DIVERSOS EJERCICIOS Aplicaciones de Matrices 1. Un colegio universitario está comparando sus datos de admisión para los últimos dos años. Tiene interés en la distribución de estudiantes locales en relación con los extranjeros y en la matrícula por sexo. Las matrices A y B resumen el número de estudiantes admitidos en los últimos dos años.
M Locales
A Extranjeros
360 85
F
M Locales
290 60
B Extranjeros
400 80
F
310 90
Halla la admisión total para cada categoría durante los pasados dos años. 2. Suponga que el colegio universitario del problema anterior está esperando un aumento de un 20% en las admisiones para cada categoría de estudiantes para el tercer año. ¿Cuál será la nueva matrícula en el colegio? 3. Un maestro preparó tres exámenes a cinco estudiantes. Ha decidido considerar los primeros dos exámenes a un 30% cada uno, y el tercero a un 40%. El maestro desea calcular los promedio finales para los cinco estudiantes empleando la multiplicación de matrices. La matriz de calificaciones es:
A
75 91 65 59 75
82 95 70 80 76
86 100 68 99 74
Los porcentajes están indicados en la matriz fila: B = (0.30 0.30 0.40). Combina estas matrices en tal forma que se pueda calcular las puntuaciones promedios para los cinco estudiantes. 4. Una compañía manufacturera de televisores LCD HDTV fabricó tres modelos de diferente calidad en tres tamaños distintos. La capacidad de producción (en miles) en la fábrica de Nueva York está dada por la matriz A.
Tamaño 32” Tamaño 37” Tamaño 40”
Modelo I 5 7 10
Modelo II 3 4 8
Modelo III 2 5 4
(En otras palabras, la capacidad de la fábrica es de 5,000 televisores del Modelo I de 20 pulgadas, 8,000 televisores del Modelo II de 26 pulgadas y así sucesivamente). La capacidad de producción en la fábrica de California está dada por la matriz B.
Tamaño 32” Tamaño 37” Tamaño 40”
Modelo I 4 9 8
Modelo II 5 6 12
Modelo III 3 4 2
a) ¿Cuál es el total de capacidad de producción en las dos fábricas? b) ¿Cuál será la nueva producción en la fábrica de Nueva York si se decide aumentar la producción en un 20%? 5.
Un negocio tiene para la venta televisores LCD Sony Bravia de varios tamaños. Tiene 5 de 40 pulgadas; 8 de 37 pulgadas; 4 de 32 pulgadas y 10 de 26 pulgadas. Los de 40 pulgadas se venden a $1,395, los de 37 pulgadas a $999, los de 32 pulgadas a $795 y los de 26 pulgadas a $695. Expresa el total de venta de los televisores como un producto de dos matrices e indica el ingreso total.
6. Supongamos que una empresa fabrica tres modelos de máquinas herramientas, M1, M2 y M3, y como materia prima fundamental utiliza tres tipos de metales, Hierro (H), Níquel (N) y Cobalto (C). La cantidad de materia prima que necesita para fabricar cada máquina, expresada en toneladas, se muestra en la siguiente tabla: Las mejores ofertas de la materia prima corresponden a los proveedores P1, P2 y P3. Los precios por tonelada (expresados en cierta unidad monetaria) impuestos por cada uno de los proveedores a cada uno de los metales aparecen en la siguiente tabla: Hacer una tabla de doble entrada que muestre el gasto en materia prima por modelo de máquina y proveedor. Determine el proveedor más económico para dicha empresa y cuánto le costaría comprar la materia prima. 7. Sean las matriz , A
1 0 1 0 1 0 , A 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0
Halle An , nXN, para cada matriz. 8. Criptografía: El mundo de las telecomunicaciones y las nuevas tecnologías de la información se interesa cada vez más por la transmisión de mensajes encriptados que sean difíciles de desencriptar por otros, en caso de ser interceptados, pero que se decodifiquen con facilidad por quienes los reciben. Hay muchas formas interesantes de cifrar o encriptar mensajes, y en su mayor parte usan la teoría de números o el álgebra lineal. Describiremos aquí un método que es eficaz, en especial cuando se usa una matriz de gran tamaño. En los ejercicios trabajaremos con matrices pequeñas para evitar grandes cálculos manuales. Comenzaremos con una matriz M invertible, que sólo la conocen quienes trasmiten y quienes reciben. 8.1 sea la matriz
