GEOMETRI TRANSFORMASI MENCARI RUMUS-RUMUS PENCERMINAN Rumus pencerminan 1
misalkan persamaan sumbu s adalah sebagai berikut: s: ax+by+c = 0
S P(x,y)
( x 0 , y 0 )
P’(x’,y’)
Garis PP’ melalui pusat ( x0 , y 0 ) sehingga didapat persamaan garis ax0 dari titk ke pusat adalah x0 •
=
x '+ x 2
dan y0
=
y '+ y 2
+ by 0 + c =
.
cari persamaan garis melalui dua titik dengan pusat ( x0 , y 0 ) didapat: y 0
−
y
y '− y
=
x 0
−
x
x '− x
Karena PP’
⊥
, m=
y'− y 0 x'− x0
S maka
sehingga didapat m S
m.mS
= −
a b
1
=−
y '− y 0
a = −1 x '− x 0 b y '− y 0 b = x'− x 0 a a ( y '− y ) =b( x '− x ) ay '−ay = bx'−bx bx'−ay ' = bx −ay..............(i )
•
.−
Kemudian ( x 0 , y 0 ) disubtitusikan ke persamaan garis ax 0
+ by 0 + c =
0.
0 serta jarak
x'+ x +b y '+ y a 2 2
+c =0 a ( x '+ x ) +b ( y '+ y ) +2c = 0 ax '+ax +by '+by +2c = 0 ax '+by '+ax +by +2c = 0 ax '+by ' = −ax −by −2c...............(ii ) Sehingga didapat kedua persamaan: bx '−ay ' =bx
−ay.......................(i) ax '+by ' = −ax −by −2c..............(ii )
Dari kedua persamaan di atas, kita akan mencari nilai dari
bx − ay x ' =
−
−
ax − by − 2c b
−
a
b
=
a
a
b(bx − ay ) + a ( −ax − by − 2c) a2
+
b2
b
x '
y ' =
dan
a
b 2 x − aby − a 2 x − aby − 2ac
=
b
x '
a2
=
(b 2
−
+
b2
a 2 ) x − 2aby − 2ac a2
+
b2
.......... ..(iii )
bx − ay −
ax − by − 2c b a
−
a
=
b( −ax − by − 2c) − a (bx − ay ) a2
+
b2
b =
y '
=
−
abx − b 2 y − 2bc − abx + a 2 y
a 2 + b2 ( a 2 − b 2 ) y − 2abx − 2ac a2
+
b2
.......... ..(iv )
Dari kedua rumus diatas dapat di ubah menjadi bentuk demikian:
y '
dengan aturan Cramer :
x' =
(b 2
−
a 2 ) x − 2aby − 2ac a2
=
=
=
=
(b 2
a2
+
+
−
b2
2a 2 ) x − 2aby − 2ac a2
(a 2
+
a2 +
(a 2 x −
=
b2
b 2 ) x − 2a 2 x − 2aby − 2ac
+
(a 2
y ' =
b 2 ) x
+
−
b2 )
+
=
b2
2a (ax + by + c) a2
+
=
b2
2a(ax + by + c) a
2
+
b
(a 2
−b
(a 2
+b
) y − 2abx − 2ac a
2
2
− 2b
2
+b
2
) y − 2abx − 2ac
a2 (a
2
+b
2
(a 2
+b
(a 2
2
2
2
+b
+b
) y − 2b y − 2abx − 2ac a
= y −
2
2
) y
2
)
2
−
+b
2
2b(ax + by + c) a2
+b
2
2b(ax + by + c) a
2
+b
2
CONTOH SOAL:
1. Terdapat sebuah garis g: 3x-y+3=0 dan titik A(2,-1). Carilah koordinat bayangan dari titik A jika titik tersebut dicerminkan terhadap garis g! Penyelesaian: Diketahui:
garis g:3x-y+2 Titik A(2,-1)
a=3, b= -1, c=3
x=2, y= -1
Ditanya: Koordinat bayangan titik A jika dicerminkan dengan garis g (A’) ? Jawab: x' = x − =
2a(ax + by + c)
2−
=
2−
=
2−
2
2
a +b 2.3( 3.2 + (−1).(−1) + 3) 2
3
+
(−1)
6(6 +1 + 3) 9 +1 60
10 = 2 − 6 = −4
2
y ' = y −
( 1) −
= −
=
(−1) − ( 1) −
= −
2
2
a +b 2.(−1)( 3.2 + (−1).(−1) + 3) 3
2
+
6(6 +1 + 3) 9 +1 60
10 = ( −1) − 6 = −7
Jadi, Koordinat bayangan dari titik A adalah A’(-4,-7)
Rumus Pencerminan 2
2b(ax + by + c)
(−1)
2
Jika s dinyatakan dengan persamaan bentuk normal :
S P O
ɵ
x
dengan mensubstitusikan :
, ke persamaan (3), maka akan didapat rumus pencerminan 2 :
……………….. (4)
Atau dalam bentuk matriks :
…………………………………………………………(4’)
Contoh Soal :
Diketahui titik A (3,4), jika A dicerminkan terhadap garis s : 2x + 5y – 3, maka koordinat titik A’ yang merupakan bayangan (hasil transforrmasinya) adalah……….
Jawab :
(1) Menggunakan rumus pencerminan 1 A’(x’, y’) =…..? dengan A(x,y) = A(3,4) dicerminkan terhadap garis s : 2x + 5y – 3, maka :
Jadi, A’(x’, y’) = A’
,
P’(x’, Rumus Pencerminan 3 y’)
P (x, y)
α+β α-β α
β
Jika P(x,y) direfleksikan terhadap g : y = x tg
, maka P’(x’,y’) adalah :
…………… (5)
Atau dalam bentuk matriks :
……………………………………………………………… …………………(5’)
Contoh Soal :
Diketahui titik A (3,4), jika A dicerminkan terhadap garis g : y=
x , maka koordinat
titik A’ yang merupakan bayangan (hasil transforrmasinya) adalah………. Jawab :
g : y=
x
g : y= x tg 600
maka dapat diperoleh A’(x’,y’) adalah :
Atau :
Jadi, A’(x’, y’) = A’
,
