PROPOSTA DI SOLUZIONE PER LA SECONDA PROVA DI MATURITÀ 2019 Tema di: Matematica e Fisica
PROBLEMA 1
1) Per la risoluzione del primo punto calcolo la derivata della funzione :
1 ′ = = 0 1 = 0 =0 0 0 = 0
che si annulla solo per
o per
.
dà la funzione costante , quindi la escludiamo.
Per ogni diverso da la funzione ha quindi massimo o minimo nei punti di ascissa , per ogni diverso da .
Se vogliamo che questo massimo sia nel punto indicato punto precedente, quindi
=
2,
, consideriamo
=
dal
, e sostituisco le coordinate del punto, e il valore di
appena calcolato, all’interno dell’equazione della funzione
da cui si ha
8 = 2 = 24
2) Fissati i parametri come indicato dal problema trovo una funzione definita su tutto
> 0 ∞ 0 = 0 ∞ ∞ = 4− 1 2 >2
positiva per
.
Il limite per che tende a per che va a
è
è (quindi
e
è asintoto orizzontale), mentre il limite
.
La derivata è
Quindi la funzione
cresce per
, ha un massimo per
derivata seconda risulta
=2
e poi decresce. La
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che è positiva per
= 2− 2 2
>4
, quindi presenta effettivamente un flesso in
=4
.
La retta tangente al grafico nel punto di flesso è banalmente la retta orizzontale Di seguito il grafico della funzione:
3) Consideriamo
= ∙ = 44 ∙ − = 4 = = − = − = = 42 1 2 , quindi con
La carica elettrica ha dimensione
e
=
.
.
, mentre il tempo ha dimensione
.
L’esponente deve essere adimensionale, quindi
Affinché risultino Coulomb finali anche al secondo membro dell’equazione, si deve avere
L’intensità di corrente elettrica è la derivata fatta rispetto al te mpo della carica elettrica,
quindi
Per trovare massimi e minimi di questa funzione del tempo, considero la derivata prima della corrente, che corrisponde alla derivata seconda della carica, e la pongo uguale a
Questa si annulla per
=4
= 22 2 2 = 0
, quindi è il valore minimo che la corrente può assumere.
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0
→∞ l →im 42 1 2 = 0 = ∫ = 4 ∫ − − = [8 ] 8 − = = 8− 16 ∫− →∞ = 1616 8 2− − = lim→ + = lim→ + 168 2 = 16 = − = = 42 42 = 3 −42 42
Al passare del tempo
4)
la corrente si annulla, infatti
L’integrale ’integrale è è svolto per parti
Si applica ora la sostituzione Ottenendo
Applichiamo ora il limite per
Per calcolare la potenza P dissipata basta utilizzare la formula
l’energia
dissipata fra 0 e t0 non è altro che l’integrale di P(t) fra questi due valori.
PROBLEMA 2
1) Consideriamo la carica
0;10; 1
punto
.
= 4
posta nell’origine del sistema
0;00; 0
e la carica
=
; = 41 = 45 = 0
Il campo elettrico generato nel generico punto
posta nel
sarà dato dalla somma dei singoli
campi generati dalle singole cariche.
Consideriamo le proiezione del campo sull’asse e su
Significa che lungo componente
si compensano tutte le componenti; perciò basta studiare la
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= 41 [ 1] = 41 4 1 = 4 4 1 1 =0 4 1 1 = 0 4 21 1 = 0 4 2 21 1 = 0 =0 4 8 2 4 1 8 4 = 0 3 3 82 41= 0 66448 = 8 ±6 4 = 23 2 / = 8 ± √ 6448 0;
L’unica soluzione che possiamo prendere in considerazione per le nostre assunzioni è .
2) Consideriamo ora la carica
posta nel punto
;1; 1
.
L’energia potenziale elettrostatica sarà la somma dei singole energie dovute alle due
cariche in gioco
Dove
= 4 = 0 0 1 = √ 1 4 = 4√ 1 = ≅ 9 ∙ 10 è la distanza tra le due cariche
.