Supongamos que se desea encriptar el mensaje: ATTACK NOW Se reemplazará cada letra por el número que le corresponde a su posición en el alfabeto (A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z) y representamos un espacio por 0. ¿Cuál es la matriz del mensaje cifrado si se obtiene mediante el producto P= M . A, siendo A matriz de orden 2x5 cuyos elementos de los vectores columnas está formado por la sucesión de números obtenidos al reemplazar el mensaje según la posición en el alfabeto. Obervacion: Para desencriptar el mensaje quien lo recibe debe calcular M-1, y multiplicar por los números recibidos agrupados en una sucesión de vectores columna igual que antes (P), obtenemos el mensaje original. 8.2 Para aquellos alumnos que estén cursando la asignatura de Matemática Básica II, tengan en cuenta el siguiente consejo, breve pero importante, para poder aprobar la asignatura: 1,9,10,22,24,43,16,37,53,24,36,56,16,28,44,37,17,34,21,18,20,25,18,31,1,20,20 Para que este mensaje sea accesible a todos, solamente comentar que el mensaje ha sido encriptado basándose en el método anterior mediante la matriz:
pero utilizando el alfabeto español (la misma asignación anterior, pero incluyendo la Ñ y eliminando la W). Ayuda a tus compañeros y desencripta el mensaje. 9. Suponga que una economía simple tiene tres industrias que son dependientes entre sí, pero que no dependen de industrias externas (se cumple el modelo cerrado de Leontief). Las industrias son: agricultura, construcción y vestuario. La fracción de cada producto que consume cada industria está dado por: Agricultura
Construcción
Vestuario
Agricultura
Consumo
Construcción
Vestuario Producción
La componente dij denota la fracción de bienes producidos por la gente que trabaja en la industria j y que es consumida por la gente que trabaja en la industria i. Por ejemplo significa que la industria del vestuario consume de la producción agrícola.
del total
Supongamos que los ingresos de la industria de la agricultura, construcción y vestuario son y respectivamente. Asuma que se cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo es igual a los ingresos a las ventas), y determine los ingresos de cada sector de la economía. 10. Análisis de flujo de tráfico. Supongamos que tenemos una red de calles en una sola dirección en una ciudad. Se quiere analizar el flujo de tráfico en cada una de las calles. La dirección del tráfico en cada una de las calles está dado en la siguiente figura.
En varios sitios se han colocado contadores, y el número promedio de carros que pasan por cada uno de ellos en el periodo de 1 hora, aparece también en la figura. Las variables representan el número de carros por hora que pasan de la intersección A a la intersección B, de la intersección B a la intersección C, etc. Asumiendo que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. Con base a este supuesto Determine los valores posibles de cada xi. Si la calle que va de D a E estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir?. ¿Cómo podría obtenerse este mínimo? 11. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. El número de carros está dado como promedio de carros por hora. Asumiendo que el flujo que llega a una intersección es igual al flujo que sale de ella, construya un modelo matemático del flujo de tráfico. Si la calle que va de C a A estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir?. ¿Cómo podría obtenerse este mínimo?
12. Un comerciante compró máquinas de cortar césped, sierras y tijeras de podar. Las primeras le costaban a S/ 5 000, las segundas a S/ 1 000 y las terceras a S/ 50. Compró 100 unidades gastando un total de S/ 100 000. ¿Cuántas unidades de cada uno compró, si adquirió los tres productos?
