,82894

0,83147

0,83398

0,83646

0,83891

1,0

0,84134

0,84375

0,84614

0,84849

0,85083

0,85314

0,85543

0,85769

0,85993

0,86214

1,1

0,86433

0,86650

0,86864

0,87076

0,87286

0,87493

0,87698

0,87900

0,88100

0,88298

1,2

0,88493

0,88686

0,88877

0,89065

0,89251

0,89435

0,89617

0,89796

0,89973

0,90147

1,3

0,90320

0,90490

0,90658

0,90824

0,90988

0,91149

0,91308

0,91466

0,91621

0,91774

1,4

0,91924

0,92073

0,92220

0,92364

0,92507

0,92647

0,92785

0,92922

0,93056

0,93189

1,5

0,93319

0,93448

0,93574

0,93699

0,93822

0,93943

0,94062

0,94179

0,94295

0,94408

1,6

0,94520

0,94630

0,94738

0,94845

0,94950

0,95053

0,95154

0,95254

0,95352

0,95449

1,7

0,95543

0,95637

0,95728

0,95818

0,95907

0,95994

0,96080

0,96164

0,96246

0,96327











Elementos de Estadística – Estadística Analítica Distribución t de Student P ( t n < t n ;1−α ) = 1 − α

1-α n

0,600

0,700

0,800

0,900

0,950

0,975

0,990

0,995

0,999

0,9995

1

0,325

0,727

1,376

3,078

6,314

12,706

31,821

63,656

318,289

636,578

2

0,289

0,617

1,061

1,886

2,920

4,303

6,965 6, 965

9,925 9,92 5

22,328

31,600

3

0,277

0,584

0,978

1,638

2,353

3,182

4,541 4, 541

5,841 5,84 1

10,214

12,924

4

0,271

0,569

0,941

1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

7,173

8,610

5

0,267

0,559

0,920

1,476

2,015

2,571

3,365

4,032

5,894

6,869

6

0,265

0,553

0,906

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

5,208

5,959

7

0,263

0,549

0,896

1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

4,785

5,408

8

0,262

0,546

0,889

1,397

1,860

2,306

2,896

3,355

4,501

5,041

9

0,261

0,543

0,883

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

4,297

4,781

10

0,260

0,542

0,879

1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

4,144

4,587

11

0,260

0,540

0,876

1,363

1,796

2,201

2,718

3,106

4,025

4,437

12

0,259

0,539

0,873

1,356

1,782

2,179

2,681

3,055

3,930

4,318

13

0,259

0,538

0,870

1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

3,852

4,221

14

0,258

0,537

0,868

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

3,787

4,140

15

0,258

0,536

0,866

1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

3,733

4,073











Elementos de Estadística – Estadística Analítica Distribución χ2 (chi cuadrado) P ( χ n < χ n; p ) = p 2

2

p n 0,005 0,010 0, 010 1 0,00004 0,00016 2 0,0100 0,0201 3 0,0717 0,1148 4 0,2070 0,2971 5 0,4118 0,5543 6 0,6757 0,8721 7 0,9893 1,239 1,344 1,647 8 1,735 2,088 9 2,558 10 2,156 11 12 13 14 15 16 17

0,025

0,050

0,100 0,250 0, 250 0,500 0, 500 0,750 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,999

0,00098 0,00393 0,01579 0,10153 0,45494 1,323

2,706

3,841

5,024

6,635

7,879

10,827

0,0506

0,1026

0,2107

0,5754

1,386

2,773

4,605

5,991

7,378

9,210

10,597 13,815

0,2158

0,3518

0,5844

1,213

2,366

4,108

6,251

7,815

9,348

11,345 12,838 16,266

0,4844

0,7107

1,064

1,923

3,357

5,385

7,779

9,488

11,143 13,277 14,860 18,466

0,8312

1,145

1,610

2,675

4,351

6,626

9,236

11,070 12,832 15,086 16,750 20,515

1,2373

1,635

2,204

3,455

5,348

7,841

10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 22,457

1,690

2,167

2,833

4,255

6,346

9,037

12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 24,321

2,180

2,733

3,490

5,071

7,344

10,219 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 26,124

2,700

3,325

4,168

5,899

8,343

11,389 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 27,877

3,247

3,940

4,865

6,737

9,342

12,549 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 29,588

2,603

3,053

3,816

4,575

5,578

7,584

10,341 13,701 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 31,264

3,074

3,571

4,404

5,226

6,304

8,438

11,340 14,845 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 32,909

3,565

4,107

5,009

5,892

7,041

9,299

12,340 15,984 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 34,527

4,075

4,660

5,629

6,571

7,790

10,165

13,339 17,117 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 36,124

4,601

5,229

6,262

7,261

8,547

11,037

14,339 18,245 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 37,698

5,142

5,812

6,908

7,962

9,312

11,912

15,338 19,369 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 39,252

5,697

6,408

7,564

8,672

10,085

12,792

16,338 20,489 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 40,791































































Elementos de Estadística – Estadística Analítica

Distribución r de Spearman

(

P rS > r S n

n ;α

)≤

α

α

n

0,001

0,005

0,010

0,025

0,050

0,100

4

---

---

---

---

0,8000

0,8000

5

---

---

0,9000

0,9000

0,8000

0,7000

6

---

0,9429

0,8857

0,8286

0,7714

0,6000

7

0,9643

0,8929

0,8571

0,7450

0,6786

0,5357

8

0,9286

0,8571

0,8095

0,7143

0,6190

0,5000

9

0,9000

0,8167

0,7667

0,6833

0,5833

0,4667

Tablas 2013

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