Sostituendo nell’equazione dell’energia potenziale, si ha
dove
.
3) Procediamo con lo studio di funzione di
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4 = ∗ √ 1 = 4 = 4 ∗ √ 1 = ∗ 1 1 4 4 ∗ √ 1 = ∗ √ 1
Notiamo innanzitutto che il dominio della funzione è La funzione è pari, verifichiamolo con l’identità
L’identità è verificata.
Studiamo l’intersezione con gli assi
Asse y
0 = 4
Asse x non vi è intersezione Non vi sono asintoti verticali Passiamo allo studio dei limiti
4 + = →+ lim ∗ √ 1 = 0 4 − = →− lim ∗ √ 1 = 0 = 0 ∞ ∞
Vi sono dunque due asintoti orizzontali
sia in
che in
La derivata prima della funzione vale
= = 41 − = 41 − 122 = 41 − = 4 1 = 4 21 1 0 = 4
La derivata si annulla in un solo punto x=0 studiamo dunque la derivata seconda
Dall’equazione si ottiene
dunque x=0 è un massimo
Studiamo ora i punti di flesso ponendo
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Da cui si ottiene
= 0
= ± √
Per ottenere il coefficiente angolare della tangente alla funzione nei punti di flesso occorre calcolare il valore della derivata prima nei punti di ascissa appena trovati.
2 √ 4 2 √ 2 = 2 = √ 22 = 38√ 3 1 1 12 2 √ 4 = 83√ 3 2 √ 2 2 = 1 1 12
4) Il grafico della derivata è
L’integrale darà risultato nullo.
QUESITI
1. Per determinare i due parametri reali è necessario imporre due condizioni. La prima è quella di continuità (condizione necessaria per la derivabilità) per x che tende a 1, uguagliando limite destro e limite sinistro:
→lim = →lim l→im 3 = →lim 3 3
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da cui ottengo
3 = 2
Per la derivabilità, sappiamo che la funzione è derivabile per
<1 >1 e
, per ogni e ,
quindi affinché sia sicuramente derivabile in tutto lo spazio, basta imporre che limite
1 l→im = →lim l→im 2 = →lim [ 3 3] 2 = 4 = 1 = 8
destro e sinistro della derivata per che tende ad sia uguale:
da cui ottengo
Mettendo le due condizioni a sistema, trovo
2. L’area di un rettangolo inscritto alla regione
ℎ =
Fissando il generico punto scrivo l’altezza
e
.
si calcola come
= ∙ℎ∙ ℎ
.
come da figura e sfruttando la simmetria della funzione,
= 2 = 2 2−
, mentre la base
. Mi restringo pertanto alle
scrivo quindi l’area del generico rettangolo come una funzione di :
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>0
e
Per massimizzare tale area devo trovare la che corrisponde al massimo della funzione, quindi calcolo la derivata prima, che sarà
= 41 = 1 ’ > 0 < 1 = 1 ℎ ℎ = = 2
che si annulla in Sostituisco
(punto di massimo, dato che
in
e
e trovo:
per
).
(quindi è un quadrato).
3. Sto estraendo 3 palline con reinserimento, quindi sono tre eventi indipendenti, per cui:
P(estrarre 10 e gli altri due minori di 10)=P(estrarre 10) P(estrarre un numero minore di 10) P(estrarre un numero minore di 10) = 116916916=814096.