13. Un equipo de investigadores de mercado está realizando una investigación controlada para saber las preferencias de la población con respecto a unas pastas dentales. La muestra de la población es de 200 personas a las que se les solicita probar dos marcas de dentífricos durante un mes. Los investigadores comprueban que de las 120 personas que utilizan al comienzo de la investigación la marca A al cabo del mes, el 70% sigue usándola otro mes más, mientras que el resto cambia a la marca B. Por otro lado de las 80 personas que prefieren la marca B al cabo del mes el 80% continúa usándola otro mes más y el resto cambia a la marca A. ¿Cuántas personas están utilizando cada marca un mes después? ¿Cuántas personas están utilizando cada marca 2 meses más tarde? ¿Existe una fórmula que pronostique lo que ocurrirá al cabo de K meses? 14. Una granja avícola incluye en la dieta de sus aves vitaminas B, C y D para evitar enfermedades así como un desarrollo más rápido. En cierto mes compraron 20 cajas de vitamina B, 40 cajas de vitamina C y 50 cajas de vitamina D pagando S/ 70 000; al siguiente mes compraron 30 cajas de vitamina B, 20 cajas de vitamina C y 50 cajas de vitamina D pagando S/ 66 250; un mes después compraron 40 cajas de vitamina B, 10 cajas de vitamina C y 70 cajas de vitamina D pagando en total S/ 82 500. ¿ Cuál es el precio de cada caja de vitamina, si el precio por caja no ha variado en todo ese tiempo? mes 15. Una juguetería produce tres tipos de aviones: el modelo A a un costo de S/ 100, el modelo B a un costo de S/ 200 y el modelo C a un costo de S/ 300. Cierto día vendieron un total de 47 aviones por un monto total de S/ 11 100, con estos datos ¿es posible determinar cuántos aviones de cada modelo se vendió? 16. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad? 17. Suponga que una economía simple tiene cuatro industrias: agricultura, construcción, vestuario y transporte, y que se satisfacen las condiciones del modelo cerrado de Leontief. Los insumos y los productos están dados por la siguiente matriz. Agricultura
Agricultura
Construcción
Construcción
Vestuario
Transporte
Vestuario
Transporte
Suponga que los ingresos a las industrias de agricultura, construcción, vestuario y transporte son y respectivamente. Asuma que se cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo es igual a los ingresos a las ventas), y determine los ingresos de cada sector de la economía. 18. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible? 19. Un dietista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan? 20. Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de
cobre?
8. Criptografía: 8.1 Sea 3 4 1 2 Matriz invertible que sirve para encriptar el mensaje. Sólo la conocen quienes trasmiten y quienes reciben el mensaje. El mensaje a encriptar es: ATTACK NOW Como se reemplazará cada letra por el número que le corresponde a su posición en el alfabeto (A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z) y representamos un espacio por 0. ie: M
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
El mensaje anterior se ha convertido en la sucesión de números 1, 20, 20,1, 3, 11, 0, 14, 15, 23, que se agrupa en una sucesión de vectores columna: 1 20 3 0 15 , , , , ; 20 1 11 14 23 que tendrá por matriz a A
1 20 3 0 15 20 1 11 14 23
Luego multiplicamos por la izquierda a M, para obtener el mensaje cifrado: 3 4 1 20 3 0 15 77 -56 35 56 47 P 1 2 20 1 11 14 23 39 -18 19 28 31 M
A
