Santillana M11 Ficha de Trabalho 8

FICHA DE TRABALHO 8 Limites de sucessões NOME: _________________________________________ N.º:______ TURMA: _________ DATA: __________

1.

Considere a sucessão ( u ) definida por n

un

 =

∈

 .   + 

1.1. Determine a ordem,  p   IN, a partir da qual todos os termos da sucessão ( un) satisfazem a condição

|  1| < 10 − 6

1.2. Prove, utilizando a definição de limite, que un → 1.

2.

Considere a sucessão ( u ) definida por n

2.1. Mostre que un → –

un

 =

 5

−   + 

2.2. Determine quantos termos de ( un) não pertencem à vizinhança 0,1 de

 5

2.3. Indique um majorante e um minorante de ( un). 3.

Estude as as seguintes seguintes sucessões relativamente à monotonia monotonia e convergência:

 =   1 × +   =   1 ×  +  4.

c) d)

Considere as sucessões definidas por

un

 =

 = +  = +

   + 

e v   = 1  – 4 –

n

n

4.1. Mostre que un → 0 4.2. Mostre que (v n) é limitada. 4.3. Indique, justificando, lim (un v n). 5.

Considere a sucessão de termo geral

un

 = 1  – n3.

5.1. Determine a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são menores do que:  –1000

c) – c) –9 x 1020

b) – b) –100 000

 ∞

5.2. Prove, usando a definição de limite, que lim un = – 6.

Indique o limite das sucessões definidas por:

=   1  = 3 √ 2 2

c) c n = n –1 000 000

an

bn

7.

 –

d) d n

e) en = n + 5(n –3)

=   −5

Considere as sucessões ( u ) e (v  ) definidas, respetivamente, por: n

un

n

<1000 = +−  {3 +− 2997    ≥1000 e v n

se

se

7.1. Mostre que: lim un = 3 lim v n = +

∞

7.2. As sucessões (un) e (v n) têm termos em comum. Explique porque é que não têm o mesmo limite. DIMENSÕES • Matemática A • 11.º ano • Material fotocopiável • © Santillana

8.

Indique:

   1 d) lim 1

lim( –5)

c) lim

lim 2n2 9.

Considere as sucessões ( u ) e (v  ) convergentes, tais que lim n

n

lim (un – 2v n)

b)  lim

10. Calcule:

n −    −  + 5  −  f) lim  +    =  – 4 e lim  =  . Calcule:      c) lim   e) lim

un

  5−+ 

v  n

  −  5 b) lim 2   − 

  lim 2   + 

c) lim

    √ 2

11. Calcule:

lim

 +−   +5  

b) lim

12. Considere a sucessão de termo geral +  , tal que:

∞

un

lim (un + v n) = 0

√ 2  √ +5  √ 2

 = 5 – 3n2. Indique um termo geral de uma sucessão ( v  ) com limite n

c)  lim (un + v n) = –

 ∞

lim (un + v n) = +

13. Considere as sucessões ( Indique, se possível:

∞

d) lim (un + v n) = – 5



n

), (b ) e (c  ) em que lim n

n

an =

2 , lim

bn =

 ∞

+

 , lim

 ∞

c n =  –

lim (an + bn)

c)  lim (bncn)

e)  lim ancn2

lim(bn + cn)

d) lim (an – bn)

f)  lim

14. Considere as sucessões de termo geral Indique, se possível:

un

 =

  +  ,

v  n

 = 2n + 10 e

w  n

.



 = 5  – 3n.

   f) lim  

lim (unv n)

c)  lim (v nw n)

e)  lim

lim (unw n)

d)  lim

 

lim (5 – n3)

d)  lim

(√  1  4)

f)  lim

lim (3n – 4n)

e)  lim

++

g)  lim

15. Determine:

lim

  √  1

 +−  − +6

16. Considere a sucessão de quadriláteros cinzentos gerados a partir de quadrados com 16 dm 2 de área, em que os quatro primeiros elementos estão representados abaixo.

16.1. Justifique que a sucessão das áreas a cinzento de cada quadrado é uma progressão geométrica e determine o termo geral desta sucessão. 16.2. Determine o limite, quando n tende para + o resultado geometricamente.

 ∞, da soma das áreas dos

n quadriláteros cinzentos e interprete

DIMENSÕES • Matemática A • 11.º ano • Material fotocopiável • © Santillana