2014 Mecánica Cuántica Átomos con un electrón
Nombre: Diana Aguay
Código: 496
Temas: Separación de la ecuación independiente del tiempo Soluciones de las ecuaciones
SEPARACIÓN DE LA ECUACIÓN INDEPENDIENTE DEL TIEMPO La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el potencial de Coulomb se puede resolver haciendo aplicaciones sucesivas de la técnica de separación de variables que permitan dividir la ecuación diferencial parcial en un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una de ellas función de una sola coordenada, y después estas ecuaciones pueden resolverse utilizando los procedimientos ordinarios. La separación de variables no podrá ser utilizada cuando se trabaje con coordenadas rectangulares porque el potencial mismo no puede dividirse en términos tales que cada uno de ellos sea función de una sola de las coordenadas. Esta dificultad se puede evitar si se emplean coordenadas polares esféricas. Estas son las coordenadas .
Veamos el procedimiento: Para un átomo de hidrogeno (átomo con un solo electrón)
El estudio teórico del átomo de hidrogeno es importante ya que sirve de base para el estudio y la predicción del comportamiento del electrón, en la cuántica.
Importante:
La ecuación de Schrödinger describe correctamente el comportamiento de cualquier sistema atómico.
Nota: La ecuación de Schrödinger describe correctamente el comportamiento del electrón viene dado por:
̂ ̂ Donde mi masa reducida Donde mi El cual contiene un potencial central que solo depende de la distancia del electrón al núcleo. (01)
√ Para obtener la Ecuación Independiente del tiempo; el método que realizamos es la separación de variables el mismo que no podrá ser utilizada cuando se trabaje con
coordenadas rectangulares porque el potencial no puede dividirse en términos tales que cada una de ellos sea función de una sola de las coordenadas; para evitar esta dificultad se emplean las coordenadas polares esféricas. Las coordenadas polares esféricas vienen dadas siguiente:
.Como vemos en la figura
La corresponde a la longitud longitud de la línea que une el electrón con el origen (el núcleo) mientras que corresponden a los ángulos polar y azimutal que especifican la orientación de dicha línea (especifican la dirección de .
Ahora bien, como la distancia entre el electrón y el núcleo está dada solo por , en coordenadas polares esféricas el potencial de Coulomb se puede expresar como función de una coordenada
√ Reemplazando en la ecuación (01):
√ (02)
Debido a esta gran simplificación en la forma del potencial, la separación de variables es realizable en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, como se verá enseguida. Sabemos que nuestra ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:
En coordenadas polares esféricas me queda: (03)
Donde mi Laplaciano viene dado por:
[ ( ) ( ) ( )] Reemplazo en coordenadas polares:
[ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ()] [ ( ) ( ) ()] (04)
( ) ( ) Comparando las formas del operador Laplaciano en coordenadas rectangulares y esféricas
( ) ( ) Se observa que se ha simplificado la expresión para la energía potencial a expensas de complicar considerablemente la expresión para el operador Laplaciano en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo que se debe resolver. De cualquier forma, el cambio de coordenadas vale la pena porque permitirá encontrar soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de la forma: (05)
Es
decir,
se
demostrara
que
existen
soluciones
de
Que se dividen en productos de tres funciones, , cada una de las
cuales solo depende de una de las coordenadas. La ventaja se encuentra en el hecho de que estas tres funciones se pueden obtener resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias. Reemplazamos (05) en la (04):
( ) ( ) (06)
( ) ( ) Reemplazo la (06) en (03) en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
( ) ( ) Realizando las derivadas parciales, se tendrá:
( ) ( ) En esta ecuación la derivada parcial se escribió como la derivada total ya que ambas son equivalentes debido a que R solo es función de . El mismo comentario puede aplicarse a las otras derivadas. Si ahora se multiplica toda la ecuación
Nos queda:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (07)
( ) ( )
Como primer miembro de esta ecuación no depende ni de ni de , mientras que el segundo miembro no depende de , su valor común no podrá depender de ninguna de estas variables.
Por lo tanto, el valor común deberá ser una constante, que por conveniencia se designara por . Así pues, igualando ambos miembros de la ecuación anterior a esta constante, se obtiene dos ecuaciones:
(08)
Y
( ) ( ) Rearreglando términos, la segunda ecuación se puede escribir como:
( ) ( ) Como aquí se obtiene una ecuación cuyo primer miembro no depende de una de las variables y cuyo segundo miembro no depende de la otra, una vez más se puede concluir que ambos miembros son iguales a una constante. Por conveniencia se denota esta constante por . De esta manera, igualando ambos miembros de la ecuación a se obtienen dos ecuaciones más:
( ) ( )
(09)
( ) Y
( ) ( ) (10)
( )
De
esta
manera,
la
supuesta solución en forma de producto , es válida porque funciona, es decir es solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
También se observa que el problema se ha reducido a resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias (08),(09) Y (10) para , ,y .
Al resolver estas ecuaciones se encontrara que la ecuación tiene soluciones Usando estos valores de en la aceptables solo para ciertos valores de ecuación para , resulta que esta ecuación para , se encuentra que esta solo tiene soluciones aceptables para ciertos valores de la energía total ; es decir, la energía del átomo esta cuantizado.
Las soluciones o funciones de onda son funciones matemáticas que dependen de una variable que solo pueden tomar valores enteros, estas variables de las funciones de onda se llaman, número cuántico donde
Estos números describen el tamaño, la forma y la orientación en el espacio de las orbitales de un átomo.
SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES Considérese (08) para
. (08)
La solución más fácil y particular:
La condición de que sea monoevaluada se debe considerar explicativamente debido a que los ángulos azimutales y en realidad son el mismo ángulo, es decir: Evaluando la exponencial en la solución particular se obtiene:
Está condición se satisface solo si el valor absoluto de toma uno de los valores (11)
||
En otras palabras, solo puede ser un número entero, positivo o negativo. Por lo tanto, el conjunto de ecuaciones que son soluciones aceptables
Donde toma uno de los valores enteros especificados por (11). La forma específica de las soluciones aceptables, se identifica con el número cuántico , , usando como subíndice.
En cuanto a las funciones , que son solución de (09) el procedimiento para obtenerlas es muy parecido al que se utiliza para resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Se encuentra que las soluciones aceptables (que permanecen finitas) solo se obtienen si la constante es igual a uno de los enteros:
|| || || || Las soluciones aceptables se pueden escribir como:
|||| Las || son polinomios en , cuya forma depende del valor del y del valor absoluto del número cuántico . Así, es necesario usar ambos números cuánticos para identificar las funciones que resuelven satisfactoriamente la ecuación. El procedimiento utilizado para obtener las funciones que son soluciones de
número cuántico
(10), es también muy similar al utilizado en el caso del potencial de oscilador armónico simple. Se encuentra que las soluciones correspondientes a estados ligados solo son aceptables (permanecen finitas) si la constante (la energía total) tiene uno de los valores , donde
En esta expresión, el número cuántico n es uno de los enteros:
Las soluciones aceptables se pueden escribir en forma más conveniente como: (724)
Donde el parámetro
es:
( ) ()
son polinomios en , que toman diferentes formas para diferentes valores de y . Por lo tanto, ambos números cuánticos son necesitas para identificar las diferentes funciones de que son soluciones aceptables de la ecuación. Sin embrago, los valores permitidos de la energía total, son caracterizados solo por el numero cuántico , ya que solo dependen del valor que tome este número cuántico. Donde Los términos
Bibliografía •
Eisberg- Resnick, Física cuántica átomos, moléculas, solidos, núcleos y partículas Recuperado el 19 de diciembre del 2013