Con lo que el mensaje cifrado que se enviará es: 77, 39, -56, -18, 35, 19, 56, 28, 47, 31. Por otro lado, para desencriptar el mensaje, quien lo recibe debe calcular M-1, 1 2 M 1 1/ 2 3 / 2 y multiplicar por los números recibidos agrupados en una sucesión de vectores columna igual que antes (77, 39, -56, -18, 35, 19, 56, 28, 47, 31. ie la matriz P), obtenemos el mensaje original (o desencriptado): 1 2 77 -56 35 56 47 1 20 3 0 15 D 1/ 2 3 / 2 39 -18 19 28 31 20 1 11 14 23 M
1
P
A
El mensaje, de acuerdo a la posición que ocupa la letra, es: ATTACK NOW (ataque ahora)
8.2 . El mensaje encriptado es: 1,9,10,22,24,43,16,37,53,24,36,56,16,28,44,37,17,34,21,18,20,25,18,31,1, 20,20. Que está dado por la matriz: 1 22 16 24 16 37 21 25 1
Em
9 24 37 36 28 17 18 18 20 y la matriz 10 43 53 56 44 34 20 31 20 1 0 1 0 1 1 Matriz invertible que encripta el mensaje. 0 1 2
M
Pero para desencriptar el mensaje, se necesita M-1, obteniéndose por el método de Gauss- Jordan:
1 0
1 1 1 0 2 0
0 1 0
0 0 1
0 0
1 1 1 0 1 0
0 1 1
0 0 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0
1 1
1 0 0 1
1 2 1
f3
f2
f1 f3 f2 f3
0 1 1
Siendo
M
1
1 0 0
1 0 2 1 ,Matriz que desencripta el mensaje. 1 1
Luego el mensaje desencriptado (Dm) es: 1 1 0 1 22 16 24 16 37 21 25 1 Dm 0 2 1 9 24 37 36 28 17 18 18 20 0 1 1 10 43 53 56 44 34 20 31 20 M
1
Em
0 3 0 4 0 20 19 12 1 8 5 21 16 12 0 16 5 20 1 19 16 20 16 17 2 13 0
De acuerdo a la posición que ocupa la letra en: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
El mensaje es: “hacer todos los problemas” Actividad:
Cifra y descifra tus propios mensajes usando como matriz M, de los dos ejercicios anteriores
9. Consumo - productividad: Una economía simple tiene tres industrias que son dependientes entre sí, pero que no dependen de industrias externas, cuya fracción de cada producto que consume cada industria está dado por: Agricultura Construcción Vestuario Agricultura Consumo Construcción Vestuario
3 6 1 6 2 6
7 16 5 16 4 16
3 16 5 16 8 16
Pr oducción
Supongamos que los ingresos de la industria es: Agricultura : P1 Construcción : P2 y Vestuario : P3 Además, teniendo en cuenta que se cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo son igual a los ingresos debidos a las ventas), se tiene el siguiente sistema lineal: 7 3 3 P1 P2 P3 P1 16 6 16 5 1 5 P1 P2 P3 P2 16 6 16 4 2 8 P1 P2 P3 P3 16 6 16 equivalentemente, se tiene el sistema lineal homogéneo:
9 P1 16 5 P1 16 4 P1 16
3 3 P2 P3 0 6 16 5 5 P2 P3 0 6 16 2 1 P2 P3 0 6 2
Expresándolo en forma matricial: 9 3 3 16 6 16 P 1 5 5 5 P2 16 6 16 P3 4 2 1 16 6 2 X A
0 0 0 B
Resolviendo dicho sistema, mediante Gauss – Jordan:
A/B
9 16 5 16 4 16
3 6 5 6 2 6
3 16 5 16 1 2
0 0 0
9 16 5 16 1 4
1 2 5 6 1 3
3 0 16 5 0 16 1 0 2
9 3 3
8 8 4
3 3 6
3 9 3
8 8 4
3 0 3 0 6 0
3 0 0
0 0 0
8 3 16 12 12 9
0 0 0
3 8 3 0 4 3 0 4 3 3 0 3 0 4 3 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 4 0 0
0 0 0
1 3 0
f1 16 f2
48
5
f3 12
f1 f2
f2 3f1 f3 f f2 f3
1 1
4
3
f1 2f3 f2 f3 f1
1
3
de donde se obtiene: 1. rang(A)=rang(A/B)=2
3P3 0
0
P1
0
P2
P3 3 P3 4
0 (Verdad )
Haciendo: P3
0
4t , t P1 4t P2 3t P3 4t 0 (Verdad )
La solución del sistema se puede representar como: P1, P2, P3 4t,3t,4t t 4,3,4 , t , tiene infinitas soluciones. Sin embargo para la solución del problema dado, “t” debe ser un número real no negativo, tales que los ingresos de la industria de la agricultura, construcción y vestuario están en la proporción 4:3:4, respectivamente. 10. Análisis de flujo de tráfico: La dirección del tráfico en cada una de las calles está dado en la siguiente figura.
Las variables representan el número de carros por hora que pasan de la intersección A a la intersección B, de la intersección B a la intersección C, etc.