Per quanto riguarda la seconda parte del problema, vogliamo che si verifichi l’evento “esca 13 estraendo 5 palline e non escano i numeri 14,15 e 16”. Questo si può vedere come l’intersezione di due eventi A= “esca 13 estraendo 5 palline” e B=”nell’estrazione delle 5 palline non escano i numeri 14,15 e 16”. Ricaviamo pertanto la formula dell’intersezione utilizzando la probabilità condizionata di due eventi A e B:
= |
P(A)=(numero casi favorevoli)/(numero casi possibili)
numero casi possibili= 16!5! (16-5)! I casi favorevoli invece sono tutte le cinquine che contengono il 13, ossia tutte le possibili combinazioni di 5 con un numero fissato, quindi ne posso variare 4 su 15: numero casi favorevoli= 15!4! (15-4)! da cui P(A)=5/16. Per calcolare P(A|B) uso lo stesso approccio, sapendo però che non usciranno 14,15 e 16, quindi devo escluderli dalle possibili scelte, ottenendo:
13! = 5! 135!
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Quindi
12! = 4! 124! | = 5/13 ∩ = 25/208 .
4. La funzione razionale avrà come zeri del numeratore i punti di ascissa -1 e 2 e come zeri del denominatore i punti di ascissa 3 e -1 . Una prima forma della funzione può essere.
132 2 1 = 1
Dove a, b sono parametri da determinare.
Affinché la funzione passi per il punto P(7,10) bisogna avere:
Da cui si ricava
7 = 10 = 7 20 20/3/3 (+−++)+−+− = −−+^
Dapprima calcoliamo la derivata
Per essere tangente all’asse x nel punto x=2 deve valere
Da cui si ottiene
− =0
=2 = =
Mettendo a sistema si ottiene
′2 =
La funzione dunque assume la seguente forma riportato
0
= +−− +−
il cui grafico è
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5. Considerando le generiche equazioni della sfera
: : =0 = 0 /2,/2,/2 = 1,0,3 = 4 4 4 = √ 1010
Si determina facilmente centro e raggio usando le formule standard:
Per dimostrare poi che il piano interseca la sfera basta osservare che la distanza pianocentro della sfera è minore del raggio della sfera stessa, infatti:
|| = 2 < , = |
Dato che il piano interseca la sfera, la loro intersezione sarà una circonferenza. Si può determinare il raggio utilizzando la relazione:
= , , = √ 1414
6. Non è un moto uniformemente accelerato, lo si vede confrontando la formula classica del moto uniformemente accelerato
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e facendo un’analisi dimensionale. Detto questo poiché la velocità equivale alle derivata temporale di velocità media farò:
, per ottenere la
L’istante per cui si muove a tale velocità sarà quindi dato dalla formula
Da questa equazione di secondo grado ottengo due risultati risultati scarto quello di valore negativo.
7. La sfera 1 con massa iniziale
0
= 5 = 9 e
e velocità iniziale nota urta una sfera 2 con massa
, di questi due
3
e velocità
a) Nel caso di urto completamente elastico possono avvenire due cose 1. La sfera più grande non si muove e la sfera più piccola torna indietro 2. Le sfere si muovono entrambe seguendo velocità diverse In entrambi i casi si ha la conservazione dell’energia cinetica e della quantità di moto, che imponiamo e mettiamo a sistema
1{2 0 = 12 12 3 0 = 3 = 33 = (3 ) 3 = 9 6 3 12 6 = 0
Dalla seconda equazione ricaviamo nella prima
, che quindi andiamo a sostituire
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1. 2.
= 0 = = = = = +
(2 ) = 0
e
e
b) Nel caso di urto anelastico le due sfere si muovono insieme come un unico corpo di massa
e con una sola velocità.
Si ha solo la conservazione della quantità di moto
0 = 3 = 4 = 4 ∆ = = 12 0 12 3 = 12 0 0 = 12 34 = 38
L’energia dissipata nell’urto è
8. Dalla legge di Faraday:
dove il flusso in questo caso vale
Quindi applicando la formula della f.e.m. e derivando:
Per la corrente invece basta fare
Le unità di misura coinvolte sono: il campo magnetico in TESLA, la resistenza in OHM, la
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lunghezza in METRI, la pulsazione in HERTZ, la f.e.m. in VOLT, la corrente in AMPERE, il tempo in SECONDI, il flusso in TESLA per METRO QUADRATO.
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