Primero determinemos los valores posibles de cada xi ; teniendo en cuenta que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una
intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. En base a este supuesto, se obtiene el siguiente sistema lineal: x1 x3 800 (Flujo de tráfico en la intersección A) x1 x2 x4 200 (Flujo de tráfico en la intersección B) x2 x5 500 (Flujo de tráfico en la intersección C) x3 x6 750 (Flujo de tráfico en la intersección F) x4 x6 x7 600 (Flujo de tráfico en la intersección E) x5 x7 50 (Flujo de tráfico en la intersección D) Resolviendo dicho sistema, mediante Gauss – Jordan, se tiene las siguientes soluciones: x1 x6 50 x2 x7 450 x3 x6 750 x4 x6 x7 600 x5 x7 50 x6 x6 x7 x7 EL sistema tiene infinitas soluciones. Como las xi son números de carros por hora de una intersección a otra, no pueden ser valores negativos; un valor negativo de x i se interpreta como el números de carros que van en contravía. Con esta restricción se tiene: x1 x6 50 x2 x7 450
x3
x6
750
x4
x6
x7
x5
x7
x6 x7
x6 x7
50
0
x6
750
600 0
Dependiendo el valor que tomen x6 y x7, se
x7
50
obtienen los valores para las otras variables. Ahora supongamos que la calle que va de D a E estuviera en reparación, por lo se requiere que el tráfico en este espacio sea el mínimo, entonces x7 50 Por tanto x5
0 x2
500 . Recíprocamente si x5
0
x7
50 , entonces, si
cerramos la carretera entre C y D se tendrá el mínimo tráfico posible entre D y E. Los flujos x1, x3 , x4 y x6 no están determinados en forma única. Si toda la distancia de D a F estuviera en reparación, requeriríamos que x6 fuera mínimo, es decir sea cero. En este caso: x1
50, x3
750 y x4 650
13. Mes 1
Empieza: mes “0”
70%(120) A
120
20%(80)
P=200
30%(120) B
80 80%(80)
Formulación del problema para las marcas A y B, al cabo de un mes; mediante ecuaciones es: 0.7 (120)+0.2 (80)=100 0.3 (120)+0.8 (80)=100 Matricialmente se expresa: A 0.7 0.2 120
B 0.3 0.8 80 M
x0
100 100 x1
Donde: M: matriz de transición. x0 : Matriz o vector inicial.
x1 : Matriz o vector al cabo de un mes. Las coordenadas de x0 y x1 es el número de usuarios de la marca A y B. Preg. 01) Se observa que: M.x0 = x1, ie: Al cabo de un mes hay 100 usuarios de cada marca. Preg. 02) Al cabo de 2 meses: 0.7 0.2 100 x2 = M.x1 = 0.3 0.8 100 M
x1
90 110 x2
Hay 90 usuarios de la marca A y 110 de la marca B. Preg. 03) En general se tiene que: xk
Mxk 1 , K
1,2,3,....
x2
90 110
Observación: ¿Al cabo de un año (12 meses), cuál sería el consumo de cada marca? Para su solución se debe calcular x11 lo cual es tedioso, por tanto es conveniente expresarlo en términos del vector inicial. ie: x2 = M.x1= M.( M.x0) = M2.x0
xk
M k x0 , K
1,2,3,....
El calcular MK , para obtenerla de manera más práctica para potencias mayores a 2 es preciso diagonalizar la matriz M, esto se verá más adelante.
1 Resolver por la regla de Cramer:
1
2
3
Calcu lar por el mét od o de G au ss el rango de la mat ri z sigui ent e: 1.
sol
F1 - 2 F2
F3 - 3 F2
F3 + 2 F1
Por tanto r(A) =2.
2.
F2 = F2 - 3F1
F3= F3 - 2F1
Por tanto r(A) = 3 .
3.
r(A) = 2
4.
r(B) = 4
5. Calcular por determinantes el rango de la matriz:
Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda: c5 = -2 · c1 + c2
r(C) = 2
c3 = c1 + c2
r(D) = 2
6. m 7. Resolver; en forma matricial, el sistema:
8. 9.
10.
11.